Matematica trasparente... come bolle di sapone

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRENTO FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE FISICHE E NATURALI CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA ELABORATO FINALE Matematica trasparente... come bolle di sapone Un percorso didattico-sperimentale per le scuole secondarie di primo grado Relatore Prof. Italo Tamanini Laureanda Silvia Dirupo ANNO ACCADEMICO

2 ... Credo che non ci sia nessuno in questa stanza che non abbia fatto qualche volta una comune bolla di sapone, e che, ammirandone la forma perfetta e la meravigliosa lucentezza dei colori, non si sia chiesto come fosse possibile fare tanto facilmente un oggetto così splendido in una comune bolle di sapone c è molto di più di quanto immagini di solito chi si limita a considerarla un gioco. Charles Vernon Boys, Le bolle di sapone e le forze che le modellano Zanichelli, 1963

3 Indice 1 Bolle di sapone 5 2 Lamine di sapone 17 3 Percorsi minimi 24 4 I poliedri 30

4 Motivazioni Il motivo che mi ha spinto a sviluppare questo particolare argomento è il fatto di aver svolto, presso la Facoltà di Scienze, uno stage con il professor Tamanini. Nel periodo tra dicembre 2004 e febbraio 2005, io e Marco abbiamo preparato, sotto la guida sempre del professore, una mostra a Modena dal titolo: Matematica trasparente... come bolle di sapone che è rimasta allestita dal 16 febbraio al 16 marzo Per me è stata un esperienza molto bella e soprattutto costruttiva che ci ha permesso di capire anche tutti i problemi pratici dell allestimento di una mostra: dal fatto di sintetizzare pagine e pagine di teoria, al fatto che il pubblico comprende età molto differenti tra loro e quindi la mostra deve soddifare tutti questi requisiti. Inoltre mi ha permesso di conoscere una parte della matematica molto interessante che proprio non conoscevo. Per questo ho voluto anche intitolare così il lavoro che vi accingete a leggere. Sarà un percorso sulle bolle di sapone abbastanza dettagliato, rivolto in particolar modo a classi delle scuole secondarie di primo grado, ma che vuole delineare bene i contorni della matematica che si possono apprendere anche attraverso delle semplicissime, ma solo in apparenza, bolle di sapone.

5 Capitolo 1 Bolle di sapone L interesse speciale per l argomento delle bolle di sapone non è affatto recente. Molti fenomeni legati alla tensione superficiale, come la formazione delle lamine saponose, erano stati osservati fin dai tempi antichi certo con la curiosità un po infantile che siamo abituati ad attribuire agli antichi pensatori, ai quali non era sfuggito che mentre la lamina si va assottigliando si vedono comparire sulla sua superficie tutti i colori dell arcobaleno, un fatto considerato, per molto tempo, magico come il fenomeno celeste, e che solo nel 1800 fu collocato nell ambito fisico dei fenomeni di interferenza che, nelle bolle di sapone, si verificano quando lo spessore della lamina è paragonabile alla lunghezza dell onda luminosa. Grazie agli studi di molti matematici e fisici come Boys, Plateau che formulò due leggi fondamentali in questo campo, Almgren e Taylor che dimostrarono le leggi di Plateau e molti altri studiosi si arrivò a definire una relazione tra le lamine di sapone e molti fenomeni naturali che seguono schemi di massimo e di minimo, un principio per cui la condizione che realizza un fenomeno corrisponde ad un criterio di minimo assoluto e realizza perciò la massima economia del sistema. Un esempio di tale schema, in architettura, sono le famose tende sospese di Frei Otto che coprono gli spettatori nello stadio di Monaco. Le tende sospese di Frei Otto sono state realizzate sulla base di modelli di superfici minime. Queste ultime sono le superfici che possiedono due proprietà: corrispondono a punti stazionari dell energia e sono stabili. Infatti, come vedremo negli esempi che seguiranno, immergendo nell acqua saponata un telaio di metallo, vengono a crearsi come per incanto forme che, per il principio di minima energia che la natura sceglie, sono le migliori possibili. Le bolle di sapone sono uno degli argomenti più interessanti in molti settori della ricerca scientifica: dalla matematica alla chimica, dalla fisica alla biologia, ma non solo, anche nell architettura e nell arte, nel design e perfino nella pubblicità.

6 6 Effettivamente per i matematici le bolle di sapone sono modelli di una geometria delle forme molto stabili, e per gli artisti sono il simbolo della vanità, della fragilità delle ambizioni umane, della vita stessa. Ancora oggi molti studiosi stanno studiando queste strutture particolari e bellissime: è un campo ancora aperto, dove si devono ancora capire le leggi della natura. In questo elaborato propongo una lezione per ragazzi delle scuole secondarie di primo grado (a tal scopo è stato letto e rivisto da un professore di matematica delle scuole secondarie di primo grado) nel quale non saranno difficili nè il linguaggio, nè le varie esperienze per iniziare a entrare e a scoprire il mondo delle bolle di sapone. Come si dice nella frase d inizio: chi non ha mai provato a fare una bolla di sapone e osservare tutti i colori che su di essa appaiono? Tutti! Entriamo in contatto con l insegnante e la classe per sperimentare quali principi matematici si possono affrontare e apprendere con l aiuto delle bolle. Buona lettura! L insegnante deve innanzitutto preparare la classe in modo che tutti gli alunni abbiano a disposizione i telai e un po di acqua e sapone per poter realizzare ciò che vedono compiere dall insegnante. Il modo migliore affinchè tutti i ragazzi siano coinvolti in questa particolare lezione, è quello di dividere la classe in gruppi di 4 o 5 alunni al massimo e preparare per ogni gruppo un paio di banchi uniti con sopra tutto l occorrente; in tal modo tutti possono partecipare direttamente alla costruzione delle bolle attraverso il materiale a loro disposizione. Ecco il materiale che deve avere l insegnante sulla cattedra: 1. recipiente abbastanza grande e largo in modo che i telai siano immersi completamente, che contenga 4 o 5 litri di acqua; 2. misurino graduato per preparare la soluzione saponosa; 3. detersivo: fra i tanti detersivi che si sono provati si è visto che il Joy, detersivo liquido americano, è quello più indicato in questo tipo di esperienza, nel senso che le bolle risultano essere più stabili e durature sui telai. Quindi l insegnante può utilizzare il Joy o altrimenti, se non si può avere questo detersivo, si può usare anche il più comune Svelto che nelle giuste dosi è abbastanza resistente; 4. telai: 1 telaio circolare ossia un filo di metallo a forma di anello, 1 a forma triangolare, 1 a forma di quadrato abbastanza grandi;

