Analisi Matematica 1. Anno Accademico Roberto Monti. Versione del 31 Ottobre 2013

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1 Aalisi Matematica Ao Accademico Roberto Moti Versioe del 3 Ottobre 203

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3 Cotets Chapter. Numeri aturali e reali 5. Numeri aturali e pricipio di iduzioe 5 2. Numeri reali 7 3. R come spazio metrico 0 4. Esercizi 0 Chapter 2. Numeri complessi. Itroduzioe 2. Operazioi sui umeri complessi 3. Coiugato, modulo e argometo 2 4. Rappresetazioe trigoometrica ed espoeziale 3 5. Radici di u umero complesso 4 6. Numeri complessi come spazio metrico 5 7. Poliomi complessi 6 8. Esercizi svolti sui umeri complessi 7 Chapter 3. Successioi umeriche 23. Successioi umeriche covergeti e divergeti Esempi di successioi elemetari Successioi mootoe Esercizi svolti 30 Chapter 4. Serie umeriche 33. Serie umeriche. Defiizioi Serie geometrica. Serie telescopiche. Serie armoica geeralizzata Criterio della radice e del rapporto per serie reali Esercizi svolti Il umero e 4 6. Serie a sego altero. Criterio di Leibiz Covergeza assoluta Esercizi svolti 43 Chapter 5. Fuzioi di variabile reale 49. Domiio, immagie, fuzioi pari e dispari, sup e max Fuzioi iiettive, suriettive, mootoe. Fuzioe iversa e composta 5 3. Fuzioi trigoometriche e loro iverse Fuzioi iperboliche Poteze e radici Espoeziali e logaritmi Domiio di fuzioe 59 3

4 4 CONTENTS Chapter 6. Limiti di fuzioe 6. Defiizioe di ite 6 2. Calcolo dei iti co la defiizioe Operazioi coi iti Limiti trigoometrici Forme idetermiate Aalisi locale delle fuzioi. Sviluppi asitotici Calcolo dei iti co gli sviluppi asitotici Criterio del cofroto asitotico per serie umeriche Forme idetermiate [ ] Asitoti obliqui 80 Chapter 7. Fuzioi cotiue 83. Defiizioe di cotiuità Cotiuità delle fuzioi elemetari Teoremi degli zeri e dei valori itermedi Cotiuità della fuzioe composta e della fuzioe iversa Teorema di Bolzao. Sottosuccessioi Teorema di Weierstrass Cotiuità uiforme 90 Chapter 8. Calcolo differeziale 93. Defiizioe di derivata Derivata delle fuzioi elemetari Operazioi sulle derivate Derivata della fuzioe composta e iversa Puti critici e puti di estremo locale Teoremi di Rolle, Lagrage e Cauchy Derivata e mootoia 0 8. Teoremi di Hospital Teorema di Taylor 07 Chapter 9. Itegrale di Riema 3. Defiizioe dell itegrale di Riema 3 2. Teorema Fodametale del Calcolo Itegrale 6 3. Itegrazioe di fuzioi razioali 8 4. Itegrazioe per parti e per sostituzioe Itegrali impropri 25

5 CHAPTER Numeri aturali e reali. Numeri aturali e pricipio di iduzioe Dal modo stesso i cui i umeri aturali vegoo costruiti o defiiti, discede la validità del Pricipio d iduzioe. Pricipio d iduzioe. Sia A() u affermazioe che riguarda il umero aturale N. Suppoiamo che: i) A(0) (oppure A() se N iizia da ) è vera (base iduttiva); ii) A() A( + ) per ogi N (passo iduttivo). Allora A() è vera per ogi N... Formula per la somma geometrica. Per ogi umero reale x R, x e per ogi N si ha (.) + x + x x = x+ x. La formula vale ache se x C è u umero complesso x. iduzioe su. Per = si ha La prova è per x 2 x = ( + x)( x) x = + x. Suppoiamo vera la formula (.) per N. Allora si ha + x + x x + = + x + x x + x + = x+ x + x+ = x+ + ( x)x + x = x+2 x..2. Disuguagliaza di Beroulli. Sia x R u umero reale tale che x >. Allora per ogi N si ha: (.2) ( + x) + x. La prova è per iduzioe su. Per = si ha u idetità. Suppoiamo vera le (.2) per u certo N e proviamola per + : ( + x) + = ( + x) ( + x) ( + x)( + x) = + x + x + x 2 + ( + )x. 5

6 6. NUMERI NATURALI E REALI.3. Formula del Biomio di Newto. Il fattoriale! si defiisce per iduzioe el seguete modo: i) 0! = e! = ; ii) ( + )! = ( + )!. Dati, k N co k, si defiiscoo i coefficieti biomiali ( k ) =! k!( k)!. Siao x, y R e N. Verifichiamo per iduzioe la formula per il Biomio di Newto: ( ) (x + y) = x k y k. k Quado = la verifica è elemetare: ( ) ( ) ( ) x k y k = x + y = x + y. k 0 Suppoiamo vera la formula per e proviamola per + : ( ) (x + y) + = (x + y)(x + y) = (x + y) x k y k k = = = ( k ( k ( 0 ) x k+ y k + ) x k+ y k + ) x + + k= [( k ( ) x k y k+ k + ( ) x k+ y k k k= ) ( + k )] x + k y k + ( ) y +. Ora utilizziamo la formula di Stiefel, la cui verifica è u facile esercizio. Per ogi, k N co k vale l idetità ( ) ( ) ( ) + = +. k k k Si trova allora ( ) + ( + (x + y) + = x k k= + ( ) + = x + k y k. k k= ) x + k y k + ( ) + y + +

7 2. NUMERI REALI 7 2. Numeri reali 2.. Relazioi d ordie. Premettiamo la defiizioe di ordie totale. Defiizioe 2. (Ordie totale). Ua relazioe su u isieme X è ua relazioe di ordie totale se per ogi x, y, z X si ha: i) x x (proprietà riflessiva); ii) x y oppure y x (cofrotabilità); iii) Se x y e y x allora x = y (proprietà atisimmetrica); iv) Se x y e y z allora x z (proprietà trasitiva) Itroduzioe assiomatica dei umeri reali. Itroduciamo i modo assiomatico i umeri reali come campo ordiato completo. Defiizioe 2.2. I umeri reali soo u isieme R muito di due operazioi + : R R R e : R R R e di ua relazioe di ordie totale che verificao, per ogi x, y, z R, la seguete lista di assiomi. Assiomi della somma: (S) x + y = y + x (proprietà commutativa); (S2) x + (y + z) = (x + y) + z (proprietà associativa); (S3) esiste 0 R tale che x + 0 = x per ogi x R (esiste l elemeto eutro); (S4) per ogi x R esiste x R tale che x + ( x) = 0 (esiste l opposto). Assiomi del prodotto (o moltiplicazioe): (P) x y = y x (proprietà commutativa); (P2) x (y z) = (x y) z (proprietà associativa); (P3) esiste R, 0, tale che x = x per ogi x R (esiste l elemeto eutro); (P4) per ogi x R, x 0, esiste x R tale che x x = (esiste il reciproco). Proprietà distributiva: (D) x (y + z) = x y + x z. Assiomi dell ordie: (O) se x y allora x + z y + z; (O2) se x y e z 0, allora x z y z. Assioma di completezza: (AC) Ogi isieme o vuoto A R superiormete itato ha estremo superiore. Chiariremo l assioma di completezza fra breve. Gli isiemi N, Z, Q soo i modo aturale sottoisiemi di R. I umeri razioali Q co le usuali operazioi e relazioe d ordie formao u campo ordiato che verifica tutti gli assiomi precedeti, ad eccezioe dell Assioma di completezza. Defiizioe 2.3 (Maggiorate, estremo superiore, massimo). Sia A R u sottoisieme di R. i) U elemeto y R è u maggiorate di A se x y per ogi x A. ii) L isieme A si dice superiormete itato se ha u maggiorate.

