CALENDARIO BOREALE 2 AMERICHE 2015 PROBLEMA 1

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1 Indirizzi: LI2, EA2 SCIENTIFICO; LI3 - SCIENTIFICO - OPZIONE SCIENZE APPLICATE CALENDARIO BOREALE 2 AMERICHE 21 PROBLEMA 1 Sai seguendo un corso, nell'amio dell'orienameno universiario, per la preparazione agli sudi di Medicina. Il docene inroduce la lezione dicendo che un medico en preparao deve disporre di conoscenze, anche maemaiche, che permeano di cosruire modelli ed inerpreare i dai che definiscono lo sao di salue e la siuazione clinica dei pazieni. Al uo gruppo di lavoro viene assegnao il compio di preparare una lezione sul ema: "come varia nel empo la concenrazione di un farmaco nel sangue?". Se il farmaco viene somminisrao per via endovenosa, si ipoizza per semplicià che la concenrazione del farmaco nel sangue raggiunga suio il valore massimo e che immediaamene inizi a diminuire, in modo proporzionale alla concenrazione sessa; nel caso che il docene i ha chieso di discuere, per ogni ora che passa la concenrazione diminuisce di 1/ del valore che aveva nell ora precedene. 1) Individua la funzione y() che presena l andameno richieso, ipoizzando una concenrazione iniziale y() = 1 μg (microgrammi a milliliro) e rappresenala graficamene in un piano caresiano avene in ascisse il empo espresso in ore e in ordinae la concenrazione espressa in μg. Per = risula y()=1; per =1 risula y(1)=(1/)y()=1/; per =2 risula y(2)=1/(y(1))=1/(1/)=1/49 In generale quindi: y() = ( 1 ) Si raa di una funzione esponenziale di ase 1/, il cui grafico è il seguene: Americhe 21 - Prolema 1 1/ 8

2 Se invece la somminisrazione avviene per via inramuscolare, il farmaco viene dapprima inieao nel muscolo e progressivamene passa nel sangue. Si ipoizza perano che la sua concenrazione nel sangue aumeni per un cero empo, raggiunga un massimo e poi inizi a diminuire con un andameno simile a quello risconrao nel caso della somminisrazione per via endovenosa. 2) Scegli ra le segueni funzioni quella che riieni più adaa per rappresenare l andameno descrio per il caso della somminisrazione per via inramuscolare, giusificando la ua scela: ( 4)2 y() = 1 16 y() = sen(3) e y() = y() = 2 (e e ) Siccome per che ende all infinio la concenrazione ende a zero (come si deduce dall andameno della concenrazione relaiva al caso della somminisrazione per via endovenosa), si escludono le funzioni 1 e 3 (che endono a meno infinio per che ende a più infinio). La seconda funzione, per la presenza del faore sen(3), oscilla fino a più infinio; essendo sen(3) compreso ra -1 e +1, la funzione y() = sen(3) e è compresa ra le due funzioni e e +e, quindi non è vero che ad un cero puno, raggiuno il massimo, la concenrazione inizi a diminuire. La funzione che è più adaa per rappresenare l andameno descrio è perano la quara: 3) y() = 2 (e e ) Traccia il grafico della funzione scela in un piano caresiano avene in ascisse il empo espresso in ore e in ordinae la concenrazione y espressa in μg e descrivi le sue caraerisiche principali, in rapporo al grafico della funzione relaiva alla somminisrazione per via endovenosa. Sudiamo la funzione y() = 2 (e e ) per < + Americhe 21 - Prolema 1 2/ 8

3 Dominio: < + Inersezioni con gli assi: Se =: y= Se y=: 2 (e e ) = e = e = Segno della funzione: La funzione è posiiva se: 2 (e e ) > e > e > < > Quindi la funzione si annulla per = ed è sempre posiiva per >. Limii: Come già noao nel puno precedene, se ende a più infinio la funzione ende a zero (più esaamene a + ): y= è un asinoo orizzonale per che ende a più infinio. Derivaa prima: y = 2 ( 1 e + 1 e ) = 1 1 ( e + e ) se e + e ; e e ; e e ; e ; e 2 3 ; 2 3 ln ( ) ; 3 2 ln ( ) ; 3 2 ln ( ).89 La funzione è quindi crescene per < < 3 ln 2 ( ).89 e decrescene per > 3 ln 2 ( ).89 : ha quindi un massimo relaivo (che è anche assoluo) per = 3 ln 2 ( ).89 ore (in ermini medici queso empo è deo TEMPO DI PICCO); la concenrazione (massima) raggiuna in ale isane è: concenrazione massima = y ( 3 2 ln ( )) y(.89) = 2 (e.89 e.89 ).43 μg (in ermini medici quesa concenrazione è dea CONCENTRAZIONE DI PICCO) Americhe 21 - Prolema 1 3/ 8

