Matematica. Corso integrato di. per le scienze naturali ed applicate. Materiale integrativo. Paolo Baiti 1 Lorenzo Freddi 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Matematica. Corso integrato di. per le scienze naturali ed applicate. Materiale integrativo. Paolo Baiti 1 Lorenzo Freddi 1"

Transcript

1 Corso itegrato di Matematica per le scieze aturali ed applicate Materiale itegrativo Paolo Baiti Lorezo Freddi Dipartimeto di Matematica e Iformatica, Uiversità di Udie, via delle Scieze 206, 3300 Udie, Italy ([baiti

2 Capitolo aggiutivo 7 Serie umeriche Che seso dare ad ua somma di ifiiti termii è u tema che ha iteressato i maggiori matematici del 700, ma che ha radici ell atichità. Soo ifatti famosi i proposito i paradossi del filosofo greco Zeoe di Elea vissuto el v secolo a.c.. L assetto modero della teoria delle serie viee però raggiuto solo elle opere di Cauchy (Cours d Aalyse, 82). Suppoiamo di avere ua successioe (a ) e di voler sommare i suoi termii uo dopo l altro. Potedo i pratica sommare solo u umero fiito, che valore possiamo dare alla somma degli ifiiti termii? I qualche caso particolare la risposta si preseta particolarmete semplice. Ad esempio, se a = per ogi allora la somma dei primi termii (partedo da = ) sarà ; fissato quidi u qualuque umero reale R, sommado u umero sufficietemete grade di termii, la somma otteuta supererà R e, i questo seso, diremo che la somma degli ifiiti termii diverge a +. Viceversa, se a = 2 allora si vede co u semplice argometo geometrico che la somma di u umero qualuque fiito di termii o potrà mai superare. Possiamo disporre le varie somme parziali i ua successioe, che risulta crescete e limitata, e pertato ammette u limite fiito 0 < l. Potremmo allora i questo caso (come d altra parte ache i quello precedete) defiire la somma degli ifiiti termii come il limite l della successioe delle somme parziali. 2

3 SERIE ASSOCIATA AD UNA SUCCESSIONE 3 Defiizioe 7.. Serie associata ad ua successioe Data ua successioe (a ) di umeri reali, si chiama serie associata ad (a ) la successioe (s ) defiita da s = k=0 i cui elemeti soo detti somme parziali. Così la serie associata ad (a ) è ache detta successioe delle somme parziali di (a ), metre a si chiama termie geerale della serie. Si dice che la serie è covergete o divergete (positivamete o egativamete) secodo che la successioe (s ) sia covergete o divergete. Se la successioe (s ) o ha limite si dice che la serie è idetermiata. a k Se esiste il limite di (s ) per, allora lo si idica el modo seguete lim s = o, ciò che è lo stesso cambiado semplicemete ome all idice, co e tale limite si chiama somma della serie (che può pertato essere fiita o ifiita). La serie è quidi la formalizzazioe matematica, ell ambito del calcolo ifiitesimale (itrodotto solo alla fie del 600 da Newto e Leibiz), dell idea di somma di ifiiti termii, idea che o è affatto ituitiva, come dimostra l ampio dibattito che la questioe ha suscitato tra i matematici del 700 (tra cui l italiao Gradi, lo stesso Leibiz, Eulero, Lagrage, D Alembert, Abel) e le otevoli implicazioi di carattere filosofico che e soo derivate e che tutt ora e derivao; chi fosse iteressato alla questioe può cosultare il divertete libro di Nicholas Falletta Il Libro dei paradossi edito da Logaesi (989), Capitolo 25. Co abuso di otazioe, ache la serie (cioè la successioe (s )) oltre che k=0 a k a

4 4 CAPITOLO AGGIUNTIVO 7. SERIE NUMERICHE il suo limite si idica col simbolo a. Naturalmete se aziché da = 0 l idice di sommatoria partisse da = 0 questo cambierebbe l evetuale somma della serie ma o il suo carattere, cioè covergeza, divergeza, idetermiazioe. La serie geometrica Esempio 7.2. La serie x è detta serie geometrica di ragioe x. È possibile dimostrare per iduzioe che si ha x k+ s = x k se x = x k=0 + se x = e pertato x = + se x x se x < o esiste se x. La deomiazioe data a questa serie viee dal fatto che ogi termie è la media geometrica tra il precedete e il successivo, cioè a = a a +. Le serie geometriche trovao molteplici applicazioi i vari campi. Per esempio il umero 0. o è altro che la somma di ua serie geometrica di ragioe /0 se la base scelta per la umerazioe è 0, metre se la base è 2 è la somma di ua serie geometrica di ragioe /2.

5 LA SERIE DI MENGOLI 5 Esempio 7.3. Mostriamo che Avedosi ( + ) =. ( + ) = + La serie di Megoli elidedo due a due i termii ella espressioe di s è semplice dedurre che s = +, formula che può essere provata per iduzioe. Esercizio 7.4. Calcolare la somma delle segueti serie: Esercizi ( 2 ) ; 3 =3 =2 ( + )( + 2) ; log ( ) 2. R. Ricordado che per le serie geometriche di ragioe x < si ha allora si ottiee =3 x = x. ( 2 ( 2 2 ( 2 ) = = 3) 3) 3 2/3 ( ) = 8 9.

6 6 CAPITOLO AGGIUNTIVO 7. SERIE NUMERICHE 2. Avedosi ( + )( + 2) = ( ) + 2 elidedo a tre a tre i termii ella espressioe della ridotta -esima S della serie si ottiee S = ( ), + 2 formula che deve essere provata per iduzioe, si ha S /4 e questo limite è per defiizioe la somma della serie. 3. Coviee scrivere ) log ( 2 ( ) ( ) = log 2 = log ( )(+) 2 = 2 = log( ) + log( + ) 2log elidedo a tre a tre i termii ella espressioe della ridotta -esima S della serie si ottiee S = log 2 + log( + ) log = log 2 + log( + ) log 2 e la somma della serie è quidi log 2. Esercizio 7.5. Calcolare la somma della serie ( + 3). R /8. Serie a termii positivi Se la successioe (a ) è tale che a 0 per ogi N, la serie associata si dice a termii positivi. I questo caso la successioe (s ) risulta mootoa o decrescete, e pertato ammette limite (fiito o ifiito). Ua serie a termii positivi o può quidi essere idetermiata, ma solo covergete o divergete positivamete. Ua proprietà aaloga può essere aturalmete stabilita per le serie a termii egativi. Criterio di codesazioe di Cauchy Trae alcui casi particolari, o è semplice avere ua formula che permetta di calcolare il limite della successioe (s ). Si devoo pertato trovare

7 CRITERIO DI CONDENSAZIONE DI CAUCHY 7 codizioi che ci dicao se la serie coverge o o, ache seza pretedere di determiare la somma. Ua codizioe ecessaria e sufficiete è la seguete. Teorema 7.6. (Criterio di codesazioe) Sia (a ) ua successioe decrescete di umeri positivi. Le serie hao lo stesso carattere. a e 2 a 2 Dimostrazioe Osserviamo che valgoo le disuguagliaze Ora, se a 3 + a 4 2a 4 a 5 + a 6 + a 7 + a 8 4a 8... a a a a a 2 diverge, diverge pure la serie 2 a 2 + e quidi, teedo coto delle precedeti disuguagliaze, diverge ache D altra parte valgoo ache le disuguagliaze a 2 + a 3 2a 2 a 4 + a 5 + a 6 + a 7 4a 4 a.... a 2 + a a a 2. e quidi, se 2 a 2 coverge, coverge pure a. Osservazioe 7.7. Si osservi che il fatto che le serie del teorema precedete abbiao lo stesso carattere o vuol dire che abbiao la stessa somma, come si può vedere cosiderado ad esempio le serie degli esempi 7.2, 7.3 e dell esercizio 7.4.

