Matematica. Corso integrato di. per le scienze naturali ed applicate. Materiale integrativo. Paolo Baiti 1 Lorenzo Freddi 1

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1 Corso itegrato di Matematica per le scieze aturali ed applicate Materiale itegrativo Paolo Baiti Lorezo Freddi Dipartimeto di Matematica e Iformatica, Uiversità di Udie, via delle Scieze 206, 3300 Udie, Italy ([baiti

2 Capitolo aggiutivo 7 Serie umeriche Che seso dare ad ua somma di ifiiti termii è u tema che ha iteressato i maggiori matematici del 700, ma che ha radici ell atichità. Soo ifatti famosi i proposito i paradossi del filosofo greco Zeoe di Elea vissuto el v secolo a.c.. L assetto modero della teoria delle serie viee però raggiuto solo elle opere di Cauchy (Cours d Aalyse, 82). Suppoiamo di avere ua successioe (a ) e di voler sommare i suoi termii uo dopo l altro. Potedo i pratica sommare solo u umero fiito, che valore possiamo dare alla somma degli ifiiti termii? I qualche caso particolare la risposta si preseta particolarmete semplice. Ad esempio, se a = per ogi allora la somma dei primi termii (partedo da = ) sarà ; fissato quidi u qualuque umero reale R, sommado u umero sufficietemete grade di termii, la somma otteuta supererà R e, i questo seso, diremo che la somma degli ifiiti termii diverge a +. Viceversa, se a = 2 allora si vede co u semplice argometo geometrico che la somma di u umero qualuque fiito di termii o potrà mai superare. Possiamo disporre le varie somme parziali i ua successioe, che risulta crescete e limitata, e pertato ammette u limite fiito 0 < l. Potremmo allora i questo caso (come d altra parte ache i quello precedete) defiire la somma degli ifiiti termii come il limite l della successioe delle somme parziali. 2

3 SERIE ASSOCIATA AD UNA SUCCESSIONE 3 Defiizioe 7.. Serie associata ad ua successioe Data ua successioe (a ) di umeri reali, si chiama serie associata ad (a ) la successioe (s ) defiita da s = k=0 i cui elemeti soo detti somme parziali. Così la serie associata ad (a ) è ache detta successioe delle somme parziali di (a ), metre a si chiama termie geerale della serie. Si dice che la serie è covergete o divergete (positivamete o egativamete) secodo che la successioe (s ) sia covergete o divergete. Se la successioe (s ) o ha limite si dice che la serie è idetermiata. a k Se esiste il limite di (s ) per, allora lo si idica el modo seguete lim s = o, ciò che è lo stesso cambiado semplicemete ome all idice, co e tale limite si chiama somma della serie (che può pertato essere fiita o ifiita). La serie è quidi la formalizzazioe matematica, ell ambito del calcolo ifiitesimale (itrodotto solo alla fie del 600 da Newto e Leibiz), dell idea di somma di ifiiti termii, idea che o è affatto ituitiva, come dimostra l ampio dibattito che la questioe ha suscitato tra i matematici del 700 (tra cui l italiao Gradi, lo stesso Leibiz, Eulero, Lagrage, D Alembert, Abel) e le otevoli implicazioi di carattere filosofico che e soo derivate e che tutt ora e derivao; chi fosse iteressato alla questioe può cosultare il divertete libro di Nicholas Falletta Il Libro dei paradossi edito da Logaesi (989), Capitolo 25. Co abuso di otazioe, ache la serie (cioè la successioe (s )) oltre che k=0 a k a

4 4 CAPITOLO AGGIUNTIVO 7. SERIE NUMERICHE il suo limite si idica col simbolo a. Naturalmete se aziché da = 0 l idice di sommatoria partisse da = 0 questo cambierebbe l evetuale somma della serie ma o il suo carattere, cioè covergeza, divergeza, idetermiazioe. La serie geometrica Esempio 7.2. La serie x è detta serie geometrica di ragioe x. È possibile dimostrare per iduzioe che si ha x k+ s = x k se x = x k=0 + se x = e pertato x = + se x x se x < o esiste se x. La deomiazioe data a questa serie viee dal fatto che ogi termie è la media geometrica tra il precedete e il successivo, cioè a = a a +. Le serie geometriche trovao molteplici applicazioi i vari campi. Per esempio il umero 0. o è altro che la somma di ua serie geometrica di ragioe /0 se la base scelta per la umerazioe è 0, metre se la base è 2 è la somma di ua serie geometrica di ragioe /2.