4 Derivaa seconda: y = D [ 1 1 ( e + e )] = 1 1 ( e e ) = 1 3 (2e 49e ) se 2e 49e ; 2e 49e ; e ; e ; ln (49) 11.8: il grafico quindi volge la concavià verso l alo se 2 2 > 3 ln ( Ha un flesso se = 3 y ( 3 2 ln (49 2 ) ; 3 ) 11.8 e verso il asso se < ln (49 ) ln (49) 11.8; la concenrazione per ale valore del empo è: 2 2 ln (49 2 )) y(11.8) = (e e 11.8 ).32 μg Il grafico della funzione (somminisrazione inramuscolare) è il seguene: Meiamo a confrono il grafico relaivo al caso della somminisrazione per via inramuscolare con quello relaivo al caso della somminisrazione per via endovenosa: Americhe 21 - Prolema 1 4/ 8

5 Confronando i due grafici noiamo che nel caso della somminisrazione endovenosa la concenrazione del farmaco nel sangue, ipoizzando che raggiunga suio il valore massimo, diminuisce rapidamene, raggiungendo, dopo re ore, una concenrazione molo assa, pari a ( 1 )3.3 μg. Ne caso della somminisrazione inramuscolare, come deo nella premessa, il farmaco viene dapprima inieao nel muscolo e progressivamene passa nel sangue, perano si può ipoizzare che la sua concenrazione nel sangue aumeni per un cero empo e, in paricolare, con la legge in esame, raggiunge il massimo dopo circa.89 ore, massimo che è uguale a circa.43 μg ; dopo aver raggiuno ale massimo la concenrazione diminuisce, ma più lenamene rispeo al caso della somminisrazione endovenosa; per esempio dopo circa 11.8 ore (empo relaivo al flesso della curva), si ha una concenrazione pari a circa.32 μg ; dopo lo sesso empo, nel caso della somminisrazione endovenosa, la concenrazione è praicamene nulla: ( 1 ) μg Osserviamo che le due concenrazioni sono uguali dopo un empo corrispondene al puno di inconro dei due grafici, pari a circa.94 ore; la concenrazione comune è pari a circa.16 μg. Osserviamo che le derivae prime delle due funzioni indicano la velocià di variazione della concenrazione del farmaco nel sangue; aiamo nei due casi: somminisrazione endovenosa: v = d d (1 ) = ( 1 ) ln ( 1 ) = ln() (1 ) < per ogni, vuol dire che la concenrazione diminuisce sempre; infai si è ipoizzao che raggiunga pressoché isananeamene la massima concenrazione. somminisrazione inramuscolare: v = d d ( 2 (e e )) = 1 1 ( e + e ), che, come già viso nello sudio della funzione, è posiiva per < < 3 ln 2 ( ).89 e negaiva per > 3 ln 2 ( ).89 : vuol dire che la concenrazione aumena fino a circa.89 ore, raggiunge il massimo e poi diminuisce. Osserviamo poi che le derivae seconde delle due funzioni indicano se aumena o diminuisce la velocià di variazione della concenrazione del farmaco nel sangue (come dire l accelerazione); aiamo nei due casi: somminisrazione endovenosa: a = dv = d d d ((1 ) ln ( 1 )) = (1 ) ln 2 ( 1 ) > per ogni, vuol dire che la velocià di variazione della concenrazione del farmaco nel sangue cresce sempre: in realà, essendo la velocià sempre negaiva, in valore assoluo la velocià di variazione diminuisce. somminisrazione inramuscolare: a = dv d = d d ( 1 1 ( e + e )) = 1 3 (2e 49e ) > per 3 2 ln (49) 11.8 vuol dire che la velocià di 2 Americhe 21 - Prolema 1 / 8

