Scomposizione di un polinomio in fattori

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1 Scomposizione di un polinomio in fattori Scomporre in fattori primi un polinomio significa esprimerlo come il prodotto di due più polinomi non più scomponibili. Ad esempio x 2 9 = x 3) x + 3) }{{} fattore 1 fattore 2 a 2 x + aby + a 2 y + abx = a }{{} a + b) x + y) }{{} fattore 1 fattore 2 fattore 3 È bene vedere anche qualche esempio in cui in polinomio non si può considerare scomposto. Il seguente polinomio non si può considerare scomposto in fattori perché risulta la somma di due addendi x 3 + x 2 + x + 1 = x x 2 + x + 1 ) La scomposizione corretta è } {{ } addendo + 1 }{{}. addendo x 3 + x 2 + x + 1 = x + 2) x ) Nel seguente caso la scomposizione non è terminata perché uno dei fattori è ancora scomponibile 2ax 2 + x 2 6ax 3x = x 2 3x ) 2a + 1) }{{} ancora scomponibile La scomposizione terminata è 2ax 2 + x 2 6ax 3x = xx 3)2a + 1). Non tutti i polinomi sono scomponibili in fattori. Ad esempio il polinomio x non lo è. Ci sono anche polinomi scomponibili in fattori la cui scomposizione non è 1

2 2 fattibile con le tecniche elementari che imparerai in seguito. Ad esempio il polinomio x 3 + x + 1 è scomponibile, ma non sarai in grado di scomporlo. Tieni presente che tutti i polinomi di grado maggiore di 2 contenenti una sola lettera sono scomponibili nel prodotto di polinomi di primo o secondo grado. Da qui a riuscire a scomporli ce ne passa. Nelle sezioni successive imparerai le tecniche di scomposizione più comuni. Raccoglimento a fattore comune Quando in un polinomio esegui un raccoglimento a fattore comune devi determinare il massimo comun divisore tra tutti gli addendi del polinomio. Il massimo comun divisore lo calcoli, come hai sicuramente imparato alla scuola media, prendendo tutti i fattori comuni con il loro esponente minore. La presenza di lettere non complica le cose perché puoi considerare ogni lettera come un fattore primo. Segui i seguenti esempi e poi svolgi gli esercizi proposti. Esercizi Svolti 1 Scomponi il polinomio 3x x 2 6x 3. Il polinomio ha tre addendi: 3x 4, 12x 2 e 6x 3. I fattori comuni ai tre addendi sono il 3 e la x che ha 2 come esponente minore. Il loro massimo comun divisore è quindi 3x 2. Puoi vedere il tuo polinomio come il prodotto tra 3x 2 e un nuovo polinomio che ottieni dividendo tutti gli addendi per 3x 2 : passaggio da eseguire mentalmente 3x x 2 6x 3 = 3x 2 3x 4 : 3x 2) + 12x 3 : 3x 2) 6x 3 : 3x 2)] = = 3x 2 x x ) 2 Scomponi il polinomio 15a 2 b 3 20ab 2. Il massimo comun divisore dei due addendi è 5ab 2. Allora scriviamo questo passaggio per l ultima volta 15a 2 b 3 20ab 2 = 5ab 2 15a 2 b 3 : 5ab 2) 20ab 2 : 5ab 2)] = = 5ab 2 3ab 4)

3 3 3 Scomponi il polinomio 3a + 2b) 2 4a + 2b). Questo esempio ti servirà soprattutto nella prossima sezione quando imparerai il raccoglimento parziale. Consideri il polinomio come la somma di due addendi: 3a + 2b) 2 4a + 2b). }{{} addendo 1 addendo 2 I due addendi hanno in comune il fattore a + 2b) che puoi raccogliere 3a + 2b) 2 4a + 2b) = a + 2b) 3a + 2b) 4] = a + 2b)3a + 6b 4). Se hai capito il procedimento passa all esempio successivo, altrimenti cerca di pensare a a + 2b) come se fosse una lettera, ad esempio H, e segui il parallelo tra le due scomposizioni seguenti 3H 2 4H = H 3H 4) 3a + 2b) 2 4a + 2b) = a + 2b) 3a + 2b) 4] 4 Scomponi il polinomio 70x 2n 35x n 7x n+2. Se consideri n un numero naturale 0, 1, 2, 3,...), come dovrai sempre fare in questi esercizi, il massimo comun divisore tra i tre addendi è 7x n. Allora 70x 2n 35x n 7x n+2 = 7x n 10x n 5 7x 2). Se possibile, scomponi raccogliendo a fattore comune Negli esercizi in cui compaiono esponenti letterali le lettere possono assumere solo valori interi per cui gli esponenti risultino non negativi. 1 3a + 6, 10a + 20b 30c 3a + 2), 10a + 2b 3)] 2 2ax + 2a 3 4a 2, 15a 2 b a 3 b 2a x + a 2 2a ), 3a 2 b5b + 4a) ] 3 9ax 8x, 2ax + a + x x9a 8), non scomponibile] 4 x 5 + x 4 + x 3 y, xy 15x 2 y 2 x 3 x 2 + x + y ), xy1 15xy) ] 5 2ax 2 10a 2 x 4a 2a x 2 5ax 2 )]