5 LA SERIE DI MENGOLI 5 Esempio 7.3. Mostriamo che Avedosi ( + ) =. ( + ) = + La serie di Megoli elidedo due a due i termii ella espressioe di s è semplice dedurre che s = +, formula che può essere provata per iduzioe. Esercizio 7.4. Calcolare la somma delle segueti serie: Esercizi ( 2 ) ; 3 =3 =2 ( + )( + 2) ; log ( ) 2. R. Ricordado che per le serie geometriche di ragioe x < si ha allora si ottiee =3 x = x. ( 2 ( 2 2 ( 2 ) = = 3) 3) 3 2/3 ( ) = 8 9.

6 6 CAPITOLO AGGIUNTIVO 7. SERIE NUMERICHE 2. Avedosi ( + )( + 2) = ( ) + 2 elidedo a tre a tre i termii ella espressioe della ridotta -esima S della serie si ottiee S = ( ), + 2 formula che deve essere provata per iduzioe, si ha S /4 e questo limite è per defiizioe la somma della serie. 3. Coviee scrivere ) log ( 2 ( ) ( ) = log 2 = log ( )(+) 2 = 2 = log( ) + log( + ) 2log elidedo a tre a tre i termii ella espressioe della ridotta -esima S della serie si ottiee S = log 2 + log( + ) log = log 2 + log( + ) log 2 e la somma della serie è quidi log 2. Esercizio 7.5. Calcolare la somma della serie ( + 3). R /8. Serie a termii positivi Se la successioe (a ) è tale che a 0 per ogi N, la serie associata si dice a termii positivi. I questo caso la successioe (s ) risulta mootoa o decrescete, e pertato ammette limite (fiito o ifiito). Ua serie a termii positivi o può quidi essere idetermiata, ma solo covergete o divergete positivamete. Ua proprietà aaloga può essere aturalmete stabilita per le serie a termii egativi. Criterio di codesazioe di Cauchy Trae alcui casi particolari, o è semplice avere ua formula che permetta di calcolare il limite della successioe (s ). Si devoo pertato trovare

7 CRITERIO DI CONDENSAZIONE DI CAUCHY 7 codizioi che ci dicao se la serie coverge o o, ache seza pretedere di determiare la somma. Ua codizioe ecessaria e sufficiete è la seguete. Teorema 7.6. (Criterio di codesazioe) Sia (a ) ua successioe decrescete di umeri positivi. Le serie hao lo stesso carattere. a e 2 a 2 Dimostrazioe Osserviamo che valgoo le disuguagliaze Ora, se a 3 + a 4 2a 4 a 5 + a 6 + a 7 + a 8 4a 8... a a a a a 2 diverge, diverge pure la serie 2 a 2 + e quidi, teedo coto delle precedeti disuguagliaze, diverge ache D altra parte valgoo ache le disuguagliaze a 2 + a 3 2a 2 a 4 + a 5 + a 6 + a 7 4a 4 a.... a 2 + a a a 2. e quidi, se 2 a 2 coverge, coverge pure a. Osservazioe 7.7. Si osservi che il fatto che le serie del teorema precedete abbiao lo stesso carattere o vuol dire che abbiao la stessa somma, come si può vedere cosiderado ad esempio le serie degli esempi 7.2, 7.3 e dell esercizio 7.4.