6 variazione della concenrazione del farmaco nel sangue diminuisce fino a circa 11.8 ore ed aumena dopo ale empo (noiamo che nel puno di flesso, che si ha per =11.8, la velocià raggiunge il minimo). Nella figura seguene sono rappresenai i vari meodi di somminisrazione di un farmaco, ra cui, come nei nosri casi di sudio, quello per via endovenosa e quello per via inramuscolare. Per eviare danni agli organi nei quali il farmaco si accumula è necessario enere soo conrollo la concenrazione del farmaco nel sangue. Supponendo che in un organo il μg farmaco si accumuli con una velocià v, espressa in (microgrammi a milliliro all ora), h proporzionale alla sua concenrazione nel sangue: 4) v() = k y() Deermina la quanià oale di farmaco accumulaa nell organo nel caso della somminisrazione endovenosa e di quella inramuscolare sudiae in precedenza. In quale delle due l accumulo sarà maggiore? Dea q() la quanià di farmaco assoria nell organo, espressa in μg, dalla legge della velocià fornia si oiene: Americhe 21 - Prolema 1 6/ 8

7 v() = dq() d = k y(), da cui: dq = k y() d, k ha per dimensioni 1 h La quanià q di farmaco accumulao nell organo si oiene inegrando la precedene equazione differenziale ra e più infinio: q q = + k y() d + = k y() d Analizziamo i due casi in esame: (con q = q() = in enrami i casi) Somminisrazione endovenosa: + q = k ( 1 ) d = k ( 1 ln() ) lim [(1 + ) 1] = = k ( 1 ) [ 1] = k ln() = k lim (1 + ) d = k lim + 1 ln ( 1 ) [( 1 ) ln() (.14 k) μg h (microgrammi al milliliro) Ciò vuol dire che vengono accumulai nell organo (.14 k) microgrammi di farmaco, eoricamene in un empo infinio, praicamene dopo poche ore; per esempio dopo 2 ore, ponendo =2 nel calcolo precedene, si oiene circa il 98 %: ] = k ln ( 1 ) [( 1 ) ] 2 = k ln ( 1 [( 1 2 ) ) 1] (.3 k) μg h (microgrammi al milliliro) Somminisrazione inramuscolare: + q = k 2 (e e ) d = k lim 2 + (e e ) d = 2 k lim + [ e + e ] = k lim 2 + [ e + e ( + )] = k [ + + 2] = 2 = ( k) μg h (microgrammi al milliliro) Ciò vuol dire che vengono accumulai nell organo ( k) microgrammi al milliliro di farmaco, eoricamene in un empo infinio, praicamene dopo 1 ore si ha: 1 = k 2 [ e + e 2 ] k ( e 1 + e 1 + 2) (3. k) μg h (microgrammi al milliliro), la meà del oale; Americhe 21 - Prolema 1 / 8

8 dopo 24 ore aiamo: 24 = k 2 [ e + e 2 ] k ( e 24 + e ) (6.3 k) μg h (microgrammi al milliliro), il 9 % del oale; dopo 48 ore aiamo: 48 = k 2 [ e + e 2 ] k ( e 48 + e ) (6.98 k) μg h (microgrammi al milliliro), quasi il 1 % del oale. Calcoliamo la quanià di farmaco accumulaa dopo 2ore, per fare un confrono con il caso della somminisrazione per via endovenosa): 24 k 2 [ e + e ] = k 2 ( e 2 + e 2 + 2) (.32 k) μg h (microgrammi al milliliro), pari a circa il 4.6 % del oale; ricordiamo che nel caso della somminisrazione endovenosa dopo 2 ore si aveva circa il 98 % del oale. Queso vuol dire, come già osservao, che l accumulo di farmaco nel caso della somminisrazione endovenosa è molo più rapido. In conclusione: La quanià di farmaco accumulaa nell organo nel caso della somminisrazione inramuscolare è di gran lunga maggiore di quella accumulaa nel caso della somminisrazione endovenosa. Con la collaorazione di Angela Sanamaria e Sefano Scoleri Americhe 21 - Prolema 1 8/ 8