8 8. NUMERI NATURALI E REALI iii) U elemeto x R si dice estremo superiore di A se è u maggiorate di A e se x z per ogi altro maggiorate z di A (ovvero x è il miimo dei maggiorati). Se x R è l estremo superiore di A porremo sup A = x. iv) Se A o è superioremete itato porremo sup A =. La covezioe aturale per l isieme vuoto è di porre sup =. v) U umero x R si dice massimo di A se x = sup A ed x A. Scriveremo i questo caso max A = x. L estremo superiore e il massimo, se esistoo, soo uici. La defiizioe di estremo superiore può essere riformulata ei segueti termii. U umero x R è l estremo superiore di u isieme A R se e solo se: i) y x per ogi y A; ii) Per ogi ε > 0 esiste y A tale che y > x ε. Defiizioe 2.4 (Miorate, estremo iferiore, miimo). Sia A R u sottoisieme di R. i) U elemeto y R è u miorate di A se y x per ogi x A. ii) L isieme A si dice iferiormete itato se ha u miorate. iii) U elemeto x R si dice estremo iferiore di A se è u miorate di A e se z x per ogi altro miorate z di A (ovvero x è il massimo dei miorati). Se x R è l estremo iferiore di A porremo if A = x. iv) Se A o è iferiormete itato porremo if A =. La covezioe aturale per l isieme vuoto è di porre if =. v) U umero x R si dice miimo di A se x = if A ed x A. Scriveremo i questo caso mi A = x. U umero x R è l estremo iferiore di u isieme A R se e solo se: i) y x per ogi y A; ii) Per ogi ε > 0 esiste y A tale che y < x + ε Cosegueze della completezza. Proposizioe 2.5 (Proprietà di Archimede). Per ogi coppia di umeri reali x, y R, x, y > 0, esiste u umero aturale N tale che x > y. Dim. Suppoiamo per assurdo che esistao umeri reali x, y R co x, y > 0 tali che x y per ogi N. Allora l isieme A = { x R : N}

9 2. NUMERI REALI 9 è superioremete itato, i quato y e è u maggiorate. Per l Assioma di completezza esiste l estremo superiore x = sup A. Il umero x R è caratterizzato dalle segueti due proprietà: ) x x per ogi N, ovvero x è u maggiorate di A; 2) Per ogi ε > 0 esiste N tale che x > x ε, ovvero x è il miimo dei maggiorati. Scegliamo ε = x > 0 ella proprietà 2) e sia N il corripodete umero aturale, ovvero x > x x. Allora da ) e 2) si ottiee: x ( + )x = x + x > x x + x = x, che è ua cotraddizioe. Defiizioe 2.6 (Parte itera e frazioaria). Sia x R u umero reale e si cosideri l isieme A x = { p Z : p x }. A x è u isieme di umeri iteri superiormete itato che ha duque estremo superiore. Poichè A x è u sottoisieme di Z questo estremo superiore è u massimo. Defiiamo la parte itera di x [x] = max { p Z : p x } Z. Il umero [x] Z è il più grade itero miore o uguale ad x. La parte frazioaria di x è il umero {x} = x [x]. Parte itera e parte frazioaria verificao le segueti disuguagliaze: [x] x < [x] +, 0 {x} <. Proviamo ora che i umeri razioali Q soo desi i R. Proposizioe 2.7 (Desità di Q i R). Per ogi x, y R, x < y, esiste q Q tale che x < q < y. Dim. Siccome y x > 0, per la proprietà di Archimede esiste N tale che (y x) >, ovvero y x >. Segue che x < y < [y] y. Il umero q = [y]/ Q verifica duque x < q y. Per avere ua disuguagliaza stretta ache a destra argometiamo el seguete modo. Esiste m N tale che m( q x) > e quidi x < q m < q y. Il umero q = q m Q verifica quidi la tesi. Dimostrazioe omessa.

10 0. NUMERI NATURALI E REALI 3. R come spazio metrico La fuzioe modulo o valore assoluto su R è la fuzioe : R R defiita, per ogi x R, el seguete modo { x se x 0; x = max{x, x} = x se x 0. Valgoo le disuguagliaze elemetari x x e x x, ed ioltre: i) x 0 per ogi x R e x = 0 se e solo se x = 0; ii) x = x ; iii) x + y x + y per ogi x, y R (subadittività). La verifica di iii) segue dalle disuguagliaze x + y x + y e (x + y) = x y x + y. Ua cosegueza di iii) è la disuguagliaza triagolare x y x z + z y per ogi x, y, z R. Ifatti, x y = x z + z y x z + z y. Dalla iii) segue ache x = x y + y x y + y che riordiata forisce x y x y. Siccome i ruoli di x, y si possoo scambiare, si ottiee la disuguagliaza x y x y. Defiiamo la fuzioe distaza d : R R [0, ), d(x, y) = x y. Questa fuzioe verifica le segueti proprietà: i) d(x, y) 0 per ogi x, y R e d(x, y) = 0 se e solo se x = y; ii) d(x, y) = d(y, x) per ogi x, y R; iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) per ogi x, y, z R (disuguagliaza triagolare). La coppia (R, d) è allora uo spazio metrico. La fuzioe d(x, y) = x y si dice distaza stadard o Euclidea su R. 4. Esercizi Esercizio 4.. Sia A R il seguete isieme { xy } A := x + y R : 0 < x, y <. ) Calcolare sup A e dire se esiste max A. 2) Calcolare if A e dire se esiste mi A. Esercizio 4.2. Sia A R il seguete isieme A := { 2 R : N, }. ) Calcolare sup A e dire se esiste max A. 2) Calcolare if A e dire se esiste mi A. Esercizio 4.3. Sia A R il seguete isieme { log(/) } A := R : N,. + Provare che if A =.

11 CHAPTER 2 Numeri complessi. Itroduzioe Itroduciamo il simbolo i = che ubbidisce alla regola i 2 =. Il umero i si chiama uità immagiaria. I umeri complessi soo l isieme C = { z = x + iy : x, y R }, ovvero l isieme di tutte le espressioi della forma x + iy dove x e y soo umeri reali. Il umero complesso z = x + iy può essere idetificato co il puto del piao Cartesiao R 2 di coordiate (x, y): Disego Defiiamo la parte reale e la parte immagiaria del umero complesso z = x + iy: x = Re(z) = Re(x + iy) Parte reale di z y = Im(z) = Im(x + iy) Parte immagiaria di z. Le parti reale e immagiaria di u umero complesso soo umeri reali. 2. Operazioi sui umeri complessi Itroduciamo le operazioi di somma, prodotto e reciproco di umeri complessi. 2.. Somma. Dati due umeri complessi z = x+iy e w = ξ +iη i C, defiiamo la loro somma: z + w = (x + iy) + (ξ + iη) = (x + ξ) + i(y + η). Nel piao complesso, la somma è semplicemete la somma vettoriale: Disego 2.2. Prodotto. Dati due umeri complessi z = x+iy e w = ξ+iη i C, defiiamo il loro prodotto: z w = (x + iy) (ξ + iη) = xξ + ixη + iyξ + i 2 yη = (xξ yη) + i(xη + yξ). Abbiamo usato la regola i 2 =. Vedremo i seguito l iterpretazioe geometrica del prodotto di umeri complessi. Il simbolo per idicare il prodotto viee spesso omesso.