8 8 CAPITOLO AGGIUNTIVO 7. SERIE NUMERICHE Esempio 7.8. Discutere la covergeza, per α > 0, di α. La serie è detta armoica. Tale ome deriva dal fatto che ogi suo termie è la media armoica di quello precedete e di quello successivo, cioè a = 2 a + a + per ogi N. Per il criterio itegrale la serie armoica è divergete. Curiosità: si potrebbe pesare che dispoedo di u calcolatore dovrebbe essere facile, co u umero sufficietemete alto di somme, riuscire a stabilire co ragioevole certezza qual è il carattere di ua serie data. Ci si può facilmete redere coto che o è così provado a testare la serie armoica. Si ha ifatti s , s e per superare 00 occorre sommare la bellezza di circa 0 43 termii! La serie armoica diverge ifatti molto letamete. Esercizio 7.9. Studiare il carattere della serie R La successioe =2 log α, α 0. a = log α è positiva e decrescete. Si può pertato applicare il criterio di codesazioe. Si ha 2 a 2 = a log 2 + α > quidi la serie coverge se α > e diverge se α [0,]. Struttura lieare delle serie covergeti Utilizzado la defiizioe di serie e le aaloghe proprietà dei limiti, è facile verificare che vale la seguete proprietà: se a e b soo due serie covergeti e λ, µ R allora la serie (λa + µb ) è covergete co somma λ a + µ b.

9 UNA CONDIZIONE NECESSARIA PER LA CONVERGENZA 9 Sebbee il limite del prodotto di due successioi covergeti sia uguale al prodotto dei limiti, è bee redersi coto che per le serie o vale ua proprietà aaloga, a meo che o si defiisca il prodotto i maiera opportua. Illustrare la situazioe servedosi di opportui esempi. Defiedo el modo baale la somma e il prodotto per uo scalare di serie covergeti si ha allora che l isieme delle serie covergeti è dotato di ua struttura di spazio vettoriale reale di dimesioe umerabile. Esercizio: esibire ua base. Ua codizioe ecessaria per la covergeza Il seguete teorema è utile per provare che ua serie o coverge. Teorema 7.0. Se la serie a è covergete allora lim a = 0. Dimostrazioe Si ha ifatti lim a = lim (s s ) = lims lim s = 0 i quato, essedo la serie covergete, i limiti di (s ) e di (s ) soo fiiti e coicidoo. Esempio 7.. La serie 8 o coverge, perché il termie geerale o è ifiitesimo. Ache la serie ( ) o coverge per lo stesso motivo. Notiamo che la codizioe del teorema è solo ecessaria, ifatti la serie armoica diverge pur essedo lim = 0. Esercizio 7.2. Studiare il carattere della serie. R Essedo lim = o è soddisfatta ua codizioe ecessaria per la covergeza, quidi la serie, essedo a termii positivi, diverge.

10 0 CAPITOLO AGGIUNTIVO 7. SERIE NUMERICHE Criteri di covergeza per serie a termii positivi Criterio del cofroto Teorema 7.3. (Criterio del cofroto) Siao a e b due serie a termii positivi ed esista 0 N tale che a b per ogi N, 0. Allora si ha. b coverge a coverge; 2. a diverge b diverge. Dimostrazioe Esercizio. Esercizio 7.4. Determiare il carattere delle segueti serie ; ; 3. 2 ( ) ( + e) 3. R. coverge; 2. diverge; 3. coverge. Esercizio 7.5. Determiare il carattere della serie log R Per > 2 si ha log < 2log 3/2 e quest ultimo è termie geerale di ua serie covergete, quidi per cofroto la serie data coverge.

11 SERIE A TERMINI DI SEGNO NON COSTANTE Criterio della radice Teorema 7.6. (Criterio della radice) Sia a ua serie a termii positivi tale che lim. Se L < la serie coverge; 2. se L > la serie diverge; a = L. 3. se L = ulla si può affermare sul carattere della serie. Dimostrazioe Se L < si ha defiitivamete a L+ 2, cioè a ( L+ 2 ) e quidi la serie coverge per cofroto co ua serie geometrica di ragioe positiva miore di. Aalogamete, se L > si ha defiitivamete a L+ 2, cioè a ( L+ 2 ) e quidi la serie coverge per cofroto co ua serie geometrica di ragioe maggiore di. Nel caso L = rietrao la serie armoica che diverge e la serie che coverge. 2 Serie a termii di sego o costate Defiizioe 7.7. Ua serie a si dice assolutamete covergete se è covergete la serie a. Teorema 7.8. Se ua serie è assolutamete covergete allora è covergete. Dimostrazioe Per ogi N defiiamo due uove successioi di umeri o egativi a + = max{a, 0}, a = mi{a, 0} = max{ a, 0} che si chiamao rispettivamete parte positiva e parte egativa di a e soo ad essa legate dalla relazioe a = a + a.

12 2 CAPITOLO AGGIUNTIVO 7. SERIE NUMERICHE Poiché 0 a +, a a allora, per il criterio del cofroto le serie a + e a soo etrambe covergeti, e per la struttura di spazio vettoriale risulta covergete ache la serie a. Esercizio 7.9. Studiare il carattere delle segueti serie. log(!) ; 2. 2 ( 4. ) ; 5. si 2 cos(2) 2 ; 3. log R. Diverge. Ifatti, essedo!, si ha e la serie 2 log log(!) log diverge per l esercizio 7.9. Esercizi ( ) ta ; 2. La serie è a termii di sego o costate e verifica la codizioe ecessaria per la covergeza lim a = 0. Studiamo la covergeza assoluta. si 2cos(2) 2 3 Per cofroto la serie coverge assolutamete. 3. La serie è a termii positivi e coverge perché esiste 0 N tale che ( ) ta 2 0; dimostrarlo per esercizio usado il fatto che ( ta lim ) 2 =.

13 SERIE A TERMINI DI SEGNO ALTERNO 3 4. La serie è a termii positivi ed è soddisfatta la codizioe ecessaria per la covergeza ( lim ) = 0 Posto a = ( ) si ha lim a = lim = 0 e la serie coverge per il criterio della radice. 5. Avedosi la serie coverge. log = log ( ) Serie a termii di sego altero Cosideriamo la serie (7.) ( ) a dove a 0. Allora è chiaro che il sego dei termii ( ) a è positivo se è pari e egativo se è dispari. I u caso come questo si può studiare la covergeza assoluta, oppure si può ricorrere al seguete criterio di covergeza per serie a termii di sego altero. Teorema (Criterio di Leibiz) Se (a ) è decrescete e covergete a 0 allora la serie (7.) è covergete. Dimostrazioe Omessa. Esercizio 7.2. Studiare la covergeza e la covergeza assoluta della serie ( ) ( ) ta. Esercizio Studiare il carattere delle segueti serie Esercizi

14 4 CAPITOLO AGGIUNTIVO 7. SERIE NUMERICHE = ; log 3 ; a b al variare di a e b i R. R. covergete; 2. covergete; 3. covergete se a,b 0 oppure se a = 0 e divergete i ogi altro caso. Esercizio Studiare il carattere delle segueti serie ( ) ; =2 (log ). R Soo etrambe covergeti. Esercizio Studiare il carattere della serie al variare del parametro α i R. R Coverge se α > 2, diverge altrimeti. log! α. Esercizio Determiare il carattere della serie (log ) =2 log. Esercizio Sia (a ) ua successioe di umeri reali o egativi. Dimostrare che se a coverge allora coverge ache la serie a 2. R a covergete a 0 a defiitivamete. Allora a 2 a defiitivamete (perché a 0) e quidi la tesi segue dal teorema del cofroto.

