Linguaggi formali e compilazione

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1 non Linguggi formli e compilzione Corso di Lure in Informtic A.A. 2014/2015

2 Linguggi formli e compilzione non non

3 Contenuti di quest prte del corso Descriveremo gli utomi stti finiti, importnti strumenti modellistici che trovno mplissim ppliczione in molti settori dell Informtic Un numero elevto di strumenti di uso quotidino sono (o sono modellili come) utomi stti finiti: lvtrici e lvstoviglie, distriutori di cie e evnde, sistemi di controllo degli scensori, distriutori utomtici di crurnte,... L ppliczione che più ci interess in questo corso è reltiv l riconoscimento di linguggi regolri (più precismente, l interpretzione di e.r.) Vedremo revemente un strumento utomtico (Lex) di iuto nell relizzzione di compiltori, oltre che di ppliczioni utonome specilizzte non

4 Definizione informle Un utom stti finiti deterministico (ASFD), può essere visto come un clcoltore elementre dotto di stto interno e supporto unidirezionle di input Il funzionmento dell utom consiste di trnsizioni di stto seguito dell lettur di un simolo d un dispositivo di input Ad ogni stto q sono in generle ssocite zioni (come l stmp di messggi) che l utom esegue qundo trnsit in q non

5 Un primo esempio (concreto m molto semplificto) Un distriutore erog un dto prodotto l prezzo di 1 euro. Il distriutore ccett monete d 50 centesimi e d 1 euro e può dre il resto Il funzionmento è modellile come ASFD con 2 soli stti Ingressi Stto ttule 50c 1e Resto A B A A 0 Prodotto 0 B A B A Prodotto Prodotto 50c non

6 Descrizione formle Un ASFD M è un quintupl M = (Σ, Q, q 0, Q f,δ), non in cui - Σ è l lfeto di input - Q è un insieme finito i cui elementi sono detti stti dell utom - q 0 è un elemento specile di Q, detto stto inizile - Q f Q è l insieme degli stti finli, detti nche di ccettzione dell input - δ è l funzione che determin le trnsizioni di stto. Ess mpp coppie stto, simolo in stti: δ : Q Σ Q

7 Computzioni di un utom Definiili in modo intuitivo come sequenz di pssi Ad ogni psso, l utom si trov in uno stto q (inizilmente q = q 0 ), legge un simolo x dll input e trnsit nello stto δ(q, x) L computzione termin l verificrsi di un delle seguenti situzioni: mncnz di input non vi sono più simoli di input, oppure trnsizione non specifict in corrispondenz dello stto ttule e del simolo letto, l funzione di trnsizione non è specifict Il numero di trnsizioni effettute prim dell terminzione è detto lunghezz dell computzione e ne rppresent un misur del costo non

8 Rppresentzione di utomi Un utile formlismo (molto diffuso perché intuitivo ) è quello dei digrmmi di trnsizione Un digrmm di trnsizione è un grfo i cui nodi ed rchi rppresentno, rispettivmente, stti e trnsizioni Ogni rco è etichettto d un simolo di input non Lo stto inizile viene evidenzito medinte un frecci entrnte (e non uscente d lcun ltro nodo) Gli stti finli sono indicti trmite doppi cerchitur oppur d un frecci uscente (e non entrnte in lcun ltro nodo)

9 Esempio introduttivo Il lupo, l pecor e il cvolo p u ulpc- lc-up ulc-p p u c l l c c-ulp l-upc p p p p upc-l c ulp-c p u c l l -ulpc up-lc p-ulc p u Esempio trtto d Hopcroft, Ullmn (1979) non

10 Automi riconoscitori di linguggi Un ASFD riconosce (o ccett) un string X in input se l computzione determint di crtteri di X termin in uno stto di Q f per mncnz di input Un ASFD M riconosce un linguggio L se e solo se L coincide con l insieme delle stringhe riconosciute d M Ad esempio, nel cso del semplice rompicpo Lupo, pecor e cvolo, l sequenz (string di input) pulpcup è riconosciut dll utom, mentre l stringpulcpup non lo è non

11 Esempi Il seguente ASFD M 5 riconosce il linguggio L 5 = { n m n, m 0} = 0 1 non Il seguente ASFD M 3 riconosce il linguggio L 3 = {01 k 0 k 0} = Esiste un utom più semplice per L 3?