12 2 2. NUMERI COMPLESSI 2.3. Reciproco e quoziete. Calcoliamo formalmete il reciproco di u umero complesso z 0: z = x + iy = x + iy x iy x iy = x iy x 2 i 2 y 2 = x iy x 2 + y 2 = x x 2 + y i y 2 x 2 + y. 2 Usiamo questo calcolo formale per defiire il reciproco di z = x + iy 0 el seguete modo z := x x 2 + y i y 2 x 2 + y. 2 Co u calcolo che ripercorre a ritroso il precedete si verifica ora che per ogi z C co z 0 si ha z z =. Defiito il reciproco di u umero complesso, è immediato defiire ache il quoziete fra due umeri complessi z, w C co w 0: z w = z w Campo dei umeri complessi. L operazioe di somma verifica gli assiomi (S)-(S4). L operazioe di prodotto verifica gli assiomi (P)-(P4). Ioltre somma e prodotto soo legati dalla proprietà distributiva: z (w + ζ) = z w + z ζ, z, w, ζ C. Questi fatti si riassumoo dicedo che C è u campo. Osservazioe importate. Nel campo complesso C o c è alcua relazioe d ordie. Duque, scrivere z w co z, w C NON ha seso. 3. Coiugato, modulo e argometo 3.. Coiugato. Defiiamo il coiugato del umero complesso z = x + iy come il umero complesso z = x iy. Chiaramete, el piao complesso z è il puto simmetrico a z rispetto all asse delle x: Disego L operazioe di coiugazioe verifica le proprietà descritte el seguete teorema, la cui dimostrazioe è elemetare e viee omessa. Proposizioe 3.. Dati umeri complessi z, w C, si ha: ) z + w = z + w; 2) z w = z w; 3) z = z; ( z ) 4) = z w w.

13 4. RAPPRESENTAZIONE TRIGONOMETRICA ED ESPONENZIALE 3 La dimostrazioe è elemetare e viee omessa. Soo ache utili le segueti formule per le parti reale e immagiaria di z = x + iy: Re(z) = z + z 2 e Im(z) = z z. 2i 3.2. Modulo. Il modulo del umero complesso z = x + iy è z = z z = (x + iy)(x iy) = x 2 + y 2. Il modulo è sempre u umero reale o egativo. Se z = x R è u umero reale, allora si ha z = x 2 = x e si trova il valore assoluto di x. Duque il modulo è l estesioe del valore assoluto. Per il Teorema di Pitagora, il modulo z è la lughezza del vettore z: Disego 3.3. Argometo. Sia ϑ [0, 2π) l agolo formato i seso atiorario dal puto z C, z 0, a partire dal semiasse positivo delle x. Defiiamo l argometo di z arg(z) = ϑ. Dalla trigoometria sappiamo che si hao le relazioi x = z cos ϑ e y = z si ϑ. Suppoedo x 0 e formado il quoziete si trova tgϑ = si ϑ cos ϑ = y x. Quado x = 0 allora l argometo sarà π/2 quado y > 0 e 3π/2 quado y < 0. Quado ϑ [0, π/2), ovvero quado z è el primo quadrate, possiamo ivertire la relazioe precedete e trovare la formula per l argometo ( y arg(z) = ϑ = arctg. x) Esercizio 3.. Dato z = x + iy C, provare che: ) arg(z) = π + arctg ( y/x ) quado z è el secodo e terzo quadrate. 2) arg(z) = 2π + arctg ( y/x ) quado z è el quarto quadrate. 4. Rappresetazioe trigoometrica ed espoeziale 4.. Rappresetazioe trigoometrica. Sia r = z 0 il modulo di z C, e sia ϑ = arg(z) [0, 2π) il suo argometo. Allora avremo z = x + iy = r cos ϑ + ir si ϑ = r(cos ϑ + i si ϑ). Questa è la rappresetazioe trigoometrica di z. Usiamo la rappresetazioe trigoometrica per iterpretare geometricamete il prodotto di umeri complessi. Siao z = r(cos ϑ + i si ϑ) e w = ϱ(cos ϕ + i si ϕ) co r, ϱ 0 e ϑ, ϕ [0, 2π). Allora si ha: z w = rϱ [ cos ϑ cos ϕ si ϑ si ϕ + i(cos ϑ si ϕ + si ϑ cos ϕ) ] (4.3) = rϱ ( cos(ϑ + ϕ) + i si(ϑ + ϕ) ).

14 4 2. NUMERI COMPLESSI Abbiamo usato le formule di addizioe per seo e coseo. Le coclusioi soo iteressati: ) Il modulo del prodotto è il prodotto dei moduli: zw = z w ; 2) l argometo del prodotto è la somma degli argometi: arg(zw) = arg(z) + arg(w). Disego 4.2. Rappresetazioe espoeziale. Passiamo alla rappresetazioe espoeziale di u umero complesso. Poiamo (4.4) e iϑ := cos ϑ + i si ϑ. Questa formula si chiama idetità di Eulero. Per il mometo la accettiamo come defiizioe. Alla fie del corso e daremo ache ua dimostrazioe basata sugli sviluppi di Taylor. Proposizioe 4.. L espoeziale complesso ha le segueti proprietà: ) e iϑ = per ogi ϑ R; 2) e iϑ e iϕ = e i(ϑ+ϕ) (formula di addizioe). 3) (e iϑ ) = e iϑ per ogi N (formula di de Moivre). Dim. La ) segue dalla defiizioe (4.4). La 2) è ua riformulazioe di (4.3). La formula 3) segue iterado la 2). U umero complesso z C si può scrivere el seguete modo z = re iϑ, dove r = z 0 è il modulo di z e ϑ = arg(z) è il suo argometo. Questa è la rappresetazioe espoeziale di u umero complesso. 5. Radici di u umero complesso Sia w = Re iϕ, co R = w 0 e ϕ = arg(w) [0, 2π), u umero complesso fissato e sia N. Vogliamo risolvere l equazioe z = w ell icogita z C. I altri termii, vogliamo trovare (tutte) le radici -esime del umero complesso w C. Per il Teorema Fodametale dell Algebra, che vedremo fra breve, ci soo esattamete soluzioi. Cerchiamo soluzioi i forma espoeziale z = re iϑ co r 0 e ϑ [0, 2π) da determiare. Usado la formula di de Moivre, avremo L equazioe z = w diveta allora z = (re iϑ ) = r (e iϑ ) = r e iϑ. r e iϑ = Re iϕ. Uguagliado i moduli si ottiee l equazioe D altra parte, si ha r = R r = R. e iϑ = e iϕ ϑ = ϕ + 2kπ, k Z,

15 e quidi si trovao gli argometi 6. NUMERI COMPLESSI COME SPAZIO METRICO 5 ϑ k = ϕ + 2kπ, k Z. Basta cosiderare gli idici k = 0,,...,, perchè gli altri k dao delle ripetizioi. I coclusioe, si ottegoo radici distite z k = R e iϑ k, k = 0,,...,. Le radici si dispogoo sui vertici di u poligoo regolare di lati iscritto i ua circofereza cetrata i 0 di raggio R. Esempio 5.. Vogliamo calcolare tutte le soluzioi z C dell equazioe z 4 =. I primo luogo si scrive il umero complesso w = i forma espoeziale: R = w = metre ϕ = arg(w) = π. Duque si ha = e iπ. Si trovao le quattro radici z k = e i( π 4 + k 2 π), k = 0,, 2, 3. Le soluzioi si dispogoo sui vertici di u quadrato: Disego 6. Numeri complessi come spazio metrico Defiiamo la distaza fra due umeri complessi z, w C el seguete modo: d(z, w) = z w. Si tratta della lughezza del segmeto che cogiuge z e w: Disego Osserviamo che, co z = x + iy e w = ξ + iη, si ha z w = x + iy (ξ + iη) = x + iy ξ iη = (x ξ) + i(y η) = (x ξ) 2 + (y η) 2. La distaza d verifica le segueti proprietà: () d(z, w) = 0 z w = 0 z w = 0 z = w. (2) d(z, w) = z w = w z = d(w, z). (3) d(z, w) d(z, ζ) + d(ζ, w) (Disuguagliaza triagolare). La verifica della disuguagliaza triagolare è omessa. Esempio 6.. Fissati u puto z 0 C ed u umero reale r 0, l isieme A = { z C : z z 0 = r } è la circofereza di raggio r e cetro z 0. Esempio 6.2. Fissati u puto z 0 C ed u umero reale r 0, l isieme B = { z C : z z 0 r } è tutto il cerchio (bordo icluso). Disego