4 4 6 6a 2 b 3a 3 b 9ab abc 3ab 2a a 2 3b + 5c )] 7 10x 3 5x 4 45x 2 y, x+100x 4 5x 2 2x + x 2 + 9y ), x x 3)] 8 30ab + 12a 2 b 2 18a 3 b 3, x 9 2x 8 6ab 5 + 2ab 3a 2 b 2), x 8 x 2) ] 9 32a 3 b 4 + 8a 3 b 3 c 16a 2 b 4 c 56a 3 b 4 c 8a 2 b 3 4ab + ac 2bc 7abc) ] 10 21x 2 + 3cx 3bx + 3ax 3x 7x + c b + a)] 11 19x x + 57y 20x 3 non scomponibile] x x 4 300x x 3 100x 2 10x 3 + x x )] 13 16a 2 c 2 + 4abc 2 12ac 3 + 4a 2 c 3 4ac 2 4a + b 3c + ac) ] 14 xa 3b) ya 3b) + a 3b) a 3b)x y + 1)] 15 2x + 3y) 2 a2x + 3y) + 32x + 3y) 2x + 3y)2x + 3y a + 3)] 16 ab + 2c) + abb + 2c) abcb + 2c) ab + 2c)1 + a bc)] 17 x y) 2 x 2 x y) 2 + x y) 3 x y) 2 1 x 2 + x y )] 18 a 3n a 2n+1 4a n, x n y n x n 1 a n a 2n a n+1 4 ), x n 1 xy n 1) ] 19 2x 3n + 4x 5n 6x 4n 2x 3n 1 + 2x 2n 3x 2n)] 20 nx 2n n 2 x n, 2x n 2 + x 2n nx n x n n), x n x n+2)] 21 a n+2 + a 2n+3 a 3n+1 a n+1 a n+1 a + a n+2 a 2n 1 )] 22 a n+1 + a 2n + a 2n+2 + a n a n a + a n + a n )] Raccoglimento parziale Cerca di comprendere i seguenti esercizi svolti. Esercizi Svolti 5 Scomponi il polinomio ax + bx + 2a + 2b.

5 5 I quattro addendi non hanno fattori in comune, però puoi raccogliere il fattore x nei primi due e il fattore 2 nei successivi. Ottieni ax + bx + 2a + 2b = xa + b) + 2a + b). }{{} raccogli x raccogli 2 A questo punto procedi come nell esempio 3 di pagina 2, cioè raccogli a + b). Alla fine ottieni ax + bx + 2a + 2b = xa + b) + 2a + b) = a + b)x + 2). Puoi svolgere l esercizio anche raccogliendo a nel primo e nel terzo termine e b nel secondo e nel quarto. Poi raccogli x + 2): ax + bx + 2a + 2b = ax + 2) + bx + 2) = x + 2)a + b). Ovviamente il risultato è lo stesso. 6 Scomponi il polinomio a + 2a 2 3b 6ab. Raccogli a nei primi due termini, raccogli 3b nel terzo e nel quarto a + 2a 2 3b 6ab = a1 + 2a) + 3b 1 2a). A questo punto le due parentesi non contengono la stessa espressione, quindi non potresti procedere nel raccoglimento. Ma l unica differenza che c è tra 1 + 2a e 1 2a è il segno. Se nel terzo e nel quarto termine raccogli 3b al posto di 3b la differenza sparisce a + 2a }{{} 2 3b 6ab = a1 + 2a) 3b1 + 2a) = 1 + 2a)a 3b). }{{} raccogli a raccogli 3b Puoi anche svolgere l esercizio raccogliendo 1 nel primo e nel terzo addendo e raccogliendo 2a nel secondo e nel quarto. Provaci. 7 Scomponi il polinomio 2ax 2 bx 2 6axy + 3bxy. La prima cosa che devi fare quando scomponi un polinomio è controllare se c è la possibilità di un raccoglimento comune. In questo caso i quattro addendi hanno in comune il fattore x. Lo raccogli, poi procedi col

6 6 raccoglimento parziale: raccogli 3y 2ax 2 bx 2 6axy + 3bxy = x raccogli x 2ax bx 6ay + 3by ) = = x x2a b) 3y2a b)] = = x2a b)x 3y) 8 Scomponi il polinomio a 1+n ax + a n x n x 1+n. Raccogli a nel primo e nel secondo addendo, raccogli x n negli altri due. Ottieni a 1+n ax + a n x n x 1+n = a a n x) + x n a n x) = a n x) a + x n ). Esercizi sul raccoglimento parziale Nei seguenti esercizi può essere necessario utilizzare, oltre al raccoglimento parziale, anche quello comune. 23 ab 2bx + ay 2xy a 2x)b + y)] 24 a 3 + a 2 + a + 1 a ) a + 1) ] 25 a 3 + a 2 7a 7 a + 1) a 2 7 )] 26 a 2 + 2at 3ax 6tx a + 2t)a 3x)] 27 x 3 + 9y 3 + 3xy + 3x 2 y 2 x 2 + 3y ) x + 3y 2)] 28 a 2 + a 3 + 3ax ab a 2 b 3bx a b) a + a 2 + 3x )] 29 2t 4 6t 3 x + tx 2 3x 3 t 3x) 2t 3 + x 2)] 30 2a + 4b ab 3 2b 4 a + 2b) 2 b 3 )] 31 6ab 21ay 2by + 7y 2 2b 7y)3a y)] 32 2a 2 b 2ab 2 + ax 2 bx 2 )] a b) 2ab + x 2 33 abx ax + ab + b a 1 b 1)ax + a + 1)] 34 a n+1 + ab a n b b 2 a b) a n + b)]

