CAPITOLO 13 INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN PER FUNZIONI REALI (COMPLESSE) DI UNA VARIABILE REALE. 1.L integrale di Riemann.

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1 Integrle di Riemnn CAPITOLO 13 INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN PER FUNZIONI REALI (COMPLESSE) DI UNA VARIABILE REALE 1.L integrle di Riemnn. In questo cpitolo ci occuperemo dell teori dell integrzione secondo Riemnn per le funzioni reli di un vribile rele. Si dt un funzione f :[, b] R limitt. Considerimo un decomposizione D di [, b] in un numero finito di intervlli medinte i punti seguenti = <x 1 <x <...<x i <x i+1 <...<x n = b e ponimo M i = sup{f(x) :x [x i,x i+1 ]}, m i = inf{f(x) :x [x i,x i+1 ]} (si osservi che tli inf e sup esistono perché f è limitt in [, b] e quindi nche in ogni sottointervllo); clcolimo, quindi, le seguenti somme S f D = M 0(x 1 )+M 1 (x x 1 )+...+ M i (x i+1 x i )+...+ M n 1 (x n x n 1 )= n 1 M i (x i+1 x i ) s f D = m 0(x 1 )+m 1 (x x 1 )+...+ m i (x i+1 x i )+...+ m n 1 (x n x n 1 )= n 1 m i (x i+1 x i ) che chimeremo rispettivmente somm superiore e somm inferiore (d or in poi, qundo non vi srà possibilità di confusione, denoteremo ogni somm superiore con il simbolo S D invece che con il simbolo S f D e ogni somm inferiore con il simbolo s D invece che con il simbolo s f D ). Al vrire dell decomposizione D in tutti i modi possibili ottenimo che le somme superiori e le somme inferiori descrivono due insiemi numerici, che denoteremo con Σ = {S D } e σ = {s D }. Teorem 1.1.Dte due rbitrrie decomposizioni D e D (che quindi possono coincidere oppure no) si h sempre S D s D 1

2 Integrle di Riemnn Dimostrzione. Osservimo, intnto, che se le due decomposizioni coincidono è ovvio che S D s D, poiché l estremo superiore di un funzione in un insieme è mggiore od ugule dell estremo inferiore dell funzione nello stesso insieme e quindi ogni ddendo di S D è mggiore od ugule del corrispondente ddendo di s D. Supponimo, llor, che le due decomposizioni considerte sino differenti ed in prticolre che D si ottenut dll decomposizione D ggiungendo un solo punto x, che, tnto per fissre le idee, supporremo compreso fr ed x 1 ; si h llor S D = M 0 (x 1 )+M 1 (x x 1 )+...+ M i (x i+1 x i )+...+ M n 1 (x n x n 1 )= M 0 [(x 1 x )+(x )] + M 1 (x x 1 )+...+ M i (x i+1 x i )+...+ M n 1 (x n x n 1 ) sup{f(x) :x [,x ]}(x ) + sup{f(x) :x [x,x 1 ]}(x 1 x )+M 1 (x x 1 )+...+ M i (x i+1 x i )+...+ M n 1 (x n x n 1 )=S D vendo tenuto conto del ben noto ftto che l estremo superiore di un funzione in un insieme è mggiore od ugule dell estremo superiore dell funzione in un qulunque sottoinsieme; in modo nlogo, tenuto conto del ben noto ftto che l estremo inferiore di un funzione in un insieme è minore od ugule dell estremo inferiore dell funzione in un qulunque sottoinsieme, si prov che s D s D Adesso, supponimo che D si ottenut dll decomposizione D ggiungendo un numero finito di punti y 1,y,...y h ; considerimo l decomposizione D 1 che si ottiene dll D ggiungendo solo y 1, l decomposizione D che si ottiene dll D 1 ggiungendo solo y, l decomposizione D 3 che si ottiene dll D ggiungendo solo y 3,..., l decomposizione D h (coincidente con l decomposizione D ) che si ottiene dll D h 1 ggiungendo solo y h ; per qunto visto sopr ottenimo le seguenti ctene di disuguglinze, che utilizzeremo per provre l tesi nel cso generle S D S D1 S D... S D s D s D1 s D... s D Pssndo l cso di due decomposizioni D e D del tutto rbitrrie, indichimo con D l decomposizione ottenut unendo D e D ;è chiro che D si può pensre si come decomposizione ottenut d D ggiungendo

3 Integrle di Riemnn un numero finito di punti, che come decomposizione ottenut d D ggiungendo un numero finito di punti; quindi per qunto già visto deve versi S D S D s D s D che è qunto volevmo provre. Dl precedente risultto segue che gli insiemi σ e Σ sono seprti (in prticolre Σ è inferiormente limitto dlle somme inferiori, mentre l insieme σ è superiormente limitto dlle somme superiori); quindi inf Σ R, sup σ R ed inoltre, come sppimo inf Σ sup σ (1.1) Definizione 1.1.Diremo che f è integrbile secondo Riemnn (o semplicemente integrbile) se nell (1.1) vle il segno di uguglinz; in questo cso,per definizione,porremo f(x)dx = inf Σ = sup σ. Osservzione 1.1: Dll Definizione 1.1 deriv fcilmente l seguente utile disuguglinz s D vlid per ogni decomposizione D di [, b]. f(x)dx S D Presentimo subito due esempi, il primo di un funzione integrbile secondo Riemnn e il secondo di un funzione non integrbile secondo Riemnn: Esempio 1.1. Si f :[, b] R,f(x) =k, un funzione costnte; dt un decomposizione D di [, b] come sopr, è ovvio che M i = sup{f(x) :x [x i,x i+1 ]} = m i = inf{f(x) :x [x i,x i+1 ]} = k per ogni i =0, 1,,...,n 1; quindi ogni somm superiore vle k(b ) così come ogni somm inferiore; llor gli insiemi Σ e σ sono costituiti dll unico elemento k(b ). Ne viene che inf Σ = sup σ = k(b ); ogni f costnte risult quindi integrbile secondo Riemnn e si h f(x)dx = k(b ). 3

