Analisi del circuito di stabilizzazione in ampiezza dell'oscillatore a ponte di Wien

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1 Stabilizzazione dell'mpiezza nell'oscillatore a Ponte di Wien leopoldo rossetto - 5 sett. 00 nalisi del circuito di stabilizzazione in ampiezza dell'oscillatore a ponte di Wien ota: nel testo sono riportati dei richiami a alcuni approfondimenti riportati alla fine di questo laoro La presente trattazione fa riferimento allo schema di Fig. doe è rappresentato un oscillatore a ponte di Wien con la rete di stabilizzazione dell'ampiezza. L'analisi è solta con l'obiettio di dimensionare correttamente la rete di stabilizzazione dell'ampiezza e alutare la distorsione da essa prodotta sulla tensione di uscita. L'analisi si basa sulla sostituzione del ramo non lineare del circuito (il ramo contenente gli zener) con due generatori di corrente equialenti. Il primo generatore I contiene la sola componente fondamentale, alla frequenza dell'oscillatore, della corrente che circola negli zener, mentre il secondo generatore I contiene tutta la componente armonica della suddetta corrente. In questo modo la somma delle correnti dei due generatori coincide con la totale corrente che circola negli zener. ei calcoli si utilizza l'ipotesi semplificatia che la tensione di uscita dell'oscillatore sia pressoché sinusoidale e sia pressoché sinusoidale anche la tensione ai capi del ramo del circuito che contiene gli zener. Fig. - Schema dell'oscillatore a ponte di Wien con rete di stabilizzazione dell'ampiezza Fig. - Sostituzione della rete non lineare con due generatori di corrente: I per la componente fondamentale e I per la componente armonica

2 Stabilizzazione dell'mpiezza nell'oscillatore a Ponte di Wien leopoldo rossetto - 5 sett. 00 La corrente che circola negli zener è diersa da zero solo quando la tensione supera la tensione di zener. Essa può essere calcolata a partire dalla tensione sulla resistenza _ di Fig. e ale: _ 0 + per per per In una rappresentazione normalizzata rispetto a, la forma d'onda della tensione ai capi di _, mostrata in Fig.3, Limitandoci al primo semiperiodo tale tensione assume un alore nullo per e alore non nullo altroe ( a) _ per α < α e α > 80 0 α sin( α) _ sin( α) b per α < α < 80 elle precedenti equazioni sono state fatte le seguenti assunzioni: α asin ( b ) e b α 0.5 x i y i 4, 0 y i 8, i Fig.3 - Tensione sulla resistenza _ per diersi rapporti tra la tensione di zener e l'ampiezza della sinusoide Continuando ad operare su grandezze normalizzate, dalla forma d'onda di Fig.3 si ricaa la componente armonica fondamentale, parametrizzata con b della tensione su _. Sfruttando la simmetria della forma d'onda, l'integrale è calcolato su un quarto di periodo:

3 Stabilizzazione dell'mpiezza nell'oscillatore a Ponte di Wien leopoldo rossetto - 5 sett π. π α sin( α ). sin( α ) b dα 4 π.. 4 π. cos α ( ). sin ( α ). α. b cos( α) ora, sostituendo l'espressione di α, si ottiene 4 π.. 4 π. b.. b asin b Questa espressione fornisce il alore normalizzato della componente fondamentale (prima armonica) della tensione sulla resistenza _, in funzione del rapporto b fra la tensione degli zener e l'ampiezza della tensione ai capi del circuito. Il suo andamento è riportato in Fig. 4 in funzione del rapporto b 0.8 i bi Fig.4 - ndamento della componente di prima armonica della tensione sulla resistenza _ normalizzata rispetto alla tensione in funzione del rapporto b fra la tensione di zener z e l'ampiezza della tensione PPOFODIMETI Linearizzazione della caratteristica Dall'analisi precedente risulta che il generatore I impone una corrente sinusoidale in fase con la tensione, anch'essa sinusoidale (per ipotesi di laoro), presente ai suoi capi. Quindi è equialente ad una resistenza equi di alore:

4 Stabilizzazione dell'mpiezza nell'oscillatore a Ponte di Wien leopoldo rossetto - 5 sett. 00 equi I _ da cui si può scriere equi _ quindi il grafico di Fig.4 può anche rappresentare l'andamento del rapporto _ / equi in funzione di b. Il risultato dell'analisi precedente è che la rete non lineare può essere sostituita con un circuito parallelo costituito da una resistenza di alore equi e da un generatore di corrente I. Per aere la condizione di oscillazione del ponte di Wien l'amplificatore dee aere guadagno pari a 3 quindi si dee porre // equi *_ e questo consente di definire una procedura di progetto: Sia dato out (ampiezza della tensione di uscita dell'oscillatore). Dalla condizione di oscillazione si ottiene /3 out. Si sceglie il alore per il rapporto z / 3. Si impone un alore arbitrario per _ 4. Si impone il alore _ leggermente maggiore (+0%) del alore teorico *_ per garantire la partenza dell'oscillazione 5. Dall'espressione * // equi si calcola equi 6. Dal grafico, noto z /, si determina equi /_ 7. esta determinato il alore di _ 8. Ora si possono riscalare proporzionalmente i alori di resistenza _, _ e _ per aere dei alori compatibili con la corrente erogabile dall'operazionale (che fissa un alore minimo per le resistenze) e la corrente di polarizzazione negli zener (che fissa un alore massimo) PPOFODIMETI Criteri di progettazione nalisi del contenuto armonico Per analizzare il contenuto armonico della tensione di uscita occorre alutare la funzione di trasferimento fra il generatore I e la tensione di uscita out dell'oscillatore. Essa risulta W ( s) I out + s3c + ( sc) + ( sc) Si ede che la FdT ha due poli complessi coniugati alla frequenza di oscillazione che le danno un guadagno infinito, ed una coppia di zeri reali. Il segnale di ingresso (I ) non ha componenti alla frequenza fondamentale dell'oscillatore ma contiene armoniche dispari.osserando il diagramma asintotico, si troa che, per le componenti armoniche, il guadagno risulta costante. Infatti il secondo zero, oltre al quale il modulo della FdT è costante su tale diagramma, è a circa.6 olte la fondamentale e la prima armonica è a 3 olte la fondamentale. In pratica tutte le armoniche presenti sulla tensione su _ sono riportate in uscita con un rapporto pari a quello delle resistenze _/_ e che ale. β β

5 Stabilizzazione dell'mpiezza nell'oscillatore a Ponte di Wien leopoldo rossetto - 5 sett. 00 Per migliorare la situazione è anche possibile modificare lo schema nel modo mostrato in Fig.6 doe si sfrutta l'effetto filtrante della rete di Wien per ottenere un segnale a distorsione inferiore. La nuoa uscita out presenta ancora la stessa ampiezza di segnale alla componente fondamentale in quanto i due amplificatori hanno lo stesso guadagno sulla tensione presente agli ingressi inertenti. Però questa tensione è meno corrotta dalla presenza del generatore I. La nuoa funzione di trasferimento risulta: W ( s) sc + ( sc) che presenta un solo zero nell'origine e quindi il suo modulo continua a diminuire all'aumentare della frequenza e le armoniche in uscita engono attenuate in modo proporzionale al loro ordine. Il risultato di una simulazione di ponte di Wien progettato secondo i criteri appena esposti, è riportato in Fig.7. Si ede la tensione sulla uscita a bassa distorsione out e la tensione differenza fra le due uscite (bassa distorsione e uscita naturale), amplificata di 0 olte. Questa differenza mostra la cancellazione della componente fondamentale, praticamente coincidente per le due uscite, mentre mostra un residuo sostanzialmente di terza armonica che è presente sull'uscita naturale dell'oscillatore a ponte di Wien e non sulla nuoa uscita. Esistono molte arianti dell'oscillatore a ponte di Wien che sono intese a migliorarne le prestazioni, ma, generalmente sono tutte facilmente riconducibili alla topologia di base. Lo stesso si può dire per il circuito di limitazione del guadagno e quindi anche la teoria di analisi proposta con questo laoro può facilmente essere estesa anche a situazioni dierse. Fig.6 - Schema dell'oscillatore a ponte di Wien con rete di stabilizzazione dell'ampiezza e con uscita a bassa distorsione

6 Stabilizzazione dell'mpiezza nell'oscillatore a Ponte di Wien leopoldo rossetto - 5 sett. 00 Fig.7 - Tensione di uscita dell'oscillatore a ponte di Wien (out_) e differenza fra la tensione fra l'uscita a bassa distorsione e quella "naturale". Questa tensione è amplificata di 0 olte (0(out- - out_)).