7 7 dei bastoncini di legno leggero e del filo di cotone; 1 telaio circolare con filo di cotone leggermente più lungo del diametro fissato a due punti diametralmente opposti; 1 telaio triangolare forato ai vertici dotato di un filo legato a un vertice qualsiasi, oppure 1 telaio circolare con legato un filo di cotone ad un punto sulla circonferenza; tale filo, nei due telai, deve formare un cappio non troppo grande che rimanga all interno del triangolo o del cerchio; 1 reticolo cubico incompleto per la sella cubica, e 1 tetraedrale per la sella tetraedrica; 1 elicoide con filo e 1 catenoide; 1 palla da tennis, 1 cuffia, 1 nastro di Möebius e relativi modellini di plastica o cartoncino utili per vedere meglio le soluzioni saponose (le strutture di tali talai vengono descritti successivamente); 1 coppia di lastrine in plexiglass a 3 pioli, 1 a 4 pioli, 1 a 5 pioli e 1 a 6 pioli; alcune cannucce, 1 reticolo cubico e 1 tetraedrale. Il materiale che invece occorre a ogni gruppo è: 1. un recipiente; 2. un misurino graduato da utilizzare per preparare il liquido saponoso; 3. una boccetta di detersivo; 4. telai: 1 telaio circolare abbastanza grande; 1 telaio quadrato; 1 telaio circolare con filo; 1 palla da tennis o 1 cuffia o 1 nastro di Möebius ; 1 cubo incompleto per la sella cubica e 1 per la sella tetraedrica; 1 coppia di lastrine in plexiglass a 3 e a 4 pioli e 1 a forma di T o a forma di rombo; alcune cannucce; 1 cubo; 1 tetraedro.

8 8 Non è importante che ogni gruppo abbia le stesse strutture dei telai, è meglio anzi che nei gruppi si vari un po in modo da creare un confronto e, nel caso in cui degli alunni abbiano un particolare telaio, diventino loro i protagonisti spiegando agli altri che cosa succede alla lamina di sapone imprigionata nel relativo telaio. Il passo successivo è far preparare ai ragazzi la soluzione saponosa attraverso le proporzioni, quindi questa fase è più indicata ai ragazzi delle classi di fine seconda e di terza. Se tutti i gruppi hanno a disposizione un po di Joy l insegnante può dare la seguente indicazione 1:15. Quindi la proporzione di acqua e di sapone per preparare una soluzione saponosa con 4 litri d acqua sarà: 1 : 15 = x : 4 Per cui svolgendo tale proporzione si ottiene la quantità di detersivo da mettere: x = 4 1 = 0,26litri = 26centilitri 15 mentre se il recipiente può contenere 5 litri di acqua la quantità di detersivo sarà: x = 5 1 = 0,33litri = 33centilitri 15 Se non si dispone di Joy ma si utilizza invece lo Svelto, che si è visto funziona lo stesso, la proporzione più indicata è 1:10, cioè se il recipiente può contenete 4 litri di acqua la proporzione risulterà: 1 : 10 = x : 4 quindi la dose di detersivo da aggiungere all acqua risulta essere: x = = 0,4litri = 4decilitri Nel caso di 5 litri di acqua la quantità di detersivo Svelto da mettere sarà: x = = 0,5litri = 5decilitri Quando i ragazzi saranno arrivati a tale soluzione, grazie al misurino graduato, potranno immettere la giusta quantità di sapone nell acqua ottenendo così la soluzione saponosa più adatta. Adesso l insegnante può iniziare a immergere il telaio circolare nell acqua saponosa. La prima cosa che si può far notare ai ragazzi è come la lamina di sapone si attacca al reticolo metallico circolare: immergendo il filo di metallo nella nostra soluzione e poi estraendolo con molta delicatezza mantenendolo parallelo alla superficie del liquido, si può vedere molto bene

9 9 che la lamina si forma dapprima vicino al cerchio e mano a mano che si tira fuori il telaio si forma una specie di conca sempre più grande che alla fine si va a staccare completamente dal liquido per formare un unica lamina piana sul contorno circolare. Questo accade perchè la soluzione saponosa è una soluzione particolare dal punto di vista chimico. Infatti le molecole di sapone (o di un altro tensioattivo) sono costituite da una catena di carbonio e idrogeno, chiamata coda, alla quale è legato un gruppo carico di atomi, chiamato testa. Immerse in acqua tali molecole tendono a risalire, formando uno strato sulla superficie del liquido. Questo succede perché le code idrofobe non riescono a creare legami con le molecole di acqua e quindi tendono a disporsi al di fuori del liquido, mentre le teste idrofile vi rimangono all interno. Quindi se si estrae un contorno metallico da una bacinella di acqua e sapone, queste molecole di sapone vi si attaccano, trascinando con loro molecole d acqua. Si forma così una lamina, dello spessore di qualche unità o decina di nanometri (1nm = 10 9 m), costituita da due strati di molecole di sapone fra i quali l acqua resta intrappolata. A questo punto l insegnante fa notare ai ragazzi che, una volta formata la lamina piana sulla circonferenza metallica essa prende la forma di un disco che è proprio la superficie di area minima per il contorno circolare dato. Inoltre se si fa oscillare leggermente la lamina si formano dei ventri e si può notare che in quel preciso momento l area della lamina aumenta e non ha più la caratteristica prima citata. Ora l insegnante considera l anello con il filo di cotone legato e prova a stimolare i ragazzi per vedere che cosa succede con questa struttura. È