12 Esempi Il seguente ASFD M 2 riconosce il linguggio L 2 = {X B : X = 2} non Il seguente ASFD M prity riconosce il cosiddetto linguggio prità, ovvero l insieme delle stringhe X B che contengono un numero pri di

13 Rppresentzione di un ASFD L rppresentzione di un ASFD coincide essenzilmente con l rppresentzione dell funzione di trnsizione δ Quest può essere semplicemente dt come tell, con m = Q righe ed n = Σ colonne Il consumo di memori Θ(nm) può essere eccessivo se dll mggior prte dei nodi del grfo di trnsizione escono reltivmente pochi rchi Tuttvi, lmeno per il momento, non ci interessimo l prolem dell efficienz non

14 Simulzione di utomi L simulzione del comportmento di un ASFD M = (Σ, Q, q 0, Q f,δ) è prticolrmente semplice L lgoritmo riceve in ingresso M e l input X per M e produce l output che dree M su input X L lgoritmo presentto nell dipositiv seguente si riferisce ll simulzione di un generico utom riconoscitore Nell descrizione dell lgoritmo (in pseudocodice) si suppone che: l input X si terminto dl crttere $ tle crttere non pprtiene ll lfeto Σ dell utom se, per un determint coppi stto-simolo, q, x, l funzione di trnsizione è indefinit, si pone δ(q, x) = non

15 Simulzione di un ASFD: lgoritmo ASFD-Sim 1: q q 0 2: x nextchr(x) 3: while (x $) do 4: if δ(q, x) then 5: q δ(q, x) 6: else 7: reject 8: x nextchr(x) 9: if q Q f then 10: ccept 11: else 12: reject non

16 Simulzione di utomi Si noti che l lgoritmo è un vero e proprio interprete, ncorché molto semplice Inftti, esso prende in input un progrmm M (l utom) e un input X per il progrmm, ed esegue M su input X È fcile convincersi del ftto che il costo dell simulzione è linere nell lunghezz dell input ( ptto che si poss considerre costnte il costo di vlutzione dell funzione δ, che tipicmente viene implementt medinte un tell) non

17 Qulche esercizio non Per ciscuno dei seguenti linguggi, si fornisc un ASFD che riconosce il linguggio { X X {0,1}, X non contiene0dicenti } { X X {0,1}, ogni sottostring di lunghezz 3 in X { contiene lmeno due 1} X X {,,c}, due qulsisi crtteri dicenti in X sono fr loro differenti}

18 Espressioni regolri e utomi Dt un espressione regolre E, è possiile definire un utom M(E) che riconosce il linguggio definito d E, e vicevers Riconsiderimo qulche esempio già visto non Il linguggio L 5 = e l utom M Il linguggio L 3 =01 0 e l utom M

19 Espressioni regolri e utomi Il linguggio L 2 = (0+1)(0+1) e l utom M 2 non Il linguggio prità, L prity =0 (10 10 ), e l utom M prity Qule utom corrisponde ll espressione regolre c +c?

20 Automi non Dt un espressione regolre E, imo detto (nche se non dimostrto) che esiste un utom M(E) d ess equivlente, cioè che riconosce lo stesso linguggio definito dll espressione L trsformzione d espressione d utom si può utomtizzre e tle utomtizzzione risult più fcile se l si suddivide in due pssi: dll espressione regolre d un utom non deterministico equivlente dll utom non deterministico ll utom deterministico equivlente non

21 Definizione di utom non deterministico Un utom stti finiti si dice non deterministico (ASFND) se, in lmeno uno stto q, l trnsizione non è univocmente determint dl simolo di input In ltri termini, dllo stto q e con lo stesso simolo di input l utom può trnsitre non deterministicmente in più di uno stto diverso Nell definizione formle cmi solo l funzione di trnsizione, che, in un ASFND, mpp coppie stto,simolo in sottoinsiemi (nziché elementi) di Q non

