Lavoro. Il LAVORO quantifica la capacità delle forze di muovere gli oggetti

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1 Lavoo Il LAVORO uantifica la capacità delle foze di muovee gli oggetti Se si applica una foza ad un oggetto e lo si muove pe una ceta distanza, si affema che si è compiuto un LAVORO. Se si tascina un oggetto lungo una supeficie che fa esistenza si esegue un LAVORO. LAVORO è dunue il podotto di una foza applicata su un copo pe lo spostamento povocato dalla foza In tutte le macchine inventate dall uomo pe compiee lavoo vi sono foze che poducono spostamenti Nel mulino lo spostamento di una mola tasfoma il gano in faina. Il moto dei pistoni del motoe fa muovee l automobile.

2 Lavoo positivo o motoe Quando spingiamo un automobile, foza e spostamento sono oizzontali e concodi In un ascensoe, la foza del motoe e lo spostamento della cabina sono veticali e veso l alto. Se F e S sono paalleli il lavoo è la Foza pe lo Spostamento L F S Poiché F e S hanno stesso segno, L è positivo; in uesto caso il lavoo si definisce MOTOR poiché è a favoe dello spostamento Nel Sistema Intenazionale L si misua in Newton x meti, anche detto Joule (J): J= N x m

3 In fenata l auto pocede in avanti, ma le foze di attito con l asfalto sono ivolte all indieto. Lavoo negativo o esistente Quando il guantone fema la palla, la foza del guantone ha veso opposto ispetto allo spostamento della palla Se F e S sono antipaalleli il lavoo è la Foza pe lo Spostamento L F S Oa F e S hanno segno opposto, pe cui L è negativo; il lavoo si definisce RSISTNT, nel senso che la foza applicata si oppone al moto del copo consideato.

4 Lavoo nullo onsideiamo la foza peso applicata al cao che si muove su un binaio: essa è bilanciata dalla igidità delle otaie, pe cui non favoisce né ostacola lo spostamento Se F e S sono pependicolai il lavoo è nullo L

5 Foza e spostamento non paalleli La foza del cane non è paallela al suo spostamento; pe calcolae il lavoo compiuto dal cane scomponiamo la foza nelle componenti paallela e pependicolae ad S; solo la pima compie lavoo a L F// S FS cos a Se pe esempio a=45, cos(45 ) =.7 dunue solo il 7% della foza del cane è effettivamente impiegata pe fae lavoo motoe

6 Lavoo: espessione geneale Il LAVORO è il PRODOTTO SALAR dei vettoi FORZA pe SPOSTAMNTO: L F S F S cosa a Tutti i casi specifici visti in pecedenza sono inclusi: a cosa L F S L F S L

7 Lavoo del campo elettico Il lavoo del campo elettico su una paticella caica è il podotto scalae della foza di oulomb pe lo spostamento della paticella L F S S S cosa a L + S a L - secizio: valutiamo il segno del lavoo negli esempi seguenti: S + S S a L a - L

8 La Potenza Un Lavoo può essee compiuto più o meno apidamente. Il lavoo è lo stesso peché in entambi i casi la foza veso l alto è uguale alla fozapeso del secchio; lo spostamento è identico. Il montacaichi compie lo stesso lavoo più apidamente, peché lo fa in meno tempo. La apidità con cui una foza compie un lavoo è misuata dalla potenza.

9 La Potenza La potenza è il appoto ta lavoo compiuto e tempo impiegato a compielo L P t La potenza si misua in Watt: W J s N m s Watt è la potenza di una macchina che compie il lavoo di J al secondo

10 La Potenza sempio: sollevo un panetto di buo spostamento: m peso sollevato:. Kg Tempo impiegato: s m m F Mg.Kg Kg N s s L F S N m J L J P W t s dunue, Watt coisponde alla potenza necessaia a sollevae gammi di meto nel tempo di secondo

11 La Potenza sempio: potenza del montacaichi Altezza del palazzo: 6 m Peso sollevato: Kg Tempo impiegato: s m m F Mg Kg Kg 98 N s s L F S 98 N 6m 588 J L 588J P 588W t s dunue, pe sollevae Kg di 6 m in secondi ho bisogno di un montacaichi di cica 6 W di potenza

12 La Potenza

13 NRGIA Si definisce NRGIA la capacità dei copi di compiee LAVORO. Un copo possiede enegia uando è in gado di effettuae un lavoo un'automobile che uta conto una palizzata ha la capacità di compiee il lavoo necessaio a vincee le foze di coesione della baiea. L'automobile dunue possiede, in vitù della velocità, un'enegia che si tasfoma in lavoo al momento dell'uto. L enegia della macchina viene spesa in lavoo al momento dell uto.

14 Lavoo come negia inetica Su un oggetto femo sul tavolo a t=, supponendo assenza di attito, applichiamo una foza costante che lo metta in moto dopo un tempo t la velocità del copo saà: v at la sua posizione saà spostata di: S at Utilizzando F=Ma, calcoliamo il lavoo fatto dalla foza pe spostae l oggetto L F S Ma at M a t M v La foza, mettendo in moto l oggetto, ha compiuto un lavoo, tasfomato in NRGIA immagazzinata nell oggetto in movimento. L'enegia acuisita dall oggetto in vitù del suo moto è detta NRGIA INTIA, e dipende dalla MASSA e dal uadato della VLOITA : k M v

15 negia inetica Si noti che l enegia cinetica è sempe definita positiva, mente il lavoo può essee negativo. Siano i ed f gli stati iniziali e finali dell oggetto in movimento. La elazione esatta ta enegia cinetica e lavoo è: kf ki Mv i kf Mv NRGIA INTIA f FINAL ki Se una foza agisce su un copo, il lavoo compiuto dalla foza è uguale alla VARIAZION di enegia cinetica del copo causata dalla foza L NRGIA INTIA INIZIAL

16 negia inetica S F la foza delle gambe accelea la bici, causando un aumento di velocità e dunue di enegia cinetica: kf ki L S Fenando, la foza di attito delle uote con il suolo ci allenta, causando una diminuzione di enegia cinetica: F kf ki L

17 negia potenziale gavitazionale Teniamo in mano un oggetto, sollevato dal suolo. L oggetto è femo, pe cui la sua NRGIA INTIA è zeo. Può fae lavoo? etamente, gazie al fatto di essee all inteno del campo gavitazionale teeste Quindi un oggetto femo può possedee un enegia pe il semplice fatto di occupae una ceta posizione ispetto al suolo. La capacità di un oggetto FRMO di compiee lavoo, gazie al fatto di essee soggetto ad un campo di foze è detta NRGIA POTNZIAL. Se lo lasciamo cadee nel vuoto, l enegia potenziale si tasfomeà in enegia cinetica in gado di compiee lavoo, pe esempio utando un alto oggetto.