16 6 2. NUMERI COMPLESSI Esempio 6.3. L isieme è u ellisse di fuochi i e i. E = { z C : z i + z + i = 4 } 7. Poliomi complessi Defiizioe 7.. Siao a 0, a,..., a C umeri complessi. U espressioe della forma P (z) = a 0 + a z a z = a k z k si dice poliomio complesso della variabile z C. Se a 0 diremo che P (z) ha grado N. U umero complesso z 0 C si dice radice di u poliomio complesso P (z) se P (z 0 ) = 0, ovvero se P (z) calcolato i z = z 0 si aulla. Il vataggio di lavorare co poliomi complessi è che hao sempre u umero di radici pari al grado del poliomio. Teorema 7.2 (Fodametale dell Algebra). Sia P (z) u poliomio complesso di grado N. Allora l equazioe P (z) = 0 ha esattamete soluzioi (cotate co la loro molteplicità), dette radici del poliomio. La dimostrazioe del Teorema è fuori dalla ostra portata ed è omessa. Esempio 7.3. Il poliomio P (x) = +x 2 della variabile reale x R o ha radici reali. Il poliomio complesso P (z) = +z 2 ha ivece esattamete due radici i campo complesso che soo z = ±i. Osservazioe 7.4. Sia P (z) u poliomio complesso di grado co a =. Siao z, z 2,..., z C le sue radici. Allora il poliomio può essere fattorizzato el seguete modo P (z) = (z z )(z z 2 )... (z z ). Osservazioe 7.5. Suppoiamo che il poliomio complesso P (z) = a k z k abbia coefficieti reali: a 0, a,..., a R. Allora P (z) = 0 P ( z) = 0. Duque, ota ua radice z C se e coosce automaticamete ua secoda z C. Dim. Osserviamo preiarmete che P (z) = 0 P (z) = 0.

17 8. ESERCIZI SVOLTI SUI NUMERI COMPLESSI 7 Ioltre, si ha P (z) = a k z k = a k z k = ā k z k = a k z k = P ( z). Abbiamo usato il fatto che i coefficieti soo reali: ā k = a k. L affermazioe segue. 8. Esercizi svolti sui umeri complessi Esercizio 8.. Calcolare le soluzioi z C dell equazioe Ovvero: calcolare le radici terze di 8i z 3 = 8i. Soluzioe. Scriviamo 8i i forma espoeziale: R = 8i = 8 ϕ = arg(8i) = π 2 Disego modulo argometo. Cerchiamo soluzioi della forma z = re iϑ co r 0 e ϑ [0, 2π) da determiare. Abbiamo l equazioe 8i = 8e i π 2 = z 3 = r 3 e 3iϑ. Otteiamo E poi ovvero r 3 = 8 r = 2. 3ϑ = π + 2kπ, k = 0,, 2, 2 ϑ k = π 6 + 2k π, k = 0,, 2. 3 Precisamete: ϑ 0 = π/6, ϑ = 5π, ϑ 6 2 = 3 π. Le soluzioi i forma algebrica soo: 2 ( z 0 = 2e i π 6 = 2 cos π 6 + i si π ) ( 3 ) = i = 3 + i, 2 ( z = 2e i 5 6 π = 2 cos 5 6 π + i si 5 ) ( 3 ) 6 π = i = 3 + i, 2 ( z 2 = 2e i 3 2 π = 2 cos 3 2 π + i si 3 ) 2 π = 2i. Nel piao di Gauss: Disego Esercizio 8.2. Calcolare tutte le soluzioi z C dell equazioe e rappresetarle el piao di Gauss. z 4 2i 3z 2 4 = 0

18 8 2. NUMERI COMPLESSI Soluzioe. Poedo w = z 2 l equazioe diviee w 2 2i 3w 4 = 0. Usiamo la formula risolutiva per le equazioi di secodo grado: w ± = 2i 3 ± 4i = 2i 3 ± 2 = ± + i 3. 2 Dobbiamo risolvere le due equazioi z 2 = w + = + i 3 z 2 = w = + i 3. Risolviamo la prima equazioe. Scriviamo w i forma espoeziale. Modulo e argometo soo (osserviamo che w + è el primo quadrate): R = w = 2 + ( 3) 2 = 2 ( 3 ) ϕ = arg(w + ) = arctg = arctg( 3) = π 3. Duque, si ha ( w + = 2e i π 3 = 2 cos π 3 + i si π ). 3 Otteiamo l equazioe per l icogita z = re iϑ, co r 0 e ϑ [0, 2π): Si ottegoo le due equazioi: Gli argometi soo r 2 e i2ϑ = z 2 = w + = 2e i π 3. r 2 = 2 r = 2 2ϑ = π + 2kπ, k = 0,. 3 ϑ 0 = π e ϑ = π. Si trovao le prime due soluzioi i forma algebrica: z 0 = 2e iϑ 0 3 = 2 + i 2 z = 2e iϑ 3 = 2 i 2 I modo aalogo si risolve l equazioe z 2 = w = + i 3. Si trovao le soluzioi: z 2 = ( 3 ) i 2 z 3 = ( 2 3 ) 2 i. 2

19 8. ESERCIZI SVOLTI SUI NUMERI COMPLESSI 9 Esercizio 8.3. Calcolare tutte le soluzioi z C dell equazioe z 3 = 9 z. Soluzioi. Certamete z = 0 è ua soluzioe. Cerchiamo soluzioi i forma espoeziale z = re iϑ co r 0 e ϑ [0, 2π). Osserviamo che Duque, si trova l equazioe e deduciamo che e poi ovvero Troviamo le soluzioi z = re iϑ = re iϑ = r ( cos ϑ + i si ϑ ) = r(cos ϑ i si ϑ) = r ( cos( ϑ) + i si( ϑ) ) = re iϑ. z 3 = 9 z r 3 e 3iϑ = 9re iϑ, r 3 = 9r r = 0 oppure r = 3, 3ϑ = ϑ + 2kπ, k Z, ϑ k = k π, k = 0,, 2, 3. 2 z = 3e i 0 = 3, z 2 = 3e i π 2 = 3i, z3 = 3e iπ = 3, z 4 = 3e i 3 2 π = 3i, cui va aggiuta la soluzioe z 0 = 0. Esercizio 8.4. Calcolare tutte le soluzioi z C dell equazioe z 3 z + 3z 2 4 = 0. Soluzioe. Riscriviamo l equazioe i questo modo (8.5) z 2 (z z + 3) = 4 z 2 ( z 2 + 3) = 4. Eguagliamo i moduli a destra e siistra z 2 ( z 2 + 3) = z 2 ( z 2 + 3) = 4 = 4, e osserviamo che z 2 = z 2. Si ottiee duque l equazioe per l icogita t = z 2 0 t 2 + 3t 4 = 0. Le soluzioi soo t = 4, che è da scartare, e t =, che è accettabile. Duque, deve essere z 2 = e quidi z =. e sostituedo tale valore ell equazioe (8.5) si ottiee z 2 = che ha le soluzioi z = ±. Queste soo tutte e sole le soluzioi dell equazioe. Esercizio 8.5. Disegare el piao di Gauss l isieme dei umeri complessi z C tali che Re(iz 2 i z 2 ) 4 2 z 2 i 2 2.

