CONTINUITÀ E DISCONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE: UNA PROPOSTA DIDATTICA INNOVATIVA
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- Leona Borghi
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1 ARTICOLO Archimede 016 CONTINUITÀ E DISCONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE: UNA PROPOSTA DIDATTICA INNOVATIVA di Luigi Squillante, Sara Rutigliano, Andrea Minotti INTRODUZIONE La trattazione di continuità e discontinuità di una funzione nei testi del quinto anno della scuola superiore risulta ancora generalmente legata ad un approccio tradizionale che privilegia un esposizione assiomatica (definizione esempio) e una classificazione quasi «botanica» delle discontinuità in tre tipologie, che in alcuni casi non appare sempre rigorosa. Si chieda, ad esempio, a bruciapelo, a studenti o anche insegnanti se l iperbole equilatera di equazione y = k/x, con k una costante reale, sia o meno una funzione continua (facendo attenzione a non chiedere dove). Molte delle risposte probabilmente si focalizzeranno sul fatto che in x = 0 la funzione presenta una discontinuità di seconda specie. Tuttavia la definizione di continuità implica che il punto in cui la si valuti appartenga al dominio della funzione e, a rigore, poiché in x = 0 non è definita, l iperbole risulta in realtà continua in tutto il suo dominio. Al di fuori di quest ultimo, infatti, la funzione non esiste e non ha senso chiedersi quali comportamenti abbia. Alcuni testi, inoltre, associano la discontinuità di seconda specie alla presenza di asintoti, inglobando in questa categoria casi come il punto x = 0 per la funzione y = log (x), attentando, di fatto, allo status di quella che sembrerebbe una funzione continua in tutto il suo dominio. Quella di seguito esposta è, invece, la proposta di un percorso didattico che possa superare tali criticità, sviluppando una trattazione che risulti rigorosa ma che stimoli gli studenti attraverso l uso di esempi interessanti che portino solo in ultima via alla formalizzazione matematica. 1. I VOTI IN PAGELLA Si può partire da un caso di sicuro molto familiare e caro agli studenti, vale a dire l assegnazione di un voto finale in pagella che deve essere sintetizzato da un valore intero, a fronte di un numero razionale che scaturisce dalla media delle valutazioni ricevute durante il periodo scolastico considerato. In generale una funzione di questo tipo è rappresentata da un andamento «a gradino», con un dominio che spazia sui reali compresi tra 0 e 10 e un codominio che di solito contempla gli interi da a 10, in virtù del fatto che molte scuole non permettono l assegnazione di voti finali inferiori al. La nostra funzione f : [0: 10] [: 10] può essere così schematizzata: 78
2 f (x) = 016 per 0 x <,5 x + 0,5 per,5 x 10 Archimede (1) ARTICOLO Il grafico può essere costruito insieme ai ragazzi, motivandoli a suggerirne l andamento e sottolineando l importanza di assegnare valori della funzione ad un solo valore del dominio nei punti di salto. Figura 1 Grafico della funzione che esprime il voto finale in pagella in funzione della media delle valutazioni conseguite nel periodo scolastico di riferimento Si propongono in parallelo, a questo punto, grafici di funzioni ben note quali retta, parabola, esponenziale, chiedendo alla classe di focalizzarsi sul confronto tra questi ultimi e quello costruito per la «funzione dei voti». Cosa cambia? C è una netta differenza tra di essi? Le risposte più intuitive che è possibile aspettarsi dai ragazzi riguarderanno probabilmente l idea che, a differenza dei grafici delle funzioni note, quello dei voti è «spezzato»: per disegnarlo bisogna staccare la penna dal foglio. L intuizione è esatta, ma come è possibile formalizzare tale concetto in linguaggio matematico? Riconsideriamo, ad esempio, il grafico della parabola. Notiamo che se si considera un qualsiasi punto x 0 del dominio, avvicinandosi ad esso tanto da destra quanto da sinistra (considerando, cioè, generiche ascisse x i maggiori o minori di x 0 ma sempre più prossime ad esso), i corrispondenti valori f (x i ) si raccordano senza problemi fino al valore f (x 0 ). Poiché il concetto di limite è già noto e familiare, non sarà problematico interpretare che ciò che si è appena detto a parole sul grafico equivale ad aver affermato che: lim x x f( x) = f( x0 ). 0 () 79
