Il campo magnetico generato da correnti

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1 Il campo magnetico geneato da coenti Hans Chistian Østed ( ) Siamo in Danimaca nel 180: duante alcuni espeimenti all Univesità di Copenhagen, il fisico danese Hans Chistian Oested si accoge che l'ago di un compasso magnetico viene deflesso se avvicinato ad un cicuito elettico, ovveo il cicuito elettico è in gado di geneae un campo magnetico, così come i poli di un magnete!! E un momento stoico, che segna l unificazione di due fenomeni fino ad alloa consideati totalmente distinti, ovveo eletticità e magnetismo. Nasce l elettomagnetismo.

2 Legge di iot-savat P iot e Savat stabiliono la legge che lega un filo pecoso da coente col campo magnetico da esso geneato. Sia ds una pozione infinitesima di filo pecoso da coente i; il campo magnetico d geneato da ds in un punto P dello spazio è dato da: d 0 i ds 3 4 Il campo d è quindi pependicolae al piano individuato dall elemento di filo ds e dalla distanza ta ds ed il punto P; nel caso in figua, se ds ed sono entambe paalleli alla pagina, d è pependicolae ed entante nella pagina. d dipende dal quadato della distanza dal filo, in analogia con campo elettico che dipende dal quadato della distanza dalla caica che lo genea; 0 è una costante detta pemeabilità magnetica del vuoto, il cui valoe è: 7 m A T 6 T m A N: 0 non ha la dimensione fisica del dipolo magnetico

3 sin sin Campo magnetico geneato da una filo ettilineo pecoso da coente Applicando iot-savat, il campo d geneato da ds nel punto P è entante in figua, ed in modulo: sin s d 0 i ds sen 4 Definiamo lo zeo del filo il punto più vicino a P, ed integiamo lungo il filo ta 0 ed (ovveo sulla metà supeioe del filo): 0i sen ds 4 0 0i ds 4 0 s 3/

4 Soluzione dell integale I 3/ s ds Opeiamo la sostituzione di vaiabile s t: s tan( t) ds dt cos ( t) dt 1 dt I 3/ cos ( t) 3/ tan ( t) cos ( t) tan ( t) 1 I 1 dt 1 1 cos( ) sin( ) t dt 3/ cos ( t) cos ( t) t tan I s t sin( t) s s s s 1 1 ( / s)

5 Campo magnetico geneato da una filo ettilineo pecoso da coente 0i ds 4 0 s 3/ i i s 1 ( / ) 1/ s Consideiamo che a ciascun elemento infinitesimo ds nella metà supeioe del filo coisponde un ds nella metà infeioe, disposto alla stessa distanza da P, il quale genea lo stesso campo d in modulo, diezione e veso; dunque il campo geneato da un filo ettilineo infinito è dato da: 0i ds

6 Campo magnetico di un filo infinito 0i il modulo di in un punto qualsiasi dipende solo da, dunque le sue linee di foza (linee vedi in figua) sono ciconfeenze concentiche; la densità delle linee si iduce allontanandoci dal filo, ovveo pe la diezione di è sempe pependicolae al filo e alla distanza dal filo egola della mano desta: tenendo il pollice nel veso di i, le 4 dita indicano il veso di (in figua la coce indica che la coente è entante nella pagina) Spagendo limatua di feo su una supeficie pependicolae al filo si può ossevae la simmetia del campo magnetico geneato dal filo pecoso da coente

7 Campo magnetico di un filo piegato ad aco Calcoliamo il campo magnetico geneato da un aco nel suo cento di cuvatua (C). Chiaamente in questo caso ds ed sono sempe pependicolai, pe cui applicando iot-savat il modulo del campo dovuto a ds è semplicemente 0 i ds d 4 La diezione di è pependicolae ed uscente dalla pagina, come dettato dalla egola della mano desta. Pe ottenee il campo dell inteo aco è necessaio integae in ds; poiché l integando non dipende da s si ha: 4 i s 0 i f 4 0 0if 4 Nell ultima espessione abbiamo espesso la lunghezza dell aco in temini dell angolo sotteso f, espesso in adianti. Un caso paticolamente ilevante è il campo geneato da una spia lungo il popio asse, che si ottiene semplicemente ponendo f = : 0 i

