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1 Serie numeriche.6 Esercizi. Scrivere il termine generale a n delle seguenti successioni e calcolare a n: a),, 4, 4 5,... b), 9, 4 7, 5 8,... c) 0,,,, 4,.... Studiare il comportamento delle seguenti successioni e, nel caso esista, calcolarne il ite: a) a n = nn ), n 0 b) a n = n +5 n, n 0 c) a n = +6n n + n, n d) a n = n + n, n 0 e) a n = 5n n+, n 0 f) a n = )n n n, n 0 + g) a n =arctan5n, n 0 h) a n =+cosnπ, n 0 i) a n =+ ) n sin n, n l) a n = n cos n n +, n 0 m) a n = n + n, n 0 n) a n = log + en ) 4n o) a n = n +logn +) log n, n p) a n = )n n!. Studiare il comportamento delle seguenti successioni:, n a) a n = n n b) a n = ) n n + n + c) a n = n 4 n +4 n d) a n = n)! n! e) a n = n)! n!) f) a n = n ) n n + + g) a n = n + n + i) a n = n cos n + n π n ) 6 n h) a n = n sin n π) l) a n = n! cos, n ) n! 4. Dire se le seguenti serie convergono; in caso affermativo, calcolarne la somma: a) 4 ) b) +5

2 c) e) tan d) + 6 f).6 Esercizi sin ) n sin n Utilizzando la serie geometrica, scrivere il numero.7 = come rapporto di interi. 6. Trovare i valori del parametro reale x per i quali le seguenti serie convergono. Per tali valori di x, calcolare la somma della serie: x a) 5 b) x +) c) = x d) tan x 7. Trovare i valori del parametro reale c per i quali si ha + c) =. 8. Si supponga che la serie = a a 0)siaconvergente.Mostrarechelaserie a non può convergere. 9. Studiare la convergenza delle seguenti serie a termini positivi: a) b) + 5 c) e) g) i) m)! d) arcsin 7 f) log sin h) l) n) =! log + 5 ) + cos

3 4 Serie numeriche 0. Trovare i valori del parametro reale p per cui converge la serie log ) p.. Stimare la somma s della serie termini. +4 utilizzando la somma dei primi 6. Studiare la convergenza delle seguenti serie a termini di segno alterno: ) a) ) log + b) ) + 5 c) sin π + ) d) ) + ) ) e) ) 4 f) ) + +. Verificare che le seguenti serie sono convergenti. Determinare il numero minimo n di termini necessari affinché laridottan-esima s n approssimi la somma a meno dell indicata accuratezza: ) + a) 4, r n < 0 b) c) ), r n < 0! ) 4, r n < 0 4. Studiare la convergenza assoluta delle seguenti serie: ) 4) a) b) c) e) g) )! ) + d) f) ) + 5 +) 4 + h) 4 cos sin π 6 0 +)5 +

4 5. Studiare la convergenza delle seguenti serie: a) cos ) c) e) ) )! 5 ) b) d) f) sin.6 Esercizi 5 ) ) ) + 6. Verificare la convergenza delle seguenti serie e calcolarne la somma: a) ) 5 b) 4 c) + +) d) +) +).6. Soluzioni. Termine generale e ite di successioni: a) a n = n n +,n, a n = b) a n = ) n n +,n, n a n =0 c) a n = n, n 0, a n =+. Studio del comportamento di successioni e calcolo del ite: a) Diverge a +. b) Converge a. c) Converge a 6. d) Converge a. e) Diverge a +. n f) Osserviamo che n + =,pertantolasuccessioneassegnataèindeterminata in quanto a n = n) n) + =, a n+ = n +) n +) + =. g) Converge a π. h) Ricordando che cos nπ = ) n,siconcludeimmediatamentechelasuccessione èindeterminata. i) Poiché {sin n } n èunasuccessioneinfinitesimae{ ) n } n èunasuccessione itata, si ha )n sin n =0 edunquelasuccessioneassegnataconvergea.