10 10 chiaro che, dopo aver immerso l anello nell acqua saponata, si forma una lamina identica a quella di prima con però il filo che si muove liberamente al suo interno e la suddivide in due parti. Ma che succede se si fa scoppiare una delle due parti di lamina? L insegnante quindi buca la lamina con un dito asciutto, altrimenti non scoppia, e osserva con i ragazzi cosa succede. In pratica il filo si tende dalla parte della porzione di lamina rimasta intatta. Ora il docente reimmerge l anello nella soluzione e buca la lamina dalla parte opposta a prima e si vede ora che il filo si curva dall altra parte. L insegnante può svelare la prima caratteristica delle lamine di sapone: molto semplicemente fa emergere l idea di una forza che tende il filo e tale forza è chiamata tensione superficiale. La lamina di sapone è soggetta a una forza tangente alla sua superficie e nel momento in cui si rompe una parte della pellicola (ad esempio quella sinistra), la forza esercitata sul filo della lamina di destra non è più equilibrata da quella dovuta alla presenza della lamina nella parte opposta. Ecco quindi che il filo che prima ondeggiava nella lamina, si tende bruscamente e la lamina occupa l estensione minore. I ragazzi possono provare a ripetere questo risultato utilizzando il cerchio con filo che è presente nel tavolo di ogni gruppo. Per vedere meglio come agisce la tensione superficiale l insegnante prende i due leggeri bastoncini di legno già pronti sulla cattedra, unisce con due fili di uguale lunghezza le estremità di uno con quelle dell altro, in modo da formare un rettangolo le cui basi sono i bastoncini orizzontali mentre le altezze sono i fili verticali. Immerge poi questa struttura nell acqua saponosa. Dopo averla estratta e riportata in posizione verticale, si osserva che i fili si incurvano formando approssimativamente due archi di circonferenza; il bastoncino inferiore si è avvicinato all altro bastoncino. Questo fenomeno è sempre conseguenza della tensione superficiale, che incurva i fili e solleva il bastoncino verso l alto.

11 11 Per evidenziare ancora questa forza, con un altro esperimento, l insegnante prende il telaio triangolare o circolare (come nella foto) dotato di filo di cotone a forma di cappio. Ora immerge il telaio nella soluzione facendo attenzione di mantenere allargato il cappio. La lamina che si ottiene è simile a quella di prima con il filo al suo interno che si muove liberamente. Che succederà se si fa scoppiare la porzione di lamina delimitata dal cappio? L insegnante dopo aver raccolto le varie idee, buca la parte di lamina interna al cappio e fa osservare alla classe la pellicola ottenuta. Il meccanismo è lo stesso di prima: nel momento in cui la lamina interna al laccio si rompe la forza esercitata sul filo della lamina esterna non è più equilibrata da quella dovuta alla presenza della lamina dalla parte opposta. Il filo si tende fino a diventare una circonferenza. Anche in questo caso la forza che entra in gioco è la tensione superficiale. L attenzione ora si deve spostare sul fatto che in queste due esperienze il filo del telaio assume delle forme speciali: un arco di circonferenza nel primo caso e una circonferenza completa nel secondo caso. Quindi riprendendo l ultima esperienza si è visto che:

12 12 si aveva un laccio di una certa lunghezza sospeso in un telaio triangolare; immergendolo abbiamo ottenuto una lamina triangolare o circolare piana che pensiamo suddivisa in due parti, una interna e una esterna al cappio; abbiamo poi scoppiato la porzione interna della lamina. Ma inoltre si deve far notare che, qualunque sia la forma del laccio che la contorna, la parte interna ha sempre lo stesso perimetro. Ma perchè risulta proprio una circonferenza? Ora l insegnante si dovrà occupare della geometria piana per far scoprire ai ragazzi la risposta a tale domanda. Infatti dovrà far ragionare i ragazzi chiedendo di confrontare alcune figure geometriche che hanno già studiato. Se si prende un laccio di lunghezza 12cm si possono costruire: un quadrato di lato l = 3cm; un rettangolo di base b = 5cm e altezza h = 1cm; un triangolo rettangolo di lati b = 3cm, h = 4cm e i = 5cm; un cerchio con circonferenza C = 12cm. Con l aiuto di carta e penna gli alunni dovranno calcolare le aree e al termine si confrontano i dati. I dati relativi alle aree sono: il quadrato avrà l area: l 2 = 3 2 = 9cm 2 ; l area del rettangolo sarà: b h = 5 1 = 5cm 2 ; l area del triangolo rettangolo è: b h 2 = = 6cm2 ; il raggio del cerchio è: r = C 2π = 1,91cm e l area risulta: πr 2 = 11,5cm 2. Quindi l insegnante dovrà ben specificare che figure con lo stesso perimetro non hanno necessariamente la stessa area. Da qui dovrà emergere che il cerchio ha una singolare proprietà: il cerchio è la forma geometrica che consente, a parità di perimetro, di racchiudere al suo interno l area massima. Tale proprietà prende il nome di proprietà isoperimetrica del cerchio. Questo risultato è noto da millenni e l insegnante può soffermarsi raccontando brevemente la leggenda di Didone.

13 13 La leggenda, riportata da Virgilio nel libro I dell Eneide, narra che la regina Didone si rifugiò sulla costa mediterranea dell Africa e chiese al re del luogo di concederle della terra per costruirvi una città. In segno di scherno il re le assegnò tanta terra quanta ne potesse circondare con la pelle di un toro:...taurino quantum possent circumdare tergo.... La regina fece astutamente tagliare la pelle in strisce molto sottili che, annodate, formarono una lunga fune con la quale riuscì a delimitare un ampio territorio semicircolare sulla riva del mare. È così che nacque Cartagine. L aver disposto la fune lungo un perimetro circolare consentì a Didone di ottenere la maggior estensione di terra possibile. Con lo stesso principio venivano costruite le mura di cinta di numerose città. L insegnante può continuare chiedendo ai ragazzi quale sia fra tutti i rettangoli, o triangoli o in generale poligoni con lo stesso numero di lati, aventi il medesimo perimetro, quello di area massima. Possiamo considerare, per i ragazzi delle classi prime e seconde, i rettangoli di ugual perimetro, mentre per i ragazzi di terza i triangoli. Poniamo il perimetro di un rettangolo fisso a 16 cm. I rettangoli che si possono costruire sono diversi, più o meno allungati e vediamo qual è quello che contiene l area maggiore: rettangolo num.1: base b = 7cm altezza h = 1cm perimetro p = 16cm e area A = 7 1 = 7cm 2 rettangolo num.2: base b = 6cm altezza h = 2cm perimetro p = 16cm e area A = 6 2 = 12cm 2 rettangolo num.3: base b = 5cm altezza h = 3cm perimetro p = 16cm e area A = 5 3 = 15cm 2 rettangolo num.4: base b = 4cm altezza h = 4cm perimetro p = 16cm e area A = 4 4 = 16cm 2