18 Foze consevative e dissipative L enegia potenziale esiste solo pe le foze dette ONSRVATIV, ovveo foze pe le uali l enegia totale è consevata. Sono foze consevative: La foza gavitazionale La foza elastica La foza elettostatica e in geneale, tutte le foze centali, ovveo foze dipendenti soltanto dalla distanza dal cento del campo che esecita la foza, e diette veso uesto cento Sono invece non consevative: Le foze di attito Le foze di esistenza (viscosità)

19 negia potenziale stato iniziale U i Mgh stato finale h U f Mgh' Definiamo NRGIA POTNZIAL (U) di un oggetto in un campo di foze il lavoo massimo che la foza può compiee sull oggetto. Pe il campo gavitazionale il lavoo massimo coisponde al lavoo fatto pe potae la sfea dal punto di patenza al suolo La diffeenza di enegia potenziale (U) ta uno stato iniziale (i) ed uno stato finale (f) (coispondenti alle altezze h e h ) euivale a meno il lavoo compiuto dal campo pe potae il copo da h ad h : U U f U i Mg U h' h Mgh h' Mg h L Anche pe il campo elettostatico definiamo diffeenza di enegia potenziale: U f U i L

20 Poblema 4. Gli elettoni vengono feuentemente espulsi dalle molecole d aia a causa dei aggi cosmici povenienti dallo spazio. Una volta libeo, l elettone è sottoposto al campo elettico geneato nell atmosfea dalle paticelle caiche sulla Tea. Vicino al suolo ueste geneano un campo elettico ivolto veso il basso di =5 N/. alcolae la vaiazione di enegia potenziale U coispondente ad uno spostamento veso l alto uguale a d=5 m. alcoliamo il lavoo compiuto dal campo elettico pe spostae l elettone veso l alto (si noti che campo e spostamento sono discodi, pe cui foza e spostamento sono concodi, e dunue L è positivo) L e d e d N 5m.5 5 J U L.5 5 J

21 Potenziale elettico L enegia potenziale, così come il lavoo compiuto dal campo pe spostae una caica elettica dipende dal valoe della caica: L e d e d Intoduciamo una gandezza che NON DIPND dalla caica: il POTNZIAL LTTRIO (anche detto semplicemente POTNZIAL): V Ovveo il potenziale è l enegia potenziale pe la caica unitaia. A diffeenza dell enegia potenziale, il potenziale è popietà del campo elettico. Definiamo diffeenza di potenziale ta uno stato finale ed uno iniziale: U V V f V i U f U i V L La diffeenza di potenziale ta due punti del campo è uguale a meno il lavoo compiuto dal campo pe spostae una caica unitaia dal punto iniziale a uello finale

22 Potenziale conto negia Potenziale è stetta paentela ta POTNZIAL e AMPO: entambi dipendono soltanto dalla caica che genea il campo, non da eventuali caiche intene al campo V Di conto, l NRGIA POTNZIAL, così come la FORZA, è popietà delle caiche che inteagiscono, non soltanto di una di esse: U F Ta enegia potenziale e potenziale c è la stessa elazione esistente ta foza e campo U V ; F

23 Unità di misua il lavoo ha le dimensioni di una enegia, e si misua in Joule (J): U L N m J Il Potenziale ha dimensioni di enegia diviso caica, e si misua in Volt (V) V U J V Il Volt ci pemette anche di definie una nuova unità di misua pe il campo elettico: V d V m V m N Una unità di lavoo ed enegia molto utilizzata in fisica atomica è l elettonvolt (ev); ev è il lavoo compiuto pe vaiae di Volt il potenziale di un dell elettone: ev e J.6 9 J

24 Supefici euipotenziali Il luogo dei punti nello spazio aventi uguale potenziale si dice supeficie euipotenziale Su ciascun punto di una supeficie il potenziale è lo stesso, dunue il campo non compie lavoo mente la caica si muove sulla supeficie In figua sono disegnate 4 supefici euipotenziali, coispondenti a 4 divesi valoi del potenziale: V, V, V3, V4 i pecosi I e II iniziano ed aivano sulla stessa supeficie, pe cui pe entambe i cammini V= i pecosi III e IV sono caatteizzati dalla stessa diffeenza di potenziale V=V-V, poiché patono ed aivano sulla stessa supeficie

25 Supefici euipotenziali AMPO UNIFORM AMPO RADIAL AMPO DI DIPOLO Pe un campo unifome le supefici euipotenziali sono piani pependicolai alle linee di campo Pe il campo geneato dalla caica puntifome o da una distibuzione di caica a simmetia sfeica, le supefici euipotenziali sono sfee concentiche In geneale, le supefici euipotenziali sono sempe pependicolai alle linee di foza e dunue al campo elettico: se così non fosse il campo compiebbe un lavoo spostando la caica sulla supeficie, e la condizione di potenziale costante non saebbe veificata

26 Relazione ta potenziale e campo elettico Pe deteminae una elazione geneale ta potenziale e campo dobbiamo usae il fomalismo infinitesimale. onsideiamo una caica ed uno spostamento infinitesimale ds. il lavoo compiuto dal campo duante uesto spostamento è: dl ds La coispondente diffeenza di potenziale dv dl dv ds ds Da cui icaviamo una definizione geneale del campo elettico come deivata del potenziale elettico ispetto al vettoe spostamento La componente del campo elettico in una diezione ualsiasi è uguale a meno il appoto ta la vaiazione infinitesima del potenziale e lo spostamento infinitesimo in uella diezione

27 Relazione ta potenziale e campo elettico Immaginiamo di conoscee il potenziale in tutti i punti all inteno di una ceta egione di spazio: x V x, y, z V V ; y ; x y ( x, y, z) La funzione si dice diffeenziabile se possiamo calcolae in ciascun punto le deivate di V ispetto a ciascuna componente x, y, z. In uesto caso possiamo calcolae le componenti del campo elettico lungo gli assi pincipali del ifeimento catesiano come: z V z nel caso semplice di campo elettico unifome e paallelo allo spostamento, uesta espessione si iduce a uella vista in pecedenza nel poblema 4.: V s dv ds

28 Relazione ta potenziale e campo elettico onsideiamo il campo in figua, ed una taiettoia ta due punti i ed f; il lavoo complessivo è dato dall integale del lavoo lungo la taiettoia: La diffeenza di potenziale elativa al pecoso da i ad f è uindi: L V i f L ds f ds i Notiamo che essendo il campo elettico consevativo, il lavoo non dipende dalla taiettoia specifica utilizzata pe andae da i ad f, ma solo dai due punti iniziali e finali. Dunue possiamo scegliee il pecoso più semplice possibile ta i ed f ed alla fine ottenee la stessa diffeenza di potenziale.

