GONIOMETRIA. sin (x) = PH OP. ctg (x ) = cos (x) = CB sin (x) cosec (x ) = 1 = ON sin (x)

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1 GONIOMETRIA sin (x = PH OP cos (x = OH OP tg (x = sin(x = TA cos(x ctg (x = cos (x = CB sin (x sec (x = 1 = OM cos(x cosec (x = 1 = ON sin (x La tangente si calcola sempre sulla retta verticale passante per A, mentre la cotangente si calcola sempre sulla retta orizzontale passante per C: P appartiene al oppure al 4 quadrante : se ( ᴨ / < x < ᴨ o ( 3 ᴨ / < x < ᴨ tg (x = AT < 0 ctg(x = BC <.0 P appartiene al 3 oppure al 1 quadrante : se ( 0 < x < ᴨ / o ( ᴨ < x < 3 ᴨ / tg (x = AT > 0 ctg(x = BC >.0 Grafici delle Funzioni Goniometriche 8

2 author: Ing. Giulio De Meo Funzioni Goniometriche di Angoli Particolari Il simbolo π (pi greco che in algebra assume valore 3.14, in goniometria si definisce come rapporto tra lunghezza della circonferenza ed il suo diametro. π = C / r; 30

3 author: Ing. Giulio De Meo CONVERSIONE DI ANGOLI Π = 3, ; 1 rad = 57, 9578 = ,8 Da Gradi SESSAGESIMALI a Gradi DECIMALI: ( ,8 = ( / ,8 / 3600 = 57,9578 Da Gradi DECIMALI a Gradi SESSAGESIMALI: G = INT (Num; M = INT [60 Decimale(Num ] ; S = 60 [ 60 Decimale (Num- M ] Gradi G = INT ( 57,9578 = > 57 ; Primi = M = INT ( 0,9 60 = INT ( 17,4 = > 17 Secondi = 60 [60 0, ] = 44,8 => 44,8 Da Gradi DECIMALI a RADIANTI e viceversa: 180 : Π = gradi : radianti Da Radianti a Gradi SESSAGESIMALI: si passa da Radianti a Gradi DECIMALI e infine a Gradi SESSAGESIMALI. 31

4 Author: Ing. Giulio De Meo Relazioni fondamentali tra le funzioni goniometriche di uno stesso angolo sin α + cos α = 1 tg α = sin α cos α cotg α = cos α sin α cosec α = 1 sin α sec α = 1 cos α Funzioni goniometriche di angoli associati sin( α = sin α cos( α = cos α tg( α = tg α cotg( α = cotg α sin(π α = sin α cos(π α = cos α tg(π α = tg α cotg(π α = cotg α sin(π α = sin α cos(π α = cos α tg(π α = tg α cotg(π α = cotg α sin(π + α = sin α cos(π + α = cos α tg(π + α = tg α cotg(π + α = cotg α sin α = cos α cos α = sin α tg α = cotg α cotg α = tg α sin + α = cos α cos + α = sin α tg + α = cotg α cotg + α = tg α Formule di addizione e sottrazione sin(α + β = sin α cos β + sin β cos α sin(α β = sin α cos β sin β cos α cos(α + β = cos α cos β sin α sin β tg α + tg β tg(α + β = 1 tg α tg β α + β, α, β π + kπ cos(α β = cos α cos β + sin α sin β tg α tg β tg(α β = 1 + tg α tg β α β, α, β π + kπ Formule di duplicazione sin α = sin α cos α cos α = cos α sin α = 1 sin α = cos α 1 tg α = tg α 1 tg α α π 4 + k π α π + kπ

5 Author: Ing. Giulio De Meo Formule di bisezione cos α = ± 1 + cos α sin α = ± 1 cos α tg α = ± 1 cos α 1 + cos α (α π + kπ tg α = sin α 1 + cos α con α π + kπ tg α = 1 cos α sin α con α kπ sin α = Formule parametriche t 1 + t cos α = 1 t 1 + t ( t = tg α, α π + kπ Formule di prostaferesi sin p + sin q = sin p + q sin p sin q = cos p + q cos p q sin p q cos p + cos q = cos p + q cos p cos q = sin p + q cos p q sin p q Formule di Werner sin α cos β = 1 [sin(α + β + sin(α β] cos α cos β = 1 [cos(α + β + cos(α β] sin α sin β = 1 [cos(α β cos(α + β]

6 » Risoluzione dei triangoli rettangoli. 1 Teorema. In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell ipotenusa per il seno dell angolo opposto oppure per il coseno dell angolo adiacente.,, N. B. : Teorema. In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale a quella dell altro cateto per la tangente dell angolo opposto al primo, o per la cotangente dell angolo adiacente.,» Area di un triangolo qualsiasi. L area di un triangolo qualsiasi è uguale compreso., al semiprodotto delle misure di due suoi lati per il seno dell angolo fra essi» Risoluzione dei triangoli qualsiasi. Teorema dei seni (o di Eulero In un triangolo qualunque è costante il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell angolo opposto: Teorema del coseno (o di Carnot In un triangolo qualsiasi il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due diminuita del prodotto di questi due lati per il coseno dell angolo fra essi compreso: Teorema delle proiezioni In un triangoloo qualunque, la misura di un lato è uguale alla somma dei prodotti delle misure di ciascuno degli altri due per il coseno degli angoli che essi formano con il primo: Nota. La costante è la misura del diametro della circonferenza circoscritta. Nota. Il teorema di Carnot generalizza il Teorema di Pitagora, a cui si riduce se si considera un triangolo rettangolo. Teorema della Corda: in un triangolo qualsiasi, il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell angolo opposto è uguale al diametro della circonferenza in cui è inscritto. In una circonferenza di raggio r, un corda è uguale al prodotto tra diametro ed il seno dell angolo alla circonferenza individuato dalla corda. Dimostrazione: Scelta una corda AB, traccio la sua perpendicolare per l estremo A, che incontra un punto D sulla circonferenza. Traccio il diametro BD che è l ipotenusa del triangolo rettangolo BAD. Applicando il teorema sui triangoli ret ttangoli: AB = BDsinα = r sinα 3