14 14 Come si può ben notare, i rettangoli che abbiamo costruito hanno via via area maggiore, fino ad arrivare a un quadrato, figura piana regolare, che ha l area maggiore rispetto a tutti gli altri rettangoli. Questo risultato non vale solo per questi particolari rettangoli appena costruiti ma è un risultato generale della matematica: Teorema 1 Fra tutti i rettangoli di perimetro fissato, il quadrato ha l area massima. La dimostrazione di questo teorema si può facilmente vedere anche graficamente. Costruiamo un rettangolo di base b e altezza h (ad esempio con h < b) e un quadrato di lato l che siano isoperimetrici, cioè tali che b + h = l + l = p 2 (semiperimetro), e sovrapponiamoli come nella prima figura (quella di sinistra). In tal modo si vede che il contorno del rettangolo ha una parte in comune con quello del quadrato e, dovendo essere b + h = 2l, si ottiene che il segmento orizzontale s è lungo come il segmento verticale t. Ma allora possiamo ritagliare la parte di rettangolo che avanza dal quadrato, di colore grigio e spostarla dalla posizione 1 alla posizione 2. Il rettangolo e il quadrato hanno quindi una parte bianca in comune e una parte grigria equivalente; ma il quadrato ha anche una parte in più, colorata in rosso, che indica proprio che l area del quadrato è sempre maggiore di quella di un qualsiasi rettangolo (non regolare). Se si considerano i triangoli il meccanismo è lo stesso solo che in questo caso il calcolo dell area è un po più complesso per il fatto che occorre conoscere il teorema di Pitagora per trovare l altezza, per questo si può proporre ai ragazzi delle classi terze o di fine seconda, comunque si può usare anche la formula di Erone che si conosce già nelle seconde. Consideriamo perimetro fisso del triangolo di 18cm. Iniziamo a costruire dei triangoli e mano a mano calcoliamo l area e vediamo che succede. Partiamo a considerare triangoli isosceli molto stretti:

15 15 triangolo num.1 (isoscele stretto): base b = 2cm lati obliqui l = 8cm altezza h = l 2 ( b 2 )2 = 64 1 = 7,94cm perimetro p = 18cm, area A = b h 2 = 7,94cm2 triangolo num.2 (isoscele stretto): base b = 4cm lati obliqui l = 7cm altezza h = l 2 ( b 2 )2 = 49 4 = 6,71cm perimetro p = 18cm, area A = b h 2 = 13,42cm2 triangolo num.3 (equilatero): base b = 6cm lati obliqui l = 6cm altezza h = l 2 ( b 2 )2 = 36 9 = 5,2cm perimetro p = 18cm, area A = b h 2 = 15,6cm2 triangolo num.4 (isoscele largo): base b = 8cm lati obliqui l = 5cm altezza h = l 2 ( b 2 )2 = = 3cm perimetro p = 18cm, area A = b h 2 = 12cm2 triangolo num.5 (scaleno): base b = 8cm lati obliqui l 1 = 7cm, l 2 = 3cm perimetro p = 18cm area (Erone) A = p 2 (p 2 b) (p 2 l 1) ( p 2 l 2) = 10,4cm 2 Si vede subito, come nel caso dei rettangoli, che il triangolo che ha area maggiore è proprio il triangolo equilatero (triangolo num.3) che è una figura piana regolare. Anche in questo caso il risultato è emerso dal confronto di poche figure particolari, ma vale in generale il seguente: Teorema 2 Fra tutti i triangoli di ugual perimetro, quello regolare, ossia il triangolo equilatero, ha l area massima.

16 16 Procedendo a verificare con esempi pratici tutte le figure con lo stesso numero di lati e con lo stasso perimetro si ha che le figure di maggior estensione sono proprio le figure piane regolari; e successivamente, tra tutti i poligoni regolari piani di ugual perimetro, il cerchio ha area massima. Ora dopo aver scoperto tutti questi importanti risultati si può tornare alla domanda posta in precedenza sul telaio con filo. Dagli interventi dei ragazzi deve venir fuori che il foro circolare che si forma nella lamina è la figura di area massima che è possibile realizzare con il laccio di lunghezza fissata. Da tutto ciò segue che la lamina che rimane all esterno del buco ha la minima superficie che è possibile ottenere usando quel contorno. L importante proprietà che il docente deve far emergere alla fine di questa prima parte di lavoro è che una lamina saponosa, sostenuta da un particolare telaio, cerca sempre di assumere la configurazione di minor area possibile delimitata dal contorno chiuso assegnato.

17 Capitolo 2 Lamine di sapone Affrontato in maniera abbastanza completa il discorso sulle lamine piane, ora si passa alle lamine di sapone nello spazio. Si può iniziare a vedere cosa succede cominciando a immergere dei particolari telai che si trovano sul banco. Si invitano quindi i ragazzi a provare a immergere nella soluzione i reticoli incompleti cubico e tetraedrale (sono più precisamente un telaio cubico e uno tetraedrico a cui sono stati tolti degli spigoli). Il principio che seguiranno le lamine sarà sempre lo stesso, ossia la pellicola tende ad assumere una posizione di equilibrio stabile occupando la minima area possibile. Immergendo tale telaio nell acqua saponosa si otterrà una particolare superficie detta dai matematici sella, differente dalle superfici viste finora perchè non è più piana ma è incurvata. L insegnante deve far emergere, almeno in modo intuitivo, il concetto di curvatura media di una superficie. Per fare ciò è meglio partire da un caso semplice, cercando di far capire il significato di curvatura di una linea piana. La domanda da porre è: la linea retta ha curvatura? E la circonferenza? Un esempio che può chiarire le idee degli alunni è quello di immaginarsi alla guida di una bicicletta: se la strada è rettilinea il manubrio va tenuto fermo, cioè non dobbiamo curvare, però se imbocchiamo una rotatoria dobbiamo girare il manubrio e tenerlo fermo in quella posizione, cioè dobbiamo curvare in maniera costante. A questo punto i ragazzi capiscono che le linee rette non hanno curvatura, o meglio si dice che hanno curvatura zero, a differenza di una circonferenza che è incurvata allo stesso modo in ogni suo punto: la sua curvatura quindi si dice che è costante ed è utile far vedere che tanto più grande è il suo raggio, tanto minore sarà la curvatura. Immaginiamo di essere alla guida sempre della nostra bicicletta: se imbocchiamo una rotatoria con un raggio molto piccolo, il manubrio dovrà essere girato di più girato quindi la curvatura

