LE FRAZIONI ALGEBRICHE

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1 LE FRAZIONI ALGEBRICHE 9 Per ricordre H Un frzione lgebric eá un frzione che h l numertore e l denomintore dei polinomi; ess h quindi significto per tutti i vlori reli delle lettere che in ess compiono d eccezione di quelli che nnullno il denomintore h significto per ogni rele e per ogni 6ˆ Per ess vlgono tutte le proprietá crtteristiche delle frzioni; in prticolre l proprietá invrintiv che fferm che due frzioni lgebriche sono equivlenti se si moltiplicno o si dividono il numertore e il denomintore dell frzione per uno stesso polinomio non nullo. Grzie quest proprietá un frzione puoá essere semplifict ˆ ˆ due frzioni si possono ricondurre d vere lo stesso denomintore,che eá il mcm fr i polinomi l denomintore ˆ ˆ diventno H Per operre con le frzioni lgebriche si devono tenere presenti le stesse regole per le nloghe operzioni con le frzioni numeriche; in prticolre per eseguire l'ddizione e l sottrzione si devono prim ricondurre le frzioni d vere lo stesso denomintore e poi si esegue l somm o l differenz fr i numertori ˆ ˆ ˆ ˆ per eseguire il prodotto si moltiplicno i numertori e i denomintori fr loro semplificndo le due frzioni con le stesse regole che si usno per il clcolo frzionrio ˆ ˆ ˆ

2 Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA 9 - LE FRAZIONI ALGEBRICHE 9 per eseguire l divisione si moltiplic l prim frzione per l reciproc dell second ˆ ˆ per clcolre l potenz di un frzione si elevno quell potenz il polinomio l numertore e quello l denomintore b b ˆ b b 6 ESERCIZI DI CONSOLIDAMENTO Stbilisci per quli vlori delle lettere le seguenti frzioni lgebriche hnno significto. ESERCIZIO GUIDATO ESERCIZIO GUIDATO b.. l frzione h significto per qulsisi vlore di e per ogni 6ˆ 0 b. scomponendo il polinomio l denomintore ottenimo l frzione che h significto se 6ˆ 0, cioeá se 6ˆ, e se 6ˆ 0, cioeá se 6ˆ ; in definitiv l'insieme di esistenz dell frzione eá R f; g b b b b. b. b. b. b 7 b 6ˆ 0; b 6ˆ 0Š b 5 b 7 6ˆ ; b b 6ˆ 7Š 6ˆ ; b 6ˆ 0 ^ 6ˆ Š 6ˆ ; b 8 RŠ 6 Semplific le seguenti frzioni. 5 5 Per semplificre quest frzione, che eá il rpporto fr due monomi interi, bst pplicre le proprietá delle potenze 5 5 ˆ

3 9 9 - LE FRAZIONI ALGEBRICHE Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA 7 05 b c b 8 z 5 z t 9 t 5 b c ; ; 5 t z 6 z ; ; z Scomponimo in fttori i polinomi l numertore e l denomintore 5 5 ˆ Semplifichimo l frzione pplicndo l proprietá invrintiv ˆ 5 0 b b b 0z 5 z b b b z b b ; b b 5 ; 6z z c b c b b z z z 8 b b b b z z z z z 9 bc b c b 7 b 5 0 n n n n n m 9 n n m m ; 5 z ; z ; b b z ; c ; 6 ; ; z z bc; n n n n ; n n n 6 n n n m ; n n

4 Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA 9 - LE FRAZIONI ALGEBRICHE 95 Riduci llo stesso denomintore i seguenti gruppi di frzioni. Scomponimo i denomintori delle tre frzioni Nessun delle frzioni puoá essere semplifict; clcolimo dunque il mcm fr i denomintori Le frzioni dte sono dunque equivlenti ; 6 ; 6 b 5b b 6 b 9 9b 8b 0 0b 6 b ; b ; b 6 b 6 b (Suggerimento semplific prim le frzioni qundo eá possibile) ; 5 ; 6 b b b b ; 9 ; 7 Esegui le ddizioni e le sottrzioni fr le seguenti frzioni lgebriche 0 Scomponimo il denomintore dell terz frzione Il mcm fr i denomintori eá 0 L somm eá quindi 0 Sviluppndo i clcoli l numertore ottenimo 9 0 Scomponimo desso il numertore e semplifichimo l frzione 9 0 ˆ 9 0 7

5 LE FRAZIONI ALGEBRICHE Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA b b b (Suggerimento semplific prim l second frzione) 7 z z z z z z 8 b b b 9b b b 9b b 9 b b b b b bb b 0 Š z z b b! 0Š 5 h i

6 Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA 9 - LE FRAZIONI ALGEBRICHE Esegui le seguenti moltipliczioni fr frzioni lgebriche e clcol il vlore delle espressioni 9 6 Scomponimo i polinomi delle due frzioni Semplifichimo Moltiplichimo i numertori e i denomintori rimsti 6 8 b c 5 6bc b 8b b 5 6 b 6 5 b 50 b c 6 z 7 bc 0 b z z b 5 6 9c 7c 5b z 7 5 b 0b c ; 8 b h i ; 8z 0b ; 5 z 5 9 bc c c bc 5 8b c b z b b b c z 5 b b b b 5 55 b b b 6 b b b 56 9bc 8 c 5 0 b 6b Š A 58 b b b b b b b 6b 5 9b bc b c b b b b c 5 b b b

7 LE FRAZIONI ALGEBRICHE Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA 60 Š (Suggerimento esegui prim le operzioni dentro le prentesi tonde e poi moltiplic) Š Esegui i clcoli indicti nei seguenti esercizi nei quli compiono le potenze di frzioni lgebriche c b b c Š 8 8 Š b b Š b b b 9 8 b c c c c Š b c b c c b c 8 b c b c b c 5 6 b b b b b c c c c

8 Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA 9 - LE FRAZIONI ALGEBRICHE Esegui le seguenti divisioni fr frzioni lgebriche e clcol il vlore delle espressioni Scomponimo i polinomi che compongono le due frzioni e contempornemente trsformimo l divisione in un moltipliczione 6 ˆ b b b b ; b b b ; b 79 b b 80 b b b b bc bc bc b c bc 8 9 b b b b b b 8 b b b b 8 b b bc c b c b ; ; b b b bš b b b b b b b b b b b b b b

9 LE FRAZIONI ALGEBRICHE Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA ESERCIZI DI APPROFONDIMENTO Semplific le seguenti espressioni. b b b b 6 6 b 8b Š b b c bc c c c c c c b c c bc c c c h c i c bc c c c bc bc c c c c c c Š b b 6 b b b b b b b b 7 c b 6 9 b 9b 8c b b c b c b 5 c Š 9

10 Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA 9 - LE FRAZIONI ALGEBRICHE 0 6 z z z z z z z z z b b b b b b b b b 0Š b b b b b b b b b b b b b 5 7 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 8 b h i b 0 b

11 0 9 - LE FRAZIONI ALGEBRICHE Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA 0 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b m m m m m m m m m m m m 5 m 0Š 6Š B A 5Š 5 b 6 6b Š 5 n n n n n n n n n n n n n n n n n n 6 n n n n n n n n n n n n

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