7 7 35 2x 2 y + 2x 3 y 4xy 2 4x 2 y 2 2xyx 2y)x + 1)] 36 m 2 n + 2mn 10m 2 20m mm + 2)n 10)] 37 2at 5 2at 4 + 2t 2 2t 2t at ) t 1) ] 38 90a 3 x + 3a 3 y 15a 2 xy 18a 4 3a 2 a 5x)y 6a) ] 39 n n+1 + 3nx n n x n 3x n+1 n x n ) x n + 3x)] 40 5a 4 15a 3 10a a 5a a 2 2 ) a 3) ] a + b + ab + c + ac + bc + abc a + 1)b + 1)c + 1)] 42 3ax 7x 2 + 3ay 7xy 3a 7x)x + y)] 43 2a 2 b + 4ab 6b 4a 2 8a a 2 + 2a 3 ) b 2) ] 44 a 2n+3 + 3a n+2 5a n+1 15 a n ) a n+2 5 )] 45 n n+1 x + n 2 x + nx + n n + n + 1 n n n ) nx + 1)] 46 2x n+1 y 4x n y x n+1 + 2x n x n x 2)2y 1)] 47 t n+4 nt n+3 + nt n+2 n 2 t n+1 t n+1 t n) n + t 2)] Differenza di quadrati Imparando i prodotti notevoli hai già incontrato la formula A + B)A B) = A 2 B 2 che ti consente di velocizzare i calcoli in alcune situazioni. Nella scomposizione utilizzerai questa formula al contrario, cioè partendo dalla differenza di due quadrati dovrai risalire al prodotto di due polinomi: uno dato dalla somma di due monomi, l altro dalla differenza degli stessi binomi. Utilizzerai quindi la seguente Regola Segui i seguenti esercizi svolti. A 2 B 2 = A + B)A B)

8 8 Esercizi Svolti 9 Scomponi il polinomio 4y Il polinomio è la differenza di due quadrati: 4y 2 che è il quadrato di 2y e 25 che è il quadrato di y. Allora 4y 2 25 = 2y ) 2 5 ) 2 = 2y + 5)2y + 5) }{{} A 2 B 2 A+B A+B 10 Scomponi il polinomio Hai 81a a 4 16 = 9a 2) 2 4) 2 = 9a ) A 2 B {}} 2 { 9a 2 4 ) = = 9a ) 3a + 2)3a 2). 11 Scomponi il polinomio 4a 3 at 2. Prima devi eseguire un raccoglimento comune 4a 3 at 2 = a 4a 2 t }{{} 2 ) = a2a t)2a + t). A 2 B 2 12 Scomponi il polinomio 3a + b) 2 9x 2. Il primo quadrato non è il quadrato di un monomio, ma non ha importanza, puoi comunque applicare la formula: 3a + b) 2 9x 2 = 3a + b }{{} 3x )3a + b + }{{} 3x ). A 2 B 2 A B A B 13 Scomponi il polinomio Hai b 2n+4 a 4n. b 2n+4 a 4n = b n+2) 2 a 2n ) 2 = b n+2 a 2n) b n+2 + a 2n).

9 9 14 Scomponi il polinomio 3x + 4) 2 a 3b) 2. Hai la differenza di due quadrati di binomio: A {}} 2 B {{}} 2 { 3x + 4) 2 a 3b) 2 = A B 3x + 4) + a 3b) ] A B 3x + 4) a 3b) ] = Adesso prova tu. = 3x a 3b)3x + 4 a + 3b). Scomponi utilizzando la formula A 2 B 2 = A B)A + B) 48 1 a 2, 4b a)1 + a), 2b 3)2b + 3)] 49 1 ) ) x2 100, x x 10 2 x + 10, x 1)x + 1) x )] 50 25a 2 b 2 16, 36a 4 49b 2 5ab 4)5ab + 4), 6a 2 7b ) 6a 2 + 7b )] a4 b 2, 1 b 2n 52 25a 10 9a 8, 121a ) 5 ) ] 4 3a2 b 4 + 3a2 b, 1 b n ) 1 + b n ) 5a 5 3a 4) 5a 5 + 3a 4), 11a 1)11a + 1) ] a 6, a b 4 3a 3 2 ) 3a ), 5b 2 a ) 5b 2 + a )] 54 a 2 b 6 81, 4x 2 y2 4 ab 3 9 ) ab ), 2x y ) 2x + y )] a 4 16b 4 3a 2b)3a + 2b) 9a 2 + 4b 2)] 56 a + 4b) 2 1 a + 4b 1)a + 4b + 1)] 57 3x y) 2 4z 4 3x y 2z 2 ) 3x y + 2z 2)] 58 16b 2 2x 3) 2 4b 2x + 3)4b + 2x 3)] 59 x 2 x ) 2 x x 2 3 ) x + x )] 60 a + 2b) 2 3c + d) 2 a + 2b + 3c + d)a + 2b 3c d)] 61 x 2 + 2x ) 2 x 3 a ) 2 x 2 + 2x x 3 + a ) x 2 + 2x + x 3 a )]

10 10 Scomponi applicando le tecniche viste finora 62 4x 3 x, ab 4 a 5 x2x 1)2x + 1), ab a)b + a) b 2 + a 2)] 63 3a 3 27ax 2, 2x 2 y 2 50y 4 3aa 3x)a + 3x), 2y 2 x + 5y)x 5y) ] 64 12a 3 27a, a 2n 9 3a2a + 3)2a 3), a n 3) a n + 3)] 65 x 5 81x, x+ x5 xx 3)x + 3) x ) ) )] x 2 x 2, x bx 2 + a 2 x 2 8b 4a 2 x 2)x + 2) a 2 + 2b )] 67 2x 5 + 2ax 3 8x 3 8ax 2xx 2)x + 2) x 2 + a )] 68 16a 2 x 2 4x 2 36a x 3)2x + 3)2a 1)2a + 1)] a 5 75a, 25x n x n+2 3a 7a ) 7a 2 5 ), x n 5 x)5 + x) ] 70 x 3 y 2 + x 2 y 2 9x 9 x + 1)xy 3)xy + 3)] 71 a 3 b 3 + 2a 2 b 2 9ab 18 ab + 2)ab 3)ab + 3)] 72 a n+3 b n a 3 b n 6a n+3 + 6a 3 a 3 a n 1) b n 6) ] 73 xa + 6b) 2 x 3 xa + 6b + x)a + 6b x)] 74 64a 5 x 2 16a 3 x a 3 x 5 12ax 7 4ax 2 2a x)2a + x) 4a 2 + 3x 3)] Quadrato di un binomio Hai già utilizzato la formula A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 per calcolare il quadrato di un binomio. Adesso devi imparare a riconoscere quando un polinomio di tre termini è il quadrato di un binomio. Utilizzerai la seguente Regola Inizia seguendo i seguenti esempi. A 2 + 2AB + B 2 = A + B) 2