18 18 assume valori alti, rispetto a una rotatoria di raggio molto ampio in cui si girerà meno e la curvatura assumerà valori molto più bassi. L insegnante deve inoltre far vedere che se invece si ha una linea più complicata della retta e della circonferenza, la curvatura potrà variare punto per punto, potendo assumere qualsiasi valore. Ora se passiamo dalla curvatura di figure piane alla curvatura di superfici nello spazio, che curvatura avrà un piano o una sfera? Analogamente a prima si avrà che il piano funziona alla stessa maniera della retta per cui il piano ha curvatura zero, e la sfera funziona come la circonferenza per cui avrà curvatura costante, che dipenderà sempre dal raggio: più il raggio è piccolo, più la curvatura sarà grande, più il raggio è ampio e più la curvatura avrà valori bassi. Vediamo ora che succede invece nelle selle. L insegnante deve mostrare agli alunni che in ogni punto della sella ho due direzioni possibili: una lungo la quale sembra di scendere e l altra lungo cui sembra di salire dalla parte opposta ma in modo analogo al precedente. Le superfici che hanno tale proprietà sono proprio le selle di curvatura media zero. Ritornando alla sfera, per non creare equivoci, l insegnante preciserà che in questo caso la curvatura è costante ma diversa da zero, perchè la sfera deve contenere un dato volume, mentre nel caso della sella si forma questa particolare superficie perchè non deve contenere nessun volume ma è delimitata solo dal particolare telaio che si è utilizzato. Ciò vale anche se immergiamo l altro telaio. Il risultato sarà la sella tetraedrale che ha la stessa caratteristica della sella precedente: in ogni punto ci sono due direzioni perpendicolari, una che scende e una che sale, uguali ma opposte. Quindi è anche questa sicuramente una sella di curvatura media zero.

19 19 A questo punto l insegnante invita i ragazzi a prendere in mano altri due telai che produrranno la elicoide e la catenoide: il primo avrà una forma di elica, il secondo è formato da due circonferenze parallele con diametro uguale. I ragazzi immergeranno tali strutture e una volta formate le due lamine si osserverà ciò che ne risulta. Per quello che riguarda il telaio a forma di elica i ragazzi osservano che affinchè si formi la lamina occorre chiudere il telaio utilizzando un filo di cotone teso attraverso l asse centrale del telaio, altrimenti non si forma nessuna lamina di sapone. In questo modo, una volta immerso il telaio nell acqua saponata, si forma una pellicola compresa tra l elica metallica e il filo di cotone in tutto simile a una scala a chiocciola o un cavatappi. Tale superficie viene chiamata elicoide. L elicoide è stata studiata dal matematico francese Meusnier negli ultimi decenni del Per quanto riguarda il secondo telaio, i ragazzi osservano che immergendolo in acqua e sapone e tirandolo fuori in modo parallelo alla superficie del liquido, si forma dapprima una struttura composta da tre superfici: una di esse è un semplice disco, di raggio minore di quello degli anelli metallici, situato a metà strada e parallelo ad essi, sul cui bordo si incontrano altre due lamine (una che sale dall anello inferiore e una che scende dall anello superiore). L insegnante invita a far scoppiare la lamina circolare intermedia e ad osservare la superficie che si ottiene: è la catenoide, che non è altro che la superficie che si ottiene facendo ruotare una catenaria (esempi di catenaria sono i fili dell alta tensione che sono appesi a due estremità e formano proprio una curva di questo tipo). Questa particolare superficie è stata studiata da Eulero verso la metà del La catenoide ha una simmetria assiale e collega i due anelli circolari restringendosi verso il centro; in questo modo si ha che effettivamente

20 20 l area di questa lamina è minore della superficie laterale del cilindro che collega i due anelli. Ora se si allontano progressivamente gli anelli metallici di contorno la lamina a forma di catenoide si deforma, restringendosi sempre di più al centro, fino a richiudersi su se stessa con un salto finale che produce una coppia di dischi separati. Questa è in effetti la soluzione quando le circonferenze di bordo sono abbastanza lontane. Infatti provando a confrontare le aree delle due configurazioni si ha che l area dei due cerchi è: 2πr 2, mentre l area della superficie laterale del cilindro è: 2πrh, quindi se abbiamo che il raggio delle due circonferenze è minore rispetto all altezza del cilindro si assiste al cambio di configurazione ossia alla formazione della coppia di dischi. Dopo aver affrontato queste tematiche un po complicate, l insegnante può procedere considerando i telai di forma curiosa come la palla da tennis, le cuffie, il nastro di Möebius tenendo presente che questi tre telai non sono presenti in tutti i gruppi. A primo sguardo i primi due telai sembrano solo dei fili di ferro piegati ma l insegnante dovrà far notare ai ragazzi che tali strutture hanno evidenti simmetrie. Partiamo dal gruppo che ha sul banco il telaio a forma di palla da tennis, ossia è un filo di ferro che riproduce la linea caratteristica delle palline da tennis. L insegnante invita a immergere tale struttura nella soluzione saponosa e, una volta formata la lamina, i ragazzi devono osservarla e spiegarla agli altri compagni. La lamina che si forma è curiosa perchè ricopre la struttura da una parte ben precisa: dall altra parte, per altro simmetrica alla precedente, non si forma nulla. Invitando i ragazzi a provare a rimmegere il telaio in acqua e sapone e facendo attenzione a estrarlo nel modo contrario a prima, si nota

21 21 che la lamina ora si forma proprio nella parte opposta alla precedente. Ciò accade perchè il telaio presenta una simmetria. Queste due diverse configurazioni che si formano da una parte all altra del telaio si possono anche vedere deformando la lamina di sapone. Basta soffiare contro la pellicola delicatamente e a un certo punto si assisterà al cambio di configurazione. Ora consideriamo il gruppo che possiede il telaio a forma di cuffie. È un telaio particolare formato da quattro archi di circonferenza uguali e disposti in modo da essere paralleli e perpendicolari a due a due. Da questa forma si possono ottenere tre configurazioni differenti ma tutte e tre stabili. In questo caso è consigliato all insegnante l utilizzo di modellini di plastica o cartoncino in modo da far vedere meglio le soluzioni saponose. Se il contorno è perfettamente simmetrico due di tali soluzioni sono trasformabili l una nell altra con movimenti rigidi del telaio e hanno quindi la stessa area. In pratica, immergendo il contorno metallico nella soluzione si forma una lamina che ricopre due circonferenze parallele unite da un nastro delimitato dagli altri due anelli. L altra soluzione si otterrà allargando il telaio dalla parte del nastro di sapone e soffiandovi contro. La costruzione di un modellino è semplice:

22 22 basta ritagliare una pellicola di plastica o carta con questa forma: e piegarla lungo il nastro. La terza soluzione si ottiene lavorando un po sul telaio. Una volta immerso abbiamo la medesima configurazione di prima. Stringiamo il contorno avvicinando le coppie di circonferenze parallele e immergiamo nell acqua saponata, quindi si estrae e si mantiene stretto: si ottiene una struttura complessa che presenta due lamine intermedie disposte fra le coppie di anelli del telaio, che ne chiudono il passaggio. Ora se si bucano queste lamine intermedie e se si allenta la presa si ottiene una superficie costituita da due nastri uniti fra loro nel centro del telaio. Il modello qui è ancora semplice. Occorre una croce di plastica o carta:

