Lezione 6b. Spettri di risposta. L equazione del moto assume la seguente forma:

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1 L equazione del moto assume la seguente forma: m u() t cu () t ku() t mu () t g

2 Supponendo di risolvere tale equazione utilizzando l integrale di Duhamel, si ottiene: t 1 n ( t ) () sin[ D( )] ( ) m 0 D ut e t P d Poiché nel caso in esame risulta: ( ) ( ) Si ottiene: P m u g t 1 n ( t ) () g( ) sin[ D( )] D 0 ut u e t d

3 Considerando il caso di piccoli valori dello smorzamento, ovvero n D, e trascurando il segno: t 1 n ( t ) () g( ) sin[ n( )] n 0 ut u e t d Considerando la derivata prima per ottenere la velocità: t t n ( t ) n ( t ) () g( ) cos[ n( )] g( ) sin[ n( )] 0 0 ut u e t d u e t d

4 Riscrivendo l equazione del moto nella seguente forma: 2 mu () tcut () kut () 0 u () t 2 ut () ut () 0 tot tot n n Si ottiene che: u t ut ut 2 tot () 2 n () n () e sostituendo in questa le espressioni dedotte prima si ottiene: t t 2 n ( t ) n ( t ) tot ( ) 2 n n g ( ) sin[ n( )] 2 n g ( ) cos[ n( )] 0 0 u t u e t d u e t d

5 Risolvendo le espressioni trovate prima è possibile trovare il massimo in termini di valore assoluto delle corrispondenti quantità. Esse vengono indicate come: S (, ) a n S (, ) S v d n (, ) n accelerazione assoluta spettrale velocità relativa spettrale spostamento relativo spettrale

6 Nella pratica, invece di considerare la velocità relativa spettrale, si considera invece la pseudo-velocità relativa spettrale definita come: t n ( t ) S, u ( ) e sin[ ( t)] d pv n g n 0 max

7 In particolare, se si considera smorzamento nullo si osserva che la velocità spettrale e la pseudo-velocità spettrale differiscono solo per il termine trigonometrico: t S 0, u ( ) sin[ ( t)] d pv n g n 0 max t S 0, u ( ) cos[ ( t)] d v n g n 0 max Hudson ha dimostrato che numericamente queste due quantità differiscono poco se non si è nel caso di periodi di vibrazione della struttura molto elevati. Differenze tra queste due quantità aumentano in presenza dello smorzamento.

8 Inoltre, poiché: segue che: t 1 n ( t ) S, u ( ) e sin[ ( t)] d d n g n n 0 max S 1, S, d n pv n n E, allo stesso modo si può osservare che per smorzamento nullo si ha: t S 0, u ( ) sin[ ( t)] d a n n g n 0 max

9 ovvero: S 0, S 0, a n n pv n Si può dimostrare che nell intervallo 0<<0.20 si ha: S, S, a n n pv n dove quest ultima viene indicata col termine di pseudoaccelerazione: S, S, pa n n pv n

10 Quest ultima quantità è molto importante in quanto consente di calcolare la massima forza esplicata dalla molla di rigidezza k dell oscillatore semplice: poiché: S segue che: 2 f,max ks, m S, S d n n d n 1, S, S, S, d n pv n n S 1, S, d n 2 pa n n pa n n pv n

11 e dunque la forza massima esplicata dalla molla risulta: f m S S,max pa, n

12 S S S pa pv d (, ) n (, ) n (, ) n dipendono da: - dalla storia temporale del moto del suolo - dalla frequenza naturale di vibrazione del sistema - dal rapporto di smorzamento.

13 Infatti, dato un terremoto, assegnato un rapporto di smorzamento, si può calcolare la pseudo-velocità per differenti valori di n, ovvero del periodo naturale di vibrazione del sistema. Si ottiene una curva denominata spettro di risposta in termini di pseudo-velocità. Conseguentemente la stessa curva può essere realizzata in termini di spostamento e di pseudo-accelerazione, ottenendo appunto lo spettro di risposta in termini di spostamento ed in termini di pseudo-accelerazione.

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15 FATTORI INFLUENZANTI LO SPETTRO DI RISPOSTA -meccanismo di rilascio dell energia sismica nelle vicinanze dell ipocentro e lungo l interfaccia della faglia -la distanza della stazione dall epicentro -la profondità dell ipocentro -la geologia del suolo e la sua variazione lungo il percorso seguito dalle onde sismiche -la magnitudo -le condizioni locali di sito della stazione dove avviene la registrazione.

