I teoremi della funzione inversa e della funzione implicita

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1 I teoremi della funzione inversa e della funzione implicita Appunti per il corso di Analisi Matematica 4 G. Mauceri Indice 1 Il teorema della funzione inversa 1 Il teorema della funzione implicita 3 1 Il teorema della funzione inversa Supponiamo che f : I R sia una funzione differenziabile in un intervallo I e che f (x) 0 per ogni x I. Allora f è strettamente positiva o strettamente negativa in tutti i punti di I e quindi f è strettamente monotona su I. Pertanto f è invertibile, la sua inversa f 1 è derivabile su f(i) e (f 1 ) 1 (y) = f (f 1 (y)). La situazione è più complicata in R n, n > 1. Infatti è possibile che una funzione F definita su un aperto A di R n a valori in R n sia di classe C 1 e che il suo differenziale sia invertibile in tutti i punti di A (cioè che det F (x) 0 per ogni x A), senza che F sia invertibile su A. Ad esempio la funzione F : R + R R definita da F (ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ) non è iniettiva su R + R nonostante che det F (ρ, θ) = ρ > 0 per ogni (ρ, θ) A. Tuttavia sussiste il seguente risultato di invertibilità locale. Teorema 1.1 (Teorema della funzione inversa) Sia F una funzione di classe C 1 in un aperto che contiene il punto a e supponiamo che det F (a) 0. Allora esistono un intorno aperto V di a e un intorno aperto W di F (a) tali che F : V W ha un inversa continua G : W V che è differenziabile. Inoltre G (y) = [F (G(y)] 1 per ogni y W. Dimostrazione. Per semplificare le notazioni assumiamo che a = F (a) = 0 e che F (0) = I. Ci si può sempre ricondurre a questo caso considerando invece di F la funzione Φ = Λ F Λ 1 ottenuta componendo F con le due trasformazioni affini Λ 1 e Λ di R n definite da Λ 1 (x) = x + a, Λ (y) = T 1 (y F (a)), dove T è la trasformazione lineare df a, che è invertibile perché det F (a) 0. Si noti che Λ 1 e Λ sono invertibili su tutto R n e che le loro derivate 1

2 G. Mauceri - Appunti per il corso di Analisi Matematica 4 e le derivate delle loro inverse sono costanti. Precisamente si ha che Λ 1 = I, Λ = T 1, (Λ 1 1 ) = I e (Λ 1 ) = T. Pertanto la formula per la derivata di F 1 segue dalla relazione F 1 = Λ 1 1 Φ 1 Λ 1 e dal teorema di derivazione della funzione composta. Supponiamo dunque che a = F (a) = 0 e che F (0) = I. Dimostreremo che (a) esiste un intorno U di 0 in cui F è iniettiva. Più precisamente, F (x) F (z) 1 x z x, z U. (1.1) (b) F (U) contiene un intorno W di 0; (c) Posto V = U F 1 (W ), la funzione F : V W ha un inversa continua G : W V che è differenziabile. Inoltre G (y) = [F (G(y)] 1 per ogni y W. Dimostrazione di (a). Poiche F (0) = I e F è continua in 0, esiste un δ > 0 tale che, se x < δ, allora I F (x) < 1 e det F (x) 0. Sia U = {x : x < δ}. Definiamo H(x) = x F (x). Allora H (x) = I F (x) < 1 per ogni x in U. Pertanto per il teorema di Lagrange vettoriale per ogni x, z in U. Quindi H(x) H(z) < 1 x z (1.) F (x) F (z) = x z (H(x) H(z)) x z H(x) H(z) x z 1 x z = 1 x z. Questo dimostra (a). Dimostrazione di (b). Fissiamo ɛ tale che 0 < ɛ < δ/ e poniamo W = {y : y < ɛ}, K = {x : x ɛ}. Dimostreremo che per ogni y in W l equazione F (x) = y ammette una soluzione x in K, necessariamente unica per il punto (a). Per dimostrare l esistenza della soluzione applicheremo il teorema dell esistenza del punto fisso di Banach. L equazione F (x) = y è equivalente all equazione y + x F (x) = x, ovvero y + H(x) = x. Basta quindi dimostrare l esistenza di un punto fisso in K per la funzione x y + H(x). Per la (1.) la funzione x y + H(x) è una contrazione. Dimostriamo che H(K) K. Se x K allora H(x) H(x) H(0) + H(0) < 1 x + y < ɛ e quindi H(x) K. Poiché K è completo (come sottospazio chiuso di R n ), la restrizione di H a K è una contrazione dello spazio metrico K in sé e quindi ha un unico punto fisso.