23 23 e basterà ripriegare due bracci opposti verso l alto, gli altri due verso il basso e incollarne le estremità. Ora lavorerà il gruppo che ha il nastro di Möebius. È una struttura che assomiglia alla catenoide ma possiede un incrocio dei fili metallici. Immergiamo tale telaio in acqua e sapone solleviamolo in modo da mantenere il telaio parallelo all acqua. Si ottiene un sistema di lamine che si intersecano, con in mezzo un disco che chiude il passaggio. Rompendo quest ultima lamina otteniamo una superficie a una sola faccia, ossia un nastro di Möebius. Ora se allarghiamo il contorno dalla parte opposta all incrocio, il nastro si deforma fino a saltare a una nuova configurazione cioè si forma un unica lamina come nella foto. Il modellino anche qui è molto semplice perchè basta avere un rettangolo lungo e stretto, torcerlo di 180 nel senso della lunghezza e incollare le due estremità.

24 Capitolo 3 Percorsi minimi L insegnante introduce l argomento sui percorsi minimi. Infatti le lamine di sapone possono anche essere utilizzate per i problemi legati alla lunghezza minima. La prima domanda da porre ai ragazzi è: qual è il cammino più breve che collega due punti qualsiasi nel piano? I ragazzi intuiscono facilmente che la soluzione è il segmento che li congiunge. E ciò è ben visibile attraverso le lamine di sapone. A tale scopo sono state costruite delle lastre trasparenti di plexiglass piane e parallele, separate da una distanza fissa e tenute unite da alcuni pioli perpendicolari alle lastre. Per cui ora l insegnante può immergere due pioli di una qualsiasi lastra mostrando ai ragazzi che si forma esattamente ciò che loro hanno supposto, cioè una lamina attaccata ai due pioli e fa intravedere il segmento che unisce le loro estremità. La lamina che si è appena osservata avrà, per quanto detto finora, area minore di ogni altra lamina compresa tra le due lastre e delimitata dai due pioli. L insegnante ora deve porre l attenzione sulla lamina che si è formata: risulta essere perpendicolare alle lastre e la sua forma sarà di un nastro rettangolare di altezza pari alla distanza tra le lastre e di lunghezza L, pari alla distanza tra i pioli. L area della lamina assume in questo modo il valore più piccolo possibile, ed essendo l altezza nel nastro costante risulta che L è la lunghezza più piccola possibile di una curva nel piano (cioè disegnata sulla lastra) che congiunge gli estremi dei due pioli: la lamina di sapone che collega i due pioli, osservata attraverso una lastra trasparente, disegna appunto un segmento. Quindi il sistema di lastre e pioli fornisce un metodo valido per vedere la soluzione del problema del cammino più breve tra due punti fissati. Fatta tale premessa l insegnante può enunciare il problema di Steiner, studioso di geometria dell università di Berlino, al principio del 1800:

25 25 determinare il cammino avente la lunghezza totale minima fra quelli che collegano un certo numero di punti assegnati nel piano. Nel mondo delle bolle di sapone si può trovare una soluzione a tale problema. Vediamo come. Iniziamo ad affrontare questo problema: qual è il cammino di lunghezza totale minima che collega tre punti nel piano? Possiamo immaginare di dover costruire delle strade che collegano tre città situate nei vertici del triangolo, in modo che partendo da ogni città si possano raggiungere, con un percorso il più corto possibile, le altre due. I ragazzi possono iniziare a formulare le possibili soluzioni. Si può partire disegnando i vertici di un triangolo equilatero di lato l = 8cm. Le possibilità sono svariate (i lati si possono semplicemente misurare con un righello): percorso = 8 3 = 24cm altezza 6,9cm percorso 8 + 6,9 14,9cm I tre segmenti misurano: a 4,7cm, b 4,7cm, c 4,7cm percorso 4,7 + 4,7 + 4,7 14,1cm Da questi semplici conti dovrebbe emergere che solamente l ultimo percorso ha la lunghezza minore fra tutti! L insegnante invita ora i ragazzi a immergere nell acqua saponosa la lastrina triangolare che hanno sul banco. Dopo averla estratta noteranno subito che le lamine si dispongono proprio come hanno appena calcolato: è un sistema di tre lamine rattangolari, ognuna attaccata ad un singolo piolo, che si incontrano al centro del triangolo. Ma il punto di incontro delle lamine non è per nulla casuale; l insegnante invita a prendere il goniometro e a misurare proprio sulla lastra l angolo che si forma. L angolo formato da ciascuna coppia di lamine e di 120 : dal centro del triangolo si vedono i lati sotto un angolo ciascuno di 120.

26 26 Ora proviamo a vedere che cosa succede prendendo un triangolo rettangolo. La lastrina da utilizzare è quella con quattro pioli disposti nei vertici di un quadrato immergendone però solo tre. Anche qui vediamo alcune possibilità: diagonale 11,3cm percorso ,3 27,3cm percorso = 8 2 = 16cm I tre segmenti misurano: a 6,5cm, b 6,5cm, c 2,5cm percorso 6,5 + 6,5 + 2,5 15,5cm L ultima, secondo i nostri calcoli, dovrebbe essere la soluzione. Immergiamo la lastra e con un po di attenzione si potrà vedere che anche in questo caso la nostra soluzione combacia con le lamine di sapone e se si misura ancora con il goniometro l ampiezza degli angoli ottenuti al centro del triangolo, si vedrà che ancora una volta sono di 120. Il punto in cui le tre lamine si uniscono al centro del triangolo è un punto ben preciso che ha la medesima proprietà osservata prima e che si sa calcolare per ogni triangolo. Tale punto, nel triangolo, è detto punto di Fermat. Verso la metà dell Ottocento, proprio con osservazioni del tipo precedente, il fisico sperimentale Plateau riuscì a convincersi che le lamine di

27 27 sapone possono incontrarsi solo in modo speciale, e formulò la cosidetta prima legge di Plateau: Le lamine di sapone possono incontrarsi soltanto a gruppi di tre lungo uno spigolo liquido, formando angoli uguali di 120. Ora l insegnante può dare il successivo problema: qual è la rete stradale più breve che collega quattro città A, B, C e D disposte nei vertici del quadrato? Si può considerare per comodità un quadrato di lato l = 8cm e calcolare la lunghezza di alcune configurazioni: percorso = 8 4 = 32cm percorso = 8 3 = 24cm diagonale 11,3cm percorso 11,3 2 22,6cm I segmenti misurano: a 4,6cm, b 3,4cm percorso 4, ,4 21,8cm Ancora una volta la soluzione di lunghezza inferiore a tutte le altre è l ultima. In questo ultimo percorso, infatti, si vede che i vertici sono congiunti in due punti al centro del quadrato, cioè abbiamo due punti di diramazione o di Steiner, con le medesime caratteristiche di prima: tutti gli angoli misurano ancora 120. L insegnante può anche far vedere che ruotando la soluzione di 90 si ottiene un altra rete minima. Sperimentalmente basta soffiare sulla lamina centrale della H distorta per vederla apparire direttamente fra le lastre.

