I Grandi Matematici Italiani online. Gino Fano Reti di complessi lineari dello spazio S 5 aventi una rigata assegnata di rette-centri

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1 I Grandi Matematici Itaiani onine GINO FANO Gino Fano Reti di compessi ineari deo spazio S 5 aventi una rigata assegnata di rette-centri Rendiconti Acc. Naz. Lincei, Serie 6, Vo. II (1930), p < Articoo digitaizzato ne quadro de programma bdim (Bibioteca Digitae Itaiana di Matematica) SIMAI & UMI

2 Articoo digitaizzato ne quadro de programma bdim (Bibioteca Digitae Itaiana di Matematica) SIMAI & UMI

3 RENDICONTI DELLE SEDUTE DELLA REALE ACCADEMIA NAZIONALE DEI LINCEI Casse di Scienze fisiche, matematiche e naturai Seduta de 2 febbraio 1930 (Anno Vii) Presidenza de sen. prof. A. GARBASSO MEMORIE E NOTE DI SOCI Matematica (Geometria). Reti di compessi ineari deo spazio S 5 aventi una rigata assegnata di rette-centri. Nota () de Corrisp. GINO FANO. 1. La geometria dea retta, in particoare dei compessi ineari di rette e oro fasci, in uno spazio quasiasi è stata già abbastanza ampiamente studiata ( 2 \ Neo spazio a 5 dimensioni, un compesso ineare di rette è in generae privo di punti singoari (compesso generae), ma può anche avere una retta-centro oppure uno spazio S 3 -centro, uoghi di punti singoari (compessi singoari, o degeneri, risp. di i a e di 2 a specie). Rappresentato i compesso coltequazione ineare in coordinate di retta S ^ ^ = o, contenente 15 termini corrispondenti ae combinazioni binarie degi indici da 1 a 6, i tre casi corrispondono a'ipotesi che, assunto au an, a caratteristica de determinante emisimmetrico \an\, che è certamente pari, vaga risp. 6,4,2. La poarità rispetto a un compesso generae associa ad ogni retta un S 3 poare e viceversa, senza eccezioni; questo S 3 non incontra quea retta, oppure a contiene, secondo che a retta non appartiene o (1) Presentata nea seduta de 2 febbraio (2) Per a etteratura reativa, cfr. nea Encyk. der Mathem. Wissenschaften i due articoi III C 7 (SEGRE, Mehrdimensionae Ràume, in part. n. 22) e III G 8 (ZINDLER, Agebraische Liniengeometrie, in part. n. 23). V. anche BERTINT, Introduzione aa geometria proiettiva degi iperspari -.. (2 a ediz., 1923; cap. V). Fra i avori più recenti in argomento ricordo COMESSATTI, «Atti R. 1st. Veneto», to. 80, parte 2 a, , p RENDICONTI. 1930, Voi. XI. 15