15 ESERCIZI 5 Esercizio Dimostrare che se la serie a coverge assolutamete. a 2 coverge allora la serie R Ifatti dalla disuguagliaza tra umeri reali si ha, poedo α = a e β = / αβ 2 (α2 + β 2 ) a (a 2 + ) 2 e la tesi segue dal teorema del cofroto.

Lezioni di Matematica 1 - I modulo

Lezioni di Matematica 1 - I modulo Lezioi di Matematica 1 - I modulo Luciao Battaia 4 dicembre 2008 L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 1 / 28 -2 Sottosuccessioi Grafici Ricorreza Proprietà defiitive Limiti

Dettagli

SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. (log α) n, α > 0 c)

SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. (log α) n, α > 0 c) SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. Calcolare la somma delle segueti serie telescopiche: a) b). Verificare utilizzado la codizioe ecessaria per la covergeza) che le segueti serie o covergoo: a) c) ) log

Dettagli

1. Serie numeriche. Esercizio 1. Studiare il carattere delle seguenti serie: n2 n 3 n ; n n. n n. n n (n!) 2 ; (2n)! ;

1. Serie numeriche. Esercizio 1. Studiare il carattere delle seguenti serie: n2 n 3 n ; n n. n n. n n (n!) 2 ; (2n)! ; . Serie umeriche Esercizio. Studiare il carattere delle segueti serie: ;! ;! ;!. Soluzioe.. Serie a termii positivi; cofrotiamola co la serie +, che è covergete: + + + 0. Pertato, per il criterio del cofroto

Dettagli

SUCCESSIONI DI FUNZIONI

SUCCESSIONI DI FUNZIONI SUCCESSIONI DI FUNZIONI LUCIA GASTALDI 1. Defiizioi ed esempi Sia I u itervallo coteuto i R, per ogi N si cosideri ua fuzioe f : I R. Il simbolo f } =1 idica ua successioe di fuzioi, cioè l applicazioe

Dettagli

1.6 Serie di potenze - Esercizi risolti

1.6 Serie di potenze - Esercizi risolti 6 Serie di poteze - Esercizi risolti Esercizio 6 Determiare il raggio di covergeza e l isieme di covergeza della serie Soluzioe calcolado x ( + ) () Per la determiazioe del raggio di covergeza utilizziamo

Dettagli

Serie numeriche. Paola Rubbioni. 1 Denizione, serie notevoli e primi risultati. i=0 a i, e si indica con il simbolo +1X.

Serie numeriche. Paola Rubbioni. 1 Denizione, serie notevoli e primi risultati. i=0 a i, e si indica con il simbolo +1X. Serie umeriche Paola Rubbioi Deizioe, serie otevoli e primi risultati Deizioe.. Data ua successioe di umeri reali (a ) 2N, si dice serie umerica la successioe delle somme parziali (S ) 2N, ove S = a +

Dettagli

SERIE DI POTENZE Esercizi risolti. Esercizio 1 Determinare il raggio di convergenza e l insieme di convergenza della serie di potenze. x n.

SERIE DI POTENZE Esercizi risolti. Esercizio 1 Determinare il raggio di convergenza e l insieme di convergenza della serie di potenze. x n. SERIE DI POTENZE Esercizi risolti Esercizio x 2 + 2)2. Esercizio 2 + x 3 + 2 3. Esercizio 3 dove a è u umero reale positivo. Esercizio 4 x a, 2x ) 3 +. Esercizio 5 x! = x + x 2 + x 6 + x 24 + x 20 +....

Dettagli

Programma (orientativo) secondo semestre 32 ore - 16 lezioni

Programma (orientativo) secondo semestre 32 ore - 16 lezioni Programma (orietativo) secodo semestre 32 ore - 6 lezioi 3 lezioi: successioi e serie 4 lezioi: itegrali 2-3 lezioi: equazioi differeziali 4 lezioi: sistemi di equazioi e calcolo vettoriale e matriciale

Dettagli

Soluzioni. 2 2n+1 3 2n. n=1. 3 2n 9. n=1. Il numero 2 può essere raccolto fuori dal segno di sommatoria: = 2. n=1 = = 8 5.

Soluzioni. 2 2n+1 3 2n. n=1. 3 2n 9. n=1. Il numero 2 può essere raccolto fuori dal segno di sommatoria: = 2. n=1 = = 8 5. 60 Roberto Tauraso - Aalisi Calcolare la somma della serie Soluzioi + 3 R La serie può essere riscritta el modo seguete: + 4 3 9 Il umero può essere raccolto fuori dal sego di sommatoria: + 4 3 9 Si tratta

Dettagli

1 Esponenziale e logaritmo.

1 Esponenziale e logaritmo. Espoeziale e logaritmo.. Risultati prelimiari. Lemma a b = a b Lemma Disuguagliaza di Beroulli per ogi α e per ogi ln a k b k. k=0 + α + α Teorema Disuguagliaza delle medie Per ogi ln, per ogi upla {a

Dettagli

Esercizi sui limiti di successioni

Esercizi sui limiti di successioni AM0 - AA 03/4 ALFONSO SORRENTINO Esercizi sui iti di successioi Esercizio svolto a) Usado la defiizioe di ite, dimostare che: + 3 si π cos e ) e b) 0 Soluzioe Comiciamo da a) Vogliamo dimostrare che: ε

Dettagli

Analisi Matematica I

Analisi Matematica I Uiversità di Pisa - orso di Laurea i Igegeria Edile-rchitettura alisi Matematica I Pisa, febbraio Domada La derivata della fuzioe f) log ) si è ) log )si B) log )cos ) log ) si cos loglog ) + si ) log

Dettagli

x n (1.1) n=0 1 x La serie geometrica è un esempio di serie di potenze. Definizione 1 Chiamiamo serie di potenze ogni serie della forma

x n (1.1) n=0 1 x La serie geometrica è un esempio di serie di potenze. Definizione 1 Chiamiamo serie di potenze ogni serie della forma 1 Serie di poteze È stato dimostrato che la serie geometrica x (1.1) coverge se e solo se la ragioe x soddisfa la disuguagliaza 1 < x < 1. I realtà c è covergeza assoluta i ] 1, 1[. Per x 1 la serie diverge

Dettagli

Serie numeriche e di funzioni - Esercizi svolti

Serie numeriche e di funzioni - Esercizi svolti Serie umeriche e di fuzioi - Esercizi svolti Serie umeriche Esercizio. Discutere la covergeza delle serie segueti a) 3, b) 5, c) 4! (4), d) ( ) e. Esercizio. Calcolare la somma delle serie segueti a) (

