Fondamenti di Teoria delle Decisioni

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1 Fondamenti di Teoria delle Decisioni vol. 1 Teoria dei preordini e applicazioni David Carfì

2 2 Fondamenti di Teoria delle Decisioni, vol. 1 Teoria dei Preordini e applicazioni David Carfí 2012 davidcarfi71@yahoo.it Mathematics subject classification (2000): 91B02 Fundamental topics 91B06 Decision theory 91B08 Individual preferences 91B16 Utility theory 91B24 Price theory and market structure 91B26 Market models 91B28 Finance, portfolios, investment 91B32 Resource and cost allocation 91B38 Production theory, theory of the firm 91B40 Labor market, contracts 91B42 Consumer behaviour, demand theory 91B50 Equilibrium: general theory 91B60 General economic models, trade models 91A05 Game Theory Casa Editrice Antipodes Via Toscana, Palermo info@antipodes.it ISBN Finito di stampare nel mese di Gennaio 2012

3 Contents I Matematica per le decisioni 9 1 Notazioni e preliminari Logica elementare Teoria elementare degli insiemi Predicati ed assioma di specificazione Operazioni fra insiemi Funzioni Relazioni binarie su un insieme Corrispondenti diretti e inversi Dominio e immagine di una relazione Assegnazione di relazioni su un insieme Spazi strategici in Economia e Finanza Il decisore Mercati ad uno e due prodotti Strategie su un mercato ad un solo prodotto Strategie su un mercato con due beni Strategie su un mercato con n beni Alcuni vincoli strategici del consumatore Il vincolo di bilancio unilatero Il vincolo di bilancio bilatero Strategie di pricing dell imprenditore Pricing su un mercato a due prodotti Strategie di pricing come funzionali lineari Strategie di produzione dell imprenditore Strategie di produzione in libero mercato Strategie del produttore monopolista Strategie di produzione lavoro-capitale Alcuni spazi strategici della finanza Strategie finanziarie ad una sola scadenza Strategie finanziarie a due scadenze Strategie di sconto su un mercato finanziario Strategie nel mercato finanziario Strategie su un mercato finanziario a due titoli

4 4 CONTENTS Pricing su un mercato finanziario a due titoli Mercato finanziario a due titoli con valutazione Strategie di acquisto in quote-capitale II Spazi preordinati 31 3 Preordini per le Decisioni Preordini Interpretazione degli spazi preordinati Problemi decisionali e sottospazi Atteggiamenti oggettivi e soggettivi Notazioni e terminologie Indifferenze e disuguaglianze strette Alcuni preordini oggettivi Preordini indotti da funzioni reali Ordini Prodotto di due spazi preordinati Congiunzione di due preordini Relazioni di indifferenza Relazioni di indifferenza Classi di indifferenza e livelli di funzionali Lo studio dei livelli di un funzionale Relazioni di equivalenza Relazioni di indifferenza come equivalenze Compatibilità fra relazioni ed equivalenze Classi di equivalenza Insieme quoziente Relazione di equivalenza e partizioni Ordine indotto sul quoziente X/R da R L equivalenza finanziaria Preordini stretti Lo studio delle preferenze Inconfrontabilità e confrontabilità Preordini totali Massimi e minimi Ottimi destri e sinistri Maggioranti e minoranti Maggioranti e minoranti (bis) Estremi superiori ed inferiori Insiemi limitati e illimitati Intervalli Ottimi di Pareto Relazioni fra ottimi di Pareto

5 CONTENTS Relazioni fra massimi e massimali Parti cofinali Parti cofinali e frontiera massimale Saturazione rispetto ad una equivalenza Trasformazioni fra spazi preordinati Applicazioni crescenti Massimi delle mappe crescenti Compatibilità delle mappe crescenti Rappresentazioni e isomorfismi Rappresentazioni e spazi quoziente Raffinamenti logici di una relazione Raffinamenti di una relazione Crescenza e raffinamenti Applicazioni strettamente crescenti Conservazione delle diseguaglianze strette Crescenza stretta e indifferenza Massimi di mappe strettamente crescenti Crescenza stretta e rappresentazioni Equivalenza delle rappresentazioni in R Raffinamenti stretti di un preordine Cofinalità delle frontiere massimali Topologia e frontiere paretiane III Applicazioni Finanziarie 93 7 Preordini per le decisioni finanziarie Coni negli spazi euclidei L ordine dei flussi cumulati Il preordine usuale degli eventi finanziari Studio dei compatti nell ordine usuale di R Studio dei compatti nel preordine EF Studio dei compatti per flussi cumulati Preordine del valore attuale netto in R Il metodo della variazione dei tassi in R Strutture a termine di tassi d interesse Preordine del regime composto Definizione e interpretazione finanziaria Proprietà fondamentali Classi di indifferenza Maggioranti e minoranti Capitalizzazione composta e preordine EF Esercizi Complementi