22 Esempi Il seguente utom è non deterministico perché nello stto 0 ci sono due trnsizioni etichettte con il simolo1 non In ltri termini, l funzione di trnsizione mpp l coppi 0, 1 nell insieme {0, 1} Un ltro esempio di ASFND:

23 Riconoscimento di stringhe d prte di un ASFND Si dice che un ASFND M riconosce un string X se e soltnto se esiste un sequenz di trnsizioni etichettt con i simoli di X che termin in uno stto finle È fcile vedere che il primo utom dell precedente trsprenz riconosce l string in input solo se quest termin con1 Si può nche fcilmente dimostrre che, per ogni tle string, esiste un sequenz di trnsizioni (mosse) che port l utom nello stto 1 Possimo quindi concludere che l utom riconosce il linguggio(0 1) 1 non

24 Riconoscimento di stringhe d prte di un ASFND (continu) non Si noti come nello stto 0, e con input1, l utom de decidere non deterministicmente se trnsitre nello stto 1 o restre nello stto 0 Questo equivle dire che l utom deve decidere se è stto letto l ultimo crttere1 L utom del secondo esempio riconosce invece il linguggio ( ) Nello stto 0 e su input, l utom deve decidere se quell ppen lett è l ultimnell string di input

25 Qulche riflessione prim di procedere Alle lterntive non-deterministiche non è ssocit lcun misur di proilità Il non-determinismo può essere visto come un modello per l descrizione di prolemi, i quli non sempre corrisponde un soluzione lgoritmic efficiente (not) Ci sono lmeno due modi per immginre un computer non-deterministico, ovvero un mcchin che rend nturle (ed efficiente) l risoluzioni di prolemi descritti in modo non-deterministico: supporre che l mcchin, post di fronte d un scelt non deterministic, zzecchi sempre l moss giust (mcchin fortunt) supporre che l mcchin poss eseguire in prllelo tutte le computzioni originte dlle vrie opzioni non-deterministiche Nel cso del riconoscimento di linguggi regolri, l second opzione è in qulche modo trduciile in un lgoritmo deterministico efficiente non

26 -trnsizioni Un prticolre form di non determinismo è dt dlle cosiddette -trnsizioni, cioè trnsizioni che mppno elementi di Q {} in Q Il concetto si cpisce ene osservndo il digrmm di trnsizione: se l rco che colleg due nodi q ed r è etichettto d, llor l utom può pssre d q d r senz consumre input Il seguente digrmm costituisce un primo esempio di ASFND con -trnsizioni non

27 Equivlenz di ASFD e ASFND Un risultto fondmentle nell teori degli utomi (con importnti ripercussioni nche nell costruzione di compiltori) fferm che, se un linguggiol è riconosciile d un ASFND, llor L è riconosciile d un ASFD che impieg essenzilmente lo stesso tempo Nturlmente il vicevers è nlmente vero, in qunto gli utomi non generlizzno quelli Il risultto citto (che dimostreremo) prov quindi che utomi finiti e non sono equivlenti non

28 Primi esempi Automi equivlenti i primi ASFND visti come esempio sono illustrti di seguito Automi che riconoscono il linguggio(0 1) 1: Autom non deterministico non Autom deterministico equivlente Automi che riconoscono il linguggio( ) Autom non deterministico

29 L costruzione dell utom deterministico: idee Gli esempi ppen visti sono stti costruiti in modo d-hoc Ciò di cui imo isogno è invece di un processo utomtizzile per pssre d un ASFND N d un ASFD D equivlente d N. Il processo di costruzione che vedremo è noto come suset construction L ide è semplice: dto N, l utom equivlente in qulche modo simul N tenendo trcci degli stti in cui può trovrsi N dopo ver letto i simoli di input (i = 0, 1,...) non