Dettagli

Esercizi sulle successioni

Esercizi sulle successioni Esercizi sulle successioi 1 Verificare, attraverso la defiizioe, che la successioe coverge a 2 3. a := 2 + 3 3 7 2 Verificare, attraverso la defiizioe, che la successioe coverge a 0. a := 4 + 3 3 5 + 7

Dettagli

Quarto Compito di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 5 Luglio Soluzioni. z 2 = 3 4 i. a 2 b 2 = 3 4

Quarto Compito di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 5 Luglio Soluzioni. z 2 = 3 4 i. a 2 b 2 = 3 4 Quarto Compito di Aalisi Matematica Corso di laurea i Iformatica, corso B 5 Luglio 016 Soluzioi Esercizio 1 Determiare tutti i umeri complessi z tali che z = 3 4 i. Soluzioe. Scrivedo z = a + bi, si ottiee

Dettagli

15 - Successioni Numeriche e di Funzioni

15 - Successioni Numeriche e di Funzioni Uiversità degli Studi di Palermo Facoltà di Ecoomia CdS Statistica per l Aalisi dei Dati Apputi del corso di Matematica 15 - Successioi Numeriche e di Fuzioi Ao Accademico 2013/2014 M Tummiello, V Lacagia,

Dettagli

DETERMINANTI (SECONDA PARTE). NOTE DI ALGEBRA LINEARE

DETERMINANTI (SECONDA PARTE). NOTE DI ALGEBRA LINEARE DETERMINANTI (SECONDA PARTE). NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2010-11 MARCO MANETTI: 21 DICEMBRE 2010 1. Sviluppi di Laplace Proposizioe 1.1. Sia A M, (K), allora per ogi idice i = 1,..., fissato vale lo sviluppo

Dettagli

SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 1

SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 1 SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioi cap3b.pdf 1 Successioi Def. Ua successioe è ua fuzioe reale (Y = R) a variabile aturale, ovvero X = N:

Dettagli

Algoritmi e Strutture Dati (Elementi)

Algoritmi e Strutture Dati (Elementi) Algoritmi e Strutture Dati (Elemeti Esercizi sulle ricorreze Proff. Paola Boizzoi / Giacarlo Mauri / Claudio Zadro Ao Accademico 00/003 Apputi scritti da Alberto Leporati e Rosalba Zizza Esercizio 1 Posti

Dettagli

SERIE NUMERICHE Con l introduzione delle serie vogliamo estendere l operazione algebrica di somma ad un numero infinito di addendi.

SERIE NUMERICHE Con l introduzione delle serie vogliamo estendere l operazione algebrica di somma ad un numero infinito di addendi. Serie SERIE NUMERICHE Co l itroduzioe delle serie vogliamo estedere l operazioe algebrica di somma ad u umero ifiito di addedi. Def. Data la successioe {a }, defiiamo la successioe {s } poedo s = a k.

Dettagli

Materiale didattico relativo al corso di Matematica generale Prof. G. Rotundo a.a.2009/10

Materiale didattico relativo al corso di Matematica generale Prof. G. Rotundo a.a.2009/10 Materiale didattico relativo al corso di Matematica geerale Prof. G. Rotudo a.a.2009/10 ATTENZIONE: questo materiale cotiee i lucidi utilizzati per le lezioi. NON sostituisce il libro, che deve essere

Dettagli

Esercizi svolti. 1. Calcolare i seguenti limiti: log(1 + 3x) x 2 + 2x. x 2 + 3 sin 2x. l) lim. b) lim. x 0 sin x. 1 e x2 d) lim. c) lim.

Esercizi svolti. 1. Calcolare i seguenti limiti: log(1 + 3x) x 2 + 2x. x 2 + 3 sin 2x. l) lim. b) lim. x 0 sin x. 1 e x2 d) lim. c) lim. Esercizi svolti. Calcolare i segueti iti: a log + + c ± ta 5 + 5 si π e b + si si e d + f + 4 5 g + 6 4 6 h 4 + i + + + l ± + log + log 7 log 5 + 4 log m + + + o cos + si p + e q si s e ta cos e u siπ

Dettagli

2,3, (allineamenti decimali con segno, quindi chiaramente numeri reali); 4 ( = 1,33)

2,3, (allineamenti decimali con segno, quindi chiaramente numeri reali); 4 ( = 1,33) Defiizioe di umero reale come allieameto decimale co sego. Numeri reali positivi. Numeri razioali: defiizioe e proprietà di desità Numeri reali Defiizioe: U umero reale è u allieameto decimale co sego,

Dettagli

SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE

SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE. Successioi umeriche a. Defiizioi: successioi aritmetiche e geometriche Cosideriamo ua sequeza di umeri quale ad esempio:,5,8,,4,7,... Tale sequeza è costituita mediate ua

Dettagli

Il Teorema di Markov. 1.1 Analisi spettrale della matrice di transizione. Il teorema di Markov afferma che

Il Teorema di Markov. 1.1 Analisi spettrale della matrice di transizione. Il teorema di Markov afferma che 1 Il Teorema di Marov 1.1 Aalisi spettrale della matrice di trasizioe Il teorema di Marov afferma che Teorema 1.1 Ua matrice di trasizioe regolare P su u isieme di stati fiito E ha ua uica distribuzioe

Dettagli

CALCOLO COMBINATORIO

CALCOLO COMBINATORIO CALCOLO COMBINATORIO Che cosa sigifica cotare Tutti coosciamo la successioe dei umeri iteri Naturali N = {0, 1,,, } si tratta di ua struttura metale fodametale, chiaramete presete alla ostra ituizioe che

Dettagli

Lezione 4. Gruppi di permutazioni

Lezione 4. Gruppi di permutazioni Lezioe 4 Prerequisiti: Applicazioi tra isiemi Lezioi e Gruppi di permutazioi I questa lezioe itroduciamo ua classe ifiita di gruppi o abeliai Defiizioe 41 ia X u isieme o vuoto i dice permutazioe su X

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica 1 utili per la preparazione all esame scritto. File con soluzioni.

Esercizi di Analisi Matematica 1 utili per la preparazione all esame scritto. File con soluzioni. Esercizi di Aalisi Matematica. Paola Gervasio Es. Esercizi di Aalisi Matematica utili per la preparazioe all esame scritto. File co soluzioi. a.5.5.5.5 b 4 3.5 3.5.5.5 5 5 Figura 5 5.5 a 3 b 4 5.5 6 5

Dettagli

PRINCIPIO D INDUZIONE E DIMOSTRAZIONE MATEMATICA. A. Induzione matematica: Introduzione

PRINCIPIO D INDUZIONE E DIMOSTRAZIONE MATEMATICA. A. Induzione matematica: Introduzione PRINCIPIO D INDUZIONE E DIMOSTRAZIONE MATEMATICA CHU WENCHANG A Iduzioe matematica: Itroduzioe La gra parte delle proposizioi della teoria dei umeri dà euciati che coivolgoo i umeri aturali; per esempio

Dettagli

Campionamento casuale da popolazione finita (caso senza reinserimento )

Campionamento casuale da popolazione finita (caso senza reinserimento ) Campioameto casuale da popolazioe fiita (caso seza reiserimeto ) Suppoiamo di avere ua popolazioe di idividui e di estrarre u campioe di uità (co < ) Suppoiamo di studiare il carattere X che assume i valori

Dettagli

Proposizione 1. Due sfere di R m hanno intersezione non vuota se e solo se la somma dei loro raggi e maggiore della distanza fra i loro centri.