8 8 CAPITOLO AGGIUNTIVO 7. SERIE NUMERICHE Esempio 7.8. Discutere la covergeza, per α > 0, di α. La serie è detta armoica. Tale ome deriva dal fatto che ogi suo termie è la media armoica di quello precedete e di quello successivo, cioè a = 2 a + a + per ogi N. Per il criterio itegrale la serie armoica è divergete. Curiosità: si potrebbe pesare che dispoedo di u calcolatore dovrebbe essere facile, co u umero sufficietemete alto di somme, riuscire a stabilire co ragioevole certezza qual è il carattere di ua serie data. Ci si può facilmete redere coto che o è così provado a testare la serie armoica. Si ha ifatti s , s e per superare 00 occorre sommare la bellezza di circa 0 43 termii! La serie armoica diverge ifatti molto letamete. Esercizio 7.9. Studiare il carattere della serie R La successioe =2 log α, α 0. a = log α è positiva e decrescete. Si può pertato applicare il criterio di codesazioe. Si ha 2 a 2 = a log 2 + α > quidi la serie coverge se α > e diverge se α [0,]. Struttura lieare delle serie covergeti Utilizzado la defiizioe di serie e le aaloghe proprietà dei limiti, è facile verificare che vale la seguete proprietà: se a e b soo due serie covergeti e λ, µ R allora la serie (λa + µb ) è covergete co somma λ a + µ b.

9 UNA CONDIZIONE NECESSARIA PER LA CONVERGENZA 9 Sebbee il limite del prodotto di due successioi covergeti sia uguale al prodotto dei limiti, è bee redersi coto che per le serie o vale ua proprietà aaloga, a meo che o si defiisca il prodotto i maiera opportua. Illustrare la situazioe servedosi di opportui esempi. Defiedo el modo baale la somma e il prodotto per uo scalare di serie covergeti si ha allora che l isieme delle serie covergeti è dotato di ua struttura di spazio vettoriale reale di dimesioe umerabile. Esercizio: esibire ua base. Ua codizioe ecessaria per la covergeza Il seguete teorema è utile per provare che ua serie o coverge. Teorema 7.0. Se la serie a è covergete allora lim a = 0. Dimostrazioe Si ha ifatti lim a = lim (s s ) = lims lim s = 0 i quato, essedo la serie covergete, i limiti di (s ) e di (s ) soo fiiti e coicidoo. Esempio 7.. La serie 8 o coverge, perché il termie geerale o è ifiitesimo. Ache la serie ( ) o coverge per lo stesso motivo. Notiamo che la codizioe del teorema è solo ecessaria, ifatti la serie armoica diverge pur essedo lim = 0. Esercizio 7.2. Studiare il carattere della serie. R Essedo lim = o è soddisfatta ua codizioe ecessaria per la covergeza, quidi la serie, essedo a termii positivi, diverge.

10 0 CAPITOLO AGGIUNTIVO 7. SERIE NUMERICHE Criteri di covergeza per serie a termii positivi Criterio del cofroto Teorema 7.3. (Criterio del cofroto) Siao a e b due serie a termii positivi ed esista 0 N tale che a b per ogi N, 0. Allora si ha. b coverge a coverge; 2. a diverge b diverge. Dimostrazioe Esercizio. Esercizio 7.4. Determiare il carattere delle segueti serie ; ; 3. 2 ( ) ( + e) 3. R. coverge; 2. diverge; 3. coverge. Esercizio 7.5. Determiare il carattere della serie log R Per > 2 si ha log < 2log 3/2 e quest ultimo è termie geerale di ua serie covergete, quidi per cofroto la serie data coverge.

