Richiami di Matematica per il corso di Economia Politica

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1 Richiami di Matematica per il corso di Economia Politica Mattia Guerini 11 Marzo Le funzioni Si definisce funzione, una regola che esprime una relazione univoca tra due insiemi. Gli elementi fondamentali che caratterizzano una funzione sono: a. un insieme X di partenza, chiamato anche dominio della funzione; b. un insieme Y di arrivo, chiamato anche codominio della funzione; c. una relazione f : X Y che associa a ciascun numero x un unico numero y X Y x f y In genere x X è anche chiamata variabile indipendente mentre y Y viene chiamata variabile dipendente. Più sinteticamente possiamo scrivere una funzione come: y = f(x). (1) Alcuni esempi molto semplici di funzioni (ad una variabile), ma fondamentali per studiare l economia sono: a. funzione lineare: y = a + bx b. funzione quadratica: y = x 2 c. funzione logaritmica: y = log(x) Corso di Laurea in Scienze politiche, internazionali e dell amministrazione (L 16 - L 36). Docente di riferimento: Prof. Mario Morroni. 1

2 d. funzione esponenziale: y = e x Tuttavia molte delle funzioni utilizzate in economia sono (un pò) più complicate e possono contenere più di una variabile indipendente. Queste funzioni sono dette funzioni a più variabili e possono essere rappresentate come y = f(x 1, x 2 ). (2) In questo caso dunque (x 1, x 2 ) X, rappresenta una coppia di numeri appartenente al dominio. Un classico esempio di funzione a due variabili che si incontra spesso nella teoria economica è la funzione di utilità di tipo Cobb-Douglas, che ha la seguente forma: y = x α 1 x 1 α 2 dove α [0, 1]. 2 La rappresentazione grafica delle funzioni 2.1 Funzioni ad una variabile Il grafico di una funzione rappresenta l andamento della funzione stessa, ovvero come il valore della variabile dipendente y viene modificato, al variare della variabile indipendente x. Il grafico di una funzione viene rappresentato all interno di un sitema di riferimento cartesiano: nel nostro caso un piano cartesiano. Il piano cartesiano si ottiene tracciando: a. un asse orizzontale (asse delle ascisse o asse x); b. un asse verticale (asse delle ordinate o asse y); Piano Cartesiano y 3 II quadrante 2 1 I quadrante x III quadrante 2 3 IV quadrante All interno del piano cartesiano possiamo poi tracciare le equazioni viste in precedenza 1 1 Notare che per disegnare una retta, sono sufficienti due soli punti, mentre per la parabola è necessario un numero maggiore di punti. 2

3 Genericamente la variabile indipendente x viene rappresentata sull asse delle ascisse, e la variabile dipendente y su quella delle ordinate. Tuttavia gli economisti spesso costruiscono i grafici delle funzioni rappresentando la variabile indipendente sull asse verticale e la variabile dipendente su quella orizzontale. Per esempio, le funzioni di domanda e di offerta di un determinato prodotto sono comunemente rappresentate ponendo il prezzo (che in un mercato perfettamente concorrenziale è la variabile indipendente) sull asse verticale e la quantità (la variabile dipendente in mercati perfettamente concorrenziali) sull asse orizzontale. Ciò è dovuto ad una disputa storica. La convenzione di rappresentare quantità sull asse delle ascisse e prezzo sull asse delle ordinate deriva dalla teoria di Alfred Marshall, nella quale il prezzo è funzione della quantità. Tuttavia la moderna teoria microeconomica è fondata sulla teoria dell equilibrio generale, di Leon Walras; in questa teoria il prezzo è la variabile indipendente e la quantità è una funzione del prezzo stesso. Per questo motivo oggi diciamo che gli assi in economia sono invertiti rispetto a quella che è la convenzione matematica: poichè prendiamo la teoria Walrasiana, e la rappresentiamo in un grafico Marshalliano. 2.2 Funzioni a più variabili Prima di iniziare a trattare le funzioni a più variabili è interessante notare come quando rappresentiamo graficamente una funzione ad una variabile, il grafico è in realtà a due dimensioni (x, y). Riprendiamo ora la funzione a più variabili (nel nostro caso sono due) vista in precendenza e impostiamo α = 1 2 ; abbiamo dunque y = f(x 1, x 2 ) = x x (3) Per rappresentare una funzione a due variabili però, due dimensioni (per esempio un foglio o una lavagna) non sono sufficienti poichè il grafico della funzione a due variabili esiste solo in una terza dimensione. Abbiamo quindi bisogno di uno spazio tridimensionale (3D). Tuttavia esiste una tecnica di rappresentazione basata sulle curve di livello. Tale tecnica permette di riportare in un piano a 2 dimensioni delle curve, ognuna delle quali rappresenta le combinazioni di punti (x 1, x 2 ) che producono lo stesso valore y. Senza saperlo, avrete sicuramente già visto delle curve di livello nelle mappe di montagna. In quei casi le curve di livello rappresentano punti su un piano (x 1, x 2 ) nei quali l altezza y di una montagna 3