4 228 appartiene a compesso. Ad ogni piano viene associato un piano poare, che ha a comune co primo un soo punto, oppure coincide con esso; in quest'utimo caso si ha un piano totae de compesso (cioè e cui rette appartengono tutte a compesso). Un compesso singoare di i a specie si compone degi oo? spazi S3 rigati (S 3 totai) che daa retta-centro proiettano e rette di un compesso ineare generae di uno spazio S 3 non incidente aa retta-centro; un compesso singoare di 2 a specie si compone dee rette incidenti a suo spazio S 3 -centro. I vari tipi di fasci di compessi ineari in S s sono stati determinati da E. v. Weber W. Per sistemi ineari di tai compessi di dimensione > 1 acune caratteristiche numeriche sono state determinate da F. Paatini^. Avendo avuto occasione di approfondire questioni uteriori, mi è parso che acuni risutati presentino un certo interesse : ad essi sono dedicati a Nota presente, ed una successiva. Riferendomi sotanto a compessi ineari, quest'utima quaifica sarà tavota sottintesa. 2. Una rete di compessi ineari di S 5 de tipo più generae contiene un sistema co 1 eittico d'indice 3 di compessi singoari di i a specie, e cui rette-centri formano una rigata eittica de 6 ordine R 6 <3). Ogni R 6 di S 5 ha sempre ameno una cubica piana direttrice; e ne ha precisamente 1) o due (soe) distinte, ed è i caso più generae; oppure 2) una soa (1) Théorie der Système Pfaff'scher Gìeichungen, «Math. Ann.», 55, 1901, p. 386; cfr. in part. 7. Come appare da titoo, a cassificazione dei fasci di compessi viene appicata ao studio dei sistemi di equazioni Pfaffiane. Dovendone approfittare in seguito, indico qui gi 11 tipi di fasci, con quache maggior dettagio geometrico : I. Fasci i cui compesso generico non è singoare. I fascio può aora contenere : 1) tre distinti compessi singoari di i a specie; si determina con due di questi, sceti in modo che a retta-centro di ciascuno dei due non appartenga a'atro; 2) due soi compessi singoari di i a specie, uno dei quai ne assorbe due de caso precedente; 3) un unico compesso singoare di i a specie; a sua retta-centro appartiene a tutti gi atri compessi de fascio, e ha come S 3 poare fisso un S 3 totae de primo; 4) due compessi singoari risp. di i a e 2 a specie, a retta-centro e spazio-centro sghembi; 5) un soo compesso singoare di 2 a specie, i cui spazio-centro ha rispetto agi atri compessi de fascio una retta poare fissa, in esso contenuta. II. Fasci di compessi tutti singoari, generamente di i a specie: 6) Le rette-centri sono a 2 a 2 sghembe e formano un regoo, i cui spazio è S 3 totae per tutto i fascio; 7), 8) e rette-centri passano per uno stesso punto P e formano un cono quadrico, o risp. un fascio di rette ; i due casi si distinguono secondo che i compessi hanno a comune un unico S 3 totae, o un fascio di tai S 3 ; i fascio 8) contiene anche un compesso singoare di 2 a specie; 9), io) fasci a retta-centro fissa, che proiettano da questa fasci di compessi ineari di S 3 contenenti due compessi speciai distinti, ovvero uno soo. Infine: 11) fascio di compessi tutti singoari di 2 a specie, i cui spazi-centro formano' anche fascio (cioè stanno in un S 4, e hanno a comune un S 2 ). (2) «Atti R. 1st. Veneto», 40, parte 2 a, 1900-or, p Un avoro successivo deo stesso A. («Giorn. di Matem.», 41, 1903) è dedicato ai compessi ineari e oro fasci in uno spazio quaunque. (3) PALATINI, nota cit. degi «Atti 1st. Veneto».

5 229 (due infinitamente vicine) ; o infine 3) un intero fascio (razionae)ò). I tipo 1) è generato da due cubiche piane in piani indipendenti, riferite in una corrispondenza birazionae non proiettiva. I tipo 2) è caratterizzato daa proprietà che o spazio S 4 determinato dae 3 generatrici uscenti da punti aineati dea direttrice cubica contiene sempre i piano di questa stessa inea. I tipo 3 è generato da cubiche in piani indipendenti e in corrispondenza proiettiva; pensando questa corrispondenza proiettiva estesa agi interi piani dee due cubiche, e congiungenti dee oo 2 coppie di punti omooghi sono e direttrici rettiinee di una V 3 3, varietà oo 1 razionae normae di piani ( 2 \ i cui piani contengono e co 1 direttrici cubiche di R 6. I tre tipi anzidetti di R 6 dipendono risp. da 36,35,33 parametri. Poiché anche.e reti di compessi ineari di S s dipendono da 36 parametri, nasce a domanda se ogni R 6 de tipo 1) sia uogo dee rette-centri dei compessi singoari di quache rete, e di quante. Vedremo ch'essa è tae per quattro reti, una dee quai però degenera nei casi 2) e 3). Sia R 6 una rigata de tipo 1), coe direttrici cubiche y, y' contenute rispettivamente nei piani TC, 7u'. Per ogni rete di compessi ineari avente R 6 come rigata dee rette-centri dei compessi singoari, i piani TU, TU' saranno piani totai dea varietà base. Viceversa, ogni generatrice k di R 6 è retta-centro di 00 3 compessi singoari di i a specie contenenti i piani totai TU, TU', e nessuno dei quai contiene R 6 ; infatti R 6 è proiettata da k sopra un S 3 secondo una rigata R 4 con due rette direttrici doppie, e fra gi co3 compessi ineari di S 3 contenenti queste due rette nessuno contiene R 4. Gi oo3 compessi considerati di retta-centro k segano dunque uteriormente R 6 secondo i gruppi di generatrici di una serie ineare competa g 3 4, fra i quai gruppi precisamente quattro (distinti) G 4 costituiscono gi eementi doppi di invouzioni razionai g 2 sopra R 6^; e queste quattro 'g 2 hanno a oro vota quea g 3 4 come serie ineare doppiai). Variando k sopra R 6, i gruppi somme di k contata due vote e dei corrispondenti G 4 appartengono sempre aa gè* segata su R 6 daa totaità di compessi ineari di S 5 ; perciò e serie somme di k e dee 4 corrispondenti g 2 coincideranno sempre rispettivamente coe 4 ben determinate g 2 3 aventi per serie doppia a detta g6 s. Questa g^ è inotre a serie somma dee due g 2 3 (di- (1) C. SEGRE, Ricerche sue rigate eittiche..., «Atti R. Accad. di Torino», 21, V. anche U. PERAZZO, Sua incidenza di rette, piani e spari ordinari..., «Mem. R. Accad. di Torino» (2), 54, (2) C. SEGRE, Sue varietà normai a tre dimensioni..., «Atti R. Accad. di Torino», 21, x (3) Rappresentata a gfi con una quartica eittica di S 3, sono queste e g 2 aventi gi eementi doppi in un piano; cioè quee determinate dae generatrici dei 4 coni quadrici passanti per a quartica. x (4) Sopra una cubica piana (ad es.), ogni g 2 è segata dae rette passanti per un punto fisso dea cubica, e i gruppo dei suoi 4 eementi doppi da una conica tangente aa cubica in. questo stesso punto.