8 Campo magnetico dovuto all attività ceebale Applicazione impotante del campo magnetico geneato da cicuiti elettici è la magnetoencefalogafia (MEG), ovveo il monitoaggio del campo magnetico geneato dalle coenti elettiche ceebali. Una qualsiasi attività ceebale genea impulsi elettici che connettono le cellule ceebali viaggiando attaveso canali conduttivi. Stimiamo il campo magnetico podotto dalle coenti ceebali in un punto P distante = cm dalla coteccia; ipotizziamo che la coente sia pependicolae ad ; un tipico impulso ceebale è caatteizzato da coenti i= 10 A, che viaggiano pe distanze del mm; dunque assumo ds=1 mm, e da iot-savat ottengo: 3 i ds T m 10 A 10 m d T. 5pT 4 4 A 410 m E un campo piccolissimo, non ceto ivelabile avvicinando una bussola alla testa esistono peò stumenti molto sofisticati detti SQUID (supeconducting quantum intefeence device) usati pe la MEG, capaci di ivelae campi magnetici infeioi al pt

9 Poblema 9.1 Consideiamo il filo in figua, paallelo al piano della figua. Si calcoli il campo magnetico nel punto C. Possiamo applicae il pincipio di sovapposizione, e calcolae come somma dei campi dovuti a 3 elementi distinti: i due tatti ettilinei è l aco di cuva nel mezzo I tatti ettilinei non contibuiscono al campo, poiché pe ogni tatto infinitesimo del filo i vettoi ds ed sono paalleli, dunque il coispondente d è nullo. Pe l aco applichiamo la fomula: Dalla figua si vede chiaamente che l angolo sotteso è f = /: pe cui: 0if 4 0 i 8 Infine dalla egola della mano desta si ha che il campo è dietto in veso entante nella pagina.

10 o a 45 o a 45 Poblema 9. In figua è mostata la sezione di due lunghi fili paalleli, in cui scoono coenti i 1 = 15 A e i =3 A diette in veso opposto. Deteminae il campo magnetico totale nel punto P; sia d=5.3 cm (si noti che i segmenti sono ta loo pependicolai) La diezione di 1, è tangenziale alle linee di flusso cicolai del campo di ciascun filo; il veso è dato dalla egola della mano desta. Inolte, dall analisi degli angoli isulta che 1, sono entambe oientati con un angolo a=45 ispetto all asse x; il modulo di 1, è dato dalla legge di iot-savat pe il filo ettilineo: d / 3. 75cm 0i1 7 Tm 15A A m 0i 7 Tm 3A A m 5 T 5 T

11 Poblema 9. Dalle componenti lungo x ed y dei campi 1, cos( 1 x 1 a) sin( 1 y 1 a) o a 45 o a 45 x cos( ) y sin( a) a icaviamo le componenti del campo isultante cos( a) 6.4 T 5 x 1 10 sin( a) 17.7 T 5 y 1 10 Infine da queste icavo modulo e diezione del campo lungo l asse x: x x T tan( ) y x

12 ŷ Foze ta due fili conduttoi paalleli ẑ b xˆ F ab Calcoliamo la foza esecitata ta due fili conduttoi paalleli a, b, pecosi da coenti i a, i b di veso concode. Consideiamo un sistema di ifeimento catesiano con l asse x paallelo ai fili, e l asse z pependicolae al piano dei fili; chiamiamo a il campo geneato da i a, e b il campo geneato da i b Applicando iot-savat e la egola della mano desta si ha che il 0ia a zˆ campo geneato dal filo a in un qualunque punto del filo b è: d Applicando Loentz, calcoliamo la foza che agisce 0iaib L Fba ibl a ibla yˆ su una sezione L del filo b: d Vicevesa, il campo geneato dal filo b in un qualunque 0ib b zˆ punto del filo a è: d La foza che agisce su una sezione L iaib L 0 Fab ial b ialb yˆ yˆ Fba del filo a: d Dunque, due fili pecosi da coenti concodi si attaggono con una foza uguale in modulo e diezione ed opposta in veso (pincipio di azione e eazione) yˆ

