ANALISI DI FOURIER. 2πk. è periodica di periodo T. Più precisamente, essendo. T x + 2π = cos. s(x) = s x + T ) T +α. f(x) dx

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1 ANALISI DI FOURIER Sia >. Una funzione f, definita per x R, si dice periodica di periodo, se f(x + = f(x, x R. ( Se una funzione è periodica di periodo, essa è anche periodica di periodo, 3,..., k,.... Siano a, b due numeri reali e sia k N. La funzione s(x = a cos ( πk x + b sen ( πk x è periodica di periodo. Più precisamente, essendo ( ( ( πk πk πk cos x = cos x + π = cos [x + k ], (3 e analogamente per sen ( πk ed è perciò periodica di periodo /k. Si dimostra facilmente che l integrale ( x, la funzione s(x in ( verifica la relazione ( s(x = s x +, (4 k +α α f(x dx non dipende da α se f è una funzione periodica di periodo. Infatti, se α / [,, allora esiste un unico n N tale che α n [,. In tal caso +α α f(x dx = +α α f(x + n dx = +β β f(x dx,

2 dove β = α n. Quindi si può supporre che α [,. In tal caso +α α f(x dx = = = f(x dx + f(x dx + f(x dx, +α +α f(x dx α f(x + dx f(x dx α f(x dx grazie alla periodicità di f. Particolarmente interessanti per le applicazioni alla fisica ed all analisi dei segnali sono combinazioni lineari di funzioni del tipo in (, cioè della forma s n (x = a n { ( ( } πk πk + a k cos x + b k sen x, n N, (5 che prendono il nome di polinomi trigonometrici, dove a e a k, b k, per k =,,..., n, sono numeri reali, detti coefficienti di Fourier del polinomio trigonometrico. Evidentemente, per ogni n N, s n è una funzione periodica di periodo. Si calcolino ora i seguenti integrali: ( πk cos x sen ( πk x ( πk cos x ( πk sen ( πl cos x sen {, k =, dx =, k =,, 3,..., x dx =, {, k = l =,, 3,..., dx =, k l, {, k = l =,, 3,..., dx =, k l. ( πl x

3 Di conseguenza, per k =,, 3,..., n si ha Inoltre, a = a k = b k = s n (x dx, ( πk s n (x cos x dx, s n (xsen s n (x dx = a + ( πk x dx. n { ak + b k }. Fissati a R e a k, b k R, con k N, supponiamo che la serie, detta trigonometrica o di Fourier di coefficienti a, a k, b k, f(x = a + { ( ( } πk πk a k cos x + b k sen x, (6 sia convergente per ogni x R. Allora, per la periodicità di s n per ogni n N, anche la somma f(x = lim n s n (x sarà una funzione periodica di periodo. Qualunque sia la funzione f, si definiscono i suoi coefficienti di Fourier nel seguente modo: a = a k = b k = f(x dx, ( πk f(x cos x dx, f(xsen ( πk x dove k =,, 3,.... Per qualsiasi funzione f tale che f è integrabile in (, secondo Riemann, vale l uguaglianza di Parseval f(x dx = a { + ak + b k }. (7 Quindi, anche per le funzioni f continue in [, ] e con soltanto un numero finito di discontinuità, tutte di prima specie. 3 dx,

4 In altre parole, se è integrabile secondo Riemann la funzione f, è convergente la serie in (7. Partendo dalla funzione f e calcolando i suoi coefficienti di Fourier, si possono definire i suoi polinomi trigonometrici approssimanti s n, definita da (5. Siccome ovviamente è integrabile secondo Riemann la funzione f s n se lo è la f, abbiamo f(x s n (x dx = k=n+ { ak + b k }. (8 Dunque la parte a sinistra di (8 tende a zero se n, grazie alla convergenza della serie ( a k + b k. Se la funzione f `periodica di periodo e pari, allora b k = per k N, mentre per k N a = 4 a k = 4 f(x dx, ( πk f(x cos x dx. D altra parte, se f è periodica di periodo e dispari, allora a = e a k = per k N, mentre per k N b k = 4 f(x sen ( πk x dx. Un primo criterio di convergenza per la serie di Fourier (6 è contenuto nel seguente teorema. EOREMA Sia la funzione f tale che è convergente la serie ( a k + b k. (9 Allora è continua la funzione f ed è totalmente convergente la sua serie di Fourier (6. Esistono funzioni continue f di periodo che hanno una serie di Fourier divengente per ogni x R. In tal caso non vale (9. 4