4 Integrle di Riemnn Esempio 1.. Si f :[, b] R,f(x) =α se x Q [, b], f(x) =β se x Q [, b], con α β (funzione di Dirichlet). Per fissre le idee si α>β. Dt un decomposizione D di [, b] come sopr, si h che M i = sup{f(x) :x [x i,x i+1 ]} = α, m i = inf{f(x) :x [x i,x i+1 ]} = β per ogni i = 0, 1,,..., n 1, poiché ogni intervllo rele contiene si numeri rzionli che numeri irrzionli; quindi ogni somm superiore vle α(b ) mentre ogni somm inferiore vle β(b ); llor inf Σ = α(b ) β(b ) = sup σ. Ne viene che l funzione f considert non è integrbile secondo Riemnn. Un primo importnte risultto reltivo ll integrle di Riemnn è il seguente Criterio di integrbilità di Riemnn.Si f :[, b] R un funzione limitt. Condizione necessri e sufficiente ffinché f si integrbile secondo Riemnn è che per ogni ɛ>0 esist un decomposizione D ɛ di [, b] tle che S Dɛ s Dɛ <ɛ. Dimostrzione. Provimo prim l condizione necessri. Per ipotesi f è integrbile secondo Riemnn; questo signific che inf Σ = sup σ. Usimo desso si l second proprietà dell estremo inferiore che l second proprietà dell estremo superiore; fissto ɛ>0 esiste un decomposizione D 1 tle che inf Σ + ɛ/ >S D1 ed esiste un decomposizione D tle che sup σ ɛ/ <s D ; poiché, come già osservto, si h inf Σ = sup σ, risult S D1 s D inf Σ + ɛ ( sup σ ɛ ) = ɛ Adesso considerimo l decomposizione D ɛ che si ottiene unendo le decomposizioni D 1 e D ; poiché, come già provto, risult S D1 S Dɛ s Dɛ s D ottenimo fcilmente che S Dɛ s Dɛ S D1 s D <ɛ in questo modo concludendo l dimostrzione dell prte necessri dell condizione di Riemnn. Pssimo desso ll dimostrzione dell sufficienz. Per ipotesi, fissto ɛ>0 esiste un decomposizione D ɛ tle che S Dɛ s Dɛ <ɛ; dll prim proprietà dell estremo inferiore e dll prim proprietà dell estremo superiore segue llor che inf Σ sup σ S Dɛ s Dɛ e quindi che 0 inf Σ sup σ<ɛ ɛ >0. Dll rbitrrietà di ɛ segue llor che inf Σ = sup σ 4

5 Integrle di Riemnn cioé l integrbilità di f. L prte sufficiente è così provt e l dimostrzione del teorem è quindi conclus. Esercizio 1.1. Si f :[, b] R integrbile secondo Riemnn e si g :[, b] R un funzione tle che f(x) =g(x) per ogni x [, b], trnne un numero finito di punti di [, b]; dimostrre che nche g è integrbile secondo Riemnn e che il vlore dell integrle di g coincide con quello dell integrle di f. Il precedente criterio è di fondmentle importnz perché permette, innnzitutto, di determinre lcune mpie clssi di funzioni integrbili secondo Riemnn; m esso srà nche usto nell dimostrzione di ltri importnti risultti reltivi ll integrzione. Integrbilità di Funzioni Continue.Si f :[, b] R un funzione continu. Allor f è integrbile. Dimostrzione. Per il Teorem di Cntor f risult uniformemente continu in [, b]; quindi, fissto ɛ>0 esiste δ>0 tle che per ogni x, y [, b] con x y <δrisult f(x) f(y) < ɛ b. Sceglimo desso un decomposizione D di [, b] in intervlli przili tutti di lunghezz minore di δ e cerchimo di vlutre l differenz seguente S D s D =(M 0 m 0 )(x 1 )+(M 1 m 1 )(x x 1 )+...+(M i m i )(x i+1 x i )+...+(M n 1 m n 1 )(x n x n 1 ) Osservimo che essendo f continu ogni M i (risp. ogni m i )è in effetti un mssimo (risp. un minimo) per f nell intervllo [x i,x i+1 ]; esisternno llor punti z i,t i [x i,x i+1 ] tli che M i = f(z i ),m i = f(t i ); ovvimente z i t i x i+1 x i <δd cui, per l uniforme continuità, segue M i m i = f(z i ) f(t i ) < ɛ b i =0, 1,,...,n 1. Ne viene llor che S D s D =(M 0 m 0 )(x 1 )+(M 1 m 1 )(x x 1 )+...+(M i m i )(x i+1 x i )+ ɛ b (x 1 )+...+(M n 1 m n 1 )(x n x n 1 ) < ɛ b (x x 1 )+...+ ɛ b (x i+1 x i )+...+ ɛ b (x n x n 1 )= ɛ b [(x 1 )+(x x 1 )+...+(x i+1 x i )+...+(x n x n 1 )] = ɛ (b ) =ɛ b Il criterio di integrbilità di Riemnn permette di ffermre che f è integrbile. Esempio 1.3. Dimostrimo che xdx= b, per ogni [, b] R. Innnzitutto osservimo che l funzione 5