Proposizione 1. Due sfere di R m hanno intersezione non vuota se e solo se la somma dei loro raggi e maggiore della distanza fra i loro centri. Laboratorio di Matematica, A.A. 009-010; I modulo; Lezioi II e III - schema. Limiti e isiemi aperti; SB, Cap. 1 Successioi di vettori; SB, Par. 1.1, pp. 3-6 Itori sferici aperti. Nell aalisi i ua variabile

Dettagli

Principio di induzione: esempi ed esercizi

Principio di induzione: esempi ed esercizi Pricipio di iduzioe: esempi ed esercizi Pricipio di iduzioe: Se ua proprietà P dipedete da ua variabile itera vale per e se, per ogi vale P P + allora P vale su tutto Variate del pricipio di iduzioe: Se

Dettagli

Matematica 5. Dipartimento di Matematica. ITIS V.Volterra San Donà di Piave. Versione [12/13][S-All]

Matematica 5. Dipartimento di Matematica. ITIS V.Volterra San Donà di Piave. Versione [12/13][S-All] Matematica 5 Dipartimeto di Matematica ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave Versioe [/3][S-All] Idice I Itegrazioe Itegrazioe impropria. Geeralità............................................. Criteri di itegrabilità......................................

Dettagli

Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria

Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria Esercizi svolti a lezioe e o proveieti dal Marcellii Sbordoe La preseza della lettera C idica u esercizio da fare a casa. La capacità di svolgere tali esercizi è parte del bagaglio ecessario i sede di

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica A utili per la preparazione all esame scritto. File con soluzioni.

Esercizi di Analisi Matematica A utili per la preparazione all esame scritto. File con soluzioni. Esercizi di Aalisi Matematica A: soluzioi Es. Esercizi di Aalisi Matematica A utili per la preparazioe all esame scritto. File co soluzioi. PSfrag replacemets a.5.5.5.5 PSfrag replacemets 5 5 a b 4 3.5

Dettagli

( 4) ( ) ( ) ( ) ( ) LE DERIVATE ( ) ( ) (3) D ( x ) = 1 derivata di un monomio con a 0 1. GENERALITÀ

( 4) ( ) ( ) ( ) ( ) LE DERIVATE ( ) ( ) (3) D ( x ) = 1 derivata di un monomio con a 0 1. GENERALITÀ LE DERIVATE. GENERALITÀ Defiizioe A) Ituitiva. La derivata, a livello ituitivo, è u operatore tale che: a) ad ua fuzioe f associa u altra fuzioe; b) obbedisce alle segueti regole di derivazioe: () D a

Dettagli

Limiti di successioni

Limiti di successioni Limiti di successioi Ricordiamo che si chiama successioe (umerica) ua qualsiasi fuzioe a : N a () R. Per evideziare il fatto che i valori assuti dalla fuzioe a si possoo umerare (cioè cotare), si preferisce

Dettagli

(1 2 3) (1 2) Lezione 10. I gruppi diedrali.

(1 2 3) (1 2) Lezione 10. I gruppi diedrali. Lezioe 0 Prerequisiti: Simmetrie di poligoi regolari. Gruppi di permutazioi. Cetro di u gruppo. Cetralizzate di u elemeto di u gruppo. Riferimeto al testo: [PC] Sezioe 5.4 I gruppi diedrali. Ogi simmetria

Dettagli

ESERCIZI SULLE SERIE

ESERCIZI SULLE SERIE ESERCIZI SULLE SERIE Studiare la atura delle segueti serie. ) cos 4 + ; ) + si ; ) + ()! 4) ( ) 5) ( ) + + 6) ( ) + + + 7) ( log ) 8) ( ) + 9) log! 0)! Studiare al variare di x i R la atura delle segueti

Dettagli

Aritmetica 2016/2017 Esercizi svolti in classe Seconda lezione

Aritmetica 2016/2017 Esercizi svolti in classe Seconda lezione Aritmetica 06/07 Esercizi svolti i classe Secoda lezioe Dare ua formula per 3 che o coivolga sommatorie Dato che sappiamo che ( + e ( + ( + 6 vogliamo esprimere 3 mediate, e poliomi i U idea possibile

Dettagli

1 Successioni 1 1.1 Limite di una successione... 2. 2 Serie 3 2.1 La serie armonica... 6 2.2 La serie geometrica... 6

1 Successioni 1 1.1 Limite di una successione... 2. 2 Serie 3 2.1 La serie armonica... 6 2.2 La serie geometrica... 6 SUCCESSIONI Successioi e serie Idice Successioi. Limite di ua successioe........................................... Serie 3. La serie armoica................................................ 6. La serie

Dettagli

Precorso di Matematica, aa , (IV)

Precorso di Matematica, aa , (IV) Precorso di Matematica, aa 01-01, (IV) Poteze, Espoeziali e Logaritmi 1. Nel campo R dei umeri reali, il umero 1 e caratterizzato dalla proprieta che 1a = a, per ogi a R; per ogi umero a 0, l equazioe

Dettagli

Successioni di numeri reali

Successioni di numeri reali CAPITOLO Successioi di umeri reali. Defiizioi ed esempi. Limite di ua successioe. Nell ultimo paragrafo del capitolo precedete abbiamo itrodotto alcue fuzioi elemetari da sottoisiemi di) R a valori i R,

Dettagli

MATEMATICA DEL DISCRETO elementi di calcolo combinatorio. anno acc. 2009/2010

MATEMATICA DEL DISCRETO elementi di calcolo combinatorio. anno acc. 2009/2010 elemeti di calcolo combiatorio ao acc. 2009/2010 Cosideriamo u isieme fiito X. Chiamiamo permutazioe su X u applicazioe biuivoca di X i sè. Ad esempio, se X = {a, b, c}, le permutazioi distite soo 6 e

Dettagli

Radicali. Esistenza delle radici n-esime: Se n è pari: ogni numero reale non negativo (cioè positivo o nullo) ha esattamente una radice n-esima in R.

Radicali. Esistenza delle radici n-esime: Se n è pari: ogni numero reale non negativo (cioè positivo o nullo) ha esattamente una radice n-esima in R. Radicali Radici quadrate Si dice radice quadrata di u umero reale a, e si idica co a, il umero reale positivo o ullo (se esiste) che, elevato al quadrato, dà come risultato a. Esisteza delle radici quadrate:

Dettagli

Programma dettagliato del Corso di Analisi 1

Programma dettagliato del Corso di Analisi 1 Programma dettagliato del Corso di Aalisi Ig. per l Ambiete e il Territorio, Ig. Civile, Ig. dei Trasporti a.a. 2006-2007 http://www.dmmm.uiroma.it/persoe/capitaelli I NUMERI E LE FUNZIONI REALI Itroduzioe

Dettagli

Cenni di topologia di R

Cenni di topologia di R Cei di topologia di R. Sottoisiemi dei umeri reali Studieremo le proprietà dei sottoisiemi dei umeri reali, R, che hao ad esempio la forma: = (, ) (,) 6 8 = [,] { ;6;8} { } = (, ) (,) [, + ) Defiizioe:

Dettagli

Stima della media di una variabile X definita su una popolazione finita

Stima della media di una variabile X definita su una popolazione finita Stima della media di ua variabile X defiita su ua popolazioe fiita otazioi: popolazioe, campioe e strati Popolazioe. umerosità popolazioe; Ω {ω,..., ω } popolazioe X variabile aleatoria defiita sulla popolazioe

Dettagli

Qual è il numero delle bandiere tricolori a righe verticali che si possono formare con i 7 colori dell iride?