16 SPETTRI DI RISPOSTA ELASTICI DELLE NORMATIVE In fase di progetto o di verifica delle costruzioni risulta invece importante utilizzare spettri convenzionali ricavati sulla base di spettri calcolati dedotti con riferimento a numerose registrazioni storiche relative ad eventi occorsi nella stessa zona di interesse ed opportunamente normalizzati. Dall insieme di questi spettri si estrapola infatti uno spettro medio, oppure uno spettro di inviluppo, regolarizzandone ( lisciandone ) la forma, tagliando i picchi più elevati e appianando i minimi.

17 NTC-08 Sono stati recepiti i risultati di uno studio recente (Progetto S1 che ha prodotto per ogni punto di una griglia regolare con passo di circa 5 km nelle due direzioni orizzontali, l analisi probabilistica di pericolosità sismica, fornendo le curve di pericolosità per le accelerazioni spettrali elastiche.

18 NTC-08 Dove per undici periodi di oscillazione sono stati fornite nove ordinate spettrali in accelerazione, ciascuna delle quali relativa ad un periodo di ritorno T R compreso tra 30 e 2475 anni. Il riferimento al periodo di ritorno è molto importante dal punto di vista probabilistico in quanto esso rappresenta quell intervallo che mediamente intercorre tra due terremoti che producono, nel sito in esame, un valore dell accelerazione spettrale uguale o maggiore di quello considerato. Assegnato infatti il periodo di ritorno è possibile ricavare la probabilità di superamento, P VR, di quello specifico valore dell accelerazione spettrale in un periodo temporale qualsiasi, V R : P VR =1-e -V R /T R

19 NTC-08 La valutazione delle azioni sismiche sulle costruzioni secondo le NTC avviene proprio in base alla pericolosità del sito che viene a sua volta definita in termini di accelerazione orizzontale massima attesa a g su un suolo di tipo A (roccia), ovvero il picco del segnale che ha una certa probabilità P VR di essere superato in un periodo di riferimento V R. In particolare, nelle NTC, il periodo di riferimento V R viene calcolato tramite il prodotto tra la vita nominale della costruzione, V N, (intesa come il numero di anni in cui la struttura, purché soggetta alla manutenzione ordinaria, deve poter essere usata per lo scopo a cui è destinata) e il coefficiente d uso, C U (il quale considera l importanza della struttura in funzione della gravità delle perdite dovute al raggiungimento di un determinato stato limite): V R =V N C U

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21 Nelle NTC vengono forniti dei valori di riferimento della P VR ai quali fare riferimento nell ambito della progettazione. Per quanto detto sopra, essi risultano funzione dello Stato Limite a cui si fa riferimento.

22 La definizione dello spettro elastico in accelerazione necessità oltre ad a g (accelerazione massima attesa al sito) anche di altri due parametri, ovvero di F 0,che definisce il rapporto tra il massimo valore dello spettro ed a g per quel sito (esso rappresenta l amplificazione spettrale) e T C * che rappresenta invece il periodo finale del ramo piatto dello spettro.

23 La definizione dello spettro elastico in accelerazione necessità oltre ad a g (accelerazione massima attesa al sito) anche di altri due parametri, ovvero di F 0,che definisce il rapporto tra il massimo valore dello spettro ed a g per quel sito (esso rappresenta l amplificazione spettrale) e T C * che rappresenta invece il periodo finale del ramo piatto dello spettro.

24 Poiché i parametri sono riferiti ad un suolo di tipo A su piano orizzontale è necessario introdurre ulteriori parametri che consentano di tenere conto delle condizioni locali del sottosuolo e della morfologia della superficie. Nelle NTC si tiene conto dell amplificazione stratigrafica, S S, e dell amplificazione topografica, S T, tramite il fattore S: S=S S S T Valutando il valore iniziale del periodo del tratto dello spettro a velocità costante, T C, tramite la seguente relazione: T C =T C * C C dove C C è un coefficiente funzione della categoria del sottosuolo.

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27 Le espressioni analitiche dello spettro di risposta in accelerazione (componenti orizzontali) contenute nelle NTC, sono le seguenti: T 1 T 0 T TB Se( T) ag S F0 1 TB F0 T T T T S ( T) a S F B C e TC TC T TD Se( T) ag S F0 T TC TD TD T Se( T) ag S F0 2 T g 0 B

28 Oltre ai fattori descritti sopra, nelle espressioni dello spettro elastico compare anche un parametro che esprime la dipendenza delle ordinate spettrali dal rapporto di smorzamento : 10 / (5 ) 0.55 funzione del tipo di materiale strutturale, della tipologia strutturale e del terreno di fondazione. Infine, nelle stesse espressioni compaiono anche i valori del periodo T B, inizio del tratto ad accelerazione costante, e del periodo T D, inizio del tratto a spostamento costante, i quali sono legati ai parametri precedenti tramite le seguenti relazioni: T B =T C /3 T D =4.0 a g /g + 1.6