6 Integrle di Riemnn integrnd è continu e quindi integrbile per il precedente risultto; occorre, llor, solo trovre l elemento di seprzione degli insiemi delle somme superiori e delle somme inferiori. Si D l seguente decomposizione di [, b] = <x 1 <x <...<x i <x i+1 <...<x n+1 = b; si h S D = (x i+1 x i )x i+1,s D = (x i+1 x i )x i ; notimo, desso, che x i < xi+xi+1 <x i+1, per ogni i =0, 1,...n; ne segue che S D = (x i+1 x i ) x i+1 > (x i+1 x i ) x i + x i+1 > (x i+1 x i ) x i = s D D decomposizione; poiché (x i+1 x i ) x i + x i+1 = x i+1 x i = b si h l tesi. Esempio 1.4. Dimostrimo che cos xdx= sin b sin, per ogni [, b] R. Innnzitutto osservimo che l funzione integrnd è continu e quindi integrbile per il precedente risultto; occorre, llor, solo trovre l elemento di seprzione degli insiemi delle somme superiori e delle somme inferiori. Si D l seguente decomposizione di [, b] = <x 1 <x <...<x i <x i+1 <...<x n+1 = b; si h S D = (x i+1 x i ) sup cos x, s D = x [x i,x i+1] (x i+1 x i ) inf cos x; x [x i,x i+1] notimo, desso, che in ogni intervllo [x i,x i+1 ]è possibile pplicre il Teorem di Lgrnge ll funzione sin x; per un punto opportuno y i ]x i,x i+1 [ sih(x i+1 x i ) cos y i = sin x i+1 sin x i,, 1,...n; sih e quindi S D = (x i+1 x i ) sup cos x x [x i,x i+1] S D = (x i+1 x i ) cos y i (x i+1 x i ) sup cos x x [x i,x i+1] (x i+1 x i ) inf x [x i,x i+1] cos x = s D (sin x i+1 sin x i ) = sin b sin (x i+1 x i ) inf x [x i,x i+1] cos x = s D D decomposizione; 6

7 l elemento di seprzione cercto, cioé il vlore dell integrle d clcolre, è quindi sin b sin. Esercizio 1.. Provre che 1 x dx = logb log, per ogni [, b] ]0, + [. Esercizio 1.3. Provre che 3 x dx = b 3 3, per ogni [, b] R. Integrle di Riemnn Osservzione 1.. Nel precedente Teorem bbimo considerto un differenz del tipo seguente S D s D =(M 0 m 0 )(x 1 )+(M 1 m 1 )(x x 1 )+...+ (M i m i )(x i+1 x i )+...+(M n 1 m n 1 )(x n x n 1 ) ( 1.) ed ess srà ncor considert nel seguito. È molto importnte osservre, un volt per tutte, che l differenz (1.) è non negtiv perché somm di quntità non negtive del tipo (M i m i )(x i+1 x i ); inftti x i <x i+1 e M i = sup{f(x) :x [x i,x i+1 ]} m i = inf{f(x) :x [x i,x i+1 ]}. Teorem 1..Si f :[, b] R limitt e sino y 0 = <y 1 <...<y i <...<y k = b un numero finito di punti di [, b] tli che f risulti integrbile se ristrett d ognuno degli intervlli [y i,y i+1 ],, 1...k 1. Allor f risult integrbile in [, b]. Dimostrzione. Fissimo ɛ>0 e sceglimo un decomposizione D i di [y i,y i+1 ], per ogni i =0, 1...k 1, tle che S Di s Di < ɛ/k. Denotimo con D l decomposizione di [, b] ottenut considerndo tutti i punti delle decomposizioni D i. È fcile vedere che, grzie ll (1.) ed ll definizione di D, risult k 1 S D s D = [S Di s Di ] < k 1 ɛ k = ɛ Il Criterio di Riemnn permette di concludere che f è integrbile in [, b]. Definizione 1..Un funzione f :[, b] R che h un numero finito di punti di discontinuità nel proprio dominio srà dett generlmente continu. Provimo il teorem seguente Integrbilità di Funzioni Generlmente Continue e Limitte.Si f :[, b] R un funzione generlmente continu e limitt. Allor f è integrbile secondo Riemnn Dimostrzione. Sino z 1,z,...z h i punti di discontinuità dif in [, b]; tle intervllo può essere diviso in un numero finito di intervlli I j contenenti uno solo dei punti di discontinuità dif; se si riuscisse provre l integrbilità dif in ognuno di essi, il Teorem permetterebbe di concludere che f è integrbile in tutto 7

8 Integrle di Riemnn [, b]. Questo signific che è possibile considerre il cso in cui f h un unico punto z di discontinuità in [, b]. Fissimo ɛ > 0 e supponimo, tnto per fissre le idee, che z ], b[, potendosi procedere in mnier nlog se z = oppure z = b. Si M = sup{f(x) :x [, b]} inf{f(x) :x [, b]}; osservimo che M>0, ltrimenti f srebbe costnte e quindi continu. Sceglimo un numero positivo δ tle che δ< che <z δ, z + δ<b. Considerimo desso gli intervlli [, z δ] e[z + δ, b] nei quli f è continu e quindi integrbile per il Teorem di Integrbilità delle Funzioni Continue, un decomposizione D 1 dell intervllo [, z δ] medinte i punti = <x 1 <...<x n = z δ (e denotimo con H i ed h i rispettivmente il sup e l inf di f nel generico intervllo [x i,x i+1 ]) e un decomposizione D dell intervllo [z + δ, b] medinte i punti y 0 = z + δ<y 1 <...<y p = b (e denotimo con K i ed k i rispettivmente il sup e l inf di f nel generico intervllo [y i,y i+1 ]), tli che ɛ 6M e S D1 s D1 < ɛ 3, S D s D < ɛ 3 Si D l decomposizione di [, b] ottenut unendo i punti di D 1 e D ;sihcosì S D s D =(H 0 h 0 )(x 1 )+...+(H n 1 h n 1 )(x n x n 1 )+ (sup{f(x) :x [z δ, z + δ]} inf{f(x) :x [z δ, z + δ]})δ+ (K 0 k 0 )(y 1 y 0 )+...+(K p 1 k p 1 )(y p y p 1 )= S D1 s D1 + (sup{f(x) :x [z δ, z + δ]} inf{f(x) :x [z δ, z + δ]})δ+ S D s D < ɛ 3 + (sup{f(x) :x [, b]} inf{f(x) :x [, b]})δ + ɛ 3 = ɛ 3 + Mδ + ɛ 3 < ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ Il solito Criterio di Riemnn permette di concludere che f è integrbile in [, b]. Infine dimostrimo il teorem seguente, che ci permette di individure un terz fmigli di funzioni integrbili secondo Riemnn Integrbilità delle Funzioni Monotòne.Si f :[, b] R un funzione monotòn. Allor f è integrbile secondo Riemnn. Dimostrzione. Osservimo intnto che l monotonì di f implic l su limittezz, grzie l ftto che [, b] è chiuso e limitto; h quindi senso porsi il problem dell integrbilità di un tle f. Per fissre le idee supponimo che f si non decrescente (e non costnte, cso già trttto); ne segue che f() <f(b). Scelto ɛ > 0, considerimo un decomposizione D di [, b] in intervlli przili tutti di lunghezz minore di 8 ɛ f(b) f()