Qual è il numero delle bandiere tricolori a righe verticali che si possono formare con i 7 colori dell iride? Calcolo combiatorio sempi Qual è il umero delle badiere tricolori a righe verticali che si possoo formare co i 7 colori dell iride? Dobbiamo calcolare il umero delle disposizioi semplici di 7 oggetti di

Dettagli

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI NUMERICHE SUCCESSIONI NUMERICHE Ua fuzioe reale di ua variabile reale f di domiio A è ua legge che ad ogi x A associa u umero reale che deotiamo co f(x). Se A = N, la f è detta successioe di umeri reali. Se co si

Dettagli

II-9 Successioni e serie

II-9 Successioni e serie SUCCESSIONI II-9 Successioi e serie Idice Successioi. Limite di ua successioe........................................... Serie 3. La serie armoica................................................ 6. La

Dettagli

Esercizi proposti. f(x), f(x), f(x), f(x + 1), f(x) + 1. x 2 x 1 se x 1, 4 x se x > 1 2, 2).

Esercizi proposti. f(x), f(x), f(x), f(x + 1), f(x) + 1. x 2 x 1 se x 1, 4 x se x > 1 2, 2). Esercizi proposti 1. Risolvere la disequazioe + 1.. Disegare i grafici di a) y = 1 + + 3 ; b) y = 1 ; c) y = log 10 + 1). 3. Si cosideri la fuzioe f) = ; disegare i grafici di f), f), f), f + 1), f) +

Dettagli

PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 2013

PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 2013 PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 3 Prova scritta del 6//3 Esercizio Suppoiamo che ua variabile aleatoria Y abbia la seguete desita : { hx e 3/x, x > f Y (y) =, x, co h opportua costate positiva.

Dettagli

Popolazione e Campione

Popolazione e Campione Popolazioe e Campioe POPOLAZIONE: Isieme di tutte le iformazioi sul feomeo oggetto di studio Viee descritta mediate ua variabile casuale X: X ~ f ( x; ϑ) θ = costate icogita Qual è il valore di θ? E verosimile

Dettagli

Consideriamo un insieme di n oggetti di natura qualsiasi. Indicheremo questi oggetti con

Consideriamo un insieme di n oggetti di natura qualsiasi. Indicheremo questi oggetti con Calcolo Combiatorio Adolfo Scimoe pag 1 Calcolo combiatorio Cosideriamo u isieme di oggetti di atura qualsiasi. Idicheremo questi oggetti co a1 a2... a. Co questi oggetti si voglioo formare dei gruppi

Dettagli

SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. 2 b) n=1. n n 2 +n

SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. 2 b) n=1. n n 2 +n SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. Applicado la defiizioe di covergeza di ua serie stabilire il carattere delle segueti serie, e, i caso di covergeza, trovare la somma: = + b) = + +. Verificare utilizzado

Dettagli

FUNZIONI RADICE. = x dom f Im f grafici. Corso Propedeutico di Matematica. Politecnico di Torino CeTeM. 7 Funzioni Radice RICHIAMI DI TEORIA

FUNZIONI RADICE. = x dom f Im f grafici. Corso Propedeutico di Matematica. Politecnico di Torino CeTeM. 7 Funzioni Radice RICHIAMI DI TEORIA Politecico di Torio 7 Fuzioi Radice FUNZIONI RADICE RICHIAMI DI TEORIA f ( x) = x dom f Im f grafici. = = =7 =9. dispari R R -. - -. - - -. Grafici di fuzioi radici co pari pari [,+ ) [,+ ).. = = =6 =8

Dettagli

ARGOMENTO: SERIE NUMERICHE 1. Dott.ssa Sandra Lucente

ARGOMENTO: SERIE NUMERICHE 1. Dott.ssa Sandra Lucente Corso di Laurea i Matematica LEZIONI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA..2 A.A. 2007-2008 ARGOMENTO: SERIE NUMERICHE Dott.ssa Sadra Lucete Idice :. Prime geeralità sulle serie. 2. Serie a termii o egativi:

Dettagli

Statistica 1 A.A. 2015/2016

Statistica 1 A.A. 2015/2016 Corso di Laurea i Ecoomia e Fiaza Statistica 1 A.A. 2015/2016 (8 CFU, corrispodeti a 48 ore di lezioe frotale e 24 ore di esercitazioe) Prof. Luigi Augugliaro 1 / 21 Misura della dipedeza di u carattere

Dettagli

IL CALCOLO COMBINATORIO

IL CALCOLO COMBINATORIO IL CALCOLO COMBINATORIO 0. Itroduzioe Oggetto del calcolo combiatorio è quello di determiare il umero dei modi mediate i quali possoo essere associati, secodo prefissate regole, gli elemeti di uo stesso

Dettagli

Esercizi sul principio di induzione

Esercizi sul principio di induzione Esercitazioi di Aalisi I, Uiversità di Trieste, lezioe del 0/0/008 Esercizi sul pricipio di iduzioe Esercizio Dimostrare per iduzioe che + + + ( + ), Risoluzioe Le dimostrazioi di ua proprietà P() per

Dettagli

5. Le serie numeriche

5. Le serie numeriche 5. Le serie umeriche Ricordiamo che ua successioe reale è ua fuzioe defiita da N, evetualmete privato di u umero fiito di elemeti, a R. Solitamete si idica ua successioe co la lista dei suoi valori: (a

Dettagli

Progetto Matematica in Rete - Numeri naturali - I numeri naturali

Progetto Matematica in Rete - Numeri naturali - I numeri naturali I umeri aturali Quali soo i umeri aturali? I umeri aturali soo : 0,1,,3,4,5,6,7,8,9,,11 I umeri aturali hao u ordie cioè dati due umeri aturali distiti a e b si può sempre stabilire qual è il loro ordie

Dettagli

Serie numeriche: esercizi svolti

Serie numeriche: esercizi svolti Serie umeriche: esercizi svolti Gli esercizi cotrassegati co il simbolo * presetao u grado di difficoltà maggiore. Esercizio. Dopo aver verificato la covergeza, calcolare la somma delle segueti serie:

Dettagli

3 Limiti e continuità

3 Limiti e continuità 3 Limiti e cotiuità I questo corso ci occuperemo prevaletemete del calcolo ifiitesimale, disciplia matematica che affoda le sue radici ella Grecia del III secolo a.c. Euclide, Archimede), ha u grade sviluppo

Dettagli

Richiami sulle potenze

Richiami sulle potenze Richiami sulle poteze Dopo le rette, le fuzioi più semplici soo le poteze: Distiguiamo tra: - poteze co espoete itero - poteze co espoete frazioario (razioale) - poteze co espoete reale = Domiio delle

Dettagli

Successioni. Grafico di una successione

Successioni. Grafico di una successione Successioi Ua successioe di umeri reali è semplicemete ua sequeza di ifiiti umeri reali:, 2, 3,...,,... dove co idichiamo il termie geerale della successioe. Ad esempio, discutedo il sigificato fiaziario

