Trasformazione di un albero in un albero Binario R/B.

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1 Trasormaioe di u albero i u albero Biario R/B. Sia T u B-albero di grado 2 (detto ache albero). La seguete oeraioe ricorsiva trasorma T i u BST co i odi colorati di rosso (Red) o ero (Black). Se T e vuoto ritora la setialla oglia_null colorata di ero; altrimeti sia v la radice di T, ci soo tre ossibilita : 1) v cotiee ua sola chiave k e due igli e, allora l oeraioe viee alicata ricorsivamete ai due igli roducedo bi() e bi(). Viee quidi creato u odo di colore ero, co chiave k e igli bi() e bi(). k k (sbilaciameto a siistra): let[1] bi(), right[1] bi(), let[2] 1, right[2] bi(), color[1] Red, color[ 2] Black. 1 bi() bi() 2 bi() bi() bi() 2) v cotiee due chiavi e ed ha tre igli,, allora l oeraioe viee alicata ricorsivamete ai igli roducedo bi(), bi(), bi(). Vegoo quidi creati due uovi odi 1 ed 2, 1 co chiavi e risettivamete. Vegoo oi assegati i igli ed i colori i uo dei due modi segueti: (sbilaciameto a destra): let[1] bi(), right[1] 2, let[2] bi(), right[2] bi(), color[1] Black, color[ 2] Red. 1 3) v cotiee tre chiavi, e k3 ed ha quattro igli,,, T4 allora l oeraioe viee alicata ricorsivamete ai igli roducedo bi(), bi(), bi(), bi(t4). Vegoo quidi creati tre uovi odi 1, 2, ed 3; 2 ero, 1 ed 3 rossi co chiavi,, k3 risettivamete. Vegoo oi assegati i igli come segue: let[1] bi(), right[1] bi(), let[3] bi(), right[3] bi(t4), let[2] 1, right[2] 3. k3 T k3 3 bi() bi() bi() bi() bi() bi() bi(t4)

2 Alberi Red/Black U albero Red/Black è u albero biario di ricerca che soddisa la seguete rorietà R/B: come igli trasorma_rb(let []), trasorma_rb( let[right []]), trasorma_rb(right [right[]]). 1) Ogi odo ha associato u colore Red (rosso) o Black (ero). 2) Ogi odo ha ero o due igli che ossoo essere la setiella NULL (che chiamiamo oglia-null) il cui colore è Black. 3) Ogi odo Red ha etrambi i igli Black. 4) Per ogi odo vale la seguete rorietà: il umero di odi eri che si icotrao su di u cammio da ad ua oglia-null è idiedete dal cammio scelto. Fatto 1: Possiamo semre colorare la radice di u albero R/B di ero sea erdere la rorietà R/B. Caso 2 k3 k3 T4 Fatto 2: Possiamo deiire l altea era di u odo, idicata co bh(), come il umero di odi eri che si icotrao su di u cammio da ad ua oglia-null ( escluso). Questa è ua buoa deiiioe er il uto 4) della rorietà R/B. Caso 3 Fatto 3. Se T RB è l albero che si ottiee dalla traduioe di u albero 2-3-4, comletata co l iserimeto di tutte i odi oglia-null eri, allora T RB è u albero R/B. Proosiioe 1. Vi è ua corrisodea biuivoca tra alberi ed alberi R/B. Dimostraioe. Abbiamo gia visto come trasormare u albero i u albero R/B. Possiamo deiire ache ua trasormaioe iversa e mostrare come ogi albero R/B ossa essere trasormato i u albero Coloriamo di ero la radice e rocediamo ricorsivamete chiamado la rocedura trasorma_rb() così deiita: trasorma_rb() - se è ua oglia-null allora RETURN - se etrambi i igli di soo eri (caso 1) allora costruisci u odo di grado 2 che cotiee la chiave key[] ed ha come igli trasorma_rb([let[]) e trasorma_rb(right[]). - se etrambi i igli di soo rossi (caso 2) costruiamo u odo di grado 4 che cotiee le chiavi key[let[]], key[], key[right[] ed ha come igli trasorma_rb(let[let[]]), trasorma_rb(right[let[]]), trasorma_rb(let[right[]]), trasorma_rb(right[right[]]). - altrimeti se il iglio siistro di è rosso ed il iglio destro è ero (caso 3) allora costruiamo u odo di grado 3 che cotiee le chiavi key[let[]], key[] ed ha come igli trasorma_rb(let[let[]]), trasorma_rb(right[let[]]), trasorma_rb(right[]). - altrimeti se il iglio siistro di è ero ed il iglio destro è rosso (caso 4) allora costruiamo u odo di grado 3 che cotiee le chiavi key[], key[right[]] ed ha Caso 4