20 20 2. NUMERI COMPLESSI Soluzioe. L isieme C = { z C : ( 2 ) z 2 + i } 2 2 è u cerchio di cetro z 0 = i 2 e raggio r = 2 (circofereza iclusa): Disego Studiamo la prima disequazioe. Poiamo z = x + iy: Duque, si ha iz 2 i z 2 = i(x + iy) 2 i(x iy) 2 = i(x 2 + 2ixy y 2 ) i(x 2 2ixy y 2 ) = 2xy 2xy + i(x 2 x 2 y 2 + y 2 ) = 4xy. Re(iz 2 i z 2 ) 4 4xy 4 xy. L isieme A = { z = x + iy C : xy } è la regioe del piao deitata dai due rami di iperbole xy = (iperbole iclusa): Disego I coclusioe, le soluzioi soo date dall itersezioe A C: Disego Esercizio 8.6. Sia α R u parametro fissato. Disegare el piao complesso il seguete isieme { z + iα } S α = z C : R z + Soluzioe. I primo luogo deve essere z + 0, ovvero: z. L isieme S α è formato dai puti z tali che ( z + iα ) Im = 0. z + Calcoliamo il quoziete, poedo z = x + iy: z + iα z + iα z + = z + z + z + = z2 + z + z + iα z iα z 2 + z + z + = (x iy)2 + 2(x iy) + iα(x iy) iα x 2 + y 2 + 2x + = x2 2ixy y 2 + 2x 2iy + iαx αy iα. x 2 + y 2 + 2x + Aulliamo la parte immagiaria: 2xy 2y αx α = 0 2y(x + ) + α(x + ) = 0 (x + )(2y + α) = 0.

21 8. ESERCIZI SVOLTI SUI NUMERI COMPLESSI 2 Quidi deve essere x + = 0 oppure 2y + α = 0. Nel primo caso si ha la retta x = (ma il puto z = è escluso). Disego Nel secodo caso si ha la retta y = α 2. Esercizio 8.7. Determiare λ C tale che z 0 = i sia radice del poliomio Calcolare quidi tutte le radici. P (z) = z 4 2z 3 + λz 2 2z + 2. Soluzioe. Il umero complesso z 0 = i è radice del poliomio se Quidi λ = 3. Il poliomio è 0 = P (i) = i 4 2i 3 + λi 2 2i + 2 = 3 λ. P (z) = z 4 2z 3 + 3z 2 2z + 2. Osserviamo che i coefficieti del poliomio soo reali. Due radici del poliomio soo duque z 0 = i e z 0 = i. Le altre due radici soo z C e z C, da determiare. Il poliomio si fattorizza el seguete modo: P (z) = (z i)(z + i)(z z )(z z ) = (z 2 + )(z 2 z z z z + z 2 ) = z 4 (z + z )z 3 + ( + z 2 )z 2 (z + z )z + z 2. Eguagliado i coefficieti del poliomio si ottiee il sistema di equazioi ell icogita z : 2 = (z + z ) 3 = z = (z + z ) 2 = z 2. Le ultime due equazioi soo doppioi delle prime due. Duue si ha il sistema { z + z = 2 z 2 = 2 Se z = x + iy, la prima equazioe forisce x = e quidi la secoda diveta 2 = z 2 = x 2 + y 2 = + y 2, da cui si deduce che y 2 =, ovvero y = ±. Scegliedo il sego + si trova la coppia di soluzioi z = + i, z = i. Scegliedo il sego si trovao le stesse soluzioi, scambiate fra loro. I coclusioe, le quattro soluzioi soo ±i e ± i. Esercizio 8.8. Disegare el piao complesso l isieme delle z C tali che 4 z 4 (8.6) >. 4 z + 4i

22 22 2. NUMERI COMPLESSI Soluzioe. Abbiamo le restrizioi: (8.7) 4 z 4 0 z 4 4, (8.8) 4 z + 4i > 0 z + 4i < 4. Rappresetiamo il domiio di esisteza el seguete disego: Disego Co tali restrizioi, possiamo elevare al quadrato la disuguagliaza (8.6) e otteere 4 z 4 4 z + 4i > 4 z 4 > 4 z + 4i z + 4i > z 4 z + 4i 2 > z 4 2. Poedo z = x + iy si ottiee la disuguagliaza equivalete: x + iy + 4i 2 > x + iy 4 2 x 2 + (y + 4) 2 > (x 4) 2 + y 2 ovvero y > x: I defiitiva, le soluzioi soo: x 2 + y 2 + 8y + 6 > x 2 8x y 2, Disego Disego

23 CHAPTER 3 Successioi umeriche. Successioi umeriche covergeti e divergeti Ua successioe reale è ua fuzioe a : N R. Idicheremo co a = a() R l elemeto -esimo della successioe. La successioe si idica co il simbolo (a ) N. La successioe si può ache defiire elecado i modo ordiato i suoi elemeti. Ad esempio, la successioe (a ) N co a = + 0, 2, 2 3,..., +,...., N, è formata dagli elemeti Defiizioe. (Successioi covergeti). Diciamo che ua successioe reale (a ) N coverge ad u ite L R se per ogi ε > 0 esiste N tale che a L < ε per ogi. Diremo i questo caso che la successioe è covergete e scriveremo ache L = a oppure a L. Il umero L si dice ite della successioe. Esempio.2. Verifichiamo ad esempio che + =. Fissiamo ε > 0 e cerchiamo N tale che per si abbia + < ε + < ε > ε. Quidi è sufficiete scegliere u umero aturale N tale che > ε umero esiste per la Proprietà di Archimede dei umeri reali.. U tale Proposizioe.3 (Uicità del ite). Se ua successioe reale (a ) N ha ite L R allora questo ite è uico. Dim. Siao L ed M etrambi iti della successioe (a ) N. Fissato ε > 0 a piacere, esiste N tale che a L < ε e a M < ε per ogi. Dalla disuguagliaza triagolare segue che L M = L a + a M L a + a M < 2ε. Siccome ε > 0 è arbitrario, questo implica che L M = 0 e quidi L = M. 23

24 24 3. SUCCESSIONI NUMERICHE Defiizioe.4. Diremo che ua successioe reale (a ) N diverge a ( più ifiito ) se per ogi M R (arbitrariariamete grade) esiste N tale che a M per ogi. Scriveremo i questo caso a =. Aalogamete, diremo che ua successioe reale (a ) N diverge a ( meo ifiito ) se per ogi M R (arbitrariariamete grade) esiste N tale che a M Scriveremo i questo caso a =. per ogi. Delle successioi reali che o cadoo è el caso della Defiizioe. (successioe covergete) è ei casi della Defiizioe.4 diremo che o hao ite, è fiito è ±. Ua successioe reale (a ) N si dice itata se l isieme A = {a : N} è itato i R. Equivaletemete, la successioe è itata se esiste C > 0 tale che a C < per ogi N. Proposizioe.5. Se ua successioe reale (a ) N è covergete allora è itata. Dim. Sia L R il ite della successioe. Fissiamo a ostro piacere u ε > 0. Allora esiste N tale che a L < ε per ogi >. Scegliamo C = max{ a,..., a, L + ε}. Allora a C per ogi =,...,, elemetarmete. Ioltre, per > si ha a = a L + L a L + L < ε + L C. Teorema.6 (Proprietà geerali dei iti). Siao (a ) N e (b ) N due successioi i R covergeti. Allora: ) La successioe somma (a + b ) N è covergete e ioltre a + b = a + b. 2) La successioe prodotto (a b ) N è covergete e ioltre a b = a b. 3) Se b 0 per ogi N e il ite di (b ) N o è 0, allora la successioe quoziete (a /b ) N coverge e ioltre a = b a b.