29 Poblema 4. Dato il campo elettico unifome in figua, si dimosti che il lavoo compiuto dal campo nel muovee la caica positiva dal punto i al punto f non cambia se la caica si muove lungo il pecoso () o il pecoso () passante pe c. pecoso + i S f if i S cf f pecoso S ic a + a c Lavoo lungo il pecoso : L Sif S if Lavoo lungo il pecoso : nel tatto i-c il lavoo è zeo poiché campo e spostamento sono pependicolai in ogni punto; pe cui L Lcf S cf L S cf cosa è chiao dalla figua che: S cf a cos Sif L L V L S if

30 Potenziale dovuto ad una caica puntifome alcoliamo il lavoo necessaio pe spostae la caica dal punto P (distante dalla caica) fino a distanza infinita. Poiché il campo è consevativo, L non dipende dal pecoso, pe cui scegliamo un pecoso semplice: la taiettoia adiale lungo la uale spostamento e campo sono sempe paalleli: P + ds L P ds alcoliamo la diffeenza di potenziale ta e l infinito: d' ' V d V ' 4 P ' L 4 L all infinito le caiche non inteagiscono, pe cui possiamo assumee il potenziale uguale a zeo: L V 4 4 V d'

31 Potenziale dovuto ad una caica puntifome V x, y V 4 4 In ogni punto del campo, il potenziale del campo geneato da una caica puntifome è adiale, ovveo dipende solo dal modulo della distanza ta il punto consideato e la posizione della caica. Il segno del potenziale è lo stesso della caica: positivo se >, negativo se <. La stessa espessione del potenziale valida pe una caica puntifome vale all esteno di una distibuzione di caica sfeica, unifome o adiale x y In figua è ipotato il plot bidimensionale del potenziale di una caica puntifome posta nell oigine del piano (x,y). Sull asse veticale è ipotato il potenziale V(). Si noti che in = V ; ovveo il potenziale diventa infinito (divege) nel punto del campo in cui è collocata la caica.

32 negia potenziale di due caiche puntifome + A diffeenza del potenziale, che è popietà della sola caica che genea il campo, l enegia potenziale è popietà delle caiche che inteagiscono. Se genea un campo che agisce su, anche genea un campo che agisce su ; se e sono divese, i campi ed i potenziali geneati dalle due caiche sono DIVRSI: Potenziale geneato da V 4 Potenziale geneato da 4 V + Ma l enegia potenziale del SISTMA di caiche è sempe U V V 4

33 negia potenziale di due caiche puntifome Ricodiamo che l enegia potenziale, così come il potenziale, è stata definita ispetto ad uno stato finale in cui le caiche sono infinitamente lontane ed il potenziale è nullo: U U U L 4 U U L 4 uando e hanno segni concodi, l enegia potenziale è POSITIVA e coisponde al lavoo fatto dal campo pe potae le due caiche da all infinito S S + + U F F uando e hanno segni discodi, l enegia potenziale è NGATIVA e coisponde al lavoo che deve essee speso conto il campo pe sepaae le caiche da ad infinito S S + - F F U

34 Potenziale dovuto ad un insieme di caiche puntifomi Il potenziale elettico geneato da un insieme di caiche puntifomi,,, n, è dato dalla somma dei potenziali di ciascuna caica. Il potenziale totale nel punto P, se,,, n sono le distanze di P dalle caiche, è uindi: P V P n V i i 4 P Questo secondo pocedimento è più complicato, peché ichiede la somma vettoiale dei campi elettici; il potenziale elettico è una uantità scalae, pe cui se abbiamo a che fae con una distibuzione di caiche puntuali oppue continua, è più conveniente sommae i potenziali di ciascuna caica che i campi V P P n P i i ds n i Altenativamente, si può calcolae il campo elettico totale dovuto a tutte le caiche: poi il potenziale come lavoo speso pe potae la caica di pova da P ad infinito: i i

35 Poblema 4.3 Si calcoli il potenziale totale nel punto P al cento del uadato. =6 n =-4 n 3 =3 n 4 =+7 n d=.4 m le distanze di P dalle uatto caiche sono tutte d / m Nm 3n N m V P V 4 m

36 Poblema 4.4 onsideiamo uanto valgono in il potenziale ed il campo elettico geneato da elettoni disposti cicolamente come in figua Le distanze da degli elettoni sono tutte uguali, pe cui anche i potenziali sono uguali; la loo somma è: V 4 Inolte notiamo che il campo elettico di ciascun elettone in è compensato da un campo uguale in modulo ma opposto in veso geneato da un alto elettone; pe cui: Se gli elettoni si addensasseo di più veso un lato, il potenziale non cambieebbe, ma il campo non saebbe più nullo pe simmetia. e R

37 Poblema 4.6 onsideiamo le 3 caiche in figua =, =-4, 3 =+, =5 n; d= cm. Si calcoli l enegia potenziale del sistema. L enegia potenziale totale è il lavoo fatto dal campo pe potae le caiche all infinito: U 4 d d 3 d d Nm (.5).7 J m Il fatto che U sia negativa indica che il lavoo netto pe potae le caiche all infinito è fatto non dal campo ma ONTRO il campo (infatti il campo tende ad avvicinae le coppie - e - 3, e ad allontanae la sola coppia - 3 ) Dunue, U negativa indica un enegia potenziale immagazzinata dal sistema, pe cui è necessaio compiee lavoo dall esteno se si vuole disgegae il sistema e potae le paticelle caiche a distanza infinita ONTRO l azione legante del campo elettico.