11 11 Esercizi Svolti 15 Scomponi il polinomio 4x x. Se il polinomio è il quadrato di un binomio due dei suoi addendi devono essere dei quadrati. In questo caso hai 4x 2 = 2x) 2, 1 = 1 2. Calcoli il doppio prodotto delle basi dei due quadrati 2 2x 1 = 4x e come risultato ottieni il terzo addendo del polinomio. Adesso sei sicuro che il polinomio sia il quadrato di un binomio. Devi solo stabilire se è il quadrato di 2x + 1 o di 2x 1. Dal momento che il doppio prodotto 4x è preceduto dal segno + hai il quadrato di 2x + 1, cioè 4x x = 2x + 1) Scomponi il polinomio 4x x. L unica differenza con l esempio precedente è che il doppio prodotto 4x è preceduto dal segno. Allora il polinomio è il quadrato di 2x 1: 4x x = 2x 1) 2 17 Scomponi il polinomio Cerchi i due quadrati 9a ab 2 + 4b 4. calcoli il doppio prodotto di 3a e 2b 2 9a 2 = 3a) 2, 4b 4 = 2b 2) 2, 2 3a 2b 2 = 12ab 2 e osservi che il risultato 12ab 2 è il rimanente termine del polinomio che devi scomporre. Allora il polinomio è il quadrato di un binomio: 9a ab 2 + 4b 4 = 3a + 2b 2) 2.

12 12 18 Scomponi il polinomio 4a 2n+4 20a n I due quadrati sono 4a 2n+4 = 2a n+2) 2, 25 = 5 2, il doppio prodotto di 2a n+2 e 5 è 2 2a n+2 5 = 20a n+2 ed è presente nel polinomio che devi scomporre. Allora 4a 2n+4 20a n = 2a n+2 5 ) 2. Adesso esercitati. Scomponi utilizzando la formula A 2 + 2AB + B 2 = A + B) x 2 + 4xy + y 2, 1 + 9a 2 b 2 + 6ab 2x + y) 2, 1 + 3ab) 2] 76 25z a 2 60az, 14x x 2 6a 5z) 2, 7x + 1) 2] 77 40ab a b 4, 4a a 3 b b 4 4a + 5b 2 ) 2, 2a 3 + 7b 2) 2 ] a 2 b ab 3, a 14 14a a t2 + 4at, 2ax a2 x t + 4a ) 2, 12ab ) 2, a 2 7 ) 2 ] ) ] ax x2 xy y2, 4x x x 3 4 y ) 2, 2 + x 2) x2 y 18 + x4 y 2 81, 49 4 a4 7a 2 x + x ) 2 9 x2 y, x 72 ) ] 2 a2 82 a 2n +2a n b 2n +b 4n, x 6 +a 2n 1 +2a n 1 x 3 a n + b 2n) 2, x 3 + a n 1) 2 ] 83 n 2 a 2n 4na n b n + 4b 2n na n 2b n ) 2] ]

13 x2n 2 nx n 1 + n 2 x n 1 2 ) 2 ] n 13 Esercizi Svolti 19 Scomponi il polinomio 16a a 2. Hai 16a 4 = 4a 2) 2 e 81 = 9 2. Inoltre 2 4a 2 9 = 72a 2 è il rimanente addendo del tuo polinomio ed è preceduto dal segno. Quindi 16a a 2 = 4a 2 9 ) 2. Non hai finito di scomporre perché 4a 2 9 è una differenza di quadrati, quindi 16a a 2 = 4a 2 9 ) 2 = 2a 3) 2 2a + 3) Scomponi il polinomio 4x 3 4ax 2 + a 2 x. Raccogli x e ti rimane il quadrato di un binomio, 21 Scomponi il polinomio 4x 3 4ax 2 + a 2 x = x 4x 2 4ax + a 2) = x2x a) 2 }{{} quadrato di binomio 16a 2 9b 2 + 8a + 1. Il primo, il terzo e il quarto addendo sono il quadrato di 4a + 1. Quindi 16a 2 9b 2 + 8a + 1 = quadrato di binomio differenza di quadrati 16a 2 + 8a + 1 9b 2 = 4a + 1) 2 9b 2 = = 4a + 1 3b)4a b). 22 Scomponi il polinomio 2x x 2 + y 2 1.