25 . SUCCESSIONI NUMERICHE CONVERGENTI E DIVERGENTI 25 Dim. Idichiamo co L, M R i iti delle successioi (a ) N e (b ) N. Fissiamo ε > 0 e sia N tale che a L < ε e b M < ε per ogi. ) Allora si ha per ogi : a + b (L + M) a L + b M < 2ε. 2) Per la Proposizioe.5, esiste C > 0 tale che a C e b C per ogi N. Allora si ha per ogi : a b LM = a b Lb +Lb LM b a L + L b M Cε+ L ε = (C+ L )ε. 3) Per il puto 2), è sufficiete provare l affermazioe el caso a = per ogi N. Siccome M 0 per ipotesi, esiste N tale che per ogi si ha Duque, per max{, } si ha b M b = b M + M M b M M 2. = b M b M 2ε M 2. Teorema.7 (Teorema del cofroto). Siao (a ) N, (b ) N e (c ) N successioi reali tali che esiste N tale che si ha a b c. Suppoiamo che esistao i iti L, M R delle successioi (a ) N e (c ) N, rispettivamete. Se L = M, allora ache (b ) N coverge e b = M. Dim. Fissato ε > 0 sia N tale che a L < ε e c L < ε per ogi. Allora si ha ache b L c L c L < ε, L b L a L a < ε, e quidi b L < ε per ogi N tale che. Defiizioe.8. Sia A() u affermazioe che riguarda il geerico umero aturale N. Se esiste N tale che A() è vera per ogi diremo che l affermazioe A() è vera defiitivamete. Il Teorema sulle operazioi coi iti e il Teorema del cofroto coproo solo alcui dei casi che si possoo presetare. Nel seguito discutiamo alcue altre situazioi esemplari. Proposizioe.9. Siao (a ) N ua successioe ifiitesima (ovvero a = 0) e (b ) N ua successioe itata. Allora la successioe prodotto (a b ) N è ifiitesima. Dim. Sia C > 0 ua costate tale che b C per ogi N. Fissato ε > 0 esiste N tale che a ε per ogi. Allora si ha a b = a b Cε, per ogi. Questo prova che la successioe prodotto è ifiitesima.

26 26 3. SUCCESSIONI NUMERICHE Esercizio.. Provare le segueti affermazioi. ) Siao (a ) N e (b ) N due successioi reali tali che a b per ogi N. Allora si ha a = b =. 2) Siao (b ) N e (c ) N due successioi reali tali che b c per ogi N. Allora si ha c = b =. 3) Sia (a ) N ua successioe reale che diverge a, e sia (b ) N ua successioe reale itata. Provare che la successioe somma (a + b ) N diverge a. 4) Sia (a ) N ua successioe reale che diverge a, e sia (b ) N ua successioe reale, positiva, staccata da 0 ovvero: esiste δ > 0 tale che b δ per ogi N. Allora la successioe prodotto (a b ) N diverge a. 2. Esempi di successioi elemetari Esempio 2. (Quoziete di poliomi). Siao P e Q poliomi a coefficieti reali ella variabile x R di grado p e q, rispettivamete, co p, q N. Precisamete, suppoiamo di avere P (x) = a p x p a x + a 0, x R Q(x) = b q x q b x + b 0, x R. Avremo a p 0 e b q 0. Seza perdere di geeralità suppoiamo che a p > 0 e b q > 0. Allora si ha P () Q() = se p > q, a p b q se p = q, 0 se q > p. La verifica è elemetare e utilizza il teorema sulle operazioi co i iti partedo dalla seguete idetità: a p p a + a 0 b q q b + b 0 = p q a p + a p... + a p + a 0 p b q + b q b q + b 0 q. Esempio 2.2 (Successioe geometrica). Sia q R u umero reale fissato. Studiamo la covergeza delle successioe geometrica a = q per N. Verificheremo le segueti affermazioi: q = 0 se q <, se q =, se q > o esiste se q. L ultima affermazioe sigifica che il ite o esiste è i R è ±.

27 2. ESEMPI DI SUCCESSIONI ELEMENTARI 27 Esamiiamo il caso < q <. È sufficiete cosiderare il caso 0 < q <. Allora q = x co x (0, ). Per tali x valgoo le disuguagliaze Si veda l Esercizio 5 del Foglio. Siccome 0 ( x) + x, N. dal Teorema del cofroto segue che + x = 0, q = ( x) = 0. Nel caso q > si può scrivere q = + x co x > 0. Dalla disuguagliaza di Beroulli si ottiee q = ( + x) + x, e per cofroto si trova q =. Esempio 2.3 (Radice -esima). Per ogi umero reale p > 0 si ha p =. È sufficiete cosiderare il caso p >. Il caso 0 < p < si riduce a questo passado ai reciproci. Se p > si ha p = + a co a > 0. Dalla disuguagliaza di Beroulli si ottiee e quidi a = 0. p = ( + a ) + a, 0 < a p, Esempio 2.4 (Radice -esima di ua poteza di ). Per ogi umero reale β > 0 si ha β =. Proviamo l effermazioe el caso β =. Si ha certamete = + a co a 0 per ogi. Usado uovamete la disuguagliaza di Beroulli si trova = ( + a ) + a, e quidi 0 a. Dal Teorema del cofroto segue che a = 0. I coclusioe, si ottiee = ( + a ) 2 =.

28 28 3. SUCCESSIONI NUMERICHE Esempio 2.5 (Cofroto fra poteze ed espoeziali). Siao a, β R umeri reali tali che a > e β > 0. Si ha: β a = 0. Esamiiamo la successioe Dal mometo che b + b = ( + ) β a a + β b = β a, N. ( = + ) β = a a <, fissato a < q <, esiste N tale che b + < qb per ogi. Iterado tale disuguagliaza si ottiee 0 b qb... q b = q b q. Per cofroto co la successioe geometrica si deduce che b = 0. Esempio 2.6 (Cofroto fra espoeziale e fattoriale). Sia a R u umero reale tale che a > 0. Si ha: a! = 0. Esamiiamo la successioe b = a N.! Dal mometo che b + a = b + = 0, fissato 0 < q <, esiste N tale che b + < qb per ogi. Come sopra, si coclude che b 0 per. Esempio 2.7 (Cofroto fra poteze e logaritmi). Per ogi α, β R co α, β > 0 risulta log β = 0. α Co la sostituzioe x = log, ovvero = e x, si ottiee per 0 logβ α = xβ e xα ([x ] + ) β (e α ) [x]. Siccome e > e α > 0, la base dell espoeziale verifica e α >. Duque, fissato ε > 0 esiste M R tale che risulti o appea [x ] > M. Ma siccome ([x ] + ) β (e α ) [x] < ε [x ] = [log ] =,

29 3. SUCCESSIONI MONOTONE 29 esiste N tale che [x ] > M per ogi. Abbiamo così provato che per ogi ε > 0 esiste N tale che per ogi si ha 0 logβ α < ε. 3. Successioi mootoe Defiizioe 3. (Successioi mootoe). Ua successioe reale (a ) N si dice: i) crescete se a a + per ogi N; ii) strettamete crescete se a < a + per ogi N; iii) decrescete se a a + per ogi N; iv) strettamete decrescete se a > a + per ogi N. Ua successioe crescete o decrescete si dice mootoa. Proposizioe 3.2. Sia (a ) N ua successioe crescete e (superiormete) itata. Allora la successioe è covergete e ioltre a = sup { a R : N} = sup a. Dim. L isieme A = { a R : N} è superiormete itato e quidi esiste fiito L = sup A R. Siccome L è u maggiorate di A si ha a L per ogi N. Fissiamo ε > 0. Siccome L è il miimo dei maggiorati di A, esiste N tale che a > L ε. Dal fatto che (a ) N è crescete, si deduce che per si ha: a a > L ε. Abbiamo duque provato che per ogi ε > 0 esiste N tale che per risulta L ε < a L < L + ε. N Questa è la tesi della proposizioe. Se ua successioe crescete (a ) N o è superiormete itata, allora u argometo aalogo al precedete prova che a =. Per le successioi decresceti valgoo affermazioi aaloghe. Ad esempio, se (a ) N è decrescete e iferiormete itata, allora a = if{a N : N} R. Nella dimostrazioe della Proposizioe 3.2 abbiamo usato l Assioma di completezza dei umeri reali per assicurarci dell esisteza del umero L R. Esercizio 3.. Sia (a ) N la seguete successioe defiita i modo ricorsivo: a 0 = 0, a + = 2 + a, 0. Provare che la successioe coverge a calcolare il ite.