38 Potenziale del dipolo elettico onsideiamo il potenziale del dipolo nel punto P. Se + ed - sono le distanze di dalle caiche, si ha: V P 4 4 In genee i dipoli atomici e molecolai sono molto piccoli, pe cui siamo inteessati a situazioni in cui >> d ; in uesto limite si può poe: V P d cos d cos Pe cui il potenziale di dipolo diventa: pcos 4 4

39 Dipolo pemanente e indotto Nelle molecole è spesso pesente un dipolo pemanente, come si è visto nel caso dell acua. In uesto caso si dice che il sistema è pemanentemente polaizzato ATOMO NUTRO In caso di atomi o molecole non polaizzati, il cento di simmetia delle caiche positive coincide con uello delle caiche negative, come pe esempio nel caso di un atomo neuto. ATOMO POLARIZZATO Un sistema neuto può comunue acuistae un momento di dipolo se sottoposto ad un campo elettico, il uale sposta in veso opposto le caiche positive e negative. In uesto caso il dipolo è indotto dal campo: se spegniamo il campo il sistema tona allo stato non polaizzato

40 Polaizzazione della mateia Se avviciniamo la bacchetta caica ad un mateiale isolante, le caiche positive (potoni nel nucleo) e negative (elettoni) non possono sepaasi, ma si distocono leggemente fomando piccoli dipoli elettici di dimensione atomica. Il mateiale si dice polaizzato.

41 Riepilogo dei concetti di potenziale ed enegia potenziale Abbiamo definito diffeenza di enegia potenziale di una caica puntuale ta un punto i ed un punto f come meno il lavoo fatto dal campo pe spostae la caica da i ad f: V U V f U La diffeenza di potenziale è V i f U f ds i i L Abbiamo stabilito di pendee come stato finale uello in cui la caica è potata a distanza infinita dove non inteagisce col campo: U aica puntifome: i i i f U V ds f L ds f V ds V 4 i Dipolo (>>d) i dv ds V 4 pcos

42 Potenziale dovuto a distibuzioni continue di caica Se invece di distibuzioni PUNTUALI abbiamo a che fae con distibuzioni ONTINU di caica, si pocede utilizzando il calcolo infinitesimale, come abbiamo già visto nel caso del campo elettico d P Pe calcolae il potenziale nel punto P dovuto alla distibuzione di caica, consideiamo un volumetto infinitesimo di caica d; il potenziale coispondente in P è ovviamente: dv P 4 d Non esta uindi che sommae (ovveo integae) su tutta la caica: V P 4 d

43 Potenziale dovuto ad una bacchetta isolante Data una bacchetta di plastica di lunghezza L e densità di caica unifome l, calcolae il potenziale nel punto P. onsideiamo il potenziale dovuto al segmento infinitesimo dx con caica d= ldx: x d dv P 4 d 4 l dx x d L V P l 4 L x dx d La chiave pe isolvee l integale è la sostituzione di vaiabile: l dx' x' VP ln x' 4 x' 4 4 l x x d l dx' x' ln x x x dx d d L

44 Potenziale dovuto ad una bacchetta isolante Si noti che l agomento del logaitmo è >, pe cui il logaitmo è sempe > ; dunue il potenziale è positivo se la densità di caica è positiva, negativo se la densità è negativa d x L d d L L d x x V L P ln ln 4 ln 4 l l d d L L V P ln 4 l

45 Potenziale dovuto ad un disco caico Data un disco isolante di aggio R e densità di caica unifome s, calcolae il potenziale nel punto P lungo l asse z pependicolae al disco e passante pe il cento. z R' onsideiamo il potenziale dovuto ad un anello di aggio R, spessoe infinitesimo dr, e caica d dv P 4 d ' dr' d s R Lungo l anello, la distanza da P è costante, pe cui il potenziale dovuto a tutto l anello è dato da: 4 z R' s R' dr' Il potenziale totale del disco ichiede la somma su tutti gli anelli, ovveo l integale in dr : V P s R R' dr' z R'

46 R' z Potenziale dovuto ad un disco caico R' z x R P R z R dr V ' ' ' s La soluzione dell integale ichiede la sostituzione di vaiabile R x ' ' ' R z R dr dx R P R z x dx V ' s s s z R z V P s

47 R' z Ricaviamo il ampo elettico dal Potenziale z R z V P s onoscendo il potenziale in tutti i punti lungo l asse z, possiamo anche icavae il campo elettico lungo uesto asse: R z z z V s R z z s

48 Limite di disco infinito V P s z R z s z z R Nel limite R>>z gli effetti di bodo diventano tascuabili, ed il disco si tasfoma in un piano infinito unifomemente caico. Sia x=z/r: z V (z) z s s x x R( x) c z s V P R s x s x Il potenziale del disco isolante con s > decesce lineamente con la distanza dal piano infinito; la pendenza del potenziale cambiata di segno ci dà il campo elettico in diezione z, costante e positivo; se s è negativa, il campo lungo z è negativo ed il potenziale cesce positivamente con z

49 Potenziale di un conduttoe caico isolato Abbiamo visto che in un conduttoe, sia pieno che contenente una cavità, il campo è sempe nullo in ogni punto inteno al conduttoe pe il pincipio di euilibio elettostatico. Applicando Gauss, ne segue che le caiche in un conduttoe possono essee posizionate soltanto sulla supeficie estena. Inolte, il potenziale all inteno di un conduttoe è SMPR costante in tutti i punti. Infatti, dalla fomula geneale: V V f V i f ds i Si vede che se il campo è nullo in ogni punto, la diffeenza di potenziale è nulla pe ualunue i ed f: Vf V i

50 Potenziale e campo elettico di un conduttoe sfeico V 4 Potenziale podotto da una sfea conduttiva (o da un guscio sfeico) di aggio = m e caica =m. All inteno del conduttoe il potenziale è costante All esteno del conduttoe il potenziale è uguale a uello di una caica puntifome posta al cento della sfea 4 All inteno del conduttoe il campo è nullo All esteno del conduttoe il campo è uguale a uello di una caica puntifome posta al cento della sfea V

51 onduttoe in un campo esteno Immaginiamo di immegee un conduttoe neuto in un campo esteno unifome. Si veifica induzione elettostatica: si geneano caiche positive e negative sulla supeficie del conduttoe, le uali schemano (ovveo compensano) il campo esteno in modo che sia = e V=costante in tutti i punti inteni al conduttoe Dalla figua si nota che le linee di foza sono sempe PRPNDIOLARI alla supeficie del conduttoe. Se così non fosse ci saebbeo foze supeficiali in gado di muovee le caiche sulla supeficie, contavvenendo al pincipio di euilibio elettostatico.