14 14 Hai 2x x 2 + y 2 1 = y 2 quadrato di binomio { }}{ x 2 2x + 1 ) differenza di quadrati = y 2 x 1) 2 = = y 2x 1)] y + 2x 1)] = y 2x + 1)y + 2x 1). Scomponi utilizzando le tecniche viste finora 85 x x x, 18a 3 b 12a 2 b 2 + 2ab 3 xx + 6) 2, 2ab3a b) 2] 86 4x 5 + 4x 4 y + x 3 y 2, 3a y 2 30a 3 y x 3 2x + y) 2, 3 a 3 5y ) 2 ] 87 25x n 20x n+1 + 4x n+2 x n 2x 5) 2] 88 25x 2 20x n+2 + 4x 2n+2 x 2 2x n 5) 2] 89 a 4 2a 2 b 4 + b 8, x 4 6x 3 + 9x 2 a b 2 ) 2 a + b 2 ) 2, x 2 x 3) 2 ] t 216t t 5 3t2t + 3) 2 2t 3) 2] 91 x 4 y 4 + 2x x 2 y 2) 1 + x 2 + y 2)] 92 2ax + 9 x 2 a 2 3 a + x)) 3 + a x)] 93 2a b + 12ax 6bx + 18ax 2 9bx 2 ] 2a b)3x + 1) a 2 2ab b 2 + 4x + x x + a + b)2 + x a b)] 95 a 2 + 6ab + 9b 2 + ax + 3bx a + 3b)a + 3b + x)] 96 x 2 2xy + y 2 + x 3 xy 2 x y) x + x 2 y + xy )] 97 a 2 + 4a 3 + 4a 4 b 2 4ab 2 4a 2 b 2 a b)a + b)2a + 1) 2 ] 98 x 9 + xy 8 2x 5 y 4 xx y) 2 x + y) 2 x 2 + y 2) 2 ] Cubo di un binomio Hai già utilizzato la formula A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3

15 15 per calcolare il cubo di un binomio. Adesso devi imparare a riconoscere quando un polinomio di quattro termini è il cubo di un binomio. Utilizzerai la seguente Regola Segui gli esercizi svolti per imparare. Esercizi Svolti 23 Scomponi il polinomio A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 = A + B) 3 x x x. Per stabilire se un polinomio di 4 addendi è il cubo di un binomio devi prima di tutto cercare i due cubi, che nella formula sono rappresentati da A 3 e B 3. Nel polinomio i due cubi sono x 3 che è il cubo di x e 8 che è il cubo di 2. Adesso devi controllare che i due rimanenti termini coincidano con i tripli prodotti 3A 2 B e 3AB 2 che compaiono nella formula del cubo di un binomio. Se intendi x al posto di A e 2 al posto di B hai 3 x 2 2 }{{} 3A 2 B = 6x 2, 3 x 2 2 }{{} 3AB 2 = 12x. Sia 6x 2 che 12x sono presenti nel polinomio che è quindi il cubo di x + 2: x x x = x + 2) 3 24 Scomponi il polinomio I due cubi sono Calcoli i tripli prodotti 27a 6 27a 4 + 9a a 6 = 3a 2) 3, 1 = 1) a 2) 2 1) = 27a 4, 3 3a 2 1) 2 = 9a 2 e osservi che sono i rimanenti termini del polinomio che quindi è il cubo di 3a 2 1: 27a 6 27a 4 + 9a 2 1 = 3a 2 1 ) 3.

16 16 25 Scomponi il polinomio 8a 3n a 2n+4 b + 6a n+2 b 2 + b 3. I due cubi sono Calcoli i tripli prodotti 8a 3n+6 = 2a n+2) 3, b a 2n+4) 2 b = 12a 2n+4 b, 3 2a n+2 b 2 = 6a n+2 b 2 e osservi che sono i rimanenti termini del polinomio che quindi è il cubo di 2a n+2 + b: Esercitati. 8a 3n a 2n+4 b + 6a n+2 b 2 + b 3 = 2a n+2 + b ) 3. Scomponi utilizzando la formula A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 = A + B) x x 2 y + 54xy y 3 2x + 3y) 3 ] a 6 + y a 4 y + 9a 2 y 2 3a 2 + y ) 3 ] ax 75a 2 x a 3 x 3 5ax a) 3 ] a a2 + a a ) 3 ] xy x 3 48x 2 y 3 y 9 4x y 3 ) 3 ] 104 s 3 + 6s 2 t + 12st 2 + 8t 3 2t + s) 3 ] 105 8t 3 12st 2 + 6s 2 t s 3 2t s) 3 ] a 4 + 9a ) ] 3 27 a6 3 a a 3 b 6 30a 2 b ab ab 2 10 ) 3 ] 108 a a 4 b a 2 b b 12 a 2 + 6b 4) 3 ]

17 x9 3 ) ] 3 2 x6 y + 6x 3 y 2 8y 3 2 x3 2y x x x x ) 3 ] 111 a 6n + 3a 4n b + 3a 2n b 2 + b 3 a 2n + b ) 3 ] a 3n 27na 2n + 9n 2 a n n 3 3a n n) 3] 113 m 3n + 3m 2n n m + 3m n n 2m + n 3m m n + n m ) 3] Nei seguenti esercizi oltre al cubo di un binomio sarà necessario applicare anche altre tecniche di scomposizione. Esercizi Svolti 114 Scomponi il polinomio 16x 4 24ax a 2 x 2 2a 3 x. Raccogli 2x e ti rimane il cubo di un binomio 16x 4 24ax 3 +12a 2 x 2 2a 3 x = 2x 8x 3 12ax 2 + 6a 2 x a 3) = 2x2x a) 3. }{{} cubo di binomio 115 Scomponi il polinomio x 7 12x x 3 64x. Racogli x e rimane il cubo di un binomio la cui base è una differenza di quadrati diff. quad. cubo di binomio { x 7 12x x 3 }}{ 64x = x x 6 12x x 2 64 ) = x x 2 4 ) 3 = = xx 2) 3 x + 2) Scomponi il polinomio x 3 + 3x 2 + 3x ax 2 + 2ax + a.