5 6 Serie numeriche l) Si ha n cos n n + Pertanto, per il Criterio del confronto, m) Converge a 0. n) Risulta log + e n ) 4n n n + n n = n, n. n cos n n + =0. = log en + e n ) 4n edunque a n = 4. o) Diverge a. p) Converge a 0.. Comportamento di successioni: = 4 + log + e n ) 4n a) Diverge a +. b) Indeterminata. c) Ricordando il comportamento della successione geometrica Esempio. i)) si ha a 4 n 4 n = )n ) 4 n 4 n +) = ; quindi la successione converge a. d) Diverge a +. e) Scriviamo a n = nn ) n +)n +) nn +) = n n n n n + n + >n+, poiché n+) = +, perilsecondoteoremadelconfrontocasoinfinito), si deduce che la successione diverge a +. f) Converge a. g) Poiché studiamo la successione a n =exp n ) +log n n + n, + n + b n = n +log n n + n + n + = n +log Osserviamo che equindi log ) n + n + n + n + n + n + =0 n + n + n +, ) n + n. + n + n.

6 .6 Esercizi 7 Allora b n = n +n +) n + n + dunque la successione {a n } converge a e. n = n = ; h) Posto x = n π, osserviamo che x 0 + per n.dunque elasuccessione{a n } converge a π. i) Osserviamo che cos n + n quindi, posto x = π n,siha a n = x 0 + π sin x x = π π π =cos + π ) = sin π n n ; a n = n sin π n = π sin x x 0 + x = π elasuccessione{a n } converge a π/. l) Converge a /. 4. Studio della convergenza di serie e calcolo della loro somma: a) Converge e la somma vale 6. b) Osserviamo che a = +5 = 0. Dunque la serie non converge ma diverge a +. c) Non converge. d) Si tratta di una serie telescopica; risulta s n =sin sin )+sin sin )+ +sin n sin n + ) =sin sin n +. Poiché s n =sin,laserieconvergeelasuasommavalesin. e) Si ha + 6 = ) + 6 ) = 6 Pertanto la serie converge e la somma vale 7/. f) Non converge. + = 7.

7 8 Serie numeriche 5. Possiamo scrivere.7 = = ) = = = = = Studio della convergenza di serie e calcolo della loro somma: a) Converge per x < 5elasommavales = x 55 x). b) Si tratta di una serie geometrica di ragione q =x +); dunque si ha convergenza se x +) <, ossia se x 7, 5 ). Per tali valori di x, lasomma vale s = +6 = x x +) x +5. c) Converge per x, ), + ) elasommavales = x. d) La serie èunaseriegeometricadiragioneq =tanx; pertantosihaconvergenza se tan x <, ossia per x Z π 4 + π, π 4 + π).pertalivaloridix, la somma vale s = tan x. 7. La serie èunaseriegeometricadiragioneq = +c,laqualeconvergese +c >, ossia se c< oppurec>0. Per tali valori si ha + c) = = c c = c + c). Imponendo la condizione c+c) =,siottienec = ±.Ricordandocheil parametro c varia nell insieme, ) 0, + ), si conclude che l unico valore ammissibile è c = + 8. Poiché la serie. a converge, vale la condizione necessaria a = 0. Pertanto non può valere0edunquelaserie a 9. Studio della convergenza di serie a termini positivi: a) Converge. a non può convergere. b) Osserviamo che il termine generale a tende a + per.pertanto per la Proprietà.6 la serie diverge positivamente.in alternativa,è possibile utilizzare il Criterio della radice.5.

8 .6 Esercizi 9 c) Applichiamo il Criterio del rapporto.4: a + a +! = +)! ; scrivendo +)!= +)! esemplificando,siottiene a + a Ne segue che la serie converge. = + =0. d) Applichiamo nuovamente il Criterio del rapporto.4: a + a ) +)! = +) +! = = + e <. Dunque la serie converge. e) Osserviamo che a 7 = 7 per. Pertanto, applicando il Criterio del confronto asintotico. e ricordando che la serie armonica diverge, possiamo concludere che la serie data diverge. f) Converge. g) Osserviamo che log >per, così log >,. Per il Criterio del confronto.0 possiamo concludere che la serie diverge. In alternativa, si puòosservarechelafunzionefx) = log x x èpositivaecontinua per x>. Inoltre, dallo studio del segno della derivata prima, si vede che è decrescente per x>e. ÈpossibiledunqueapplicareilCriteriointegrale.7: + log x c log x log x) c dx = dx = x c + x c + log c) = c + econcluderechelaserieassegnatadiverge. log ) =+ h) La serie converge per il Criterio del confronto asintotico., in quanto elaseriegeometrica, +, converge.