3 ARTICOLO Archimede 016 Considerando, invece, il grafico di (1) si ha che per ogni punto del dominio che rappresenti il «mezzo voto», ad esempio x 0 = 6,5, si ottengono limiti destri e sinistri per la funzione non coincidenti al tendere di x a x 0. Infatti: lim f( x) = 7 + x 6,5 lim f( x) = 6 x 6,5 (3) (4) A questo punto l introduzione della definizione formale di continuità diventa agevole e si può affermare che una funzione è continua in x = x 0 se è valida la (). Riassumendo, le condizioni da verificare per la continuità di una funzione f in un punto x 0 saranno le seguenti: x 0 è un punto del dominio; lim x x f( x) esiste ed è finito; 0 lim f( x) f( x ). x x = 0 0 Va detto che tale definizione è relativa a un concetto locale di continuità, legata a un solo punto del dominio. Qualora, invece, la funzione sia continua in tutti i punti di un dato intervallo, si dirà che essa è continua nell intero intervallo. Non esistono, quindi, funzioni continue o non continue in assoluto, bensì sempre in relazione a punti o intervalli. La funzione (1), ad esempio, non è continua nelle ascisse pari ai «mezzi voti», ma lo è, invece, in x = 3, 7, 5, ecc. Nel caso della funzione (1), la non coincidenza dei valori per il limite destro l 1 e sinistro l in punti ben definiti del dominio causa dei salti, pari proprio alla differenza l 1 l.. PROBLEMI DI RICEZIONE ( 1 ) Consideriamo ora un altra situazione. Stiamo guardando una partita di calcio in streaming e, proprio al termine di un azione, perdiamo il segnale video per un istante, dopo che l attaccante ha lanciato la palla verso la porta. Fortunatamente l immagine torna appena in tempo per mostrarci la palla che raggiunge la rete e quindi il gol segnato. ( 1 ) È doveroso indicare che lo spunto sull utilizzo della partita di calcio come esempio ci è stato fornito da un interessante articolo di Kalid Azad disponibile all indirizzo: 80
4 016 Archimede ARTICOLO Figura Fotogrammi di una partita di calcio. All istante 3:51 una perdita di segnale rende impossibile conoscere la posizione della palla Si può pensare di rappresentare la distanza della palla dalla porta in funzione del tempo (invitando i ragazzi a farlo), nell intervallo di tempo relativo alle immagini mostrate. Naturalmente, per tenere conto della perdita del segnale, all istante t 0 = 3 51 il grafico dovrà mostrare una discontinuità: bisognerà alzare la penna dal foglio per poi continuare a disegnare la curva. Figura 3 Grafico della funzione che esprime la distanza della palla dalla porta. All istante 3:51 la funzione non può essere definita a causa della perdita del segnale Un caso di questo tipo può essere riprodotto algebricamente, ad esempio, da una funzione del tipo: 15 5x + x gx ( ) = 3 x + 3 (5) 81
5 ARTICOLO Archimede 016 il cui grafico è mostrato in Figura 4. Figura 4 Grafico della funzione (5) Si chiede ai ragazzi, quindi, di confrontare il grafico di Figura 4 con quello di Figura 1. Sappiamo che in entrambi i casi i grafici non possono essere rappresentati da un tratto ininterrotto, tuttavia esiste una differenza importante. Nel grafico di Figura 1, i punti di salto, in cui era presente quindi una discontinuità, erano punti appartenenti al dominio della funzione. Nel caso di Figura 4, invece, l interruzione si ha in x = 3, punto che non appartiene al dominio di g(x), come chiaramen- te visibile dalla (5). È fondamentale sottolineare, qui, che g(x) è continua in tutto il suo dominio, nonostante esista un punto del grafico in cui dobbiamo alzare la penna dal foglio. Ciononostante x = 3 è un punto interessante da studiare in quanto esso è un punto di accumulazione per il dominio di g(x). Tale caratteristica, infatti, ci consente di capire il comportamento della funzione in un suo intorno attraverso lo studio dei limiti. Nel nostro caso scopriremmo che: lim gx ( ) = lim gx ( ) = + x 3 x (6) In questo caso quindi, il «buco» creato dalla non appartenenza di x = 3 al dominio può essere facilmente «riempito»: poiché i limiti destro e sinistro esistono finiti e sono coincidenti, la ridefinizione di una nuova funzione: 8