7 EQUAZIONI GONIOMETRICHE Equazioni goniometriche elementari: sen (x = a se a 1 ammette infinite soluzioni x = arcsin (a + kπ x = Π arcsin (a + kπ cos (x = a se a 1 ammette infinite soluzioni x = arccos (a + kπ x = arccos (a + kπ tg (x = a ammette infinite soluzioni x = arctg (a+ kπ sin (ax = sin (bx si pone ax = bx + kπ cos (ax = cos (bx si pone ax = bx + kπ tg (ax = tg (bx si pone ax = bx + kπ Equazioni lineari in sin(x e cos(x: a sin(x + b cos(x = c se c=0 si divide tutto per cos(x e si risolve l equazione elementare in tg(x che ne risulta. Se c 0 si effettua il cambio di variabile : t = tg x da cui sin(x = t ; cos(x = 1-t ; 1+t 1+t Eq. omogenee di grado in sin(x e cos(x: a sin (x + b sin(x cos(x + c cos (x = d prima si moltiplica d per [sin (x + cos (x ] e successivamente si divide tutto per cos (x e si risolve l equazione di grado in tg(x che ne risulta. Equazioni Biquadratiche omogenee in sin(x e cos(x: a sin 4 (x + b sin (x cos (x + c cos 4 (x = d si divide tutto per cos 4 (x e si risolve l equazione di 4 grado in tg(x che ne risulta. Equazioni Simmetriche rispetto a sin(x e cos(x: sin(x + sin(x cos(x + cos(x = a si risolvono ponendo [ x = 45 + y ]. Si ottiene un equazione di grado in cos(y DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE 33

8 Consideriamo alcuni tipici esempi di disequazioni goniometriche: 1 Disequazioni elementari: cos(x < 0,5 bisogna determinare per quali punti della circonferenza il coseno risulta inferiore a 0,5. Gli angoli per cui il coseno è 0,5 sono 30 (P e 300 (Q. Spostandosi sulla circonferenza in senso antiorario il coseno rimane inferiore a 0,5 per tutti i punti compresi tra P e Q. Risulta quindi cos(x < 0,5 per 60 < x < 300 ossia: (π / 3 + k π < x < ( 5π / 3 + k π P o 60 1 A Q Disequazioni di funzioni goniometriche razionali fratte o di funzioni date dal prodotto di più funzioni goniometriche si risolvono con la regola dei prodotti incrociati effettuati sulla circonferenza. a tg (x [ tg (x 1 ] >0 bisogna studiare i due grafici: tg(x >0 : verificata nel 1 e 3 quadrante (circonferenza interna. tg (x >1 : π / 4 + k π < x < π / + k π ( circonferenza esterna Si fa il prodotto dei segni delle soluzioni trovate e si prendono le soluzioni con il segno (+ essendo la disequazione > 0 (grafico in rosso π / 4 + k π < x < π + k π b 3 sin( sin ( >0 sin 3 sin( >0 metti in evidenza e risolvi con il metodo dei prodotti incrociati le due disequazioni elementari sin >0 ; 3 sin >0 prendendo i risultati con il (+ < < 3 + ; 3 + < < + ; 34

9 3 Disequazioni lineari senza termine noto: ( ( <0 <0 ( <0 Si moltiplica e divide tutto per cos(x e si risolvono le due disequazioni elementari ottenute, con il metodo dei prodotti incrociati, prendendo come risultato le parti con il segno ( essendo < 0 : cos(x > 0 ; tan (x 1 > 0 ; < < + ; + < < + ; 4 Disequazioni lineari con il termine noto: Si utilizzano le formule parametriche: = tan ; sin = ; cos = ( + ( > > + >0 Essendo la disequazione a denominatore (1+t >0 sempre verificata, si studia quella del numeratore t ( 1 t > 0 ossia t > 0 ; 1 - t > 0 ; è una disequazione del tipo ( vista prima: tan >0 ; tan <1 ; risolta con i prodotti incrociati si ha: < < 4 + ; < < + 5 Disequazioni di secondo grado complete ed in una sola funzione trigonometrica: a sin x sin x 1 0 Posto t = sin x la disequaz diventa t t 1 0 t= 1 ± = t=1 ; t= 1 ; la disequazione è soddisfatta per intervalli interni: ossia tornando al seno sin sin ; = + La soluzione finale è l unione delle due soluzioni trovate: + + U = + b sin x + 4 cos x > 5 cos x ( 1 cos x +4 cos x >5 cos x cos x -5 cos x + > 0 t 5 t + > 0 intervalli esterni t > ; < la prima diseq è impossibile per cui risolvo la seconda: cos x < + < < + 35

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