4 è la stessa (e le curve si chiamano isoipse). Nel caso economico la funzione a cui facciamo riferimento è chiamata funzione di utilità e le curve di livello rappresentano punti su un piano (x 1, x 2 ) nei quali l utilità y è la stessa; perciò le curve si chiamano curve di isoutilità. Inoltre, in economia, spostandosi lontano dal punto di origine degli assi cartesiani, significa consumare di più. Quindi il valore delle curve di livello aumenta spostandosi verso Nord-Est. La procedura per poter rappresentare una curva di livello, partendo dalla funzione y = f(x 1, x 2 ) è la seguente: 1. Fissare un valore di y = ȳ; 2. Riscrivere la funzione isolando x 2 ottendendo x 2 = f(x 1, ȳ); 2 3. Tracciare il grafico della funzione x 2 sul piano x 2, x 1. Prendiamo la funzione y = x x : 1. Fissiamo y = 1 ottenendo 1 = x x ; 2. Isoliamo x 2 ottenendo x 2 = 1 x 1 ; 3. Tracciamo il grafico della funzione sul piano cartesiano. Ripetiamo ora la stessa procedura e fissando y = 2. rappresentati nella figura sopra. I grafici delle curve di livello sono 2 In generale, nel caso della funzione Cobb-Douglas, le curve di livello sono funzioni del tipo: x 2 = ȳ2 x 1 4

5 3 Proprietà delle funzioni Una funzione è detta continua se può essere disegnata senza mai sollevare la matita dal foglio; perciò, in una funzione continua non ci sono salti. Una funzione è detta strettamente monotona se è costantemente crescente o decrescente. In particolare si distingue tra funzioni monotone positive o monotone negative. 3 Una funzione è detta derivabile se non presenta punti angolosi. La derivabilità di una funzione non è tuttavia un concetto assoluto, ma è relativa ad un singolo valore x della funzione f(x). Per esempio la figura a sinistra è derivabile per ogni valore di x mentre la seconda è derivabile per ogni valore di x, eccetto in x = 0, il quale è un punto angoloso. 3 Un esempio di funzione non monotona è la parabola. 5

6 3.1 La funzione inversa Come abbiamo detto in precendenza, la funzione è una relazione univoca tra due insiemi di numeri. Con univoca abbiamo inteso il fatto che ad ogni valore di x, la funzione avrebbe poi associato un unico valore di y. Abbiamo dunque definito una funzione come y = f(x) oppure f : X Y (4) Talvolta è possibile trovare anche una regola che da Y sia in grado di andare verso X, percorrendo il cammmino opposto di f. Quando questa regola esiste, viene chiamata funzione inversa ed è indicata con f 1. In figura, si può vedere qual è il significato della funzione inversa. f 1 : Y X (5) X f Y x y f 1 Prendiamo ora le funzioni retta e parabola e verifichiamo se sono invertibili. a. Retta: y = 2x x = y Invertibile. 2 b. Parabola: y = x 2 x = ± y Non invertibile in maniera univoca. Come regola generale, basti sapere che se una funzione è continua e strettamente monotona, allora è anche invertibile. 4 Equazioni ed identità Un equazione è una uguaglianza tra due espressioni algebriche; ma per il nostro scopo, possiamo semplicemente considerarla come una uguaglianza tra una funzione ed un numero. La soluzione di una equazione è un valore da associare ad x, che soddisfi l uguaglianza stessa. a. 3x = 15 Soluzione: x = 5; b. x 2 = 16 Soluzione: x = ±4; c. f(x) = 0 Soluzione: x : f(x ) = 0. 6