11 SERIE A TERMINI DI SEGNO NON COSTANTE Criterio della radice Teorema 7.6. (Criterio della radice) Sia a ua serie a termii positivi tale che lim. Se L < la serie coverge; 2. se L > la serie diverge; a = L. 3. se L = ulla si può affermare sul carattere della serie. Dimostrazioe Se L < si ha defiitivamete a L+ 2, cioè a ( L+ 2 ) e quidi la serie coverge per cofroto co ua serie geometrica di ragioe positiva miore di. Aalogamete, se L > si ha defiitivamete a L+ 2, cioè a ( L+ 2 ) e quidi la serie coverge per cofroto co ua serie geometrica di ragioe maggiore di. Nel caso L = rietrao la serie armoica che diverge e la serie che coverge. 2 Serie a termii di sego o costate Defiizioe 7.7. Ua serie a si dice assolutamete covergete se è covergete la serie a. Teorema 7.8. Se ua serie è assolutamete covergete allora è covergete. Dimostrazioe Per ogi N defiiamo due uove successioi di umeri o egativi a + = max{a, 0}, a = mi{a, 0} = max{ a, 0} che si chiamao rispettivamete parte positiva e parte egativa di a e soo ad essa legate dalla relazioe a = a + a.

12 2 CAPITOLO AGGIUNTIVO 7. SERIE NUMERICHE Poiché 0 a +, a a allora, per il criterio del cofroto le serie a + e a soo etrambe covergeti, e per la struttura di spazio vettoriale risulta covergete ache la serie a. Esercizio 7.9. Studiare il carattere delle segueti serie. log(!) ; 2. 2 ( 4. ) ; 5. si 2 cos(2) 2 ; 3. log R. Diverge. Ifatti, essedo!, si ha e la serie 2 log log(!) log diverge per l esercizio 7.9. Esercizi ( ) ta ; 2. La serie è a termii di sego o costate e verifica la codizioe ecessaria per la covergeza lim a = 0. Studiamo la covergeza assoluta. si 2cos(2) 2 3 Per cofroto la serie coverge assolutamete. 3. La serie è a termii positivi e coverge perché esiste 0 N tale che ( ) ta 2 0; dimostrarlo per esercizio usado il fatto che ( ta lim ) 2 =.

13 SERIE A TERMINI DI SEGNO ALTERNO 3 4. La serie è a termii positivi ed è soddisfatta la codizioe ecessaria per la covergeza ( lim ) = 0 Posto a = ( ) si ha lim a = lim = 0 e la serie coverge per il criterio della radice. 5. Avedosi la serie coverge. log = log ( ) Serie a termii di sego altero Cosideriamo la serie (7.) ( ) a dove a 0. Allora è chiaro che il sego dei termii ( ) a è positivo se è pari e egativo se è dispari. I u caso come questo si può studiare la covergeza assoluta, oppure si può ricorrere al seguete criterio di covergeza per serie a termii di sego altero. Teorema (Criterio di Leibiz) Se (a ) è decrescete e covergete a 0 allora la serie (7.) è covergete. Dimostrazioe Omessa. Esercizio 7.2. Studiare la covergeza e la covergeza assoluta della serie ( ) ( ) ta. Esercizio Studiare il carattere delle segueti serie Esercizi

14 4 CAPITOLO AGGIUNTIVO 7. SERIE NUMERICHE = ; log 3 ; a b al variare di a e b i R. R. covergete; 2. covergete; 3. covergete se a,b 0 oppure se a = 0 e divergete i ogi altro caso. Esercizio Studiare il carattere delle segueti serie ( ) ; =2 (log ). R Soo etrambe covergeti. Esercizio Studiare il carattere della serie al variare del parametro α i R. R Coverge se α > 2, diverge altrimeti. log! α. Esercizio Determiare il carattere della serie (log ) =2 log. Esercizio Sia (a ) ua successioe di umeri reali o egativi. Dimostrare che se a coverge allora coverge ache la serie a 2. R a covergete a 0 a defiitivamete. Allora a 2 a defiitivamete (perché a 0) e quidi la tesi segue dal teorema del cofroto.

15 ESERCIZI 5 Esercizio Dimostrare che se la serie a coverge assolutamete. a 2 coverge allora la serie R Ifatti dalla disuguagliaza tra umeri reali si ha, poedo α = a e β = / αβ 2 (α2 + β 2 ) a (a 2 + ) 2 e la tesi segue dal teorema del cofroto.

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