6 230 stinte) costituite dae terne di generatrici di R 6 che incontrano rispettivamente e cubiche y ï' i n punti aineati (o si vede subito riferendosi a un compesso singoare di 2 a specie con spazio-centro incidente secondo rette sia a re che a TI'). Fissiamo ora ad arbitrio sopra R 6 una dee quattro g 2 3 aventi come serie doppia a g6 s segata dai compessi ineari. Rispetto a questa g 2 3 ogni generatrice k di R 6 ha uria g 2 residua, e vi è sempre un determinato compesso singoare T, di retta-centro k, contenente i 4 eementi doppi (G 4 ) di questa g 2 e i piani totai n, 7u', ma non R 6. A variare di k sopra R 6, questi gruppi k 2 + G 4 (di sei generatrici) non soo sono equivaenti, ma stanno in una gè 2 (rappresentata a g 2 3 iniziae con una cubica piana, sono i gruppi ivi segati dae coniche poari dei punti dea cubica; coniche contenute a oro vota nea rete di tutte e coniche poari). E i minimo sistema ineare contenente gi co 1 compessi V è appunto una rete. Basta a'uopo accertare che 'insieme dei compessi F, co 1 ed eittico, è d'indice 3. Ora per una generatrice arbitraria k di R 6 passano escusivamente un compesso T in corrispondenza aa g 2 che ha k come eemento doppio, e que'atro per cui k è retta-centro. Per i primo, k è intersezione sempice con R 6 ; sicché R 6 non giace su'inviuppo dei compessi T, e perciò que T conta sempicemente fra i compessi de sistema passanti per k. Conta invece doppiamente i secondo, pe quae k è retta doppia. Compessivamente se ne hanno dunque 3 passanti per k. 2 In corrispondenza ae 4 serie g 3 sopra considerate, troviamo atrettanti sistemi di compessi T, e atrettante reti che i contengono e hanno R 6 come uogo dee rette-centri dei compessi singoari. Entro ciascuna di queste reti, appartengono ad un fascio quei compessi che segano su R 6 gruppi di generatrici di una stessa ge ; e a questi gruppi corrispondono, sua cubica rappresentativa dea g 2 3 /quei segati da coniche poari di punti aineati. Perciò a g 2 3 iniziamente fissata su R 6 è quea costituita dae terne di generatrici che sono rette centri di compessi F di un medesimo fascio. Pertanto: Le generatrici di una rigata eittica R 6 di S s con due (e non più) direttrici cubiche distinte sono rette-centri dei compessi singoari {ài i a specie) di quattro diverse reti. Le terne di generatrici che sono rette-centri di compessi di un medesimo fascio entro e singoe reti formano e quattro diverse g 2 3 aventi come g doppia a serie segata su R 6 daa totaità dei compessi ineari di S 5. La stessa g e atresì somma.dee due g 2 3 (distinte) costituite dae terne di generatrici appoggiate a'una 0 rispettivamente a'atra direttrice cubica in punti aineati. I ragionamento precedente è appicabie ae rigate R 6 dei tipi 2) e 3) soo con opportune modificazioni; invero R^ è aora proiettata da una sua generatrice ne caso 3) secondo una quadrica doppia, e ne caso 2) secondo una R 4 con un'unica direttrice rettiinea, tae perciò che vi sono oo com-