7 Stabilizzazione dell'mpiezza nell'oscillatore a Ponte di Wien leopoldo rossetto - 5 sett PPOFODIMETI Linearizzazione della caratteristica Per aere una linearizzazione della cura per piccoli alori di b si può deriare l'espressione troata in precedenza ottenendo: 4 π b ( ) b b che, come mostrato in Fig.5, ale circa -.5 per b prossimi a zero. Tale espressione può quindi essere approssimata dall'equazione:. 5 alida per tensioni di zener non superiori al 30% della tensione ai capi del circuito di limitazione. b y i bi Fig.5 - alutazione della pendenza della cura di Fig Criteri di progettazione el progetto così definito dee essere scelta (punto ) la tensione di zener z. E' interessante aere un criterio per la sua scelta. isulta coneniente che tale scelta sia per alori di tensione possibilmente bassi (rispetto a ) in base alle seguenti considerazioni:. Il alore di equi non dipende dalla tensione degli zener ma solo da _ ed _. Di conseguenza anche la corrente I dipende solo dalla scelta di _ ed _.. E' coneniente che la componente I sia il più piccola possibile per aere meno distorsione sulla tensione di uscita 3. Dai punti precedenti risulta coneniente che il rapporto I / I sia massimo cioè che la corrente sugli zener sia il più sinusoidale possibile e questo si ottiene se la caduta sugli zener è minima e quella su _ è massima.

8 Stabilizzazione dell'mpiezza nell'oscillatore a Ponte di Wien leopoldo rossetto - 5 sett. 00 Come si edrà a bree, il alore minimo di risulta limitato dal fatto di aere fissato il guadagno massimo per consentire di far funzionare il circuito anche in considerazione delle tolleranze dei componenti e della non idealità dell'amplificatore operazionale. Finché < gli zener sono spenti e il guadagno dell'amplificatore risulta massimo e tale condizione è necessaria per far iniziare l'oscillazione. Il guadagno ale: _ max + + β + β doe rappresenta l'incremento di _ dal suo alore nominale _ che fornisce l'aumento di guadagno necessario ad iniziare l'oscillazione. Il suo alore risulta: β _ max Fissato il alore di β, si può ottenere il alore della equi che garantisce l'oscillazione sapendo che il suo parallelo con dee alere : equi β β Scegliendo ora il rapporto / si impone, dal grafico di Fig. 4, il rapporto _ / equi dal quale il alore di risulta: concludendo così il progetto. _ equi _ β β Fissati ora i alori di,,, si può determinare l'andamento del guadagno (riferito alle sole componenti fondamentali di tensione e di corrente) al ariare dell'ampiezza del segnale di uscita. Tale guadagno sarà maggiore di 3 per ampiezze prossime a zero, e sarà minore di 3 per alori eleati di. + // equi equi ( β + β β β ) // β + β + ( β ) L'andamento del guadagno è infine riportato in Fig.6 sempre al ariare del rapporto b fra la tensione di zener z e l'ampiezza della tensione. Si ede che per alori eleati di, il alore di b è basso e il guadagno risulta inferiore a 3. iceersa il guadagno aumenta per alori bassi di. L'ampiezza (stabile) dell'oscillazione sarà quindi in corrispondenza del punto di intersezione fra le due cure di Fig. 6.

9 Stabilizzazione dell'mpiezza nell'oscillatore a Ponte di Wien leopoldo rossetto - 5 sett. 00 Fig.6 - ndamento del guadagno in funzione del rapporto b fra la tensione di zener z e l'ampiezza della tensione (K0.6, β.) Dalle precedenti equazioni si troa che i alori minimo e massimo del guadagno risultano: _ min _ max + β + β + ( β ) tali alori deono essere in grado di coprire le ariazioni di guadagno richieste dal fatto che i componenti utilizzati nella realizzazione dell'oscillatore a ponte di Wien non sono ideali e quindi la condizione di oscillazione richiederà un alore di guadagno dierso da quello teorico (3). olendo porre una ariazione simmetrica δ di guadagno attorno al alore nominale dee risultare: _ max _ min + β 3 ( + δ ) + β 3 ( δ ) + ( β ) ricaando δ dalla prima equazione e sostituendolo nella seconda, risulta δ ( β ) 3 _ + β 3 ( ( β )) + ( β ) 3 da cui β 4 Quindi, per aere una escursione simmetrica del guadagno intorno al suo alore teorico, il rapporto fra la tensione di zener z e l'ampiezza della tensione risulta inferiore a / e tanto più basso quanto è alto il alore massimo del guadagno che si sceglie. Si ossera che potrebbe non essere possibile garantire una escursione simmetrica del guadagno intorno al alore teorico