9 0 Serie numeriche i) La serie diverge per il Criterio del confronto asintotico., in quanto e la serie armonica sin, +, diverge. l) Diverge. m) Converge. n) La serie converge per il Criterio del confronto.0, in quanto e la serie armonica generalizzata 0. Converge per p>.. Calcoliamo + n cos, +, converge. / fx)dx con fx) = x +4,funzionepositiva,decrescentee continua in [0, + ): + x +4 dx = [ arctan x ] + = π n 4 arctan n. Poiché n utilizzando la.8) s 6 + s 6 = =0.764, + otteniamo s fx)dx s s fx)dx,. Studio della convergenza di serie a termini di segno alterno: a) Converge semplicemente. b) Non converge. c) Poiché sin π + ) =cosπ) sin = ) sin, la serie assegnata è a termini di segno alterno con b =sin.risulta b =0 e b + <b. Pertanto, per il Criterio di Leibniz.0, la serie converge. Osserviamo che la serie non converge assolutamente in quanto sin per,dunquela serie dei valori assoluti si comporta come la serie armonica, che diverge.

10 .6 Esercizi d) La serie converge assolutamente in quanto, usando l equivalenza fondamentale + x) α αx, perx 0, si ha ) ) ) +,, e quindi, ricordando l Esempio. i), possiamo applicare il Criterio del confronto asintotico. alla serie dei valori assoluti. e) Non converge. f) Èunaserieasegnialterniconb =. È immediato verificare che + b =0. Non èinveceovviochelasuccessioneb sia definitivamente decrescente. Per dimostrarlo, consideriamo la funzione fx) = estudiamonelamonotonia.poiché x x +, f x) = x x ) x +) esiamointeressatisoltantoaivaloridix positivi, otteniamo che f x) < 0se x < 0, ossia se x>. Dunque, f è decrescente nell intervallo, + ). Ciò significachef +)<f), e perciò, b + <b,per. In definitiva, per il Criterio di Leibniz.0, la serie converge.. Approssimazioni di serie: a) n =5. b) Si tratta di una serie a segni alterni con b =!.Sihaimmediatamente b =0;inoltrerisultab + <b per ogni >inquanto b + = + +)! <! = b + < >. Imponendo la condizione b n+ < 0 =0.0, si può verificarecherisulta b 7 = 8 5 =0.0, b 8 = 5 =0.006 < 0.0. Pertanto il minimo numero di termini necessari è n =7. c) n =5.

11 Serie numeriche 4. Studio della convergenza assoluta di serie: a) Si ha convergenza semplice ma non assoluta. Infatti, la serie a segni alterni converge per il Criterio di Leibniz.0, mentre la serie dei valori assoluti è una serie armonica generalizzata con esponente α = <. b) Non converge. c) La serie converge assolutamente, come si vede facilmente utilizzando ad esempio il Criterio del rapporto.4: b + b = + +)!! = + =0<. d) La serie converge assolutamente in quanto la serie dei valori assoluti converge per il Criterio del confronto.0: cos,. e) Converge semplicemente ma non assolutamente. f) Converge assolutamente. g) La serie non converge in quanto il termine generale non tende a 0. h) Converge assolutamente. 5. Studio della convergenza di serie: a) Converge. b) Osserviamo che sin, per ogni >0; la serie converge e dunque, applicando il Criterio del confronto.0, anche la serie dei valori assoluti converge. Pertanto la serie data converge assolutamente. c) Diverge. d) Si tratta di una serie a termini di segno alterno con b =. La successione {b } èdecrescente,essendo > + per ogni. Dunque possiamo applicare il Criterio di Leibniz.0 e concludere che la serie converge. Si osservi che la serie non converge assolutamente, in quanto =e log / log,, equindilaseriedeivaloriassolutisicomportacomelaseriearmonica,che diverge.

12 e) Si osservi che in quanto b =! 5 ) = 5 < <,. Pertanto la serie converge assolutamente in quanto la serie.6 Esercizi ) b converge per il Criterio del confronto.0 è maggiorata da una serie geometrica di ragione q = < ). f) Non converge. 6. Verifica della convergenza di serie e calcolo della loro somma: a) /7. b) Amenodiunfattore,sitrattadiunaseriegeometrica;ricordandol Esempio. iii), si ha 4 = ) = 6 6 si noti che il primo indice della sommatoria è). ) = 6 c) Si tratta di una serie telescopica in quanto possiamo scrivere + +) = +) ; dunque da cui s = s n =. d) /. s n = n +),

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