6 g(x) = 5x x x per x 3 Archimede (7) ARTICOLO 45 4 per x = 3 ci permetterà di raccordare i due bracci separati del grafico iniziale di g(x) ed estendere quindi la sua continuità anche nell ascissa problematica. Ritornando alla partita di calcio, un caso simile a quello appena trattato può essere quello in cui, invece della perdita di segnale, si abbia a un certo istante soltanto uno sfarfallio dell immagine, facendoci apparire per un breve istante la palla molto più vicina alla porta di quanto in realtà essa non sia veramente. Figura 5 Fotogrammi di una partita di calcio. All istante 3:51 il video ha uno sfarfallio Il grafico della distanza della palla dalla porta in funzione del tempo apparirebbe in questo caso come quello di Figura 6. Figura 6 Grafico della funzione che esprime la distanza della palla dalla porta. All istante 3:51 uno sfarfallio del video mostra la palla più vicina alla porta di quanto essa non sia in realtà 83
7 ARTICOLO Archimede 016 Anche in questo caso si può riprodurre algebricamente una situazione del genere considerando la funzione h(x) definita a tratti, il cui grafico è mostrato in Figura 7: 5x x h(x) = x + 3 per x 3 (8) 4 per x = 3 Figura 7 Grafico della funzione (8) Poiché sappiamo che la palla non può teletrasportarsi per un istante a una distanza dalla porta diversa da quella che prevederebbe la sua traiettoria, è chiaro l interesse nel cercare l estensione per continuità: gran parte dei fenomeni reali, infatti, sono continui ed è fondamentale avere padronanza degli strumenti che ci permettono di correggere i nostri modelli affinché anch essi risultino continui. Nel caso di (8), analogamente a quanto visto in precedenza, la funzione gx ( ) ci permette di sostituire h(x) con una funzione continua. 3. L IPERBOLE: UN CASO CANONICO L ultimo caso da prendere in considerazione è quello di una funzione ben nota agli studenti di liceo dell ultimo anno, vale a dire l iperbole equilatera di equazione xy = k. Nel disegnare il grafico di tale funzione, si è costretti a staccare la penna dal foglio nel punto x = 0, tuttavia esso non è compreso nel dominio della funzione. 84
8 016 Archimede Va ribadito ancora una volta, quindi, che l iperbole risulta continua in tutto il suo dominio, ma anche in questo caso, il punto x = 0 è punto di accumulazione. La sola variazione rispetto ai casi precedenti è che qui il calcolo dei limiti della funzione nel punto «problematico» dà luogo a valori infiniti. Avendo già completato lo studio dei limiti, gli studenti dovranno in tale situazione identificare la chiara firma della presenza di un asintoto verticale. ARTICOLO CONCLUSIONI A conclusione di questo viaggio tra continuità e discontinuità è doveroso tirare le somme dei casi visti e sintetizzare le conclusioni sulle tipologie di discontinuità. Quello che si è visto è che tutti i casi in cui, nel disegnare il grafico di una funzione, siamo costretti a staccare la penna dal foglio in corrispondenza di un certo punto x 0 sono riconducibili a due sole situazioni. Premesso di star trattando una funzione continua in tutti i punti di un intorno I di x 0, privato al più di x 0 : o x 0 appartiene al dominio ma in esso la funzione non è continua (funzioni (1) e (8)); o x 0 non appartiene al dominio, e quindi la funzione non vi è definita (funzioni (5) e y = k/x). Tali ascisse «particolari» possono essere definite punti di singolarità di una funzione. Luigi Squillante lu.squillante@gmail.com Sara Rutigliano rutiglianosara@gmail.com Andrea Minotti minotti.and@gmail.com 85
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