9 Integrle di Riemnn e cerchimo di vlutre l differenz S D s D = n 1 i=1 (M i m i )(x i+1 x i ); innnzitutto osservimo che f è non decrescente e quindi si h M i = f(x i+1 ),m i = f(x i ), in ogni intervllo [x i,x i+1 ]; ne deriv che S D s D =(M 0 m 0 )(x 1 )+(M 1 m 1 )(x x 1 )+...+(M i m i )(x i+1 x i )+...+(M n 1 m n 1 )(x n x n 1 )=(f(x 1 ) f( ))(x 1 )+(f(x ) f(x 1 ))(x x 1 )+...+ (f(x i+1 ) f(x i ))(x i+1 x i )+...+(f(x n ) f(x n 1 ))(x n x n 1 ) < ɛ f(b) f() [(f(x 1) f( ))+(f(x ) f(x 1 )) +...+(f(x i+1 ) f(x i )) ɛ (f(x n ) f(x n 1 ))] = (f(b) f()) = ɛ f(b) f() Il criterio di Riemnn permette di ffermre che f è integrbile. Le tre clssi di funzioni considerte in precedenz non esuriscono l totlità dell fmigli delle funzioni integrbili secondo Riemnn; l seguente funzione di Lebesgue non pprtiene d lcun delle tre clssi di funzioni considerte sopr ed è integrbile secondo Riemnn; si f :[0, 1] R l funzione definit ponendo 0 x [0, 1] \ Q f(x) = 0 x =0 1 n x = m n, M.C.D.(m, n) =1 Tle funzione è discontinu in ogni x ]0, 1] R; inftti in un tle x, per definizione, f ssume un vlore positivo; se fosse continu in questo punto dovrebbe esistere un suo intorno dove f è ncor positiv; m in un intorno sifftto esistono infiniti numeri irrzionli, dove f vle zero, cosicché bbimo dimostrto qunto volevmo; quindi f non è continu, nè è generlmente continu, perché i suoi punti di discontinuità sono infiniti; nèè monoton, perché in ogni sottointervllo di [0, 1] vi sono si punti dove f vle zero si punti dove f è positiv. Tuttvi f è limitt ed h quindi senso porsi il problem dell su integrbilità secondo Riemnn, come desso fremo provndo che f è in effetti integrbile. Osservimo intnto che un qulunque somm inferiore reltiv d un qulunque decomposizione vle 0; quindi, per provre l integrbilità, è sufficiente provre che per ogni ɛ>0 esiste un decomposizione D ɛ tle che S Dɛ <ɛ; in tl modo vremo che inf Σ = 0, d cui l integrbilità norm di definizione. In corrispondenz d ɛ>0, che sceglieremo nche minore di 1, esiste n N tle che 1 n ɛ solo per n =1,,...n ; poiché, per ogni h N,h 1, fssume il vlore 1 h in un numero finito di punti (l dimostrzione viene lscit l lettore), possimo ffermre che esistono solo un numero finito di punti, y 1,y,...y n0,n 0 n (fr i quli x = 1, m non x = 0), in cui f è mggiore 9

10 Integrle di Riemnn od ugule d ɛ ; possimo nche supporre di verli già ordinti in ordine crescente (ne segue che y n 0 = 1). Sceglimo desso l seguente decomposizione di [0, 1]: =0<x 1 <z 1 <x <z <... < x n0 <z n0 =1 in modo che si bbi x i <y i <z i, z i x i < ɛ n 0 i =1,,...n 0 1, ed osservimo che in ognuno degli n 0 intervlli del tipo [x i,z i ] cde il punto y i dove f è mggiore od ugule ɛ, m non super 1, mentre nei restnti intervlli f è minore di ɛ ; per l corrispondente somm superiore vremo così S Dɛ = sup{f(x) :x [0,x 1 ]}(x 1 0) + sup{f(x) :x [x 1,z 1 ]}(z 1 x 1 )+ sup{f(x) :x [z 1,x ]}(x z ) sup{f(x) :x [x n0, 1]}(1 x n0 ) < ɛ (x 1 0)+(z 1 x 1 )+ ɛ (x z 1 )+(z x ) ɛ (x n 0 z n0 1)+(1 x n0 ) [ ɛ ɛ [(x 1 0)+(x z 1 )+... +(x n0 z n0 1)] + + ɛ ɛ ] ɛ n 0 n 0 n 0 + ɛ n 0 = ɛ. n 0 L integrbilità di f è così cquisit. Prim di concludere lo studio dell funzione di Lebesgue, osservimo che il suo integrle di Riemnn vle zero, nche se ess ssume vlori positivi in un infinità numerbile di punti del proprio dominio. Il perché di tle strno comportmento srà chiro qundo verrà studit l teori dell integrzione secondo Lebesgue. Esercizio 1.4. Si f : R R un funzione periodic di periodo T > 0, che risulti integrbile secondo Riemnn in un intervllo di mpiezz T ; provre che f è integrbile in ogni sottointervllo chiuso e limitto di R e che si h f(x) dx = +T f(x) dx per ogni [, b] R. +T.Proprietà dell integrle di Riemnn. Sempre dl Criterio di Riemnn discende il seguente importnte risultto Teorem.1.Si f un funzione rele limitt ed integrbile in un intervllo [, b] e sino y 1,y [, b] con y 1 <y. Allor f è integrbile in [y 1,y ]. Dimostrzione. Essendo f integrbile, fissto ɛ > 0 esiste un decomposizione D di [, b] medinte certi punti = <x 1 <...<x i <x i+1 <...<x n = b tle che S D s D <ɛ; se ggiungimo D i 10