28 28 Ora, se l insegnante lo ritiene opportuno, può far vedere molto rapidamente le soluzioni di rete minima con 5 e 6 pioli. Si può far intuire la soluzione di queste due lastre ricordando quello che si è fatto finora: per il triangolo si era ottenuto un incrocio quindi un solo punto di diramazione, per il quadrato due, quindi sembra naturale che nel pentagono saranno tre i punti di diramazione e nell esagono saranno quattro. A tal punto l insegnante immerge prima il pentagono in acqua e sapone e dà una conferma a quanto detto sopra: Poi immerge l esagono e spiega che per l esagono ci sono tre configurazioni interessanti: le prime due che hanno esattamente quattro punti di Steiner mentre la terza, che si forma proprio lungo cinque lati dell esagono, deriva dal fatto che gli angoli sono già di 120 e anzi, facendo un po di conti quest ultima risulta essere la rete di lunghezza minima fra tutte le posssibili reti che collegano i vertici di un esagono regolare. Può essere interessante far lavorare i ragazzi proponendo due nuove lastre. Alcuni gruppi avranno una lastra con i pioli a forma di T, cioè i vertici

29 29 di un triangolo equilatero con il quarto piolo fissato sul piede dell altezza, mentre gli altri avranno la lastra a forma di rombo con un piolo nell incrocio delle due diagonali. Prima di vedere la soluzione con le lamine di sapone è opportuno far ragionare i ragazzi e ricordare la prima legge di Plateau. Non sarà così difficile arrivare alle soluzioni: nel triangolo si formeranno in tutto quattro lamine di sapone: in una metà del triangolo di partenza si forma la rete minima triangolare con un punto di Steiner, mentre il quarto punto (un vertice della base) sarà congiunto con un segmento. Per simmetria si può ottenere un altra soluzione uguale alla precedente; mentre nel rombo la soluzione è formata da sei lamine di sapone con due punti di Steiner. In pratica sono le reti minime di due triangoli opposti fra loro. Anche qui per simmetria si può vedere un altra soluzione.

30 Capitolo 4 I poliedri L insegnante parte ponendo ai ragazzi la domanda: perchè le bolle hanno una forma sferica? È interessante iniziare questa parte di esperimenti producendo delle bolle di sapone usando dapprima solo il telaio circolare e facendo emergere proprio il fatto che, non appena le bolle si stabilizzano un po cercano di assumere una forma sferica. Ma il fatto di assumere la forma sferica non è dato dall utilizzare il telaio circolare, infatti invitando i ragazzi a usare il telaio di forma quadrata o triangolare si può subito vedere che le bolle che si producono dopo un po tendono sempre alla forma sferica. Questo per lo stesso fatto descritto nelle prime esperienze. La sfera nello spazio si comporta nello stesso modo della circonferenza sul piano: quindi la lamina saponosa si dispone come una sfera proprio per il fatto che, a parità di volume, la sfera è quella che ha la superficie di area minima. Ecco quindi che il principio espresso per le curve piane vale anche per le superfici nello spazio. Quindi la risposta alla domanda precedente è che: fra tutti i solidi dello spazio aventi volume fissato, la sfera ha la superficie di area minore possibile. Quando la bolla si appoggia su una superficie piana (bagnata di acqua e sapone altrimenti scoppia), assume l aspetto di una semisfera o semibolla sempre per il fatto che ancora una volta la superficie è la minima possibile. Ma che cosa succede se avviciniamo due semibolle in maniera che si incontrino? L insegnante invita i ragazzi a provare a fare due bolle attaccate insieme sul loro banco con le cannucce prima bagnando in acqua e sapone sia le cannucce che il banco, e a osservare come si comportano.

31 31 Quando le due bolle si uniscono l una all altra, si forma una doppia bolla con tre lamine di sapone: due calotte sferiche che racchiudono le due bolle e una lamina intermedia che le mantiene separate. Le tre lamine si incontreranno lungo uno spigolo liquido formando angoli di 120, come dice la prima legge di Plateau. Si può inoltre far osservare che le calotte appoggiano sul piano in modo perpendicolare e che la lamina intermedia è incurvata verso la bolla più grande per un fatto di pressione all interno delle bolle stesse. E che succede se avviciniamo tre semibolle? I ragazzi costruiscono tre semibolle raggruppate insieme e osservano il loro comportamento: ci sono sei lamine in totale, tre calotte sferiche e tre superfici di separazione; la prima legge di Plateau continua a valere ma questa volta si formano ben quattro spigoli liquidi. Per comprendere come si congiungono gli spigoli liquidi, l insegnante invita a prendere il telaio tetraedrale, ossia a forma di una piramide regolare avente quattro facce triangolari equilatere, e cerca di condurre i ragazzi verso la soluzione corretta, sottolineando la somiglianza di questo problema con quello del percorso minimo fra tre vertici di un triangolo equilatero: il meccanismo è analogo, a differenza che ora non siamo più sul piano ma nello spazio tridimensionale. Immergiamo il telaio. Ciò che risulterà è una struttura di lamine molto particolare. Provando a contare le facce e gli spigoli si ottengono: sei pellicole piane congruenti, ciascuna a forma di triangolo isoscele avente base su uno spigolo del tetraedro e vertice nel suo centro, dove le sei lamine si incontrano. Gli spigoli liquidi sono quattro quindi si può notare che le sei lamine triangolari sono unite e gruppi di tre lungo questi quattro spigoli liquidi, che formano i lati obliqui dei triangoli isosceli e ciascuno di essi è lato di tre triangoli diversi, disposti a coppie a 120, soddisfacendo la prima legge di Plateau. Ma si può anche osservare che i quattro spigoli liquidi si congiungono nel