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30 DUTTILITÀ E SPETTRI DI PROGETTO Il criterio di progettazione basato sul danneggiamento della struttura nel caso di terremoti severi, costringe a considerare il comportamento dell oscillatore non solo in caso di regime elastico lineare, che riflette una struttura in assenza di danni, ma anche nel caso di comportamento non lineare del materiale (di seguito si farà riferimento all oscillatore semplice a comportamento elasto-plastico). m ut () f c,k f y k 0 u y u

31 DUTTILITÀ E SPETTRI DI PROGETTO la duttilità proprio come la capacità della struttura di sopportare spostamenti oltre il limite elastico. In particolare, se si considera un sistema costituito da materiale a comportamento elastico-perfettamente plastico, il rapporto tra lo spostamento al collasso, u m,elo spostamento corrispondente al superamento del limite elastico, u y, viene definito come duttilità disponibile del sistema. Lo stesso rapporto in cui però al posto di u m si sostituisce lo spostamento massimo, u max, esibito dal sistema durante il terremoto, si ottiene la duttilità richiesta al sistema m ut () f c,k f y k 0 u y u

32 DUTTILITÀ E SPETTRI DI PROGETTO Il sistema potrà essere dimensionato sulla base di una forza minore rispetto a quella a cui sarebbe soggetto se avesse un comportamento elastico-lineare proprio confidando sulla sua capacità di subire spostamenti in campo plastico. Se si conosce la duttilità disponibile del sistema si può valutare di quanto ridurre la forza massima elastica per far si che la duttilità disponibile del sistema sia proprio pari alla duttilità massima richiesta dal terremoto.

33 DUTTILITÀ E SPETTRI DI PROGETTO Gli studi di Newmark (1960) hanno infatti evidenziato che per valori alti del periodo (ovvero maggiori di quelli corrispondenti al picco della campana dello spettro), gli spostamenti relativi massimi della massa strutturale sono sostanzialmente gli stessi sia per l oscillatore elastico sia per quello elasto-plastico. F d =F y =F max,e /m

34 DUTTILITÀ E SPETTRI DI PROGETTO Per periodi minori tale approccio non risulta più valido e, sebbene in questo caso il problema sia maggiormente complesso, si utilizza il principio di uguaglianza dell energia, ovvero delle aree sottese dalle due curve. Ciò dà luogo a una forza di progetto pari a: F d =F y =F max,e /(2m-1) 0.5

35 DUTTILITÀ E SPETTRI DI PROGETTO Nelle NTC oltre agli spettri elastici vengono definiti gli spettri di progetto che tengono appunto conto della duttilità della struttura, consentendo di utilizzare forze di progetto più basse rispetto a quelle elastiche ma effettuando comunque un analisi su un modello elastico lineare. 1 T q T 0 T TB Se( T) ag S F0 1 q TB F0 TB 1 TB T TC Se( T) ag S F0 q 1 TC TC T TD Se( T) ag S F0 q T 1 TC TD TD T Se( T) ag S F0 2 q T Si osserva dunque che, in luogo della duttilità viene utilizzato il fattore di struttura q per tenere conto del fatto che nei sistemi a più gradi di libertà la riduzione delle forze elastiche non è legata solo al comportamento del materiale ma anche al comportamento globale della struttura e dunque materiale strutturale / tipologia strutturale.

36 Azione Sismica Esempio Dalla tabella: a g =1.74 m/s2 Fo=2.45 T*c=0.29 s

37 DM08 - Azione Sismica Esempio Fase 2. spettro elastico T 1 T 0 T TB Se( T) ag S F0 1 TB F0 T T T T S ( T) a S F B C e TC TC T TD Se( T) ag S F0 T TC TD TD T Se( T) ag S F0 2 T g 0 B

38 DM08 - Azione Sismica Esempio Fase 2. spettro elastico Tc=Cc T*c =1.0 x 0.29 = 0.29 s

39 DM08 - Azione Sismica Esempio Fase 2. spettro elastico T B =T C /3=0.29/3 = s T D =4.0 (a g /g)+1.6=2.31 s S=Ss St = 1.0

40 DM08 - Azione Sismica Esempio

41 DM08 - Azione Sismica Esempio Fase 3. spettro di progetto Fattore di struttura q: q=4.5 u / 1 = =5.85

42 DM08 - Azione Sismica Esempio