3 Proosiioe 4. L altea di u alberi R/B co odi è Θ(lg ). Dimostraioe. Sia h l altea dell albero R/B. Per la roosiioe recedete ogi albero R/B uo essere trasormato i u albero che cotiee lo stesso umero di chiavi e che ha altea H= Θ(lg ). La trasormaioe da albero R/B ad albero mostra ioltre che si ha: (h/2) H h. Pertato ache h= Θ(lg ). Il adre di è ero ma il ratello è rosso. Stiamo iseredo i u odo di grado 3 (dalla arte oosta allo sbilaciameto), er costruire il odo di grado 4 è suiciete colorare di rosso. Ricerca di ua chiave i u albero R/B La ricerca di ua chiave i u albero R/B è esattamete uguale alla ricerca i u BST. La comlessità è quidi O(h) e quidi O(lg ). Iserimeto i u albero R/B Dobbiamo iaitutto rocedere come er i BST i modo da iiiare l oeraioe di iserimeto semre a artire da ua oglia. Possiamo quidi oerare come se l iserimeto avveisse i u albero Per distiguere i vari casi tra di loro cosidereremo i colori dei odi areti del odo che stiamo iseredo, questo ci ermette iatti di stabilire se stiamo iseredo ua chiave i u odo di grado 2, 3 o 4. Sia il odo da iserire ed y suo adre; assumiamo che i igli di (all iiio sarao due ogle-null) siao alberi R/B le cui radici soo ere, che l altea era dell albero radicato i sia uguale all altea era del ratello di e che l itero albero sia u BST. Aaliiamo i ossibili casi: Il adre di è ero ed ache il ratello di è ero. Stiamo iseredo i u odo di grado 2. Per costruire u odo di grado 3 è suiciete colorare di rosso. Otteiamo ua delle due raresetaioi dei odi di grado 3 a secoda che stiamo iseredo alla siistra o alla destra del adre. Il adre di è rosso. Ci soo due ossibilità da cosiderare: stiamo iseredo i u odo di grado 3 (dalla arte sbilaciata) o i u odo di grado 4. Possiamo distiguere i due casi osservado il colore dello io di. Lo io di è ero. Stiamo iseredo i u odo di grado 3 (dalla arte dello sbilaciameto). Abbiamo 4 situaioi ossibili a secoda della raresetaioe del odo di grado 3 (sbilaciato a siistra o a destra) e del valore della chiave k da iserire. - Nel caso di sbilaciameto a siistra ed iserimeto alla siistra del adre la uova chiave è iu iccola di quelle già reseti e la chiave i osiioe t=2 è quella del adre. Alichiamo ua rotaioe a destra e oi colorado i odi i modo da otteere la raresetaioe di u odo di grado 4.

4 Lo io di è rosso. Stiamo iseredo i u odo di grado 4. Dobbiamo oerare lo slit e oi risalire verso la radice. Abbiamo 4 situaioi ossibili a secoda del valore della chiave k da iserire. Siao,, k3 le chiavi del odo del B-albero corrisodete. - Caso1: è il iglio siistro di suo adre che è a sua volta il iglio siistro del oo di. Siamo el caso k. I questo caso lo slit roaga verso la radice la chiave del adre di. Coloriamo di ero, ruotiamo a destra e rietiamo dall aalisi iiiale doo aver osto adre[]. - Nel caso di sbilaciameto a destra ed iserimeto alla destra del adre la uova chiave è quella che deve essere associata alla uova radice. Ua doia rotaioe (rima a siistra su adre[] e oi a destra su ) seguita da ricolraioe ci a otteere la corretta raresetaioe del odo di grado 4. I casi di sbilaciameto a siistra si trattao i modo duale.

5 - Caso2: è il iglio destro di suo adre che è il iglio siistro del oo di. Siamo el caso k. I questo caso lo slit roaga verso la radice la chiave k di. Per otteere l albero da roagare alichiamo due rotaioi (ua rima rotaioe a siistra sul adre di e oi ua a destra) ed ua ricoloraioe. - Caso3 e 4: il adre di è il iglio destro del oo di. Siamo el caso k k3 ( è il iglio sibistro di suo adre) o k3 k ( è il iglio destro di suo adre). I etrambi i casi lo slit roaga verso la radice la chiave del oo di. Coloriamo adre e io di di ero, di rosso e oiamo adre[adre[]]. Se adre[ ] = NIL allora coloriamo di ero ed abbiamo termiato, altrimeti rietiamo dall aalisi iiiale.

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