x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x = 35 q 2 = Me q 3 = x (8,25) = x (8) + 0, 25 ( x (9) x (8)

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Orlando Marrone
6 anni fa
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1 Esercitazione 4 ESERCIZIO Si considerino i seguenti 0 individui, per essi si osserva l'età. Si individuino mediana e quartili. x x 2 x 3 x 4 x x 6 x 7 x 8 x 9 x Ordiniamo la tabella in ordine crescente x ( x (2 x (3 x (4 x ( x (6 x (7 x (8 x (9 x (0 x i La mediana corrisponde a I quartili sono calcolati come ESERCIZIO 2 Si considerino i seguenti valori Me = x ( n+ 2 = x (, = x ( + 0, ( x (6 x ( =, q = x ( n+ 4 = x (2,7 = x (2 + 0, 7 ( x (3 x (2 = 3 q 2 = Me q 3 = x (8,2 = x (8 + 0, 2 ( x (9 x (8 = 8, x x 2 x 3 x 4 x , Calcolare la media aritmetica. Vericare la proprietà di internalità della media e la prima proprietà della media. Possiamo calcolare la media aritmetica come M = n x i = i= x i = i= ( , = 24, = 4, 9 La proprietà di internalità della media aritmetica implica che la media deve essere compresa tra il più piccolo valore osservato ed il più grande valore osservato applicando il risultato ai dati in analisi x ( M x (n x ( = 2 4, 9 7, = x (n quindi vale la proprietà di internalità. Prima proprietà della media aritmetica: la somma degli scarti (x i M è uguale a 0. Dai dati precedenti abbiamo che

2 i x i (x i M 2-2, ,9 3 0, 4 7 2, 7, 2,6 la somma degli scarti risulta essere (x i M = 2, 9, 9 + 0, + 2, + 2, 6 = 0 i= La prima proprietà della media è vericata. ESERCIZIO 3 Sono stati intervistati 7 responsabili acquisti e si è rilevata, tra le altre informazioni, la durata in giorni di un Kg di zucchero. I dati osservati sono i seguenti: d d 2 d 3 d 4 d d 6 d Osservando che il consumo giornaliero c i di un Kg di zucchero è dato da d i essendo di la durata dell'imo responsabile acquisti, si fornisca il consumo medio giornaliero che lascia inalterato il consumo globale giornaliero dei 7 responsabili acquisti. Individuare il tipo di media ottenuta in termini di consumi e il tipo di media ottenuta in termini di durate. i d i c i = d i 2 0, , , , , , ,067 Il consumo medio giornaliero che lascia inalterato il consumo globale degli acquisti si ottiene considerando che: c T OT = c i = (c c n = ( c c = n c da cui si ricava che i= c i = n c c = n i= la media individuata è quindi una media aritmetica dei consumi M c = c i = (0, , , , , , , 067 = n 7 i= i= c i 2

3 In termini di durate, mantenendo invariato il consumo, bisogna risolvere ( c T OT = = ( d = d i d d n d = n d dalla precedente si ricava che i= i= d i = n d d = n n i= d i La media delle durate che lascia invariato il consumo globale è la media armonica delle durate ESERCIZIO 4 M c = 7 7 d i= i = 7 ( = 37.9 Si consideri una popolazione suddivisa in tre gruppi. Si calcoli la media aritmetica di ogni gruppo e la media dell'intera popolazione. Si verichi la proprietà associativa della media aritmetica x A x B x C Posto n = numerosità del primo gruppo, n 2 = 4 numerosità del secondo gruppo, n 3 = 6 numerosità del terzo gruppo e n = numerosità totale, calcoliamo le medie aritmetiche dei tre gruppi distinti M ( = n M (2 = n 2 M (3 = n 3 n i= n 3 i= x A i = ( = (78 = 3, 6 n 2 i= la media dell'intera popolazione è pari a M = n x B i = 4 ( = (24 = 6, 2 4 x C i = 6 ( = (336 = 6 6 x i = ( = (79 = 0, 6 i= secondo la proprietà associativa, posto k = 3 il numero di gruppi dierenti M = n j= che corrisponde al valore precedente. n j M (j = ( 3, , = (79 = 0, 6 3