3 Il teorema della funzione implicita 3 Questo significa che per ogni y in W l equazione F (x) = y ammette una soluzione x in K, cioè W F (K) F (U). Questo dimostra (b). Dimostrazione di (c). Posto V = U F 1 (W ), per (b) per ogni y in W esiste un x in V tale che F (x) = y. Tale che x è unico per (a). Quindi la funzione F : V W è invertibile. Denotiamo con G : W V l inversa. Allora per la (1.1) G(y) G(t) y t (1.3) per ogni y, t W. Quindi G è continua su W. Dimostriamo ora che G è differenziabile. Siano y 0, y W, x 0, x V tali che F (x 0 ) = y 0, F (x) = y. Allora F (x) F (x 0 ) = F (x 0 )(x x 0 ) + R(x), R(x) lim x 0 x = 0. (1.4) Poiché det F (x) 0 per ogni x V U, F (x 0 ) è invertibile. Quindi Pertanto x x 0 F (x 0 ) 1( F (x) F (x 0 ) ) = F (x 0 ) 1 R(x). G(y) G(y 0 ) F (x 0 ) 1 (y y 0 ) = x x 0 F (x 0 ) 1 (F (x) F (x 0 )) = F (x 0 ) 1 R(x) = F (x 0 ) 1 R(G(y)). Per dimostrare che G è differenziabile in y 0 e che G (y 0 ) = ( F (x 0 ) ) 1, basta quindi dimostrare che F (x 0 ) 1 (R(G(y)) lim = 0. y 0 y Ora, se y 0, F (x 0 ) 1 (R(G(y)) y F (x 0 ) 1 R(G(y)) y = F (x 0 ) 1 R(G(y)) G(y) G(y) y. (1.5) Poiché G è continua e G(0) = 0 il secondo fattore in (1.5) tende a 0 per la (1.4). Prendendo t = 0 nella (1.3) si vede che il terzo fattore è minore o uguale a. Quindi il prodotto tende a 0. Questo prova che G è differenziabile in y 0 e che G (y 0 ) = (F (x 0 )) 1. Il teorema della funzione implicita Consideriamo la funzione f : R R definita da f(x, y) = x + y 1. L insieme dei punti (x, y) in R che soddisfano l equazione f(x, y) = 0 è la circonferenza C di centro l origine e raggio 1. È ben noto che C è il grafico di una corrispondenza di di R in R