Dettagli

SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI (Dal CAPITOLO 5 del testo di riferimento n. 2)

SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI (Dal CAPITOLO 5 del testo di riferimento n. 2) SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI (Dal CAPITOLO 5 del testo di riferimeto. 2) Nel presete capitolo verrao cosiderate successioi e serie di fuzioi reali aveti u domiio comue D. 5.1. Successioi di fuzioi Si

Dettagli

STUDIO DEL LANCIO DI 3 DADI

STUDIO DEL LANCIO DI 3 DADI Leoardo Latella STUDIO DEL LANCIO DI 3 DADI Il calcolo delle probabilità studia gli eveti casuali probabili, cioè quegli eveti che possoo o o possoo verificarsi e che dipedoo uicamete dal caso. Tale studio

Dettagli

Calcolo differenziale e integrale

Calcolo differenziale e integrale Calcolo differeziale e itegrale fuzioi di ua variabile reale Gabriele H. Greco Dipartimeto di Matematica Uiversità di Treto 385 POVO Treto Italia www.sciece.uit.it/ greco a.a. 5-6: Apputi del corso di

Dettagli

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI NUMERICHE SUCCESSIONI NUMERICHE LORENZO BRASCO. Teoremi di Cesaro Teorema di Stolz-Cesaro. Siao {a } N e {b } N due successioi umeriche, co {b } N strettamete positiva, strettamete crescete e ilitata. Se esiste

Dettagli

Lezione 4. Indice di un sottogruppo. Teorema di Lagrange per i gruppi finiti.

Lezione 4. Indice di un sottogruppo. Teorema di Lagrange per i gruppi finiti. Lezioe 4 Prerequisiti: Lezioi 23. Riferieto al testo: [H] Sezioe 2.4; [PC] Sezioe 5.5 Idice di u sottogruppo. Teorea di Lagrage per i gruppi fiiti. I questa lezioe deoterà sepre u gruppo fiito ed H u suo

Dettagli

Cosa vogliamo imparare?

Cosa vogliamo imparare? Cosa vogliamo imparare? risolvere i modo approssimato equazioi del tipo f()=0 che o solo risolubili i maiera esatta ed elemetare tramite formule risolutive. Esempio: log( ) 1= 0 Iterpretazioe grafica Come

Dettagli

1. Tra angoli e rettangoli

1. Tra angoli e rettangoli . Tra agoli e rettagoli Attività : il foglio A4 e le piegature Predi u foglio di carta A4 e piegalo a metà. Cota di volta i volta quati rettagoli si ottegoo piegado a metà più volte il foglio. Immagia

Dettagli

RISOLUZIONE MODERNA DI PROBLEMI ANTICHI

RISOLUZIONE MODERNA DI PROBLEMI ANTICHI RISOLUZIONE MODERNA DI PROBLEMI ANTICHI L itelletto, duque, che o è la verità, o comprede mai la verità i modo così preciso da o poterla compredere (poi acora) più precisamete, all ifiito, perché sta alla

Dettagli

Problema di Natale 1 Corso di Geometria per la Laurea in Fisica Andrea Sambusetti 19 Dicembre 2008

Problema di Natale 1 Corso di Geometria per la Laurea in Fisica Andrea Sambusetti 19 Dicembre 2008 Problema di Natale 1 Corso di Geometria per la Laurea i Fisica Adrea Sambusetti 19 Dicembre 28 La particella Mxyzptlk. 2 La particella Mxyzptlk vive i u uiverso euclideo -dimesioale. È costituita da u

Dettagli

CENNI SULLE PROGRESSIONI, LE SERIE, LE RELAZIONI DI RICORRENZA E I NUMERI DECIMALI.

CENNI SULLE PROGRESSIONI, LE SERIE, LE RELAZIONI DI RICORRENZA E I NUMERI DECIMALI. CENNI SULLE PROGRESSIONI, LE SERIE, LE RELAZIONI DI RICORRENZA E I NUMERI DECIMALI. Ua progressioe (o successioe) è u isieme iþito di umeri reali P = {a co =,,...} = {a,a,...}. La somma dei primi termii

Dettagli

I tre personaggi della matematica. Prof.ssa Sandra Gaudenzi 30 aprile 2012

I tre personaggi della matematica. Prof.ssa Sandra Gaudenzi 30 aprile 2012 i e 0 I tre persoaggi della matematica Prof.ssa Sadra Gaudezi 30 aprile 202 Numeri algebrici e trascedeti U umero algebrico è u ualsiasi umero x, reale o complesso, che soddisfi u euazioe algebrica della

Dettagli

1. DISUGUAGLIANZE GEOMETRICHE

1. DISUGUAGLIANZE GEOMETRICHE . DISUGUAGLIANZE GEOMETRICHE (SOLUZIONI) POTENZE E RADICI Siao m, N, a b 0, allora valgoo: a m b m, b m a m, e si ha l uguagliaza se e solo se a = b oppure m = 0. Esercizio. Dimostra che per ogi coppia

Dettagli

Sperimentazioni di Fisica I mod. A Lezione 2

Sperimentazioni di Fisica I mod. A Lezione 2 La Rappresetazioe dei Numeri Sperimetazioi di Fisica I mod. A Lezioe 2 Alberto Garfagii Marco Mazzocco Cizia Sada Dipartimeto di Fisica e Astroomia G. Galilei, Uiversità degli Studi di Padova Lezioe II:

Dettagli

Facoltà di Architettura Corso di Laurea in Architettura UE 1 I NUMERI E LE FUNZIONI REALI. Istituzioni di Matematica 1 (Canale A-L) a.a.

Facoltà di Architettura Corso di Laurea in Architettura UE 1 I NUMERI E LE FUNZIONI REALI. Istituzioni di Matematica 1 (Canale A-L) a.a. Facoltà di Architettura Corso di Laurea i Architettura UE Istituzioi di Matematica (Caale A-L) a.a. 200-20 http://www.dmmm.uiroma.it/persoe/capitaelli I NUMERI E LE FUNZIONI REALI Itroduzioe al corso.

Dettagli

Esercizi di Probabilità e Statistica della 2 a settimana (Corso di Laurea in Matematica, Università degli Studi di Padova).

Esercizi di Probabilità e Statistica della 2 a settimana (Corso di Laurea in Matematica, Università degli Studi di Padova). Esercizi di Probabilità e Statistica della 2 a settimaa (Corso di Laurea i Matematica, Uiversità degli Studi di Padova). Esercizio. Sia (Ω, A, P) uo spazio probabilizzato e B A o trascurabile. Dimostrare

Dettagli

3. Calcolo dei limiti e confronti asintotici

3. Calcolo dei limiti e confronti asintotici Lezioi di Aalisi Matematica per Iformatici a.a. 009/00) Capitolo 3 Prof. Paolo Caldiroli 3. Calcolo dei iti e cofroti asitotici 3. Itroduzioe La teoria delle serie umeriche sviluppata el capitolo ci forisce

Dettagli

V Tutorato 6 Novembre 2014

V Tutorato 6 Novembre 2014 1. Data la successioe V Tutorato 6 Novembre 01 determiare il lim b. Data la successioe b = a = + 1 + 1 8 6 + 1 80 + 18 se 0 se < 0 scrivere i termii a 0, a 1, a, a 0 e determiare lim a. Data la successioe

Dettagli

1 Limiti di successioni

1 Limiti di successioni Esercitazioi di matematica Corso di Istituzioi di Matematica B Facoltà di Architettura Ao Accademico 005/006 Aa Scaramuzza 4 Novembre 005 Limiti di successioi Esercizio.. Servedosi della defiizioe di ite

Dettagli

SERIE NUMERICHE. (Cosimo De Mitri) 1. Definizione, esempi e primi risultati... pag. 1. 2. Criteri per serie a termini positivi... pag.