52 Il paafulmine e la gabbia di Faaday Se il conduttoe non è sfeico, la distibuzione di caica sulla supeficie può essee fotemente disomogenea. La caica tende ad accumulasi fotemente sulle punte: ciò è sfuttato utilmente nel paafulmine, inventato da Benjamin Fanklin nel 7. Il paafulmine è un asta di metallo appuntita, collegata a tea da un filo conduttoe. Duante il tempoale, la caica elettica negativa delle nuvole caiche d acua cea pe induzione un fote accumulo di caica positiva sulla punta del paafulmine. Quando la diffeenza di potenziale ta nuvole e suolo supea un valoe massimo di soglia, si geneano i fulmini, ovveo scaiche elettiche di caica negativa dalle nuvole al suolo. La punta del paafulmine funge da calamita: i fulmini sono attatti dalla caica positiva della punta e scaicano la tensione sul paafulmine. La caica attavesa il paafulmine e si dispede al suolo Un effetto potettivo si ottiene mantenendosi all inteno di un conduttoe cavo: la coente attavesa la supeficie del conduttoe ma nella cavità il campo è nullo (effetto gabbia di Faaday). L automobile è un buon esempio di gabbia di Faaday

53 Il condensatoe Il condensatoe (a volte detto capacitoe) è uno stumento estemamente utile in elettonica e nei cicuiti elettici, poiché consente di immagazzinae e ilasciae enegia elettica in modo molto apido. Il classico esempio è il flash della macchine fotogafiche: l enegia di una nomale batteia non saebbe eogata abbastanza apidamente da consentie l emissione del lampo nei tempi bevissimi ichiesti dall esposizione ottica; si usa dunue l enegia del condensatoe Il concetto di condensatoe si applica in ealtà a moltissimi casi: pe esempio il campo elettico dell atmosfea teeste è come un enome condensatoe sfeico caico, che peiodicamente sfoga attaveso i fulmini l eccesso di enegia elettostatica accumulata nell atmosfea

54 Il condensatoe Il condensatoe è costituito da due piani conduttoi caichi (anche detti piatti o amatue) di caica e ; la foma pecisa (ettangolae, cilindica, ecc) in ealtà è inessenziale fintanto che gli effetti di bodo sono tascuabili; vediamo in figua le linee di campo di un condensatoe: al cento il campo è unifome all inteno, e nullo all esteno; vicino ai bodi peò il campo può essee notevolmente distoto Il condensatoe si dice caico se le amatue sono caicate da una caica ; si dice scaico se i piani sono neuti

55 apacità del condensatoe La elazione ta la caica accumulata nel condensatoe e la diffeenza di potenziale ta i due piatti è: V è detta APAITA del condensatoe, e uantifica la capacità del sistema di accumulae caica pe una deteminata diffeenza di potenziale. L unità di misua della capacità è il FARAD (F): un Faad è uguale ad un oulomb su un Volt V Attenzione a non confondee capacità e oulomb, entambi si indicano con!! V F

56 aica del condensatoe Pe caicae il condensatoe inizialmente scaico è necessaio inseilo in un cicuito elettico, ovveo connettelo ad una batteia. La batteia genea una diffeenza di potenziale ta i suoi poli: a cicuito chiuso, gli elettoni si tasfeiscono dal piatto h del condensatoe al polo positivo della batteia, e dal polo negativo della batteia al piatto l del conduttoe, fino a che polo positivo e piatto h non siano allo stesso potenziale, così come polo negativo e piatto l. A uesto punto la coente si blocca: lungo i fili del cicuito il potenziale è costante in ogni punto, e la diffeenza di potenziale del condensatoe si è potata ad un valoe uguale a uello della batteia: il condensatoe è totalmente caico. Se V è la ddp della batteia e la capacità del condensatoe, la caica accumulata dai piatti è: V

57 ondensatoe piano alcoliamo la capacità del condensatoe piano, data la caica, l aea dei piatti A, e la distanza ta i piatti d; supponiamo che gli effetti di bodo siano tascuabili e dunue che il campo sia unifome in tutti i punti inteni al condensatoe. Applicando Gauss alla supeficie in osso (solo l aea estena al piatto contibuisce): da A ; S A onsideiamo un cammino (linea vede in figua) che va dal piatto negativo (stato i) al piatto positivo (stato f). La diffeenza di potenziale ta i due piatti è data da (si noti che campo e spostamento sono antipaalleli): V V V ds d s d A V A d La capacità dei piatti dipende soltanto da fattoi geometici: aumenta con l aea e si iduce con la distanza ta i piatti

58 Unità di misua della costante dielettica Ricodiamo uanto vale la costante dielettica del vuoto: 8.85 N m Utilizzando il Faad: F V N m Nm F 8.85 m 8.85 pf m

59 S da ondensatoe cilindico da ondensatoe cilindico di lunghezza L costituito da due cilindi coassiali di aggi a e b, con caica + e ; sia L >> a,b, così da tascuae gli effetti di bodo. Il campo elettico (linee blu in figua) ha simmetia cilindica. Applichiamo Gauss ad una supeficie cilindica di aggio compeso ta a e b (ovviamente le basi non contibuiscono). Sfuttiamo il fatto che sulla supeficie lateale del cilindo il campo è sempe paallelo al vettoe aeale e costante in modulo: da L ; L Se sostituiamo alla caica la una densità lineae =ll itoviamo l espessione del campo della bacchetta caica di lunghezza infinita: l Pe il calcolo della capacità è più utile consideae l espessione del campo con

60 ondensatoe cilindico onsideiamo il cammino adiale (linea vede) che va dal cilindo negativo (stato i) al positivo (stato f). Lungo il cammino, campo e spostamento sono antipaalleli, pe cui: V V V ds b a d S Sostituiamo il valoe del campo tovato nella slide pecedente: V b d ln L a L b a V ln L b / a ome nel caso planae, anche ui la capacità è inteamente deteminata da soli fattoi geometici

61 S ondensatoe sfeico Pe il condensatoe sfeico possiamo utilizzae la stessa figua, immaginando che appesenti la sezione di una sfea conduttiva intena di aggio a e caica + ed un guscio concentico di aggio b e caica. Il campo elettico (linee blu) ha simmetia sfeica, dunue è sempe paallelo al vettoe aeale e costante in modulo su una ualsiasi supeficie sfeica di aggio. Applichiamo Gauss ad una supeficie cilindica di aggio compeso ta a e b: da da da 4 ; 4 Ritoviamo la elazione ottenuta pecedentemente nella tattazione di gusci sfeici e distibuzioni adiali: la caica intena alla supeficie di gauss contibuisce al campo come una caica puntifome posta nel cento, mente il guscio di aggio b non dà contibuto nello spazio inteno.