4 4 G. Mauceri - Appunti per il corso di Analisi Matematica II che non è una funzione. Tuttavia localmente, in un intorno di ogni suo punto, C può essere considerato come grafico di una funzione rispetto all asse delle ascisse oppure rispetto all asse delle ordinate. Precisamente, se fissiamo un punto (a, b) C con a 1, 1, esistono un intorno V di (a, b) in R, un intervallo aperto I di centro a e una funzione g : I R tale che C V = {(x, g(x)) : x I}. Se b > 0 la funzione g ha l espressione g(x) = 1 x. Invece se b < 0 la funzione g è data da g(x) = 1 x. Invece, comunque si fissi un intorno V dei punti (±1, 0), C V non è il grafico rispetto all asse delle ascisse di una funzione. Tuttavia localmente, in un intorno di ciascuno di questi punti, C è il grafico rispetto all asse delle ordinate di una funzione reale definita in un intorno di 0. Ad esempio, esistono un intorno V di (1, 0), un intervallo aperto I contenente 0 e una funzione g : I R tale che C V = {(g(y), y) : y I}. La funzione g è data dall espressione g(y) = 1 y. Analogamente, in un intorno del punto ( 1, 0), C è il grafico della funzione g(y) = 1 y. Definizione. Sia f una funzione definita in un aperto A R. Denotiamo con S l insieme delle soluzioni dell equazione f(x, y) = 0 e sia (a, b) S. Se esistono un intorno V del punto (a, b), un intorno I di a e una funzione g : I R tali che S V = {(x, g(x)) : x I}, diremo che l equazione f(x, y) = 0 definisce implicitamente la funzione g nell intorno V. È evidente che la funzione definita implicitamente soddisfa l equazione f(x, g(x)) = 0 per ogni x I. In altri termini, per ogni valore del parametro x in I, y = g(x) è soluzione dell equazione f(x, y) = 0. Nella definizione precedente il ruolo delle due variabili può essere scambiato: se esistono un intorno V del punto (a, b), un intorno J di b e una funzione γ : J R tali che S V = {(γ(y), y) : y J}, anche la funzione γ si dice implicitamente definita dall equazione f(x, y) = 0 nell intorno V. Non sempre un equazione f(x, y) = 0 definisce implicitamente una funzione in un intorno di una sua soluzione. Ad esempio l insieme delle soluzioni dell equazione xy = 0 è l unione degli assi cartesiani, che in ogni intorno di (0, 0) non è il grafico di una funzione, né rispetto all asse delle ascisse né rispetto all asse delle ordinate. È quindi importante disporre di un criterio semplice per decidere quando un equazione definisce implicitamente una funzione. La risposta a questo problema è fornita da un teorema di Dini, noto anche come teorema della funzione implicita. Teorema.1 (Teorema della funzione implicita) Sia f una funzione reale definita in un aperto A di R. Supponiamo che f sia di classe C 1 in A. Sia (a, b) un punto di A tale che f(a, b) = 0, f y(a, b) 0. Denotiamo con S l insieme delle soluzioni dell equazione

5 Il teorema della funzione implicita 5 f(x, y) = 0. Allora esistono un intorno V di (a, b), un intorno I di a e una funzione g : I R tale che S V = {(x, g(x)) : x I}. La funzione g è differenziabile e g (x) = f y(x, g(x)) f x(x, g(x)) per ogni x in I. Se f è di classe C k, k 1, anche g è di classe C k in I. Dimostrazione. Consideriamo la funzione F : R R definita da F (x, y) = (x, f(x, y)). Allora ( ) det F 1 0 (a, b) = det f x(a, b) f y(a, = f b) y(a, b) 0. Per il teorema della funzione inversa (Teorema 1.1) esistono un intorno aperto V di (a, b) e un intorno aperto W di F (a, b) = (a, 0) tali che la funzione F : V W ha un inversa differenziabile G : W V. Possiamo supporre (considerando degli intorni più piccoli se necessario) che W sia della forma I J, dove I è un intorno di a e J è un intorno di 0, e che f y(x, y) = det F (x, y) 0 per ogni (x, y) in V. Ponendo G(x, y) = ( G 1 (x, y), G (x, y) ) si ottiene (x, y) = F (G(x, y)) da cui si deduce che = F (G 1 (x, y), G (x, y)) = ( G 1 (x, y), f(g 1 (x, y), G (x, y)) ), G 1 (x, y) = x, f ( x, G (x, y) ) = y (x, y) W. In particolare, se prendiamo g(x) = G (x, 0), si ottiene che f ( x, g(x) ) = 0, x I. Quindi ( x, g(x) ) S V. Questo dimostra che { ( x, g(x) ) : x I} S V Viceversa, se (x, y) S V, si ha che x I e f(x, y) = 0. Quindi F (x, y) = (x, f(x, y)) = (x, 0). Pertanto (x, y) = G ( F (x, y) ) = G(x, 0) = (x, G (x, 0)) = (x, g(x)). Quindi y = g(x). Questo dimostra che S V = {(x, g(x)) : x I}. La funzione g è differenziabile perché lo è G. Possiamo calcolarne la derivata. Infatti, derivando entrambi i termini della relazione f(x, g(x)) = 0 si ottiene f x(x, g(x)) + f y(x, g(x)) g (x) = 0. Poiché f y(x, g(x)) 0 per ogni x in I, risolvendo rispetto a g (x) si ottiene g (x) = f x(x, g(x)) f y(x, g(x)).