13 Foze ta due fili conduttoi paalleli ŷ i a i b ẑ F ab b L il campo geneato dal filo b: La foza che agisce sul filo a: xˆ a F ba b F ab i Invetiamo il veso di i b e icalcoliamo le foze pe le due coenti discodi campo geneato dal filo a in un qualunque punto del filo b: a 0ia d la foza che agisce su una sezione L del filo b: (si noti che L ha cambiato veso, e dunque anche la foza cambia veso) 0iaib L Fba ibl a ibla yˆ yˆ d 0ib zˆ d iaib L 0 L b ialb yˆ yˆ Fba d a Due fili pecosi da coenti discodi si espingono con una foza uguale in modulo e diezione ed opposta in veso (pincipio di azione e eazione); Aspetto cuioso: l inteazione magnetica ta fili pecosi da coente segue una logica opposta all inteazione Coulombiana ta caiche elettiche zˆ

14 Andé-Maie Ampee (Lione ). Il suo nome è inciso sulla Toe Eiffel James Clek Maxwell (Edimbugo ). Al pai di Newton ed Einstein, è ta i più gandi fisici teoici della stoia Legge di Ampèe La legge di Ampèe è l analogo magnetico della legge di Gauss pe l elettostatica: sfuttando pincipi di simmetia, essa pemette il calcolo del campo magnetico geneato da coenti in modo semplificato ispetto alla fomulazione di iot-savat. La legge pende il nome dal fisico fancese Andé-Maie Ampèe, a cui è stoicamente attibuita. In ealtà la fomulazione igoosa si deve al gande fisico e matematico scozzese James Clek Maxwell, il veo fondatoe della teoia classica dell elettomagnetismo. Legge di Ampèe: l integale di linea (cuvilineo) del campo magnetico lungo un cammino chiuso è uguale alla coente complessiva che attavesa la supeficie delimitata dal cicuito chiuso, moltiplicata pe la pemeabilità magnetica del vuoto ds 0i int T m A

15 Legge di Ampèe Consideiamo il campo geneato da 3 coenti, pependicolai al piano della figua, ed il cammino chiuso disegnato; tutte e 3 le coenti contibuiscono a geneae, ma pe la legge di Ampèe, soltanto le coenti i 1 e i che attavesano la supeficie intena al cicuito contibuiscono all integale di linea Con che segno ciascuna coente contibuisce all integale? Il segno dipende dal veso di integazione: Supponiamo che il veso di integazione (ovveo ds) sia data dalla feccia lungo il pecoso: oientando le 4 dita della mano desta nel veso d integazione, sono positive le coenti con veso concode col pollice, negative quelle opposte al pollice. Dunque: ds 0iint 0 i1 i

16 Campo magnetico all esteno di un filo infinito Utilizziamo la legge di Ampèe pe calcolae il campo magnetico geneato da un filo ettilineo infinito in cui scoe coente i Sfuttiamo un pincipio di simmetia: sappiamo da iot-savat che il campo magnetico è pependicolae alla diezione del filo e al vettoe, e che in modulo dipende soltanto dalla distanza, ovveo il campo ha simmetia cilindica. La scelta più semplice pe isolvee l integale sul cicuito è quindi quella di pendee un cicuito cicolae centato attono al filo, poiché lungo il cechio il campo è costante in modulo e sempe paallelo al vettoe spostamento ds. Dunque, l integale si isolve facilmente come: ds ds ds 0i 0i Applicando quindi la legge di Ampèe, si tova (molto più semplicemente di quanto fatto in pecedenza integando la fomula di iot-savat):

17 Campo magnetico all inteno di un filo infinito Calcoliamo il campo magnetico geneato dal filo ettilineo infinito in un punto inteno alla sezione del filo (sia il aggio della sezione). Si supponga la coente i distibuita unifomemente nel filo. Il campo magnetico ha ancoa simmetia cilindica, e stessa diezione e veso che all esteno del filo; dunque consideiamo di nuovo l integale lungo un cechio centato sull asse del filo, con < : ds 0iin 0i ds ds Nella legge di Ampèe dobbiamo peò consideae non tutta la coente i del filo, ma solo quella che scoe intenamente al cilindo di aggio. Dall ipotesi di coente unifome si deduce che, se A è l aea della sezione, la densità di coente J = i/a è costante in ogni punto dell aea. Dunque, la coente intena al cilindo di aggio è: i in J i A i i

18 ds Campo magnetico di un filo caico 0i esteno al filo 0i inteno al filo () ha stesso andamento del campo elettico E() di un cilindo isolante unifomemente caico: all inteno cescono lineamente, all esteno decadono come 1/; pe la sfea isolante unifomemente caica E() è ancoa lineae all inteno, mente all esteno decade come 1/.