62 ondensatoe sfeico onsideiamo il cammino adiale (linea vede) che va dal cilindo negativo (stato i) al positivo (stato f). Lungo il cammino, campo e spostamento sono antipaalleli, pe cui: V V V ds b a d S V 4 b a ab b d a 4 4 a 4 a b 4 V ab b a Anche ui la capacità è inteamente deteminata da soli fattoi geometici. Si noti che si può anche definie una capacità pe un conduttoe sfeico isolato: ponendo b si ottiene: a 4 4 ( a / b) a b

63 Poblema 5. Il condensatoe nei cicuiti integati della RAM di un calcolatoe ha capacità =55 ff. Se è caico ad una tensione V = 5.3 V, uanti elettoni in eccesso ci sono sulla sua amatua negativa? La caica sulle amatue è: V 55 5 F 5.3V.95 3 Il numeo degli elettoni si ottiene dividendo la caica di ciascuna amatua pe la caica dell elettone: n e

64 ondensatoi in seie e in paallelo I cicuiti elettici pesentano spesso un gan numeo di condensatoi, i uali possono essee combinati in due modalità fondamentali: seie e paallelo. Possiamo icavae delle leggi che consentono di idue la capacità di molti condensatoi a uella di un solo condensatoe euivalente, in modo da semplificae le leggi che egolano il funzionamento dei cicuiti. Studiamo uindi la capacità euivalente dei condensatoi disposti in seie e paallelo.

65 ondensatoi in paallelo In figua è mostato un cicuito con 3 condensatoi in paallelo: pe paallelo si intende che i condensatoi sono posti lungo 3 fili paalleli in modo da avee ta le amatue la stessa V che all euilibio (ovveo dopo la fase di caica) è costante ed uguale alla tensione stabilita dalla batteia (B). Se i condensatoi hanno divesa capacità, anche le ispettive caiche saanno divese, ovveo: 3 V 3 V V Se è la somma delle caiche sui condensatoi e e la somma delle capacità si ha: ) V 3 ( 3 e V Ovveo, possiamo sostituie il cicuito pecedente con uno molto più semplice con un solo condensatoe, avente caica uguale alla somma delle caiche e capacità uguale alla somma delle capacità dei te pecedenti

66 ondensatoi in seie In figua è mostato un cicuito con 3 condensatoi in seie, ovveo allineati lungo un amo del cicuito: adesso ciascun condensatoe ha diffeente V ma uguale caica. La batteia caica esclusivamente i piatti diettamente collegati dal filo con i poli, gli alti piatti si caicano pe induzione. La caica dei condensatoi è uguale poiché in ogni coppia di piatti connessi (come uelli delimitati dalla cuva ossa tatteggiata) deve essee indotta una caica uguale ed opposta. La somma delle tensioni dei condensatoi deve essee uguale alla tensione della batteia: V V V V 3 Se definiamo capacità euivalente del sistema in seie: e 3 Ovveo, il cicuito in seie euivale a uello di un condensatoe avente stessa caica e capacità euivalente il cui inveso è uguale alla somma dell inveso delle capacità e V 3

67 Poblema 5. Si tovi la capacità euivalente del cicuito in Figua. Sia = mf, =5.3 mf, 3 =4.5 mf. Notiamo che e sono connessi in paallelo, con diffeenza di potenziale comune ta i punti A e B. Dunue possiamo sostituili con un euivalente data da: 7.3mF Notiamo oa che e 3 sono connesse in seie: possiamo uindi sostituile con una capacità euivalente: mF

68 Poblema 5. Sia V=.5 V; ual è la caica su? Pocediamo a itoso: calcoliamo la caica ai piatti di 3: 3 3V 3.57mF.5V m Questa caica è la stessa accumulata su e su 3. Utilizziamola pe calcolae la tensione ai capi di : 44.65m V. 58V 7.3mF hiaamente V è la stessa ai capi di e ; dunue icaviamo la caica su come: V mf.58v 3. 96m

69 Poblema 5.3 Il condensatoe =3.55 mf. viene caicato con una batteia a potenziale V =6.3 V; la batteia viene poi imossa e collegato ad un alto condensatoe =8.95 mf. A cicuito chiuso una ceta uantità di caica si tasfeisce da a fino a aggiungee una condizione di euilibio con uguale diffeenza di potenziale ai capi dei due condensatoi; calcoliamo la diffeenza di potenziale comune a cicuito chiuso Se è la caica di icevuta dalla batteia, all euilibio uesta si deve consevae, pe cui le caiche finali sui condensatoi sono tali che V V V 3.55 V V 6.3V. 79V

70 negia immagazzinata nel condensatoe L enegia potenziale immagazzinata nel condensatoe è uella eogata dalla batteia nel pocesso di caica, e coisponde al lavoo effettuato (conto il campo) pe taspotae tutta la caica del condensatoe da un piatto all alto. Quanto vale uesta enegia? poiché V saemmo tentati di scivee: U V Mai confondee la caica che genea il potenziale con la caica taspotata attaveso il campo!! Sia la caica sui piatti del condensatoe, e valutiamo la vaiazione di enegia potenziale elativa ad uno spostamento di caica infinitesimale d da un piatto all alto: du d' V ' ' d' Immaginiamo di patie dal condensatoe scaico e tasfeie caica pogessivamente fino ad un totale di caica ; la coispondente enegia potenziale è data dall integale: U d' V ' ' d' V Questa espessione è geneale, non dipende dal tipo di condensatoe (piano, cilindico, sfeico) oe!!!

71 negia immagazzinata nel condensatoe d d onsideiamo condensatoi a piatti piani e ; la distanza ta i piatti è d pe e d pe, mente l aea A dei piatti è la stessa: Supponiamo che siano stati caicati con la stessa ; dunue il campo elettico inteno ai condensatoi è lo stesso: Invece l enegia potenziale immagazzinata da è il doppio ispetto a uella immagazzinata da : U ; ; A d U A d U A A paità di caica, l enegia immagazzinata cesce con la distanza ta i piatti, ovveo col volume di spazio compeso ta di essi. Dunue l enegia, è come se fosse immagazzinata nello spazio compeso ta i piatti.