32 32 centro del tetraedro, formando a coppie angoli uguali. Questo nuovo fenomeno che abbiamo osservato nel tetraedro, ha una validità generale: le lamine di sapone soddisfano sempre, oltre alla prima legge di Plateau, anche la seconda legge di Plateau: In un sistema di lamine di sapone gli spigoli liquidi, in ognuno dei quali arrivano tre lamine a 120, s incontrano soltano in gruppi di quattro, formando angoli uguali di circa 109. Ora, dopo aver analizzato il tetraedro si prova a analizzare il telaio cubico: immergendo il telaio cubico che lamina si formerà? Come nel caso del tetraedro la soluzione di tale problema ha qualche somiglianza con il percorso minimo tra i quattro vertici di un quadrato. La soluzione che forse per prima si può immaginare, è che da ogni spigolo del telaio si stacchi una lamina triangolare e che tutte queste dodici lamine abbiano un vertice nel centro del cubo. Tale struttura però dovrebbe verificare le due leggi di Plateau: in effetti la prima legge è pienamente rispettata perchè le lamine si incontrano a gruppi di tre alla volta rispettando la legge dei 120 ; ma la seconda legge è evidentemente violata essendo otto le linee che concorrono nello stesso punto. A questo punto si invitano i ragazzi a immergere il telaio e vedere che succede. La soluzione è alquanto interessante. Si formano tredici lamine tutte delimitate da uno spigolo del cubo eccetto una, che si incontrano a gruppi di tre lungo dodici spigoli liquidi. A ben guardare tale sistema rispetta le regole degli angoli e le lamine che si staccano dal reticolo metallico vanno a incontrarsi all interno su una lamina piatta quadrata centrale, lamina che

33 33 risulta essere disposta parallelamente a due facce opposte del telaio cubico. In un certo senso, questa lamina quadrata è l analogo, in tre dimensioni, del segmento centrale che si presenta nel percorso di lunghezza minima congiungente i vertici di un quadrato. Ora l insegnante deve far notare ai ragazzi alcune importanti caratteristiche. Ad un primo sguardo le linee di intersezione che si formano all interno del cubo, compresi i lati della pellicola al centro, potrebbero sembrare dei segmenti di retta. In realtà non è così, sono tutte incurvate e questo accade perchè altrimenti verrebbero violate le leggi sugli angoli! Inoltre complessivamente si formano cinque lamine piane: quella quadrata centrale e le quattro superfici triangolari ad essa perpendicolari. Le rimanenti otto lamine trapezoidali sono invece incurvate. Un altra caratteristica è che tale struttura mostra evidenti simmetrie: in pratica ci sono tre posizioni di equilibrio, una con al centro un quadrato orizzontale e le altre due con un quadrato verticale ortogonale a quello precedente. Il passaggio da una configurazione all altra non è difficile, basta soffiare contro la lamina centrale. L insegnate eseguirà tale operazione un po di volte in modo che anche gli studenti siano in grado di rifarla. Interessante è soffermarsi sul passaggio di configurazione. Soffiando contro i lati della lamina centrale si modifica la struttura fino a raggiungere una posizione in cui il quadratino si riduce a un punto, situato circa nel centro del cubo. Questa posizione non è stabile, come analizzato prima, per cui immediatamente si avrà l altra posizione stabile che presenta la lamina quadrata al centro. L ultima domanda da porre ai ragazzi potrebbe essere: siete veramente sicuri che le bolle siano tutte sferiche?

34 La risposta dovrebbe essere affermativa. Allora l insegnante prende il telaio tetraedrico e cubico, uno alla volta lo immerge nell acqua saponata e, come analizzato prima, si formarà la struttura di area minima. Reimmerge poi solo la base del telaio e lo estrae. Si forma in tal modo un ulteriore lamina di sapone che modifica la struttura, formando al centro del telaio tetraedrico proprio una bolla tetraedrica e nel telaio cubico una bolla cubica. Dopo aver stupito i ragazzi, una alla volta l insegnante farà scoppiare tutte le lamine che trattengono la bolla interna, che tornerà ad avere la forma sferica liberandosi dal telaio! 34

35 Ringraziamenti Questa ultima tappa è il frutto di un periodo di vita bellissimo pieno di nuove esperienze durante il quale ho comunque imparato ad affrontare e a superare molti ostacoli, a partire dal fatto di restare lontano da casa e dal mio paese al quale non ero per nulla abituata, dall accettare i risultati degli esami che talvolta non andavano bene. Ma alla fine sono giunta al traguardo anch io!!! Questa esperienza mi ha dato anche modo di conoscere tantissime persone nuove a partire dai professori, gli esercitatori e tutti i miei compagni... ognuno speciale a modo suo, e dalle quali ho potuto apprendere molte cose nuove. Parto a ringraziare tutta la mia famiglia che mi ha dato la possibilità di compiere questo cammino di studi. In particolare mia mamma che mi ha sempre spronato ad andare avanti anche quando le cose non sembravano andare sempre bene, mio papà e i miei fratelli, mia nonna con tutte le sue preghiere prima degli esami e tutti i parenti che ansiosi mi chiedevano sempre com erano andati gli esami. Poi il mio fidanzato Denis che mi ha sempre incoraggiato e rispettato in tutte le mie scelte e talvolta sopportato nei momenti di rabbia. Un ringraziamento particolare a tutti gli amici dell università, in particolare ai coinquilini di casa Costanzi : a Marco per tutte le risate fatte insieme e per l immenso aiuto che mi ha dato per portare a termine questo elaborato, a Thomas e a Cipro per la loro allegria e spensieratezza, a Maria per tutte le volte che si è occupata di noi in modo affettuoso, a Marghe perchè mi è sempre stata vicina, a Sabry per aver rinnovato l ultimo periodo in appartamento. Grazie anche a Rosj per le chiaccherate fatte insieme e per la sua allegria, Ilaria per le cene condivise e a tutti i compagni di corso: Michele, Simo, Silvia, Alice, Sara, Trentista, Ester, Giorgio, Demy,... Grazie a tutti i miei amici della banda G. Verdi del mio paese, in particolare al presidente Luisa e al vicepresidente Sergio, che hanno sempre accettato tutte le mie assenze nei tre anni vissuti a Trento e che non mi hanno mai fatto pesare questo fatto, anzi mi sono sempre venuti incontro. Grazie alle ragazze del coro che anche loro hanno capito e rispettato questa mia scelta. Grazie anche a: Nadia per i passaggi in macchina, Eleonora,