4 ESERCIZIO Nel comune di Milano, presso il quartiere Bicocca, sono state rilevate le temperature di una giornata ad intervalli regolari di 3 ore. La seguente tabella riporta i valori osservati espressi in gradi Celsius: i x i si calcoli la media aritmetica. Che valore assumerebbe la media aritmetica se le temperature fossero espresse in gradi Kelvin? E se fossero espresse in gradi Fahrenheit? Si discuta la natura del carattere e delle scale citate. x 6 = 2 C è il doppio di x 2 = 6 C? Si ricordano le relazioni esistenti tra le scale di misurazione della temperatura e che lo zero assoluto corrisponde a 0 K K = C + 273, F = 9 C + 32 La media aritmetica delle temperature espresse in gradi Celsius è pari a M C = x i = n 8 ( = (69 = 8, 62 8 i= Stando alla quarta proprietà della media aritmetica, se esiste una relazione lineare tra due quantità allora tale relazione sussiste tra le medie delle due quantità. La media delle temperature in gradi Kelvin può quindi essere ottenuta come M K = M C + 273, = 8, , = 28, 77 Analogamente la temperatura media in gradi Fahrenheit può essere calcolata come M F = 9 M C + 32 = 9 8, = 47, 2 Il carattere in analisi è un carattere continuo. Le scale di misura sono: scala di intervalli per i gradi Celsius e Fahrenheit e scala di rapporti per i gradi Kelvin. Per i gradi Celsius ed i gradi Fahrenheit lo zero non indica assenza di temperatura, mentre per i gradi Kelvin lo zero corrisponde allo zero assoluto, ovvero assenza di temperatura. Per le scale di intervalli non si possono eettuare rapporti, quindi x 6 = 2 C non corrisponde al doppio della temperatura x 2 = 6 C. ESERCIZIO 6 Un automobilista, nel fare un percorso di 00 Km, viaggia a velocità diverse. Percorre i primi 20 Km ad una velocità di 0 Km/h, altri 30 Km ad una velocità di 80 Km/h e gli ultimi 0 Km ad una velocità di 60 Km/h. Valutare la velocità media che lascia inalterato il tempo di percorrenza del tragitto. 4

5 Possiamo considerare i Km percorsi come la frequenza percorsa ad una determinata velocità. Il tempo (espresso in ore per percorrere un Km ad una velocità ssata è dato dal reciproco della velocità oraria: t i = v i abbiamo quindi, per i dati in analisi: i d i v i t i = v i , , ,67 La velocità media oraria che lascia inalterato il tempo di percorrenza del tragitto è data dalla media che risolve la seguente T T OT = d i = (d v + d 2 v2 + d 3 v3 = v i i= da cui si ricava che la media in questione risulta essere la media che risolve che è vera se d i = v v (d + d 2 + d 3 i i= v = k d i (d +d 2+d 3 i= v i ( d v + d 2 v + d 3 v = v (d + d 2 + d 3 ovvero otteniamo la media armonica della velocità, dove le distanze percorse vengono usate come frequenze. Applicando la media trovata ai dati otteniamo ESERCIZIO 7 v = (d + d 2 + d 3 i= d i v i = ( = 60 = La seguente tabella riporta gli immatricolati nell'anno accademico 2006/2007 iscritti ad un corso di laurea di una delle università di Milano suddivisi secondo il voto di maturità i voto n i Totale 277 Si calcolino la media aritmetica, la media quadratica, la media geometrica e la media armonica.

6 i voto (x l x u x c i n i x c i n i (x c i 2 (x c i 2 n i log (x c i log (xc i n i , 7 479, 460, , , 69 40, 0, , , 4647, 740, , , Totale , 808, x c i n i x c i Per prima cosa dobbiamo calcolare i valori centrali delle classi, il generico valore centrale i-esimo si ottiene come x c i = (x l+x u 2. Posto k pari al numero di classi ed n la numerosità totale, la media aritmetica è pari a M = n i= La media quadratica è pari a M 2 = n i (x c i n 2 = n i x c i = (7 64, , + 84, = 227, = i= La media geometrica è pari a M 0 = e n k la media armonica è pari a 277 (7 64, = 808, 7 = i= ni log(xc i = e 277 (7 log(64,+69 log(74,+ log(84,+82 log(9 = e = M = n i= n i x c i = ( , , + 84, + 82 = 9 =

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