11 Integrle di Riemnn due punti y 1,y ottenimo un decomposizione D 1 (che potrebbe nche coincidere con D) per cui vle che S D S D1,s D s D1, come visto nell dimostrzione del Teorem 1.1; quindi si h S D1 s D1 <ɛ. Adesso considerimo i punti di D 1 che cdono nell intervllo [y 1,y ] e che quindi costituiscono un decomposizione D di tle intervllo. Osservimo che, per l scelt di D e per l Osservzione 1., si h llor S D s D S D1 s D1 <ɛ che grzie l criterio di Riemnn conclude l dimostrzione. L integrle di Riemnn gode delle seguenti proprietà i) Omogeneità: Si f :[, b] R integrbile e si c R; llor l funzione cf è integrbile secondo Riemnn in [, b] esih cf(x)dx = c f(x)dx (.1) Dimostrzione. Se c = 0, è ovvio che cf è integrbile, perché costnte; inoltre, nche l uguglinz (.1) è bnlmente verifict. Si quindi c 0; provimo l integrbilità di cf e l vlidità dell (.1) nel cso di c > 0. Dll integrbilità di f segue che, fissto ɛ > 0, esiste un decomposizione D di [, b] in un numero finito di intervlli medinte i punti seguenti = <x 1 <x <...<x i <x i+1 <...<x n = b e tle che S f D sf D < ɛ/c; poiché c>0, si h fcilmente c sup{f(x) :x [x i,x i+1 ]} = sup{cf(x) :x [x i,x i+1 ]} e c inf{f(x) :x [x i,x i+1 ]} = inf{cf(x) :x [x i,x i+1 ]}; ne viene così che c S cf D scf [ n 1 D = n 1 (sup{cf(x) :x [x i,x i+1 ]} inf{cf(x) :x [x i,x i+1 ]})(x i+1 x i )= n 1 (c sup{f(x) :x [x i,x i+1 ]} cinf{f(x) :x [x i,x i+1 ]})(x i+1 x i )= ] (sup{f(x) :x [x i,x i+1 ]} inf{f(x) :x [x i,x i+1 ]})(x i+1 x i ) = c(s f D sf D ) <ɛ quindi cf è integrbile in [, b]. Notimo che, se c>0, si h S cf D = csf D e scf D = csf D per qunto osservto prim. Provimo l (.1): tl fine, fissto ɛ>0 sceglimo un decomposizione D tle che S cf D scf D <ɛ; dll Osservzione 1.1 segue che c cf(x)dx c f(x)dx f(x)dx S cf D csf D = Scf D scf D <ɛ cf(x)dx cs f D scf D = Scf D scf D <ɛ 11

12 Integrle di Riemnn Per l definizione di vlore ssoluto possimo llor ffermre che cf(x)dx c f(x)dx <ɛ Dll rbitrrietà diɛ segue l (.1). Nel cso c < 0, l precedente dimostrzione continu vlere (con le opportune modifiche) scegliendo ɛ/( c) invece di ɛ/c e tenendo presente che c sup{f(x) :x [x i,x i+1 ]} = inf{cf(x) :x [x i,x i+1 ]} e c inf{f(x) :x [x i,x i+1 ]} = sup{cf(x) :x [x i,x i+1 ]}. Ne viene che qulunque si c R, l funzione cf è integrbile e vle l (.1). ii) Distributività: Sino f,g :[, b] R due funzioni integrbili; llor l funzione f + g è integrbile e risult [f(x)+g(x)]dx = f(x)dx + g(x)dx (.) Dimostrzione. Si ɛ>0, D 1 un decomposizione di [, b] tle che S f D 1 s f D 1 < ɛ, D un decomposizione di [, b] tle che S g D s g D < ɛ ; considerimo poi l decomposizione D che si ottiene unendo D 1 e D e ricordimo che, come provto durnte l definizione di integrle di Riemnn, si h S f D Sf D 1,S g D Sg D s f D sf D 1,s g D sg D ne segue che S f D sf D < ɛ,sg D sg D < ɛ Poiché è fcile vedere che S f+g D Sf D + Sg D ed nche sf+g D sf D + sg D, ottenimo che S f+g D sf+g D (Sf D + Sg D ) (sf D + sg D ) <ɛ Abbimo così l integrbilità di f +g. Provimo l (.): tl fine, fissto ɛ > 0 sceglimo un decomposizione D come sopr tle che S f D sf D < ɛ ed nche Sg D sg D < ɛ ; dll Osservzione 1.1 segue che ( b ) b [f(x)+g(x)]dx f(x)dx + g(x)dx S f+g D (sf D + sg D ) Sf D sf D + Sg D sg D <ɛ ( f(x)dx + ) g(x)dx [f(x)+g(x)]dx (S f D + Sg D ) sf+g D Sf D sf D + Sg D sg D <ɛ 1