19 Poblema 9.3 Consideiamo cilindo cavo, di aggio inteno a= cm ed esteno b=4 cm; nel cilindo scoe una coente uscente dal piano di densità non unifome J = c, con c=310 6 A/m 4 ; calcolae il campo magnetico in un punto distante =3 cm dall asse del cilindo. Sfuttiamo la simmetia cilindica del campo magnetico e calcoliamo l integale di linea su un cechio di aggio centato sull asse del cilindo: ds Dalla legge di Ampèe si icava: 0iin( ) 0iin( )

20 ' d' Poblema 9.3 essendo la densità di coente non unifome, la coente intena al cechio chiuso di aggio deve essee calcolata dalla fomula geneale: i in ( ) a J ( ') da La coente è pependicolae all aea della sezione, pe cui il podotto scalae si può eliminae; inolte come aea infinitesima possiamo pendee la coona di aggio e spessoe d disegnata in giallo in figua: da ' d' i in ( ) a J( ') ' d' c a ' a d c a 7T m 6 A c m 6510 T A m 3 4 T

21 Il Solenoide Un caso estemamente impotante in cui la legge di Ampèe è utile è il solenoide, ovveo un filo di coente estemamente lungo, avvolto in spie molto stette. In patica il solenoide è una bobina cilindica in cui la lunghezza del filo avvolto è molto maggioe del diameto della bobina Un solenoide infinitamente lungo e fomato da spie stettamente unite si dice ideale. Nel solenoide ideale il campo magnetico è nullo al di fuoi del solenoide, unifome e paallelo all asse del solenoide all inteno. In patica il solenoide è lo stumento più comune pe geneae campi magnetici unifomi; dunque è l analogo del condensatoe pe i campi elettici. Consideae il campo nullo all esteno del solenoide è agionevole anche pe un solenoide eale, puché la sua lunghezza sia molto maggioe del diameto, ed i punti in cui consideiamo il campo sufficientemente lontani dai bodi. All inteno del solenoide l assunzione di campo unifome è ealistica se non si consideano punti toppo vicini alle spie

22 Campo magnetico del solenoide eale Il campo magnetico del solenoide è la somma vettoiale dei campi podotti da ciascuna spia. Pe ottenee un idea qualitativa del campo geneato dal solenoide, stiiamo il solenoide, in modo da visualizzae più distintamente le linee di campo. Vicino a ciascuna spia le linee del campo sono cechi concentici poiché il campo tende ad assomigliae a quello podotto dal filo ettilineo. Nel mezzo di due spie adiacenti il campo tende a cancellasi, poiché i cechi concentici di ciascuna spia hanno veso opposto e si elidono. Al di fuoi del solenoide (ad es. nel punto P) il campo tende ad annullasi poiché i contibuti delle spie supeioi (coente uscente dal foglio) ed infeioi (entante nel foglio) si compensano Intenamente al solenoide, a distanza agionevolmente lontana dal filo, il campo è cica unifome, con linee paallele all asse del solenoide

23 Campo magnetico del solenoide ideale Oientando le 4 dita nel veso della coente, il pollice dà la diezione del campo inteno al solenoide. Applichiamo Ampèe: calcoliamo l integale di linea del campo lungo il cicuito chiuso ettangolae abcd in figua. ds b a ds c b ds c d ds a d ds Solo l integale ta a e b contibuisce: sui lati veticali e ds sono pependicolai ed il podotto scalae è nullo, mente sul lato oizzontale supeioe è nullo. ds b a ds Se i è la coente nel solenoide ed n il numeo di spie pe unità di lunghezza, la coente totale che attavesa la supeficie del cicuito è ovviamente i(nh), pe cui: h h 0inh 0in

