Compito Parziale di Algebra lineare e Geometria analitica. 2x + 3y + 2z = 0 x y z = 0

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1 Compito Parziale di Algebra lineare e Geometria analitica ) Dire se il seguente sottoinsieme di R 3 H = (x; y; z) R 3 : x + 3y + z = x y z = è o non un sottospazio vettoriale di R 3 e eventualmente calcolarne la dimensione e una base. ) Dato l endomor smo f di R 3 così de nito f (; ; ) = (; ; ) f (; ; ) = (; ; ) f (; ; ) = ( ; 3; ) a) calcolare dimensione, trovare una base e le equazioni cartesiane di ker f Im f; b) calcolare gli autovalori e gli autovettori, c) stabilire se f è diagonalizzabile o no. 3) Nel fascio di piani che ha per asse la retta che passa per i punti P = (; ; ) e Q = (; ; ), determinare quello perpendicolare al piano di equazione y = z. ) Determinare la posizione reciproca dei due piani e e calcolarne la distanza Soluzioni : x + y z = : 3x + 3y 6z = : ) H è un sottospazio vettoriale di R 3 ha dimensione, è una retta per O e una base è (; ; 5) : ) La matrice associata a f rispetto alla base canonica di R 3 è A 3 A Il rango di A è quindi dim Im f = ; una base di Im f è data dai vettori (; ; ) e (; ; ), la sua equazione cartesiana è x z =, è un piano per O. x = z E dim ker f = ; è una retta per O;le sue equazioni cartesiane sono y = z ; una base è data dal vettore (; ; ) : Gli autovalori sono: ; ; ; V = ker f; V è generato dal vettore (; ; ), V è generato dal vettore (; ; ). L endomor smo

2 f è diagonalizzabile poiché lo è la sua matrice associata che ha 3 autovalori distinti. x = 3) La retta per P e Q ha equazioni cartesiane ; il fascio di y + z 3 = piani ha equazione cartesiana (x ) + (y + z 3) =, il piano richiesto ha equazione cartesiana x =. ) I piani sono paralleli e distinti e la la loro distanza è uguale a j + 3j p 6 = p 6 8.

3 Compito Parziale di Analisi ) Studiare la seguente funzione e disegnarne il gra co f (x) = (x + ) ln jx + j : ) Data f (x) = e x + x arctan x; i) veri care che f è iniettiva e suriettiva, ii) calcolare la derivata di f (y) nel punto y = f () 3) Calcolare lim ln + x x!+ ln x x x Soluzioni ) La funzione è de nita in Rn f g ; con la traslazione x = x+, si ha f (x ) = x ln jx j che è una funzione pari. Quindi il gra co richiesto sarà simmetrico rispetto alla retta x = : Si studia f per x > : Risulta lim f (x) =, non x! ci sono asintoti, f (x) = (x + ) [ ln (x + ) + ] f (x) = ln (x + ) + 3 c è un punto di minimo in x = e e un punto di esso in x = e 3. Il suo gra co è il seguente: ) La funzione è de nita e continua in R, lim f (x) = +, lim f (x) =, x!+ x! quindi, per il teorema dei valori intermedi, è suriettiva e f (x) = e x + x +x >, quindi iniettiva. La funzione è invertibile in R, e risulta D f (y) y= = D [f (x)] x= = : 3

4 3) Si ha lim ln + x x!+ ln x + x x x = lim ln x!+ x x x con la sostituzione x = t si ha + x lim ln x!+ x [ln (t + ) t] x x = lim t! t = lim t! ( t t + o t t t ) = :

5 Compito totale ) Studiare la seguente funzione, disegnarne il gra co e determinare gli eventuali punti di non derivabilità f (x) = x + x x : ) Calcolare lim + sin x + x x : x! 3) Dato l endomor smo f di R 3 rappresentato rispetto alla base canonica dalla matrice 5 A 3 A a) calcolare dimensione, trovare una base e le equazioni cartesiane di ker f e Im f; b) calcolare gli autovalori e gli autovettori, c) stabilire se f è diagonalizzabile o no. ) Calcolare la caratteristica della matrice al variare di k in R + k 3 + k 3 5 A : 5 + k Soluzioni ) La funzione è de nita in Rn fg. La retta x = è un asintoto verticale perché lim x! +f (x) = + e lim f (x) =, x! ( x f (x) = x per jxj x per jxj < x 6= risulta f () =, f () =, f ( ) = lim f (x) = +, lim x!+ lim x!+ x! (f (x) x) =, e lim x! è l asintoto obliquo. f (x) = 3 ; f(x) f(x) f (x) =, lim x!+ x =, e lim x! x =, (f (x) x) = ; quindi la retta y = x + ( x x+ (x ) per jxj > (x ) per jxj < x 6= La funzione è non derivabile in x = e in x =. Infatti per x = si ha : 5

6 lim f (x) = 9 e lim x! x! +f (x) = 9 : La funzione risulta strettamente crescente in ] ; ] e in [; +[ e strettamente decrescente in [ ; [ e in ]; ]. La funzione ha un punto di massimo relativo in x = e un punto di mimimo relativo in x = : ( per jxj > f (x ) (x) = 3 8 per jxj < x 6= (x ) 3 La funzione risulta convessa in ] ; ] e in ]; ] e concava in [ ; [ e in [; +[. Il suo gra co è il seguente: y x ) Si ha Quindi + sin x + x x = e x ln(+ sin x+x ) ln + sin x + x H cos x + x lim = lim x! x x! + sin x + x = : lim x! + sin x + x x = e : 3) Il rango di A è, quindi dim Im f = ; una base di Im f è data dai vettori (; ; ) e (5; 3; ), la sua equazione cartesiana è y 3z =, cioè un piano passante per O. E dim ker f = ; è una retta per O; le sue equazioni cartesiane sono 6

7 x + y = ; una base è data dal vettore ( ; ; ) : Gli autovalori sono: ; z = (doppio); V = ker f; V è generato dal vettore (; ; ); f non è diagonalizzabile poiché la dim V = e la molteplicità dell autovalore è. + k k k A A! A A3 + k 3 det 6= ; A A3! A quindi la caratteristica della matrice è per ogni valore + k 3 A : 7

8 Compito totale del 3//9 ) Studiare la funzione e disegnarne il gra co f (x) = arcsin + x non è richiesto lo studio della derivata seconda. ) Studiare la continuità nel punto x = della funzione f (x) = sinjx j x x Rn x = : 3) Sia determinare la matrice associata a f deteminare Im f e ker f: f (x; y; z) = (x + y; x z) ) Dopo aver determinato che i tre piani : x + y + z = : y + z + = rispetto alle basi canoniche di R 3 e R e 3 : x + 3y + z + 5 = sono paralleli a una stessa retta passante per O determinare le equazioni di tale retta. 8