13 Integrle di Riemnn Per l definizione di vlore ssoluto si h llor ( [f(x)+g(x)]dx f(x)dx + g(x)dx) Dll rbitrrietà diɛ segue l (.). iii) Additività: Si f :[, b] R integrbile e si c ], b[. Allor, f è integrbile in [, c] ein[c, b] esih <ɛ f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx (.3) Dimostrzione. L integrbilità dif in [, c] ein[c, b] segue dl Teorem.1; rimne solo d provre l (.3). Fissimo ɛ>0 e sceglimo un decomposizione D 1 di [, c] e un decomposizione D di [c, b] tli che S D1 s D1 < ɛ,s D s D < ɛ. Le due decomposizioni D 1 e D dnno luogo d un decomposizione D di [, b] per l qule è fcile provre che S D = S D1 + S D,s D = s D1 + s D ; l Osservzione 1.1 implic che ( c f(x)dx f(x)dx + c f(x)dx S D (s D1 + s D )=S D1 + S D (s D1 + s D ) <ɛ ( c f(x)dx + f(x)dx ) c ) f(x)dx S D1 + S D s D = S D1 + S D (s D1 + s D ) <ɛ L definizione di vlore ssoluto permette di concludere che ( c f(x)dx f(x)dx + c L rbitrrietà diɛ prov l (.3). iv) Positività: Si f :[, b] [0, + [ integrbile. Allor f(x)dx) ɛ f(x)dx 0 (.4). Se inoltre f è continu,llor f(x)dx =0 f(x) =0 x [, b] Dimostrzione. Dll Osservzione 1.1 segue subito l (.4) se sceglimo l decomposizione D determint di soli punti = <x 1 = b e se tenimo conto del ftto che inf{f(x) :x [, b]} 0. Per qunto 13

14 Integrle di Riemnn rigurd l second ffermzione, supponimo che f si continu; sppimo già che se f è identicmente null, llor il suo integrle di Riemnn vle 0. Vicevers, si f(x)dx = 0 e, per ssurdo, supponimo che esist y 0 [, b] tle che f(y 0 ) > 0; llor, grzie l Teorem dell Permnenz del Segno ed ll continuità di f possimo ffermre che esiste un sottointervllo [c, d] di], b[ dove f è positiv e quindi, per il Teorem di Weierstrss, mmette minimo positivo. Considerimo l decomposizione D di [, b] ottenut scegliendo i punti = <x 1 = c<x = d<x 3 = b e, ricordndo l Osservzione 1.1, notimo che 0 < min{f(x) :x [c, d]}(d c) s D f(x)dx contro l nostr ipotesi. Quest contrddizione dimostr che f deve essere identicmente null in [, b]. v) Monotonì rispetto ll funzione integrnd: Sino f, g :[, b] R due funzioni integrbili con f(x) g(x) per ogni x [, b]; llorsih f(x)dx g(x)dx (.5) Dimostrzione. L funzione h = g f è integrbile in [, b] per l omogeneità e l distributività edè non negtiv per l ipotesi ftt su f e g; quindi, grzie (.1), (.) e (.4) si h che prov l (.5). 0 h(x)dx = g(x)dx f(x)dx vi) Si f :[, b] R integrbile e si φ : [inf f,sup f] R un funzione lipschitzin,con costnte di lipschitzinità M. Allor φ f risult integrbile in [, b]. All dimostrzione di questo risultto occorre premettere il seguente Lemm..Si f : X R limitt e si φ : [inf f,sup f] R un funzione lipschitzin,con costnte di lipschitzinità M. Allor [ ] sup(φ f)(x) inf (φ f)(x) M sup f(x) inf f(x). x X x X x X x X Inftti, fissto ɛ>0, pplicndo l second proprietà dell estremo inferiore e l second proprietà dell estremo superiore, trovimo x ɛ,y ɛ X tli che sup x X (φ f)(x) (φ f)(x ɛ )+ɛ/ e inf x X (φ f)(x) (φ f)(y ɛ ) ɛ/; ne segue che sup(φ f)(x) inf (φ f)(x) (φ f)(x ɛ)+ ɛ ((φ x X x X f)(y ɛ ) ɛ ) ( ) (φ f)(x ɛ ) (φ f)(y ɛ ) + ɛ M f(x ɛ ) f(y ɛ ) + ɛ M sup f(x) inf f(x) x X x X 14 + ɛ

15 Integrle di Riemnn che dà l tesi, stnte l rbitrrietà di ɛ. Dimostrimo desso l proprietà (vi); è intnto fcile provre (l dimostrzione viene lscit l lettore) che φ f è limitt; si, or, ɛ>0 e si D ɛ un decomposizione di [, b] tle che S f D ɛ s f D ɛ <ɛ/m (tle decomposizione esiste perché f è integrbile); in corrispondenz ll stess decomposizione clcolimo S φ f D ɛ s φ f D ɛ = ( n 1 ( n 1 M sup (φ f)(x) inf (φ f)(x) x [x i,x i+1] x [x i,x i+1] ) sup x [x i,x i+1] f(x) inf f(x) x [x i,x i+1] M(S f D ɛ s f D ɛ ) <M ɛ M = ɛ (x i+1 x i )= ) (x i+1 x i ) che implic l integrbilità diφ f. L proprietà (vi) h le seguenti notevoli conseguenze vi,1) Si f :[, b] R integrbile; llor f è integrbile ed inoltre f(x)dx f(x) dx (.6) Dimostrzione. È sufficiente pplicre l (vi) con φ(y) = y, per vere l integrbilità di f. Per provre l (.6), è sufficiente osservre che f(x) f(x) f(x) x [, b] ed pplicre quindi l monotonì dell integrle e note proprietà del vlore ssoluto. Osservzione.1: Notimo che l proprietà (vi,1) provt sopr non può essere invertit, nel senso che esistono funzioni non integrbili secondo Riemnn, m tli d essere integrbili in vlore ssoluto. È sufficiente considerre l funzione di Dirichlet con α = β 0 per vere un funzione non integrbile, m tle che f è costnte e quindi integrbile. vi,) Si f :[, b] R integrbile; llor f n,n N, è integrbile. Dimostrzione. L funzione φ(y) =y n verific in R l già provt disuguglinz (si ved il cpitolo sui numeri reli) t n z n =(t z)(t n 1 + t n z tz n + z n 1 ) d cui, per t, z [inf f,sup f], segue t n z n t z n mx( inf f, sup f ) n 1 15