24 Campo magnetico del tooide Il tooide è un solenoide ipiegato a ciambella; si intuisce che le linee di campo magnetico intene al tooide debbano essee ciconfeenze centate nel cento del tooide. Calcoliamo il campo magnetico inteno al tooide utilizzando Ampèe; consideiamo come cicuito d integazione la ciconfeenza aancione di aggio, pecosa in senso oaio (si noti che le spie intene alla ciconfeenza sono entanti nel foglio). Pe simmetia cicolae, il campo è costante e tangenziale ad ogni punto del cicuito, pe cui: ds ( ) Il numeo di spie che attavesa la supeficie delimitata dal cicuito sono tutte le N spie del tooide, pe cui: 0i N ( ) 0i N Estenamente alla ciambella il campo è nullo in tutti i punti 1

25 Poblema 9.4 Consideiamo un solenoide lungo L=1.3 m, e diameto inteno d=3.55 cm, composto da 5 stati di spie, ciascuno con 850 spie, in cui scoe una coente i=5.57 A. Calcolae nel cento del solenoide. La lunghezza del solenoide è molto maggioe h del diameto; si può quindi suppoe il solenoide ideale. Dall integale di linea sul cicuito chiuso in osso icaviamo: d L b ds ds h 0 i5n N h è il numeo di spie di un singolo stato contenute all inteno del segmento h; ipotizzando la densità di spie n unifome, si ha N: d non enta nell espessione di, seve soltanto a definie il caattee ideale del solenoide n Nh nh h L L Tm 450 0i A.410 L A 1.3m 5 a T h

26 Campo magnetico geneato dalla bobina Abbiamo visto che la bobina in campo magnetico si compota come un dipolo magnetico di momento = NiA n, la cui diezione dipende dal veso della coente, come stabilito dalla egola della mano desta (in figua). Analogamente ad un dipolo magnetico e ad ogni cicuito pecoso da coente, anche la bobina poduce il suo campo magnetico; il poblema peò non ha simmetia così elevata da pote applicae la legge di Ampèe, pe cui il calcolo di necessita l uso della fomula geneale di iot-savat. Il campo podotto dalla spia lungo l asse è effettivamente simile a quello di un dipolo magnetico, con la faccia supeioe della spia che funge da polo nod, e quella infeioe da polo sud Nei dintoni della spia il campo si discosta totalmente da quello tipico del dipolo magnetico, e appossima piuttosto quello del filo ettilineo, con centi concentici che si diadano allontanandosi dal filo

27 Campo magnetico geneato dalla bobina ẑ i isciviamo il campo in temini di momento di dipolo della bobina: Pe una singola spia cicolae il campo geneato lungo l asse z pependicolae al piano della spia e passante pe il cento è (diamo il isultato senza dimostazione): Pe punti lontani In fote analogia col campo del dipolo elettico lungo l asse del dipolo: 0i ( z) zˆ z 3/ i i ( z) 0 0 zˆ 3 3/ 3 z ( / z) 1 z dalla spia: (z >> ) Se sostituiamo l aea A e consideiamo N spie: p NiA zˆ; qd; 0 NiA ( z) 3 z 0 ( z) 3 z 1 p E( z) 3 z 0 zˆ zˆ Nel cento della spia (z=0): 0i ( 0) zˆ isultato ottenuto in pecedenza applicando iot-savat nel cento di cuvatua dell aco

28 Sommaio: campi magnetici geneati da coenti P Legge di iot e Savat Pemeabilità magnetica del vuoto d i ds T m A Filo ettilineo infinito: simmetia cilindica 0i Nel cento di cuvatua dell aco: 0if 4 ẑ b Foza ta fili paalleli ŷ xˆ F ab F 0iaib L d

29 Sommaio: campi magnetici geneati da coenti Nel solenoide ideale: Legge di Ampèe ds i i 0in 0 int 0 1 i Lungo l asse della bobina: esteno al filo: 0i inteno al filo: 0i 0i ( z) 3/ z zˆ Nel tooide 0i N 1 lontano dalla bobina (anche pe un qualsiasi dipolo magnetico): ( z) 0 3 z