72 Densità di enegia del condensatoe piano Nel caso del condensatoe piano si è visto che: U V Può intepetasi come enegia immagazzinata nel volume compeso ta i piatti; poiché il campo inteno al condensatoe è costante in tutti i punti, possiamo definie una densità di enegia dividendo l enegia pe il volume ta i piatti: u U Ad V V A V Ad Ad d d Ricodiamo che nel condensatoe piano il campo elettico in modulo è: u V d Abbiamo icavato uesta espessione nel caso semplice di un condensatoe piano; in ealtà uesta espessione è GNRAL: dato un campo elettico in un punto ualunue dello spazio, ualunue sia l oigine del campo, l enegia potenziale del campo pe unità di volume è data da uesta espessione

73 Poblema 5.5: sfea conduttiva isolata S Abbiamo visto che pe il condensatoe sfeico: 4 V ab b a onsideiamo una distanza ta le sfee infinita: ponendo b si può definie la capacità di un conduttoe sfeico isolato. 4 a 4 ( a / b) a uesto non è un caso pivo di significato fisico: le linee di campo uscenti da una sfea conduttiva caica positivamente pima o poi dovanno andae a moie su un involuco caica negativamente che neutalizza l inteo sistema (ad esempio le paeti della stanza). Se il aggio della sfea è piccolo ispetto a uesta distanza si può usae l espessione pe la sfea isolata. Il limite di distanza infinita ha senso solo nel caso di condensatoe sfeico, a causa della paticolae simmetia adiale che si conseva in uesto limite; negli alti casi l aumento di distanza ta le amatue poduce effetti di bodo sempe maggioi, fino a distocee completamente la simmetia oiginaia (cilindica, o unifome)

74 Poblema 5.5: sfea conduttiva isolata Su una sfea conduttice isolata di aggio R=6.85 cm è collocata una caica =.5 n; calcolae: i) l enegia potenziale immagazzinata nel campo elettico del conduttoe ii) La densità di enegia sulla supeficie della sfea pf 4 R cm 7. 6pF m U 7 (.5n) 7.6 pf.3 J 4 R 9 9 Nm.5n (6.85cm) N.4 4 N u pf 4 V m m J m 3

75 Il defibillatoe Nella vesione potatile una batteia caica un condensatoe ad elevata diffeenza di potenziale, immagazzinando una gande uantità di enegia in meno di un minuto. Una volta caico, gli elettodi vengono applicati sul petto ed il cicuito viene chiuso mediante un inteuttoe. Alla chiusua del cicuito, l enegia del condensatoe si scaica poducendo una coente che fluisce le due piaste fluisce attaveso il copo umano, che come sappiamo è un buon conduttoe elettico. sempio patico: un condensatoe da =7 mf può essee caicato fino a V=5 V! L enegia immagazzinata è: 6 U V 7mF 5 V J Scaicae uesta enegia nel tempo di un millisecondo euivale a scaicae sul copo del paziente una POTNZA (enegia pe unità di tempo): U 875J P 875kW 3 t s

76 Poblema 5.4: camea ipebaica I pazienti ustionati vengono tattati nelle camee ipebaiche, dove è pesente alta concentazione di ossigeno, intoducendoli sdaiati sopa un lettino scoevole. Alla fine del tattamento, duante la fase di estazione del lettino dalla camea ipebaica, è successo che l estemità del lettino ancoa nella camea abbia peso fuoco a causa dell abbondanza di ossigeno. Peché? I peiti stabiliono che si ea ceata un V ta lettino scoevole e stuttua di sostegno, che in patica fomavano un condensatoe con =5 pf e V=6 V; uesto voltaggio ea comunue toppo basso pe povocae una scintilla e dunue un incendio. Ma duante l estazione del lettino, l aea efficace del condensatoe decesce, mente la caica esta uguale, accumulandosi sulla pozione dei piatti affacciati: diminuisce lineamente con A e di conseguenza a costante V aumenta lineamente con A: Lettino scoevole Stuttua di sostegno A d V

77 ondensatoe con dielettico Il concetto di capacità si deve al gande Michael Faaday, uno dei padi dell elettomagnetismo classico (in Figua sono ipotati sfee e gusci in ottone usati da Faaday come condensatoi sfeici). Nel 837 Faaday fece un alta scopeta impotantissima: inseendo un mateiale isolante (DILTTRIO) come olio mineale o plastica ta le amatue del condensatoe, la capacità può aumentae enomemente La capacità aumenta di un fattoe adimensionale che dipende dalla sostanza, detto OSTANT DILTTRIA RLATIVA A/ d piano L vuoto col vuoto: col dielettico: L L / ln( b / a) 4ab /( b a) cilindico sfeico L : fattoe geometico con dimensione di lunghezza

78 ondensatoe con dielettico U vuoto V vuoto V ' U ' vuoto V vuoto V aso di potenziale costante: il condensatoe è connesso ad una batteia che mantiene sempe la stessa V; dopo l inseimento del dielettico e U aumentano V U vuoto vuoto V ' U ' vuoto vuoto V aso di caica costante: il condensatoe è caico e connesso ad un voltmeto (la esistenza del voltmeto è gande pe cui la caica del condensatoe non può attavesalo e neutalizzasi). Dopo l inseimento del dielettico V e U si iducono

79 Poblema 5.6 Senza dielettico: Un condensatoe caico a piatti paalleli con capacità a vuoto v = pf, non connesso alla batteia, pesenta una V i = V. Si inseisce ta i piatti una lasta di pocellana con =5; calcolae l enegia potenziale del condensatoe senza e con dielettico. Ricodiamo che in uesta situazione la caica si conseva U V pf (V ) Ui vvi pfv nj on dielettico: U U i. f v v nj Il condensatoe ha peso dell enegia; dov è finita? A dopo la soluzione del misteo

80 ostante dielettica ome giustifichiamo da un punto di vista fomale (matematico) la pesenza della costante dielettica elativa nel condensatoe con mateiale isolante? osa appesenta da un punto di vista fisico (micoscopico) uesta costante dielettica elativa? Da dove deiva? Peché la chiamiamo dielettica? Peché dipende dal mateiale?