16 Integrle di Riemnn che dà l lipschitzinità di tle φ in [inf f,sup f] in modo d poter pplicre (vi). vi,3) Sino f, g :[, b] R integrbili; llor mx(f(x), g(x)) e min(f(x), g(x)) sono integrbili. Dimostrzione. L tesi segue d precedenti proprietà un volt che si osservi che mx(f(x),g(x)) = min(f(x),g(x)) = f(x)+g(x)+ f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x) g(x) x [, b] x [, b]. Esercizio.1. Si f :[, b] R integrbile. Provre che f + (x) = mx(f(x), 0) e f (x) = mx( f(x), 0) (dette prte positiv e prte negtiv di f) sono integrbili. vi,4) Sino f, g :[, b] R integrbili. Allor fg è integrbile. Dimostrzione. È sufficiente usre precedenti proprietà, un volt che si osservi che f(x)g(x) = (f(x)+g(x)) (f(x) g(x)) 4 x [, b]. L proprietà (vi) fferm che l funzione compost φ g di un funzione lipschitzin φ :[, b] R edi un funzione integrbile secondo Riemnn g :[c, d] [, b] è ncor integrbile secondo Riemnn. L ipotesi ftt su φ non può essere tolt del tutto come il seguente esempio dimostr Esempio.1. Si φ(x) = { 1 x 0 :[0, 1] R 0 x =0 e si g l funzione di Lebesgue; è fcile vedere che φ g è l funzione di Dirichlet, che non è integrbile secondo Riemnn, mentre le due funzioni componenti lo sono. Nel Cpitolo 18 dimostreremo (Corollrio 10.4) che è sufficiente ssumere φ continu, per vere l integrbilità di φ g (con g sempre integrbile); mentre nel Cpitolo 16 dimostreremo con un esempio che se φ è solmente integrbile secondo Riemnn, llor φ g può non essere integrbile secondo Riemnn, nche se g è continu. vii) Si f :[, b] R limitt e integrbile secondo Riemnn. Se inf f > 0,llor 1 f Riemnn. Se f è integrbile, fissto ɛ>0 esiste D ɛ tle che S Dɛ s Dɛ <ɛ(inf [,b] ). Poiché sih 1 f (x) 1 f (y) f(x) f(y) (inf [,b] ) x, y [, b] f è integrbile secondo e quindi { } { } 1 1 sup f(x) : x [x i,x i+1 ] inf f(x) : x [x i,x i+1 ] 16

17 Integrle di Riemnn d S Dɛ s Dɛ <ɛ(inf [,b] ) segue fcilmente che sup{f(x) :x [x i,x i+1 ]} inf{f(x) :x [x i,x i+1 ]} (inf [,b] ) f S 1 f Dɛ s 1 f Dɛ <ɛ disuguglinz che prov l tesi. viii) Monotonì rispetto ll intervllo di integrzione. Si f :[, b] [0, + [ integrbile. Sino c, d [, b] con c<d. Allor d f(x)dx c f(x)dx Dimostrzione. L integrbilità di f in [c, d] è già stt provt. Dll (.1) si h f(x)dx = c f(x)dx + d f(x)dx + c d f(x)dx d cui segue immeditmente l tesi, tenendo conto del ftto che f è non negtiv e che, quindi, vle l (.4) in [, c] ein[d, b]. Esercizio.. Si f :(, b) R un funzione continu. Dimostrre che f è convess se e solo se t s f(y) dy t s [f(s)+f(t)] s, t (, b),s<t. 3.Il Teorem dell Medi e l integrle definito. Molto importnte (nonostnte l semplice dimostrzione) è il seguente Teorem dell Medi per l integrle di Riemnn.Si f definit e integrbile secondo Riemnn in [, b] vlori in R. Allorsih inf{f(x) :x [, b]}(b ) Se f è nche continu,llor esiste c [, b] tle che f(x)dx sup{f(x) :x [, b]}(b ) f(x)dx = f(c)(b ). 17

18 Integrle di Riemnn Dimostrzione. Si D l decomposizione di [, b] ottenut considerndo i punti = <x 1 = b; dll Osservzione 1.1 segue che d cui l prim prte dell tesi. inf{f(x) :x [, b]}(b ) f(x)dx sup{f(x) :x [, b]}(b ) Supponimo, or, che f si continu. Dll disuguglinz già ottenut si ricv fcilmente che inf{f(x) :x [, b]} f(x)dx sup{f(x) :x [, b]} b Essendo f continu l estremo inferiore di f è nche il minimo ssoluto, così come l estremo superiore di f è nche il mssimo ssoluto; llor il numero f(x)dx b è compreso fr il minimo ed il mssimo di f; il Teorem di Drboux (o dei vlori intermedi) per le funzioni continue permette di ffermre che tle numero f prte dell insieme immgine di f; quindi esiste c [, b] tle d soddisfre l second prte dell tesi. Il precedente risultto può essere esteso, con semplice dimostrzione che viene lscit llo stduente, come segue Teorem dell Medi Generlizzto.Si f definit e integrbile secondo Riemnn in [, b] vlori in R. Si g :[, b] [0, + [ integrbile secondo Riemnn in [, b]. Allor esiste µ [inf [,b] f,sup [,b] f] tle che si h (fg)(x)dx = µ g(x)dx. Se f è nche continu,llor esiste c [, b] tle che (fg)(x)dx = f(c) g(x)dx. Si f :[, b] R un funzione integrbile secondo Riemnn e sino dti due rbitrri punti,x 1 [, b]; se <x 1 sppimo che f risult integrbile in [,x 1 ] e quindi h senso considerre x 1 f(x)dx; è nturle (ed nche utile come vedremo in seguito) cercre di dre un significto ll integrle precedente qundo x 1. Definizione di integrle definito.si f :[, b] R un funzione integrbile secondo Riemnn e sino dti due rbitrri punti,x 1 [, b]; porremo llor per definizione x1 f(x)dx = integrle di Riemnn se <x 1 x1 f(x)dx =0 se = x 1 18