18 18 I primi quattro termini sono il cubo di un binomio, nei rimanenti tre termini raccogli a quad. di binomio cubo di binomio { x 3 + 3x 2 + 3x ax 2 + 2ax + a = x 3 + 3x 2 }}{ + 3x + 1 +a x 2 + 2x + 1 ) = = x + 1) 3 + ax + 1) 2 }{{} raccogli x+1) 2 = x + 1) 2 x a) Scomponi utilizzando le tecniche viste finora x + 54x x 5 + 2x 7 2x 3 + x 2) 3 ] 118 a 4 b 3a 3 b 2 + 3a 2 b 3 ab 4 aba b) 3 ] 119 8x n x n+2 + 6x n+3 + x n+4 x n x) 3] 120 a 2 3a 3 x + 3a 4 x 2 a 5 x 3 a 2 1 ax) 3] 121 x 2 +3ax 2 +3a 2 x 2 +a 3 x a 12a 2 4a 3 x 2)x + 2)a + 1) 3 ] 122 2a 3n+1 + 6a 2n+1 + 6a n+1 + 2a 2a a n + 1) 3] 123 x 12 3x 8 y 4 + 3x 4 y 8 y 12 x y) 3 x + y) 3 x 2 + y 2) 3 ] 124 4a 2 + 8a 3 + 4ab 12a 2 b b 2 + 6ab 2 b 3 2a b) 2 2a b 1) ] Differenza e somma di cubi In questa sezione imparerai a scomporre un polinomio del tipo A 3 B 3 differenza di cubi A 3 + B 3 somma di cubi Parti da A 3 B 3. Hai A 3 B 3 = A 3 A 2 B + A 2 B AB 2 + AB 2 B 3 = = A 2 A B) + ABA B) + B 2 A B) = = A B) A 2 + AB + B 2).

19 19 Per quanto riguarda A 3 + B 3 hai A 3 + B 3 = A 3 + A 2 B A 2 B AB 2 + AB 2 + B 3 = = A 2 A + B) ABA + B) + B 2 A + B) = = A + B) A 2 AB + B 2). Hai quindi dimostrato la seguente regola Regola Differenza di cubi A 3 B 3 = A B) A 2 + AB + B 2) Somma di cubi A 3 + B 3 = A + B) A 2 AB + B 2) Esercizi Svolti 26 Scomponi il polinomio 8x 3 y 3. Hai la differenza di due cubi: 8x 3 è il cubo di 2x, y 3 è il cubo di y. Quindi, seguendo la formula della differenza di cubi, hai A B A B A 2 +AB+B 2 8x 3 y 3 = 2x ) 3 y ) 3 = 2x y) 4x 2 + 2xy + y 2 ). 27 Scomponi il polinomio 27x 3 + y 6. Hai la somma di due cubi: 27x 3 è il cubo di 3x, y 6 è il cubo di y 2. Segui la formula per la somma di cubi e ottieni A B A+B A 2 AB+B 2 27x 3 + y 6 = 3x ) 3 + y 2 ) 3 = 3x + y 2 ) 9x 2 3xy + y 2 ). 28 Scomponi il polinomio a 3n 1. Si tratta di una differenza di cubi: a 3n è il cubo di a n e 1 è il cubo di 1. Hai a 3n 1 = a n 1) a 2n + a n + 1 ) Adesso provi tu.

20 20 Scomponi le seguenti somme o differenze di cubi x 3 1, x x 1) 16x 2 + 4x + 1 ), x + 1) x 2 x + 1 )] 126 x 3 + 8y 9 x + 2y 3 ) x 2 2xy 3 + y 6)] x x3 + 8y a 3 b x x 2 2 ) 25x x )] ) x + 2y 9 x2 2 )] xy + 4y2 3 ab ) a 2 b 4 2ab )] 10x 3) 100x x + 9 )] 131 a 3n + b 6m a n + b 2m) a 2m a n b 2m + b 4m)] 132 n b x6 27 n + 25 b ) n bn b2 )] ) )] x2 3 9 x4 + 2x a 3n+3 + b 3 a n+1 + b ) a 2n+2 a n+1 b + b 2)] a 3 125b 3 6a 5b) 36a ab + 25b 2)] Esercizi Svolti 29 Scomponi il polinomio 2a 4 16a. Raccogli 2a e ti rimane una differenza di cubi 2a 4 16a = 2a a 3 8 ) = 2aa 2) a 2 + 2a + 4 ). 30 Scomponi il polinomio 16a a 3 2a 3.

21 21 Cominci con un raccoglimento parziale: 16a a 3 2a 3 = 8a 3 2a + 3) 12a + 3) = 2a + 3) diff. cubi 8a 3 1 ) = = 2a + 3)2a 1) 4a 2 + 2a + 1 ). 31 Scomponi il polinomio x Il polinomio è sia una differenza di cubi che una differenza di quadrati. Ti conviene iniziare scomponendolo come una differenza di quadrati: x 6 64 = diff. cubi x 3 8 ) somma cubi x ) = = x 2) x 2 + 2x + 4 ) x + 2) x 2 2x + 4 ). 32 Scomponi il polinomio x 3 + x 2 + y 3 y 2. Hai una somma di cubi e una differenza di quadrati: x 3 + y 3 + x 2 y 2 = raccogli x+y) x + y) x 2 xy + y 2) + x + y)x y) = = x + y) x 2 xy + y 2 + x y ). 33 Scomponi il polinomio Inizi raccogliendo x: 64x 7 16x 4 + x. 64x 7 16x 4 + x = x quadrato binomio 64x 6 16x ) = x diff. cubi 8x 3 1 ) 2 = = x2x 1) 2 4x 2 + 2x + 1 ) 2. Scomponi utilizzando le tecniche viste finora 136 t 5 t 2, t 4 + t t 2 t 1) t 2 + t + 1 ), tt + 1) t 2 t + 1 )] 137 a 9 + 3a 6 + 3a a + 1) 3 a 2 a + 1 ) ] 3