30 30 3. SUCCESSIONI NUMERICHE Soluzioe. Mostriamo che la successioe è crescete e superiormete itata. Sia f(x) = 2 + x la fuzioe, defiita per x 2, che iterviee ella defiizioe ricorsiva a + = f(a ). Studiamo la disuguagliaza f(x) > x < x < 2. Duque, fitatochè 0 a < 2, risulta a + > a. Proviamo per iduzioe che 0 a < 2. Per = 0 questo è chiaro. Ioltre, si ha a + < a < 2 a < 2. Questo prova che la successioe è crescete (strettamete) e superiormete itata. Duque esiste fiito L = a. Passado al ite ella relazioe ricorsiva a + = f(a ) ed usado la cotiuità di f si trova L = a + = f(a ) = f( a ) = f(l). Le soluzioi dell equazioe L = f(l) soo L = che è da scartare ed L = 2. Duque, il ite è L = Esercizi svolti Esercizio 4.. Usado la defiizioe provare che 2 log( + ) =. Soluzioe. Fissato M > 0 dobbiamo trovare N tale che per ogi si abbia 2 log( + ) M. Tale disequazioe o si risolve i modo esatto. Usiamo il metodo delle maggiorazioi. Siccome log( + ), avremo 2 log( + ) Risolviamo la disequazioe semplificata. M M +. Possiamo duque scegliere N tale che M +. U tale esiste per il Pricipio di Archimede. Duque, per ogi avremo 2 log( + ) M. Esercizio 4.2. Calcolare il seguete ite: ( L = ). 2 +

31 (4.9) Soluzioe. Abbiamo le stime ESERCIZI SVOLTI 3 2 +, N, e ioltre (4.0) =, N. + / Siccome x x è ua fuzioe cotiua: + = e quidi (4.) + ( + ) = =, =, e per il Teorema del Cofroto da (4.9),(4.0) e (4.) deduciamo che L =. Esercizio 4.3. Calcolare il seguete ite: Soluzioe. Dalle disuguagliaze e dal fatto che 3 = = 3 2, 2 =, segue per il Teorema del Cofroto che = 3. Esercizio 4.4. Calcolare il seguete ite: Soluzioe. Abbiamo 2 si cos = 2 2 si cos. ( si ) 2 (3 + cos 2 ) = si 3 + cos. 2 Poichè successioe ifiitesima per successioe itata = successioe ifiitesima, si ha si = 0 e cos = 0. 2 Dal Teorema sul quoziete dei iti otteiamo 2 si cos = si 3 + cos = 3. 2 Esercizio 4.5. Calcolare il seguete ite: 2/3( ).

32 32 3. SUCCESSIONI NUMERICHE Soluzioe. Usiamo l idetità per otteere Quidi = 2/3( ) = x 3 y 3 = (x y)(x 2 + xy + y 2 ) ( + ) ( + )2 + 3 ( + ) ( + )2 + 3 ( + ) /3 3 = ( + /) / + = 3. 3 Esercizio 4.6. Calcolare il seguete ite: L = 2 + log Soluzioe. Il termie domiate al umeratore è 2, quello al deomiatore è 3 : Osserivamo che 2 + log = 2 log 4 = 0, 2 + log = 0, 3 3 = (3/2) = 0. Dal Teorema sulle operazioi coi iti segue che L = 0.

33 CHAPTER 4 Serie umeriche. Serie umeriche. Defiizioi Sia (a ) N è ua succesioe reale. Vogliamo defiire, quado possibile, la somma di tutti gli a al variare di N. Tale somma di ifiiti termii si idica el seguete modo: (.2) a. =0 Co tale otazioe si vuole idicare u umero reale. Chiameremo u espressioe come i (.2) ua serie reale. Formiamo la successioe delle somme parziali s = a k = a a, N. La successioe (s ) N può covergere, può divergere a o, oppure può o avere ite. Defiizioe. (Serie covergete). Se la successioe delle somme parziali (s ) N coverge ad u umero s R, porremo a = s, =0 e diremo che la serie coverge ed ha come somma s. Se la successioe delle somme parziali (s ) N diverge a o, diremo che la serie diverge a o. Se la successioe delle somme parziali (s ) N o ha ite, è fiito è ifiito, diremo che la serie o coverge. Il geerico addedo a che appare ella serie (.2) si dice termie geerale della serie, ed (a ) N è la successioe dei termii geerali. Teorema.2 (Codizioe ecessaria di covergeza). Se ua serie reale s = coverge allora la successioe dei termii geerali è ifiitesima, ovvero =0 a a = 0. 33

34 34 4. SERIE NUMERICHE Dim. Sia (s ) N la successioe delle somme parziali. Allora avremo Duque, si deduce che s = s = s. a = (s s ) = s s = Serie geometrica. Serie telescopiche. Serie armoica geeralizzata 2.. Serie geometrica. Sia x R u umero reale tale che x. Ricordiamo la formula per le somme geometriche parziali x k = x+ x, N. Se x <, allora x + = 0. Se ivece x il ite o esiste (o o esiste fiito). Duque, si ottiee la formula per la serie geometrica =0 x =, x R, x <. x 2.2. Serie telescopiche. Sia (a ) N ua successioe reale e formiamo la successioe delle differeze b = a + a, N. Allora si ha b k = (a k+ a k ) = a k+ a k = a + a 0. Se ora la successioe (a ) N coverge ad u ite L, allora la serie co termie geerale b coverge e ioltre b = L a 0. = =0 Ad esempio, si trova ( + ) = ( ) = + = L ultima serie è talvolta chiamata serie di Megoli. ( k ) ( = ) =. k Seria armoica geeralizzata. Per α > 0 si cosideri la serie umerica. α Proposizioe 2.. La serie precedete coverge se e solo se α >. =

35 3. CRITERIO DELLA RADICE E DEL RAPPORTO PER SERIE REALI 35 Dim. Iiziamo dal caso α = 2. Dalle disuguagliaze 2 ( ) 2 ( ) si ottiee =2 α =2 = ( ) = = ( + ) < e per cofroto la serie a siistra coverge. Per α 2 si ha α 2 e quidi α <. 2 La serie a siistra coverge. Passiamo al caso α =. I questo caso si ha = + ( ) ( ) = + ( ) ( ) = = =, e duque la serie diverge a. Quado 0 < α < si ha α e duque = α = =, e per cofroto la serie a siistra diverge a. Rimae da discutere il caso < α < 2. I questo caso la serie coverge, ma la dimostrazioe di questo fatto è riviata. 3. Criterio della radice e del rapporto per serie reali Se (a ) N è ua successioe reale o egativa, allora la successioe delle somme parziali s = a 0 + a a, N, è mootoa crescete e quidi il ite di (s ) N esiste sempre, fiito oppure. Iiziamo co il Criterio del cofroto. Teorema 3. (Criterio del cofroto). Siao (a ) N e (b ) N successioi reali tali che 0 a b per ogi N. Allora: i) a = b = ; ii) =0 b < =0 =0 a <. =0 La verifica del Teorema segue dall aalogo euciato per le successioi.