SERIE NUMERICHE. (Cosimo De Mitri) 1. Definizione, esempi e primi risultati... pag. 1. 2. Criteri per serie a termini positivi... pag. SERIE NUMERICHE (Cosimo De Mitri. Defiizioe, esempi e primi risultati... pag.. Criteri per serie a termii positivi... pag. 4 3. Covergeza assoluta e criteri per serie a termii di sego qualsiasi... pag.

Dettagli

ORDINAMENTO 2010 SESSIONE STRAORDINARIA - QUESITI QUESITO 1

ORDINAMENTO 2010 SESSIONE STRAORDINARIA - QUESITI QUESITO 1 www.matefilia.it ORDINAMENTO 1 SESSIONE STRAORDINARIA - QUESITI QUESITO 1 Due osservatori si trovao ai lati opposti di u grattacielo, a livello del suolo. La cima dell edificio dista 16 metri dal primo

Dettagli

ESERCIZI SULLE SERIE NUMERICHE

ESERCIZI SULLE SERIE NUMERICHE ESERCIZI SULLE SERIE NUMERICHE a cura di Michele Scaglia RICHIAMI TEORICI Richiamiamo brevemete i pricipali risultati riguardati le serie umeriche. Teorema (Codizioe Necessaria per la Covergeza) Sia a

Dettagli

ALGEBRA I MODULO PROF. VERARDI - ESERCIZI. Sezione 1 NUMERI NATURALI E INTERI

ALGEBRA I MODULO PROF. VERARDI - ESERCIZI. Sezione 1 NUMERI NATURALI E INTERI ALGEBRA I MODULO PROF. VERARDI - ESERCIZI Sezioe 1 NUMERI NATURALI E INTERI 2 1.1. Si dimostri per iduzioe la formula: N, k 2 "1( * " 3 ) " 3k +1(. 3 1.2. A) Si dimostri che per ogi a,b N +, N +, se a

Dettagli

Pompa di calore a celle di Peltier. ( 3 ) Analisi dei dati

Pompa di calore a celle di Peltier. ( 3 ) Analisi dei dati Pompa di calore a celle di Peltier ( 3 ) Aalisi dei dati Scuola estiva di Geova 2 6 settembre 2008 1 Primo esperimeto : riscaldameto per effetto Joule Come descritto ella guida, misuriamo tesioe di alimetazioe

Dettagli

IPSAA U. Patrizi Città di Castello (PG) Classe 5A Tecnico Agrario. Lezione di martedì 10 novembre 2015 (4 e 5 ora) Disciplina: MATEMATICA

IPSAA U. Patrizi Città di Castello (PG) Classe 5A Tecnico Agrario. Lezione di martedì 10 novembre 2015 (4 e 5 ora) Disciplina: MATEMATICA IPSAA U. Patrizi Città di Castello (PG) Classe A Tecico Agrario Lezioe di martedì 0 ovembre 0 (4 e ora) Disciplia: MATEMATICA La derivata della fuzioe composta Fuzioe composta Df(g())f (g())g () Questa

Dettagli

PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1

PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1 www.matefilia.it PNI 004 - SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO La fuzioe f(x) = 3x six x 3six della fuzioe, per x + : è, per x +, ua forma idetermiata del tipo. Il limite A) No esiste; B) è 3/; C) è /3 ; D) è

Dettagli

Esercitazione parte 1 Medie e medie per dati raggruppati. Esercitazione parte 2 - Medie per dati raggruppati

Esercitazione parte 1 Medie e medie per dati raggruppati. Esercitazione parte 2 - Medie per dati raggruppati Esercitazioe parte Medie e medie per dati raggruppati el file dati0.xls soo coteute alcue distribuzioi di dati. Calcolare di ogua. Media aritmetica o Mostrare, co u calcolo automatico, che la somma degli

Dettagli

NUOVI CRITERI DI DIVISIBILITÀ

NUOVI CRITERI DI DIVISIBILITÀ NUOVI CRITERI DI DIVISIBILITÀ BRUNO BIZZARRI, FRANCO EUGENI, DANIELA TONDINI 1 1. Su tutti i testi scolastici di Scuola Media, oostate siao riportati i criteri di divisibilità per i umeri, 3, 4, 5, 6,

Dettagli

Anno 5 Successioni numeriche

Anno 5 Successioni numeriche Ao 5 Successioi umeriche Itroduzioe I questa lezioe impareremo a descrivere e calcolare il limite di ua successioe. Ma cos è ua successioe? Come si calcola il suo limite? Al termie di questa lezioe sarai

Dettagli

Quesito 1. I seguenti dati si riferiscono ai tempi di reazione motori a uno stimolo luminoso, espressi in decimi di secondo, di un gruppo di piloti:

Quesito 1. I seguenti dati si riferiscono ai tempi di reazione motori a uno stimolo luminoso, espressi in decimi di secondo, di un gruppo di piloti: Quesito. I segueti dati si riferiscoo ai tempi di reazioe motori a uo stimolo lumioso, espressi i decimi di secodo, di u gruppo di piloti: 2, 6 3, 8 4, 8 5, 8 2, 6 4, 0 5, 0 7, 2 2, 6 4, 0 5, 0 7, 2 2,

Dettagli

Appendice A. Elementi di Algebra Matriciale

Appendice A. Elementi di Algebra Matriciale ppedice. Elemeti di lgebra Matriciale... 2. Defiizioi... 2.. Matrice quadrata... 2..2 Matrice diagoale... 2..3 Matrice triagolare... 3..4 Matrice riga e matrice coloa... 3..5 Matrice simmetrica e emisimmetrica...

Dettagli

Statistica. Esercitazione 12. Alfonso Iodice D Enza Università degli studi di Cassino. Statistica. A. Iodice

Statistica. Esercitazione 12. Alfonso Iodice D Enza Università degli studi di Cassino. Statistica. A. Iodice Esercitazioe 12 Alfoso Iodice D Eza iodicede@uicas.it Uiversità degli studi di Cassio () 1 / 15 Outlie 1 () 2 / 15 Outlie 1 2 () 2 / 15 Outlie 1 2 3 () 2 / 15 Outlie 1 2 3 4 () 2 / 15 Outlie 1 2 3 4 5

Dettagli

q V C dipende solo dalla geometria dei piatti e ci dice quanta carica serve ad un dato condensatore per portarlo ad una DV fissata.

q V C dipende solo dalla geometria dei piatti e ci dice quanta carica serve ad un dato condensatore per portarlo ad una DV fissata. I codesatori codesatore è u dispositivo i grado di immagazziare eergia, sottoforma di eergia poteziale, i u campo elettrico Ogi volta che abbiamo a che fare co due coduttori di forma arbitraria detti piatti

Dettagli