22 x 5 4x 3 + x 2 4 x + 2)x 2)x + 1) x 2 x + 1 )] 139 2x 7 4x 4 y 3 + 2xy 6 2xx y) 2 x 2 + xy + y 2) 2 ] 140 8a ab b 2a 1) 4a 2 + 2a b )] x b 6 10 x + 3b 2 ) x 2 3b 2 x + 9b 4)] 142 a 6 4a 4 8a a 143 x 3 y 3 + y 3 27x a 9 b 6a 6 b + 6a 3 b 2b aa 2) 2 a + 2) a 2 + 2a + 4 )] x + 1) x 2 x + 1 ) y 3) y 2 + 3y + 9 )] 2ba 1) 3 a 2 + a + 1 ) 3 ] 145 a 6 b 6 a b)a + b) a 2 + ab + b 2) a 2 ab + b 2)] 146 a 7 + ab 6 a a 2 + b 2) a 4 a 2 b 2 + b 4)] 147 a 3 b 3 + 8b 3 8a 3 64 a + 2) a 2 2a + 4 ) b 2) b 2 + 2b + 4 )] Trinomio particolare In questa sezione imparerai a scomporre, quando possibile, un trinomio di secondo grado Ax 2 + Bx + C che non sia il quadrato di un binomio. Prima vedrai come si scompone il trinomio seguendo gli esercizi svolti e ricavando da questi una regola. Esercizi Svolti 34 Scomponi il polinomio 6x 2 + 7x + 2. Devi cercare due numeri che moltiplicati diano 6 2 = 12 e sommati diano 7. I due numeri sono 3 e 4 e li utilizzi per scrivere il polinomio nel seguente modo 7x 6x 2 + 7x + 2 = 6x 2 + 3x + 4x +2. Adesso esegui un raccoglimento parziale 6x 2 + 3x + 4x + 2 = 3x2x + 1) + 22x + 1) = 2x + 1)3x + 2), Quindi 6x 2 + 7x + 2 = 2x + 1)3x + 2).

23 23 35 Scomponi il polinomio 10x 2 3x 1. Devi cercare due numeri che moltiplicati diano 10 1) = 10 e sommati diano 3. I due numeri sono 5 e 2. Procedi come nell esempio precedente: 3x 10x 2 3x 1 = 10x 2 5x + 2x 1 = 5x2x 1) + 12x 1) = = 2x 1)5x + 1). 36 Scomponi il polinomio a 2 + 3a 28. Devi cercare due numeri che moltiplicati diano 1 28) = 28 e sommati diano 3. I due numeri sono 7 e 4. Allora 3a a 2 + 3a 28 = a 2 + 7a 4a 28 = aa + 7) 4a + 7) = = a + 7)a 4) In questo caso i due numeri che hai trovato, 7 e 4, compaiono direttamente nel risultato della scomposizione: a + 7)a 4). Ciò accade sempre quando il coefficiente del termine di secondo grado è uguale a 1. In questi casi puoi scrivere direttamente la scomposizione come vedi nel seguente esempio. 37 Scomponi i polinomi t 2 6t + 8, y y 12. Nel primo polinomio cerchi due numeri che moltiplicati diano 8 e sommati diano 6. I due numeri sono 2 e 4, il coefficiente di t 2 è 1 e quindi scrivi subito la scomposizione t 2 6t + 8 = t 2)t 4). Nel secondo polinomio cerchi due numeri che moltiplicati diano 12 e sommati 11. Sono 12 e 1, il coefficiente di y 2 è 1 e quindi scrivi subito la scomposizione y y 12 = y + 12)y 1). 38 Scomponi il polinomio 3a ab + 8b 2.

24 24 Cerchi due termini che moltiplicati diano 3 8b 2 = 24b 2 e sommati 10b. Sono 6b e 4b. Allora 10ab 3a ab + 8b 2 = 3a 2 + 6ab + 4ab +8b 2 = = 3aa + 2b) + 4ba + 2b) = a + 2b)3a + 4b). 39 Scomponi il polinomio 4t 4 5t 2 6. Cerchi due numeri che moltiplicati diano 4 6) = 24 e sommati 5, che sono 8 e 3. Allora 5t 2 4t 4 5t 2 6 = 4t 4 8t 2 + 3t 2 6 = = 4t 2 t 2 2 ) + 3 t 2 2 ) = t 2 2 ) 4t ). Dagli esercizi svolti dovresti aver capito che vale la seguente Regola Il polinomio Ax 2 + Bx + C è scomponibile se riesci a trovare due numeri u e v il cui prodotto è AC e la cui somma è B, cioè uv = AC e u + v = B. Per scomporre procedi così: scrivi il polinomio come e poi fai il raccoglimento parziale; Ax 2 + Bx + C = Ax 2 + ux + vx + C nel caso in cui A = 1 puoi scrivere direttamente il risultato della scomposizione Ax 2 + Bx + C = x + u)x + v). La dimostrazione facoltativa) della regola è alla fine della sezione. Adesso esercitati. Scomponi i seguenti trinomi 148 2a 2 + 3a 5, 3b b a + 5)a 1), b + 3)3b + 4)] 149 a 2 + 8a + 7, 6x 2 + 5x 6 a + 7)a + 1), 2a + 3)3a 2)] 150 4x 2 13x + 10, 10x 2 7x 3 4x 5)x 2), 10x + 3)x 1)]

