La formula del binomio

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1 La formula del biomio Ua spiegazioe elemetare Riccardo Dossea 7 dicembre 5 I questo articolo vogliamo presetare ua dimostrazioe elemetare, che eviti espliciti riferimeti di carattere combiatorio, della formula del biomio di Newto: p` Bq ÿ B ` B ` B `... ` B. Questa formula viee di solito icotrata dagli studeti del primo ao della scuola superiore, ella fase iiziale di acquisizioe delle teciche di maipolazioe algebrica. Tuttavia, la preseza dei coefficieti biomiali rede problematica la spiegazioe del motivo per cui la formula fuzioa. I coefficieti biomiali vegoo costruiti attraverso il Triagolo di Tartaglia, ma i geere ci si accoteta di ua spiegazioe empirica, come si può trovare i [, pp ]. La spiegazioe che proporremo el seguito trae sputo da quato esposto i [, cap. ] e lega la costruzioe del Triagolo di Tartaglia direttamete al problema della poteza del biomio. Osserviamo iazitutto che, dimostrado prelimiarmete la formula semplificata ÿ p ` q ` ` `... ` possiamo facilmete ricodurci al caso geerale. Ifatti ˆ p` Bq ` B ÿ B ÿ () B. Focalizzeremo quidi la ostra attezioe solo sulla formula ( ). Comiceremo la ostra aalisi co u esempio, da cui cercheremo di ricavare cosiderazioi di carattere geerale. U primo esempio: il cubo del biomio Scriviamo lo sviluppo del cubo del biomio p ` q e aalizziamo la struttura formale del risultato, teedo traccia di tutti i fattori e che itervegoo elle moltiplicazioi seza eseguire le somme. Otteiamo p ` q p ` q p ` q p ` q ` ` ` B ` ` B ` ` () B

2 dove abbiamo cotrassegato co la stessa lettera gli addedi ( moomi simili) che potrebbero essere sommati. Per capire appieo la struttura, osserviamo che lo sviluppo ( ) è formato da addedi costituiti ciascuo da fattori ( i umero cioè pari al valore dell espoete): il primo proveiete dal primo p ` q, il secodo dal secodo p ` q e il terzo dal terzo p ` q. È possibile dare ua rappresetazioe grafica dello sviluppo ( ) attraverso lo schema ad albero seguete. Ogi addedo viee formato, partedo dalla radice, immagiado di cammiare lugo u percorso discedete che cogiuge i odi della figura. l primo passo, dopo lo, possiamo procedere verso siistra oppure verso destra ( operado ua scelta fra e, rispettivamete, che cosideriamo come primo fattore). Giuti al secodo odo, possiamo procedere di uovo verso destra o verso siistra, e così di seguito fio a giugere ad uo dei odi fiali. Dal secodo odo i poi, ogi volta che procediamo per u tratto verso siistra eseguiamo ua moltiplicazioe per e ogi volta che procediamo per u tratto verso destra eseguiamo ua moltiplicazioe per. Il moomio idicato el odo di arrivo è proprio il risultato della moltiplicazioe effettuata lugo il percorso. Chiameremo questi percorsi discedeti cammii miimi associati al moomio di arrivo. Si oti che tutti i cammii miimi associati a uo stesso moomio soo formati dallo stesso umero di tratti destri (corrispodeti alle moltiplicazioi per ) e siistri (corrispodeti alle moltiplicazioi per ). Così, ad esempio, i moomi cotrassegati co B ello sviluppo () (cioè i moomi ) vegoo rispettivamete otteuti tramite le moltiplicazioi relative ai percorsi delle figure, e. Figura : Il cammio miimo corrispodete al prodotto. Il cubo di p ` q verrà scritto ifie p ` q ` ` `

3 Figura : Il cammio miimo corrispodete al prodotto. Figura : Il cammio miimo corrispodete al prodotto.

4 dove i coefficieti da assegare ai moomi,, e corrispodoo al umero di tutti i cammii miimi associati ai moomi stessi. Nel caso cosiderato di, i cammii miimi soo apputo. Il caso geerale Quato detto si geeralizza al caso della poteza p ` q. I moomi che compaioo ello sviluppo del prodotto p ` q p ` q p ` q... p ` q -esimo soo,,,..., e ciascuo di essi può essere otteuto i più modi, corrispodeti ai diversi cammii miimi che dallo portao allo stesso moomio ( dopo aver percorso esattamete tratti). Si itede sempre di moltiplicare per se si scede di u tratto verso siistra e per se ivece si scede di u tratto verso destra. Il coefficiete di ciascu moomio si forma cotado tutti i cammii miimi ad esso associati. tratto tratto... tratto I coefficieti di,,,..., si chiamao coefficieti biomiali e vegoo idicati rispettivamete co i simboli,,,...,. Possiamo dire allora che coefficiete di ello sviluppo della poteza p ` q e seguedo l iterpretazioe che abbiamo adottato Notiamo che si ha sempre umero dei cammii miimi che dallo portao al odo ello sviluppo della poteza p ` q. e dato che soo uici i cammii miimi che permettoo di giugere a e a. Possiamo duque scrivere p ` q ` ` `... `. 4