7 231 pessi ineari di S 3 contenenti R 4 e questa direttrice. Senza trattenermi su queste modificazioni, mi imito a osservare che in questi casi vengono a coincidere, su R 6 2, e due g 3 dee terne di generatrici appoggiate aye rispettivamente y' in punti aineati, e con essi perciò anche a g 2 3 dee rette-centri dei compessi di uno stesso fascio entro una dee 4 reti trovate. Questa rete, a imite, risuta composta di compessi tutti singoari di 2 a specie, cogi spazi-centro passanti ne caso 2) per i piano de'unica cubica direttrice, ne caso 3) per i piano di una fra e oo 1 cubiche. La rigata R 6 rimane uogo dee rette-centri dei compessi singoari di atre tre reti. Per a R 6 con oo 1 direttrici cubiche questo viene anche confermato dae considerazioni esposte a n. seguente. 3. Quando e rette-centri dei compessi singoari di una rete formano una rigata R 6 de tipo 3) (), a varietà base dea rete contiene come piani totai i piani dee co 1 direttrici cubiche di K 6, formanti una V 3 3 ; e a rete è perciò contenuta ne sistema ineare A di tutti i compessi contenenti questi oo 1 piani rigati. Nea varietà M 14 8 di S I4 costituita dae rette di S 5 questi co 1 piani rigati sono anche piani, e formano una V 6 3 di S 8 con co 2 coniche direttrici (immagini dei regoi direttori di V 3 3 ); per i detti piani rigati passano dunque (precisamente) oo* compessi ineari di S 5. Rappresentando proiettivamente i oro sistema A sopra uno spazio S 5, ai compessi singoari di i a e 2 a specie contenuti in A corrispondono rispettivamente punti di una M 3 4 e di una superficie F 4 di Veronese ; quest'utima doppia per a M 3 4, mentre a prima è uogo dei piani tangenti di F 4 e dei piani dee sue oo 2 coniche. Ae reti di compessi contenute in A corrispondono perciò i piani di S $ ; e per questa via si possono determinare tutti i vari tipi di quee reti: nee reti di tipo più generae i compessi singoari hanno per rette-centri appunto e generatrici di una R 6 contenuta in V In particoare, i piani dee coniche di F 4 sono immagini di reti di compessi singoari aventi una retta centro fissa, direttrice di V 3 3. Nasce così una corrispondenza proiettiva fra i due sistemi oo 2 dee coniche di F 4 e dee direttrici rettiinee di V 3 3 ; e a una R 6 eittica formata da queste direttrici corrisponde un sistema eittico co 1 d'indice 3 di coniche di F 4. Accoppiando queste coniche secondo e ire invouzioni eittiche di 2 ordine contenute ne oro sistema, si hanno su F 4 quartiche riducibii di tre diverse reti; i piani assi di queste reti (tutti incidenti ai piani di quee oo 1 coniche di F 4 ) sono e immagini, in S s, dee tre reti di compessi aventi a data R 6 come rigata dee rette-centri. Risuta così confermato che Ogni rigata eittica R 6 con oo 1 cubiche direttrici e uogo dee rette centri di tre diverse reti di compessi ineari. (1) I prof. G. GHERARDELLI mi,comunica che gi oo 2 compessi ineari contenenti a rigata dee tangenti di una C 6 eittica normae formano appunto una rete di questo tipo particoare. Mi auguro egi possa presto pubbicare i suoi risutati, appicandoi atresì ao studio dee C 6 eittiche di S 3 appartenenti a un compesso ineare.

8 Un piano di S s non contenuto nea M 4^ anzidetta può incontrare F 4 in 1,2,3 P unt U esso è aora immagine di una rete contenente un egua numero di compessi singoari di 2 a specie (otre a oo 1 compessi singoari di i a specie). Ne primo caso si hanno e reti più generai contenenti un compesso singoare di 2 a specie. Le rette-centri degi co 1 compessi singoari di i a specie formano aora una rigata razionae R 4 con co 1 coniche direttrici. Lo spazio-centro de compesso singoare di 2 a specie contiene due generatrici di R 4 (distinte o coincidenti). Una stessa R 4 è uogo dee rette-centri dei compessi di co 1 reti diverse, tutte contenenti o stesso compesso singoare di 2 a specie; i fasci contenuti in queste reti determinano su R 4, coe oro terne di rette-centri, e oc 1 serie g 2 3 per e quai e due generatrici contenute neo spazio-centro de compesso singoare di 2 a specie formano una coppia neutra. Matematica (Geometria). Sue sezioni spaziai dea varietà grassmanniana dee rette deo spazio a cinque dimensioni. Nota de Corrisp. GINO FANO. Sarà pubbicata in un prossimo fascicoo.