25 t 2 5t 1, t 2 + 5t 24 8t + 1)3t 1), t 3)t + 8)] ab) 2 + 9ab 18, v 2 4u + 3 ab + 6)2ab 3), v 1)v 3)] 153 x 2 y xy + 56, u 2 + 3u + 2 xy + 7)xy + 8), u + 1)u + 2)] 154 2a 4 + a 2 1, x 6 x 3 6 a ) 2a 2 1 ), x ) x 3 3 )] 155 y 2 y 72, 72y 2 + y 1 y + 8)y 9), 8y + 1)9y 1)] 156 8a a + 5, 9s 2 9s + 2 4a + 5)2a + 1), 3s 1)3s 2)] 157 a 2 + ab 6b 2, 2x 6 + 9x 3 18 a + 3b)a 2b), x ) 2x 3 3 )] Esercizi Svolti 40 Scomponi il polinomio x x x. Raccogli x e ti rimane un trinomio particolare x x x = x x x + 10 ) = xx + 1)x + 10). 41 Scomponi il polinomio 4x 4 17x Cerchi due numeri che moltiplicati diano 16 e sommati 17. Sono 1 e 16. Ottieni 4x 4 17x = 4x 4 x 2 16x = x 2 4x 2 1 ) 4 4x 2 1 ) = 42 Scomponi il polinomio = 4x 2 1)x 2 4) = 2x 1)2x + 1)x 2)x + 2). }{{} differenze di quadrati t 2 at t + 2a 2. Il polinomio ha 5 addendi, tre dei quali costituiscono un trinomio particolare. Nei rimanenti due raccogli la a: trinomio t 2 t 2 raccogli a at + 2a = raccogli t 2 t 2)t + 1) at 2) = t 2)t + 1 a).

26 26 43 Scomponi il polinomio Fai un raccoglimento parziale a 2 x 2 4b 2 x 2 + 4b 2 x a 2 x + 24b 2 6a 2. a 2 x 2 a 2 x 6a 2 4b 2 x 2 + 4b 2 x + 24b 2 = = a 2 x 2 x 6 ) 4b 2 x 2 x 6 ) = = x 2 x 6 ) a 2 4b 2) = x 3)x + 2)a 2b)a + 2b) }{{} trinomio diff. quad. Scomponi applicando le tecniche viste finora 158 3a 3 27a 2 +42a, 4x 2 y+2xy 2y 3aa 2)a 7), 2y2x 1)x + 1)] 159 4t 4 +2t 3 20t 2, a 2 x 15x+14ax 2t 2 2t + 5)t 2), xa 1)a + 15) ] 160 4b 5 14b 3 8b 2bb 2)b + 2) 2b )] 161 7x 5 28x x 7xx 1)x + 1) x )] 162 2y 2 y 3 3c + 2cy 2y 3)y c] 163 x 6 + 7x 3 8 x 1)x + 2) x 2 2x + 4 ) x 2 + x + 1 )] 164 6ab a 2 b + 56ab 2ab3a + 7)a + 4)] x3 + 3x 2 + 4x = 1 2 x x 2 + 6x + 8 ) =... ] 1 xx + 2)x + 4) x3 3x 2 + 6x ] 1 xx 6)x 3) bc 2 + ac 2 + 2bc + ac 24b 12a a + 2b)c 3)c + 4)] 168 9x 5 13x 3 + 4x xx 1)x + 1)3x 2)3x + 2)] 169 x ax 2 + 3ax 4a x 1)1 + 4a + x + ax)] 170 6a a 2 x 12ax 2 2aa + 3x)3a 2x)] A questo punto, se ti interessa, segui la dimostrazione della regola di pagina 24. Se non ti interessa passa alla successiva sezione ma vergognati!).

27 27 Ti servirà ricordare che il massimo comun divisore di due numeri interi m e n, che indichi con MCD m, n) è i più grande numero naturale che divide sia m che n. Ad esempio MCD 18, 24) = 6, MCD 18, 35) = 1. Due numeri interi m e n si dicono primi tra loro se non hanno divisori in comune, cioè se il loro massimo comun divisore è 1. Osserva che se due numeri sono primi tra loro non è detto che siano numeri primi. Ad esempio 18 e 35 sono primi tra loro perché non hanno fattori in comune, ma non sono numeri primi. Se M è il massimo comun divisore di due numeri interi a e b, allora sia a che b sono divisibili per M, cioè esistono due numeri interi n a e n b tali che I due numeri n a e n b sono primi tra loro. a = n a M, b = n b M. Dimostrazione della regola di pagina 24. Nel polinomio Ax 2 + Bx + C puoi considerare i numeri A, B e C interi con A 0. Se esistono due numeri interi u e v tali che uv = AC e u + v = B puoi scrivere Ax 2 + Bx + C = Ax 2 + u + v)x+ = Ax 2 + ux + vx + C. Indichi con M il massimo comun divisore di A e u, con N il massimo comun divisore di v e C. Cioè M = MCD A, u), N = MCD v, C). Poiché M = MCD A, u), esistono due numeri interi primi tra loro n A e n u tali che A = n A M, u = n u M. Allo stesso modo, poiché N = MCD v, C), esistono due numeri interi primi tra loro n v e n C tali che v = n v N, C = n C N. Allora puoi riscrivere il polinomio come Ax 2 + ux + vx + C = n A Mx 2 + n u Mx + n v Nx + n C N e fare un raccoglimento parziale n A Mx 2 + n u Mx + n v Nx + n C N = Mx n A x + n u ) + N n v x + n C ) Per portare a termine la scomposizione dobbiamo verificare che n A x + n u = n v x + n C, cioè che n A = n v e n u = n C. Poiché uv = AC, risulta n u M n v N = n A M n C N,

28 28 da cui n u n v = n A n C e di conseguenza n u n A = n C n v. Dal momento che n u e n A sono primi tra loro e così anche n v e n C, le due frazioni sono ridotte ai minimi termini cioè non si possono più semplificare). Se due frazioni ridotte ai minimi termini sono uguali, allora i due numeratori sono uguali e i due denominatori sono uguali. Pertanto n u = n C e n A = n v. Dunque Mx n A x + n u ) + N n v x + n C ) = Mx n A x + n u ) + N n A x + n u ) = Hai quindi dimostrato che = n A x + n u ) Mx + N). Ax 2 + Bx + C = n A x + n u ) Mx + N), cioè che il polinomio Ax 2 + Bx + C è scomponibile.