5 Dimostrazione. Chiaramente la convergenza della serie ( a k + b k implica la convergenza totale della serie in (6 e dunque la sua convergenza uniforme in x R. Poichè ogni termine della serie è continuo, è continua anche la sua somma s(x. Risulta che le funzioni f e s hanno gli stessi coefficienti di Fourier, e quindi si ha f(x = s(x per ogni x R. Abbiamo già indicato che non basta la continuità della funzione f per garantire la sua convergenza. Infatti, vale il seguente teorema. EOREMA Sia f una funzione di classe C. Fourier (6 è totalmente convergente. Allora la sua serie di Questo teorema vale anche se la funzione f è continua e regolare a tratti, cioè se f è continua e se esistono punti = c < c <... < c m < c m = tali che la f è di classe C in ciascun sottointervallo [c j, c j ] (j =,..., m. Dimostrazione. Sicuramente la derivata della f è tale che f è integrabile secondo Riemann in [, ]. Scrivendo α e α k, β k per k N per i coefficienti di Fourier della f, si ha dove α = Inoltre, f (x = α + { ( ( } πk πk α k cos x + β k sen x, ( f (x dx = [f( f(] =, per motivi di periodicità. f (x dx = ( α k + β k. Calcolando la primitiva termine a termine risulta f(x = a + π e quindi i coefficienti di Fourier della f sono { ( ( } πk πk kβ k cos x + kα k sen x, ( a k = kβ k π, b k = kα k π. Questo passaggio non viene dimostrato in dettaglio. 5

6 Di conseguenza, ( a k + b k = k( α k + β k π [ ] / [ / ( a π k k + b k ] < +. Dalla convergenza della serie armonica generalizzata e dal eorema k segue che è totalmente convergente la serie di Fourier della f. Sia f una funzione definita in R; se per x R esiste il limite lim f(x + h h + lo indicheremo con f(x+. Se esiste il limite lim f(x + h h lo indicheremo con f(x. Si ricordi che una funzione f definita in x R e periodica di periodo si dice regolare a tratti se esistono punti = c < c <... < c m < c m = tali che la f è di classe C in ciascun sottointervallo [c j, c j ] (j =,..., m. Una funzione regolare a tratti può avere un numero finito di discontinuità di prima specie in [, ], mentre f( e f( possono essere diversi. EOREMA 3 Sia f una funzione periodica di periodo, regolare a tratti su R. Per ogni x R la serie di Fourier di f converge a [f(x+ + f(x ], ( cioè alla media fra il limite destro e il limite sinistro di f in x. In particolare, la serie di Fourier di f converge nei punti x in cui f è continua. Non dimostreremo il eorema 3. Invece metteremo in evidenza la sua importanza tramite alcuni esempi. ESEMPIO 4 Sia f la funzione periodica di periodo prolungando su R la funzione g data da {, g(x = < x,, < x. 6

7 I coefficienti di Fourier di f sono allora a =, a k =, b k = ( k, kπ e quindi la serie di Fourier di f è data da + π l= sen ((l + πx l +. L uguaglianza di Parseval implica = + 4 π l= (l +, e quindi l= = π. Ovviamente la serie di Fourier di f converge a (l+ 8 f(x in tutti i punti x R che non sono multipli interi di. In quest ultimi punti la somma vale, grazie al eorema 3. Infine, sostituendo x = /4 nella serie di Fourier di f, si ottiene = + π l= ( l l +, e quindi l= ( l l+ = π 4. ESEMPIO 5 Sia f la funzione periodica di periodo prolungando su R la funzione g data da g(x = x per < x. Poichè f è pari, risulta b k = per ogni k N, mentre a = e, per k =,, 3,..., a k = = [ πk x sen ( πk x cos ( πk x x dx = 4 L uguaglianza di Parseval implica + ( πk π k cos x 6 = 8 + π 4 7 l= ( πk x cos x ] / 4 (l + 4, dx = π k [ ( k ].

8 e quindi l= (l+ 4 4 π = π4. La serie di Fourier di f è data da 96 l= ( π(l + (l + cos x. Siccome f è continua e regolare a tratti, la serie di Fourier è totalmente convergente in x R con somma f(x. In particolare, per x = risulta = 4 + π l= (l +, e quindi l= (l+ = π 8. ESEMPIO 6 Sia f la funzione periodica di periodo prolungando su R la funzione g data da g(x = x per < x. Poichè f è dispari, risultano a = e a k = per k N. Per k N si ha b k = = [ πk x cos ( πk xsen x dx = 4 ( πk x + π k sen L uguaglianza di Parseval implica e quindi k 6 = ( πk xsen x dx ( ] / πk x = πk ( k. π k, = π. Inoltre, la serie di Fourier di f ha la forma 6 ( k ( πk πk sen x. Secondo il eorema 3 la sua somma vale f(x, tranne nei punti x che sono multipli dispari di / (dove la somma vale. ESEMPIO 7 Sia f la funzione periodica di periodo prolungando su R la funzione g data da g(x = per x < e g(x = per x <. 8

9 Siccome f è dispari, abbiamo a =, a k = per k N e b k = 4 ( πk sen x dx = { }, k pari, ( k = 4 πk πk, k dispari. L uguaglianza di Parseval implica = l= 6 π (l +, e quindi l= (l+ = π. La serie di Fourier di f ha la forma 8 4 π l= ( π(l + l + sen x. Questa serie converge a f(x se x non è un multiplo intero di / Se lo è, la somma è zero. Sostituendo x = /4 otteniamo ( l l= = π. l+ 4 9

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