5 Come costruire i coefficieti biomiali Si tratta ora di trovare u modo per calcolare i coefficieti `, cioè u metodo per eseguire il coteggio dei vari cammii. Scriviamo i corrispodeza di ogi odo dello schema il umero dei percorsi discedeti co cui tale odo può essere raggiuto a partire dallo. Per i primi percorsi, corrispodeti alle poteze,,, è facile. tratto tratto tratto Notiamo esplicitamete che lo schema utilizzato per i coefficieti della poteza cotiee ache gli schemi da utilizzare ei casi ed ( basta fermarsi alle righe precedeti). I particolare, si può osservare che il umero assegato a u determiato odo dipede dal umero assegato ai odi immediatamete superiori. Nell esempio che segue, per raggiugere il odo C dobbiamo passare ecessariamete attraverso il odo oppure attraverso il odo B: B C... e dato che da a C vi è u solo possibile tratto, il umero dei percorsi per raggiugere C attraverso è pari esattamete ad. Stesso discorso per raggiugere C da B. Si ha duque che C ` B B ` B... Questa proprietà ci permette di costruire uo schema geerale dei coefficieti biomiali, che può essere utilizzato per comporre la formula di qualsiasi poteza del biomio p ` q. Per completezza possiamo iserire ache il umero al posto dello, perché baalmete esiste u solo modo di giugere i tale odo ( ovvero rimaere fermi). Lo schema otteuto è, aturalmete, il Triagolo di Tartaglia ( figura 4). Per scrivere, ad esempio, la formula dello sviluppo di p`q 5, possiamo utilizzare i coefficieti della riga 5: p ` q 5 ` ` ` ` 4 ` ` 5 ` ` ` 5 4 ` 5. Ua volta compreso il meccaismo di costruzioe dei coefficieti biomiali, si può arrivare facilmete ache alla formula geerale dello sviluppo di p` Bq 5 : p` Bq 5 5 ` 5 4 B ` B ` B ` 5B 4 ` B 5. Idichiamo, qui e el seguito, co, B e C sia i umeri assegati ai odi che i odi stessi. 5

6 ` ` ` ` ` ` Figura 4: Il Triagolo di Tartaglia i relazioe ai coefficieti biomiali. 4 U altra iterpretazioe dei coefficieti biomiali Vediamo come el diagramma ad albero relativo al biomio p ` q 5 possiamo associare ad ogi cammio miimo u sottoisieme di t,,, 4, 5u. Focalizziamo l attezioe ad esempio sul coefficiete di, che rappreseta il umero di cammii miimi che dallo portao a, e cosideriamo uo di questi cammii, ad esempio quello evideziato ella figura seguete. 4 5 Esso corrispode al prodotto. Possiamo associare a questo cammio miimo l isieme t,,5u, ossia l isieme dei umeri che ci idicao quali soo i tratti destri, cioè i fattori del prodotto ( che i questo caso soo tre). llo stesso modo potremmo cosiderare u altro isieme, per esempio t,, 4u, a cui è associato il cammio miimo del prodotto ( primo tratto destro, secodo destro, terzo siistro, quarto destro, quito siistro), e così via. Si capisce che ad ogi sottoisieme di cardialità dell isieme t,,,4,5u corrispode u be preciso cammio miimo che porta a, e viceversa. Quidi possiamo certamete dire che il coefficiete biomiale, oltre a rappresetare il umero di cammii miimi che portao a el diagramma del biomio co espoete 5, rappreseta ache il umero di tutti i possibili sottoisiemi di cardialità che si possoo estrarre da u isieme di cardialità 5. Il discorso è facilmete geeralizzabile e porta alla seguete importate iterpretazioe dei coefficieti biomiali: umero dei sottoisiemi di cardialità di u isieme di cardialità. 6

7 Il passo ulteriore, sebbee o ecessario, dovrebbe essere quello della costruzioe di ua formula esplicita per `. Questo però potrà essere rimadato ad u opportuo mometo successivo i cui si parlerà di calcolo combiatorio. Gli studeti avrao comuque già cosapevolezza del sigificato dei coefficieti biomiali. Riferimeti bibliografici [] Dodero, N., Barocii, P. e Mafredi, R., NELL matematica, lgebra, Volume, Ghisetti e Corvi, Milao, 8. [] Polya, G., Mathematical Discovery: O Uderstadig, Learig ad Teachig Problem Solvig, Volume, Joh Wiley & Sos, Uiversity of Miesota, 96; trad. it. La scoperta matematica. Capire, imparare e isegare a risolvere i problemi, Volume, Feltrielli, Milao, 97. 7

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