30 L costruzione dell utom deterministico: idee (continu) Se Q è l insieme degli stti di N, llor dopo l lettur di i simoli l utom può trovrsi (in line di principio) in uno qulunque degli stti di Q Ad esempio, supponimo che Q = {0, 1, 2, 3} e che, dopo ver letto due simoli in input, N poss trovrsi indifferentemente (o meglio, non deterministicmente) nello stto 1 oppure nello stto 3 In questo cso, l utom deterministico equivlente D vrà, fr gli ltri, uno stto che corrisponde l sottoinsieme {1, 3} Ovvimente, se Q = m llor il numero di stti distinti di D srà l più 2 m non

31 Suset construction Si N = (Σ, Q, q 0, Q f,δ) un dto ASFND e si D = (Σ, DS, DQ 0, DQ f, DT) l utom equivlente (che ndremo costruire). L costruzione mostr come sono definite le vrie componenti di D (l lfeto di input Σ è nturlmente lo stesso) L costruzione procede ggiungendo nuovi stti ll insieme DS sull se delle trnsizioni che sono possiili, in N, sui vri simoli di input Il primo stto che viene ggiunto DS rppresent lo stto inizile, q 0, di N unitmente tutti gli stti che sono rggiungiili d q 0 senz leggere simoli dll input non

32 Suset construction (continu) L insieme di tutti gli stti rggiungiili d uno dto stto q medinte -trnsizioni (incluso q stesso) viene indicto con -CLOSURE(q) (-chiusur di q 0 ) L -CLOSURE(q 0 ) rppresent dunque, in D, l insieme degli stti nei quli può trovrsi N senz ver letto lcun simolo di input In questo modo imo un primo elemento in DS e il processo continu esminndo gli stti già inseriti in DS L -CLOSURE(q 0 ) è nche lo stto inizile (che imo indicto con DQ 0 ) di D Si noti che, se Q è un insieme di stti, possimo definire -CLOSURE(Q) in modo molto nturle come segue: -CLOSURE(Q) = Q ( ) -CLOSURE(q) q Q non

33 Suset construction (continu) Considerimo or un generico stto Q = {q 1, q 2,...q k } DS che non si ncor stto esminto, dove nturlmente i q j sono stti di N non Per ogni simolo x Σ formimo dpprim l insieme Q degli stti nei quli può trnsitre N prtendo d uno stto degli stti q j Q seguito dell lettur di x In formule: Q = δ(q 1, x)... δ(q k, x) Viene l tentzione di ffermre che in questo modo imo ottenuto un ltro stto d ggiungere DS (Q ppunto), m c è ncor qulcos di cui tenere conto

34 Suset construction (continu) Inftti, dopo ver eseguito un trnsizione d q j δ(q j, x), N potree, senz leggere ulteriori simoli, muoversi su uno stto collegto δ(q j, x) medinte -trnsizioni Quel che doimo fre è dunque considerre l unione di tutti gli stti contenuti nelle -CLOSURE degli stti di Q M quest è esttmente l -CLOSURE(Q ) non Questo è precismente il nuovo stto che viene ggiunto DS (sempre che non si già presente) Inoltre si pone DT(Q, x) = -CLOSURE(Q )

35 Suset construction (continu) Come già osservto, il processo v vnti finché esiste lmeno uno stto di DS che non si ncor stto esminto non Aimo comunque l certezz che il processo di ggiunt di stti termini perché il numero di sottoinsiemi distinti di stti di N è finito (l più ggiungeremo 2 m stti) Come ultimo psso doimo individure quli sino gli stti terminli di D Questi srnno tutti e soli gli stti che contengono lmeno uno stto finle di N : si pone cioè DQ f = {DQ DS q DQ t. c. q Q f }

36 Esempio di suset construction Considerimo il seguente utom non deterministico, già introdotto proposito delle -trnsizioni: non Se indichimo con A lo stto inizile di D, vremo A = {0, 1, 8} Si noti inftti che {0, 1, 8} = -CLOSURE(0)