6 6 G. Mauceri - Appunti per il corso di Analisi Matematica II Se f è di classe C k il secondo membro di questa identità, e quindi g, è di classe C k 1. Pertanto g è di classe C k. Il teorema di Dini si estende a più variabili. Supponiamo che A sia un aperto in R n R m e che f : A R m sia una funzione differenziabile. Indichiamo con f i, i = 1,..., m le componenti di f. Sia S = {(x, y) R n R m : f(x, y) = 0} l insieme delle soluzioni dell equazione vettoriale f(x, y) = 0 e sia (a, b) un punto di S. Se esistono un intorno V del punto (a, b) in R n R m, un intorno I di a in R n e una funzione g : I R m tali che S V = {(x, g(x)) : x I}, diremo che l equazione f(x, y) = 0 definisce implicitamente la funzione g nell intorno V. L equazione vettoriale f(x, y) = 0 equivale alle m equazioni scalari f 1 (x 1, x,..., x n, y 1, y,..., y m ) = f m (x 1, x,..., x n, y 1, y,..., y m ) = 0 (.6) Trovare la funzione vettoriale g : I R m definita implicitamente dalle equazioni (.6) significa trovare m funzioni scalari g i : I R, i = 1,..., m tali che f 1 (x 1, x,..., x n, g 1 (x 1, x,..., x n ),..., g m (x 1, x,..., x n )) = f m (x 1, x,..., x n, g 1 (x 1, x,..., x n ),..., g m (x 1, x,..., x n )) = 0 (.7) per ogni x in I. In altri termini significa risolvere il sistema (.6) nelle incognite y i, considerando le variabili x j come parametri. La soluzione è data da y i = g i (x 1,..., x n ). L enunciato e la dimostrazione del teorema di Dini vettoriale sono del tutto analoghi a quelli del teorema scalare. Se f è una funzione differenziabile in un aperto di R n R m, denoteremo con f x la matrice Jacobiana di f rispetto alle variabili in R n e con f y la matrice Jacobiana di f rispetto alle variabili in R m. Teorema. (Teorema della funzione implicita vettoriale) Sia A un aperto di R n R m, f : A R m una funzione di classe C 1 in A. Sia (a, b) un punto di A tale che f(a, b) = 0 e det f y(a, b) 0. Denotiamo con S l insieme delle soluzioni dell equazione f(x, y) = 0. Allora esistono un intorno V di (a, b), un intorno I di a e una funzione g : I R m tale che S V = {(x, g(x)) : x I}. La funzione g è differenziabile e g (x) = (f y(x, g(x))) 1 f x(x, g(x)) (.8) per ogni x in I. Se f è di classe C k, k 1, anche g è di classe C k in I. Osservazione. La relazione (.8) è un identità tra matrici. A primo membro compare la matrice Jacobiana di g, che è una matrice m n. A secondo membro compare il prodotto tra l inversa della matrice m m f y(x, g(x)) e la matrice m n f x(x, g(x)).

7 Il teorema della funzione implicita 7 Un espressione più esplicita delle derivate parziali delle componenti g 1,..., g m di g è data da g i (x) = det f ij(x, g(x)) det f y(x, g(x)). (.9) dove f ij = (f 1,..., f i 1, f i, f i+1,..., f m ) (y 1,..., y i 1, x j, y i+1,..., y m ) è la matrice che si ottiene dallo Jacobiano f y sostituendo gli elementi della i-esima colonna con le derivate parziali di f 1,..., f m rispetto a x j. Per ottenere la (.9) basta derivare rispetto a x j le relazioni f 1 (x, g 1 (x),..., g m (x)) = f m (x, g 1 (x),..., g m (x)) = 0, (.10) ottenendo il sistema f 1 (x, g(x)) + f 1 y 1 (x, g(x)) g 1 (x) f 1 y m (x, g(x)) gm (x) = f m (x, g(x)) + fm y 1 (x, g(x)) g 1 (x) fm y m (x, g(x)) gm (x) = 0, (.11) Risolvendolo con la regola di Cramer si ottiengono le (.9).