7 Una identità è invece una relazione tra due o più variabili che rimane valida per qualsiasi valore delle variabili. a. (k + z) 2 k 2 + 2kz + z 2 Quadrato di un binomio; b. 4(z 2) 4z 8 Polinomio di primo grado. 5 La funzione lineare Una funzione lineare è una qualsiasi relazione del tipo y = a + bx (6) dove a e b sono dei parametri (costanti) e sono chiamati rispettivamente intercetta verticale e coefficiente angolare. Le funzioni lineari possono essere riscritte in forma implicita come αx + βy = γ. (7) Passare dalla forma implicita a quella esplicita è semplice: a. Risolvere per y, isolandolo: y = γ αx; β β b. Cambio di notazione: a = γ, β b = α; β c. Riscrivere la funzione: y = a + bx 6 Variazioni e saggi di variazione Si definisce variazione di x, con il simbolo la seguente differenza = x x. (8) dove con x indichiamo il valore finale e con x il valore iniziale della variabile x. Notare come sia sempre possibile riscrivere il valore finale come somma di valore iniziale e variazione: x = x +. Se x varia da 3 a 5, scriveremo che = 5 3 = 2. 7

8 Quando la variazione di x è molto piccola, è detta variazione marginale. Quando la variazione di x è pari a 1, è detta variazione unitaria. Sia data ora la generica funzione y = f(x). Si definisce saggio di variazione di y rispetto ad x il seguente rapporto y f(x + ) f(x) = (9) Il saggio di variazione di y rispetto ad x ci dice di quanto varia y, data una variazione di x. Ora vediamo il saggio di variazione nei casi di funzione lineare e funzione parabolica. Caso Lineare: y = a + bx y = f(x+) f(x) = (a+b(x+) (a+bx) = b = b Notare come nel caso di funzione lineare, il saggio di variazione di y rispetto ad x è costante e pari al coefficiente angolare. Caso Parabolico: y = x 2 y = f(x+) f(x) = (x+)2 x 2 = x2 +2x+() 2 x 2 = (+2x) = + 2x Notare come nel caso di funzione parabolica, il saggio di variazione di y rispetto ad x dipende da x e non è dunque costante. Notare inoltre come aumentando la precisione, per 0, allora y = 2x 7 Inclinazione ed intercetta Dal punto di vista della rappresentazione grafica, a. l inclinazione di una funzione in un punto, è pari al saggio di variazione y in quel punto; di quella funzione, 8

9 b. l intercetta verticale di una funzione rappresenta il valore di y, quando x = 0; c. l intercetta orizzontale di una funzione rappresenta il valore di x, quando y = 0; Ora vediamo come calcolare intercetta e coefficiente angolare nel caso lineare e nel caso parabolico. Caso Lineare: y = a + bx a. Abbiamo visto che y = b. Quindi b è il coefficiente angolare; b. Se x = 0 y = a. Quindi a è l intercetta verticale; c. Se y = 0 x = a/b. Quindi a/b è l intercetta orizzontale. Caso Parabolico: y = x 2 a. Abbiamo visto che y = 2x.4 Quindi 2x è il coefficiente angolare; b. Se x = 0 y = 0. Quindi 0 è l intercetta verticale; c. Se y = 0 x = 0. Quindi 0 è l intercetta orizzontale. 8 Valore assoluto e logaritmi Il valore assoluto di un generico numero x è una funzione tale per cui x if x 0 y = f(x) = x = (10) x if x < 0 Notare che la funzione valore assoluto presenta un punto angoloso ed è quindi non-derivabile in x = 0. Il logaritmo naturale 5 di un generico numero x è una funzione che rappresenta l esponente da dare 5 Il logaritmo naturale è anche chiamato, logaritmo in base e. 9

10 al numero di nepero (e ), per ottenere il valore di x stesso. Scriveremo dunque y = f(x) = ln(x). (11) Il valore di y ottenuto rappresenta dunque quel numero tale per cui e y = x. 8.1 Proprietà del logaritmo Bisogna inanzitutto notare che il logaritmo è definito solo per varlori strettamente positivi. Perciò il logaritmo dei valori negativi e quello di 0 non esiste. 6 proprietà: a. ln(x y) = ln(x) + ln(y) b. ln( x ) = ln(x) ln(y) y c. ln(e) = 1 d. ln(x y ) = y ln(x) Inoltre il logaritmo soddisfa le seguenti 6 Più precisamente diremo che ln(0) =. 10