36 36 4. SERIE NUMERICHE Teorema 3.2 (Criterio della radice). Sia (a ) N ua successioe reale o egativa, a 0 per ogi N, e suppoiamo che esista L = a. Allora si hao i segueti due casi: i) Se L < allora la serie coverge a <. ii) Se L > allora la serie diverge =0 a =. Di più, il termie geerale =0 verifica a =. Se L = la serie può sia covergere che divergere a. Dim. i) Esistoo q (0, ) e N tali che a q per ogi. Duque a q per ogi, e quidi a q <. = = Questo prova la covergeza della serie. ii) Esistoo q > e N tali che a > q per ogi. Dalla disuguagliaza a > q si deduce per cofroto che a =. Quidi la successioe (a ) N o è ifiitesima, e per la codizioe ecessaria di covergeza la serie diverge. Teorema 3.3 (Criterio del rapporto). Sia (a ) N ua successioe reale positiva, a > 0 per ogi N, e suppoiamo che esista L = a + /a. Si hao i segueti due casi: i) Se L < allora la serie coverge a <. ii) Se L > allora la serie diverge =0 a =. =0 verifica a =. Se L = la serie può sia covergere che divergere a. Di più, il termie geerale Dim. i) Esistoo q (0, ) e N tali che a + /a q per ogi. Duque a qa q a per ogi, e pertato a a q q <. = Questo prova la covergeza della serie. =

37 4. ESERCIZI SVOLTI 37 ii) Come sopra, si arriva alla disuguagliaza a qa q a dove ora q >. No è duque verificata la codizioe ecessaria di covergeza e la serie = a diverge. 4. Esercizi svolti Esercizio 4.. Dire se coverge la serie +. =0 Soluzioe. La serie o coverge i quato o è verificata la codizioe ecessaria di covergeza + = 0. Esercizio 4.2. Calcolare la somma delle segueti serie 2, 3. 2 = = Soluzioe. Usiamo la formula per la serie geometrica: 2 = + ( ) = + 2 /2 =. = 3 = 3 ( ( = 3 9) 2 = =0 + = ( ) 9) =0 Esercizio 4.3. Stabilire se coverge la serie + cos. + 3 = Soluzioe. La serie è a termie positivi: + cos + 3 0, N. Usiamo il Teorema del Cofroto + cos /2. Essedo 3/2 >, la serie seguete coverge 2 <, 3/2 = = ( = 3 + e per Il Teorema del cofroto ache la serie data coverge + cos 2 < /2 = ) = 3 /9 8.

38 38 4. SERIE NUMERICHE Esercizio 4.4. Scrivere il umero decimale periodico i forma razioale x = p/q co p, q N. x = 0, = 0, 45 Soluzioe. Il sigificato della rappresetazioe decimale è 0, 45 = = =0 = = 4 ( ) ( ) =0 = = 2 ( 5 / ) /00 = = 5. Esercizio 4.5. Verificare che la serie espoeziale!. =0 Soluzioe. È ua serie a termii positivi: a =! > 0, N. Usiamo il Criterio del Rapporto: Duque, si ha e duque la serie coverge. a + a =! ( + )! = +. L = a + a = 0 <, Esercizio 4.6. Determiare tutti gli x R tali che coverga la serie log(2 + ) x. = Soluzioe. Si tratta di ua serie a termii positivi: log(2 + ) a = x 0. Possiamo usare il Criterio della Radice. Avremo: log(2 + ) a = x.

39 Partiamo dalle segueti disuguagliaze: Dai iti oti log 2 log(2 + ) 4. ESERCIZI SVOLTI 39 log 2 = + = = =, segue dal Teorema del Cofroto che log(2 + ) =. Di cosegueza: L = a = x. Abbiamo due casi: ) L = x <. La serie coverge. 2) L = x >. La serie diverge a. Rimae da discutere il caso L = x =, ovvero x = ±. I questo caso la serie diveta: = = log( + 2). Questa serie diverge, per cofroto co la serie armoica: log( + 2) log 2 =. Esercizio 4.7. Determiare tutti i valori del parametro α R tali che coverga la serie α = Soluzioe. Riscriviamo il termie geerale el seguete modo: ( )( ) a = = = = α( ) ( 3 + ) ( 3 ) ) α ( 3/ ). ( α+3/ Osserviamo che e duque , N, a α+3/2 2, N. α+3/2

40 40 4. SERIE NUMERICHE Siccome = α+3/2 < α >, dal Teorema del Cofroto segue che la serie data coverge se e solo se α > /2. Esercizio 4.8. Al variare di x R studiare la covergeza della serie x 2. 2 = Soluzioe. Distiguiamo i due casi: ) x = 0; 2) x 0. Se x = 0 la serie diveta = = +. Siccome per, avremo per il Teorema del Cofroto =. + 2 /2 L ultima serie diverge essedo /2 <. Quado x 0 si può maggiorare il termie geerale el seguete modo: x 2 2 x 2 2 x 2 = 2 x 2. 3/2 Siccome <, 3/2 = essedo 3/2 >, allora dal Teorema del cofroto la serie data coverge. Esercizio 4.9. Al variare di x R e k R, co k 0, studiare la covergeza della serie e x k. =0 Soluzioe. La serie è a termii positivi e possiamo duque usare il Criterio della Radice. Sia L = e x k = e x k. Osserviamo che x k = = x/ k = k, e quidi L = e /k. Ci soo due casi: ) L <. I questo caso la serie coverge. Precisamete: L < e /k < k < 0 k > 0.

41 5. IL NUMERO e 4 2) L >. I questo caso la serie diverge. Precisamete: L > k < 0. Il caso L = o si preseta. Duque la serie coverge se e solo se k > 0 (idipedetemete da x R). 5. Il umero e Il umero e di Nepero si defiisce come la somma della serie espoeziale, che coverge per il Criterio del rapporto: e = k!. Il seguete teorema, dove si prova ua defiizioe alterativa del umero e, è utile per risolvere le forme idetermiata del tipo [ ]. Teorema 5.. Il seguete ite esiste fiito e ioltre (5.3) ( + ) = k! = e. Dim. Proveremo che la successioe ( a = + ), N, è crescete e superiormete itata. Dalla Proposizioe 3.2 segue l esisteza fiita del ite (5.3). Dalla formula del biomio di Newto si ottiee ( (5.4) a = + ) ( ) ( = k = ) (... k ) k k!, e i modo aalogo Dalle disuguagliaze ( ) < + a + = ( ) (... + ( ) (,..., + k k + ) ( < ) k!. k + per k = 0,,...,, segue che a < a +. Questo prova che la successioe (a ) N è strettamete crescete. Siccome ( ) ( <,..., k ) <, dall idetità (5.4) si trova ache la maggiorazioe ( (5.5) a = + ) < k! < e. ),

42 42 4. SERIE NUMERICHE Questo prova che la successioe (a ) N è superiormete itata. Duque, esiste fiito il ite e si ha a e. Vogliamo provare la disuguagliaza opposta. Siao m, N umeri aturali tali che m. Allora, ripartedo dall idetità (5.4), si trova: ( a = ) (... k ) k! m ( ) (... k ) k!. I questa disuguagliaza passiamo al ite per e otteiamo la disuguagliaza m a k!, che a questo puto vale per ogi m N. Passado ora al ite per m si trova a k! = e. Osservazioe 5.2. Il Teorema 5. si può geeralizzare el seguete modo. Per ogi x R si ha (5.6) ( + x ) = e x x k = k!. Osservazioe 5.3. Il umero di Nepero e verifica e > + + 2! + 3! = Per otteere ua stima dall alto si può usare la seguete disuguagliaza, che o dimostriamo, e < k! +!( ), che co = 4 forisce e < < Serie a sego altero. Criterio di Leibiz Per questa parte si vedao gli apputi maoscritti i rete.