6 6 CONTENTS 9 Qualche problema di decisione Problemi di decisione finanziaria in R Problemi in R 2 con funzioni di valutazione Decisioni finanziarie con il criterio del rea Decisioni in regime composto Operazioni finanziarie a più scadenze Un problema parametrico Introduzione Il problema formale Esistenza e unicità della soluzione massima Esistenza e molteplicità della soluzione minima Estensione del problema Esistenza e molteplicità della soluzione minima Il problema Soluzione Preliminari Ottimizzazione Studio del segno della derivata Tempi di riferimento Tassi di riferimento Discussione Caso particolare richiesto i = 23.7% Confronto di operazioni finanziarie Studio di operazioni Classificazione Studio delle funzioni REA Confronto delle operazioni Confronto naturale (per flussi di cassa) Confronto per flussi cumulati Criterio del pay-back Criterio del TIR Criterio del REA Programmazione matematica Un problema di scorte (in dimensione 1) Percentuali in programmazione lineare IV Applicazioni economiche Funzioni marginali e loro applicazioni Introduzione Funzioni marginali parziali Prodotti marginali

7 CONTENTS Utilità marginali Elasticità parziali Elasticità incrociate Profitto dell impresa La massimizzazione dei profitti Profitto nella concorrenza perfetta Un problema con funzione di costo quadratica Profitto dell impresa monopolista Un problema con domanda affine Risoluzione con la funzione di domanda inversa Risoluzione con la funzione di domanda Sulla derivata di una forma quadratica Monopolio su uno spazio di Hilbert Vendità di un prodotto in mercati diversi Situazione economica Esempio Caso di prezzi qualunque Sezione del profitto sulla domanda inversa Caso dei prezzi uguali Massima utilità del consumatore Utilità del consumatore sul vincolo di bilancio Il Metodo dei moltiplicatori di Lagrange Moltiplicatori di Lagrange Il metodo dei livelli Strategie Lavoro-capitale Strategie produttive ottime La funzione di Cobb-Douglas Minimimo costo e massima produzione Un esempio di minimimo costo Un esempio di massima produzione Problemi di decisione economica Problemi di decisione in dimensione Determinazione della funzione di domanda Problemi di decisione in dimensione La domanda di un consumatore La curva di Engel La definizione Problema Problema Problema Problema

8 Bibliography [1] Arrow - Hahn, General competitive Analysis, North-Holland. [2] Jean Pierre Aubin, Mathematical methods of game and economic theory, (Revised Edition) North-Holland. [3] Jean Pierre Aubin, Optima and equilibria, Springer Verlag. [4] Nicola Bourbaki, Elements de Mathématique - Théorie des Ensembles, Chapitre 2, 3, Hermann Paris. [5] Nicola Bourbaki, Elements de Mathématique - Integratiòn, Chapitre 2, Hermann. [6] Erio Castagnoli, Teoria delle decisioni, (Dispense dell Università Bocconi di Milano) in tre volumi. [7] David Carfì, Optimal boundaries for decisions, Atti dell Accademia Peloritana dei Pericolanti - Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali Vol. LXXXVI, (2008) [8] David Carfì, Structures on the space of financial events, Atti dell Accademia Peloritana dei Pericolanti - Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, Vol. LXXXVI, (2008) [9] David Carfì, Financial dynamical systems, Differential Geometry - Dynamical Systems, Vol.10, 2008, pp , Balkan Society of geometers, Geometry Balkan Press. [10] David Carfì, Differential Manifolds for the one consumer model, preprint, comunicato il ottobre 2003, Mini-Meeting di Messina, Dottorato di Ricerca in Strumenti Matematici per l Economia e la Finanza, Sedi Consorziate: Messina Catania Palermo [11] David Carfì, The family of transformations associated with a financial law, Atti dell Accademia Peloritana dei Pericolanti - Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, Vol. LXXXI-LXXXII, (2004) [12] David Carfì, S-Linear Algebra in Economics and Physics, APPLIED SCI- ENCES Vol. 9,