37 Esempio di suset construction (continu) non Esminimo or, prtire dgli stti di A, in quli stti si rriv su input. Tli stti sono dpprim 2 e 3 m poi, considerndo le -trnsizioni, nche gli stti 4 e 8 (vle cioè -CLOSURE({2, 3}) = {2, 3, 4, 8}) Ponimo quindi B = {2, 3, 4, 8} e DT(A,) = B L nlisi di A è termint perché di corrispondenti stti di N non esce lcun trnsizione etichettt

38 Esempio di suset construction (continu) non Lo stto 4 B è l unico d cui si diprte un trnsizione etichettt con D esso si può ritornre nello stto 2 e quindi, medinte -trnsizioni, si può tornre nuovmente in 4 oppure in 8 (cioè -CLOSURE({2} = {2, 4, 8}) Ponimo quindi C = {2, 4, 8} e DT(B,) = C Anlogmente, considerndo il crttere di input, vremo ncor un nuovo stto di D, e precismente D = {5, 6, 7} e DT(B,) = D

39 Esempio di suset construction (continu) non Continundo in questo modo introducimo dpprim l trnsizione DT(C, ) = C; quindi lo stto E = {8} e l trnsizione DT(D,) = E; quindi lo stto F = {5, 6, 7, 8} e l trnsizione DT(D,) = F; quindi l trnsizione DT(F,) = E; infine l trnsizione DT(F,) = F.

40 Esempio di suset construction (continu) L utom D risultnte è: C F non A B dove D E A = {0, 1, 8} B = {2, 3, 4, 8} C = {2, 4, 8} D = {5, 6, 7} E = {8} F = {5, 6, 7, 8}

41 Implementzione dell suset construction Doimo dpprim decidere come rppresentre i sottoinsiemi di Q, cioè gli elementi di DS Ad esempio, potremmo utilizzre itmp di Q posizioni e rppresentre uno stto medinte un punttore ll opportun itmp non A B C D E F

42 Implementzione dell suset construction (continu) non Ogni stto deve inoltre poter essere etichettto con un indictore inrio (dicimo inco e nero) Doimo quindi relizzre l struttur dti DS che contiene gli stti e un struttur dti (che srà un tell) che rppresent l funzione di trnsizione di D Per qunto rigurd DS, dicimo solo che ess deve prevedere operzioni di inserimento e ricerc di stti inchi L dipositiv seguente illustr l lgoritmo

43 Algorithm 1 Suset construction 1: Inserisci -CLOSURE(q 0 ) in DS e colorlo di inco 2: while esiste uno stto inco S in DS do 3: color S di nero 4: for ll x Σ do 5: T {} 6: for ll q S do 7: T T δ(q, x) 8: T -CLOSURE(T) 9: if T DS then 10: inserisci T in DS e colorlo di inco 11: poni DT[S, x] = T non

44 Algorithm 2 Clcolo dell -CLOSURE(T) 1: for ll q T do 2: inserisci q in un pil 3: Poni -CLOSURE(T) T 4: while L pil non è vuot do 5: estri q dll pil 6: if δ(q,) e δ(q,) = {q 1,..., q k } then 7: for i = 1,...,k do 8: if q i -CLOSURE(T) then 9: -CLOSURE(T) {q i } -CLOSURE(T) 10: inserisci q i sull pil non

45 Un ultim osservzione sull efficienz dell simulzione Aimo già osservto come il numero di trnsizioni di stto di un utom M si un uon misur del tempo di clcolo speso d M su un dto input Un utom non deterministico che ricev in input un string di lunghezz n esegue, se l string è riconosciut, lmeno n trnsizioni di stto Le trnsizioni possono essere di più, se qulcun è etichettt con Un utom deterministico equivlente sullo stesso input eseguirà esttmente n trnsizioni di stto Ne consegue quindi che l utom deterministico non è meno efficiente dl punto di vist del tempo Il consumo di spzio, invece (ncorché sempre indipendente dll dimensione delle stringhe in input) può invece essere decismente più elevto non