81 Riscittua delle leggi dell elettostatica Dal punto di vista fomale, possiamo iconciliae il concetto di costante dielettica elativa con tutte le leggi che abbiamo visto finoa nel modo seguente: In una egione iempita da un dielettico, tutte le euazioni elettostatiche contenenti la costante dielettica del vuoto devono essee modificate sostituendo: potenziale e campo geneati dalla caica puntifome in un punto distante dalla caica: V 4 4 potenziale e campo geneati dallo stato conduttoe in un punto distante z dal piano: V s z s Se è nel vuoto (.=) o in aia (.) tutto esta come pima; ma se è all inteno di una sostanza (. > ) i valoi del potenziale e del campo si iducono.

82 - ampo elettico in un conduttoe osa succede se impiantiamo un isola caica +Q all inteno di un metallo? Q + La caica +Q nel vuoto genea nel punto un campo elettico: + le caiche libee nel mateiale (gli elettoni di conduzione nei metalli o gli ioni nei conduttoi ionici) cicondano la caica ospite in modo da annullae (schemae) completamente la foza elettica: è come se k fosse iscalata a zeo. Possiamo die che il metallo ha una costante dielettica elativa infinita: F Q k Q k k ˆ Q Q ˆ ˆ

83 + - ampo elettico in un isolante osa succede se la caica +Q è posta all inteno di un mateiale isolante? La mateia cicostante non può ispondee in modo dastico come in un metallo, poiché gli elettoni sono legati agli atomi; si veifica comunue un effetto di polaizzazione: su ogni atomo la caica si distoce leggemente, le caiche negative spostandosi veso Q, uelle positive allontanandosi da Q il campo elettico geneato da Q viene SHRMATO (ovveo idotto) di un fattoe uantificato dalla costante dielettica del mezzo: Q - + k Q ˆ

84 ampo elettico nell isolante k Q ˆ k Q ˆ' ' Q ' Non c è diffeenza se la caica è intena o estena al mezzo: il campo podotto dalla caica all inteno del mezzo viene schemato dalla polaizzazione: le caiche positive e negative non possono sepaasi, ma si distocono leggemente fomando dipoli elettici di dimensione atomica. All inteno del mateiale il campo elettico geneato da +Q si iduce ispetto al vuoto di una uantità deteminata dalla costante dielettica elativa

85 Dielettici polai e non polai Nei dielettici non polai (costituti da atomi neuti o molecole non polai) la polaizzazione può avvenie mediante leggea distosione ta i centi di caica positiva e negativa. In uesti mateiali (ad esempio semiconduttoi come Si, Ge) - Negli isolanti ionici (fomati da cationi ed anioni) cationi ed anioni vengono spostati dal campo applicato in diezione opposta. In uesti mateiali può essee gande: negli ossidi ceamici può aivae a 3. Nei liuidi polai (costituiti da molecole con dipolo pemanente, ad es. l acua pua) in pesenza di campo elettico le molecole si allineano così da fomae un campo opposto in veso a uello applicato

86 La costante dielettica negli isolanti Aia Silicio Acua distillata 8

87 ampo elettico nel condensatoe onsideiamo un dielettico non polae in Figua (a); i cechi indicano atomi neuti. Inseiamo il dielettico in un condensatoe che genea un campo ; gli atomi si polaizzano come mostato in Figua (b), fomando catene di dipoli paallele al campo del condensatoe. Si dimosta che ogni catena di dipoli in coisponde ad un dipolo unico avente stessa caica del singolo dipolo, ma lunghezza uguale a uella dell intea catena. Mettendo insieme tutte le catene oizzontali, si vede che la isposta dipolae del dielettico nel condensatoe euivale alla ceazione di un doppio stato isolante oientato in senso opposto ispetto al doppio stato del condensatoe In alte paole, la isposta del dielettico genea un campo indotto opposto in veso e minoe in modulo di ; il campo netto saà dato da (vedi Fig.(c)

88 ampo elettico nel condensatoe ampo totale isultante ˆ ' s ' ampo dovuto alla isposta del dielettico (o di polaizzazione) Suscettività dielettica elativa

89 ondensatoe con dielettico Adesso capiamo dove finisce l enegia potenziale pesa dal condensatoe isolato (ovveo con caica costante) nel momento in cui inseiamo il dielettico: a causa dell inteazione ta caica del condensatoe e caica di dipolo indotta nel dielettico, il dielettico viene isucchiato all inteno del condensatoe. Dunue l enegia potenziale è spesa dal campo del condensatoe pe attae a sé il dielettico

90 Legge di gauss nei dielettici Nel condensatoe vuoto la legge di Gauss ci da: A A da ; Nel condensatoe con dielettico dobbiamo tene conto del campo totale invece che di, e del fatto che c è la caica indotta all intefaccia ta condensatoe e dielettico: ' ' ; ' A A da / abbiamo visto che: ' espime la iduzione elativa di caica dovuta alla polaizzazione del mezzo

91 Legge di gauss nei dielettici ' da da ' ATNZION: nella fomula pecedente è il campo totale, ovveo include uello del condensatoe a vuoto e la isposta del dielettico; è la caica del condensatoe, non include la caica indotta nel dielettico A volte viene usato il vettoe D detto spostamento elettico: D DdA Seppue icavata pe il caso del condensatoe piano, uesta fomula è valida in geneale, e appesenta l espessione più geneale della legge di Gauss

92 A pf m ) pf d m m Poblema 5.7 La figua mosta un condensatoe piano con piatti di aea A=( cm) distanti d= cm; si caica il condensatoe a vuoto con una tensione V = V; a condensatoe isolato si inseisce ta i piatti una lamina dielettica di spessoe b= cm e =; calcolae: ) La capacità a vuoto ) La caica sui piatti 3) Il campo elettico nell intecapedine vuota ta piatti e lasta ) V 4.4pF V. 4n 4. 3).5 A 8.85 V pf / m m m 4 NB: nell intecapedine il campo è uguale a uello del condensatoe a vuoto

93 4).5 4 Poblema 5.7 La figua mosta un condensatoe piano con piatti di aea A=( cm) distanti d= cm; si caica il condensatoe a vuoto con una tensione V = V; a condensatoe isolato si inseisce ta i piatti una lamina dielettica di spessoe b= cm e =; calcolae: 4) Il campo elettico dento la lasta 5) V dopo l intoduzione della piasta 6) La capacità con la lasta inseita V m 5 ) V ( d b) b ( d b ( b/ )) 75V 4. ) / V 5. 6 pf.75 V 6 NB : 8. 85pF Il dielettico NON iempie totalmente il condensatoe!!