19 Integrle di Riemnn x1 x0 f(x)dx = f(x)dx se >x 1. x 1 Con quest definizione il simbolo x 1 f(x)dx h llor significto numerico per ogni coppi di punti,x 1 [, b]; esso viene chimto integrle definito. Si hnno le seguenti proprietà l cui dimostrzione segue subito dlle nloghe proprietà dell integrle di Riemnn e dll definizione sopr considert e viene pertnto lscit l lettore (in esse f,g :[, b] R denoternno funzioni integrbili secondo Riemnn in [, b] ed,x 1,x punti rbitrri di [, b]) x1 x1 x1 x1 x0 f(t)dt = f(t)dt x 1 x1 cf(x)dx = c f(x)dx c R [f(x)+g(x)]dx = x1 x1 x x1 f(x)dx + x1 x1 f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx x x1 x1 f(x)dx f(x) dx g(x)dx f(x)dx 0 se f(x) 0 e <x 1 f(x)dx x1 g(x)dx se f(x) g(x) e <x 1. Introducimo, or, l cosiddett funzione integrle, che come vedremo svolgerà un ruolo determinnte nel clcolo dell integrle definito di un funzione continu (ed nche nel clcolo degli integrli impropri che introdurremo in un cpitolo successivo) Definizione 3.1.Si f :[, b] R un funzione integrbile e si [, b]; llor l integrle x f(t)dt x [, b], è un ben definit funzione di x [, b],che chimeremo funzione integrle. Notimo che l vrire di [, b] l funzione integrle vri, cosicché d ogni funzione f integrbile sono, in reltà, ssocite infinite funzioni integrli; per esse dimostrimo lcune importnti proprietà rccolte in unico enuncito Teorem 3.1.Si f :[, b] R integrbile. Allor i) due sue qulunque funzioni integrli differiscono per un costnte 19

20 Integrle di Riemnn ii) ogni su funzione integrle è lipschitzin iii) se f è non negtiv,ogni su funzione integrle è non decrescente iv) se f è non decrescente,ogni su funzione integrle è convess. Dimostrzione. Le dimostrzioni di (i) e (iii), immedite, vengono lscite l lettore. Provimo (ii). Ricordimo che f è limitt, cioé che esiste M R tle che f(x) M per ogni x [, b]; se [, b] ed inoltre F (x) = x f(t)dt, x [, b], risult y z y F (y) F (z) = f(t)dt f(t)dt = y f(t)dt f(t) dt M y z z z che è l (ii) dell tesi. Dimostrimo, infine, l (iv). Se [, b] si F (x) = x f(t)dt, x [, b]. Per x, z [, b],λ [0, 1], provimo che F (λx +(1 λ)z) λf (x)+(1 λ)f (z). Posto y = λx +(1 λ)z, ricvimo che λ = y z x z ; osservimo che l tesi equivle F (y) =λf (y)+(1 λ)f(y) λf (x)+(1 λ)f(z) λ(f (y) F (x)) (1 λ)(f (z) F (y)) λ y f(t)dt (1 λ) z x y f(t)dt (3.1). Poiché f è non decrescente per ipotesi si h x t y f(t) f(y) ey t z f(y) f(t), d cui discende che y f(t)dt y x x f(y)dt = f(y)(y x), z f(t)dt z y y f(y)dt = f(y)(z y); ne segue che ed nche (1 λ) z y λ f(t)dt y x f(t)dt y z (y x)f(y) x z ( 1 y z ) (z y)f(y) = x y (z y)f(y) x z x z d cui l (3.1) equivlente ll tesi Esercizio 3.1. Si f :], b[ R. Dimostrre che f è convess se e solo se esiste un funzione g :], b[ R non decrescente tle che f(x) =f(c)+ x c g(t) dt c, x ], b[. 0

21 Integrle di Riemnn Quindi dimostrre che se g :], b[ R non decrescente è tle che f(x) =f(c)+ x c g(t) dt c, x ], b[, llor f (x) g(x) f +(x),x ], b[ ; infine, provre che per ogni g :], b[ R non decrescente tle che f (x) g(x) f +(x),x ], b[, si h f(x) =f(c)+ x c g(t) dt c, x ], b[. Un prim conseguenz di proprietà dell funzione integrle è l seguente non immedit ltr estensione del Teorem dell Medi Secondo Teorem dell Medi per l integrle di Riemnn.Sino f,g definite e integrbili secondo Riemnn in [, b] vlori in R con g monotòn (per fissre le idee si g non decrescente). Allor esiste c [, b] tle che (fg)(x)dx = g() c f(x)dx + g(b) c f(x)dx. Dimostrzione. Possimo subito osservre che se g è costnte non vi è null d provre, cosicché supporremo che g(b) g(). Si D = { = <x 1 <x <...<x n <x n+1 = b} un rbitrri (per or) decomposizione di [, b]; per ogni i =0, 1,,...n, sceglimo ξ i [x i,x i+1 ],i=1,,...n, con ξ 0 =, ξ n = b. Sih xi+1 (fg)(x)dx g(ξ i ) f(x)dx x i = xi+1 f(x)[g(x) g(ξ i )]dx x i xi+1 [g(x i+1 ) g(x i )] f(x) dx ; Poiché l funzione integrle x x f(x) dx :[, b] R è lipschitzin (Teorem 3.1), fissto ɛ>0 esiste δ>0 tle che, se D è scelt in modo che mx{x i+1 x i : i =0, 1,...n} <δ, risult xi+1 n (fg)(x)dx g(ξ i ) f(x)dx x i xi+1 [g(x i+1 ) g(x i )] f(x) dx <ɛ, x i qulunque si l scelt dei punti ξ i [x i,x i+1 ],i =1,,...n, con ξ 0 =, ξ n = b. Posto desso F (x) = x i x f(t)dt :[, b] R, sih xi+1 g(ξ i ) f(x)dx = x i d cui segue fcilmente che (mx F )[g(b) g()] + g(b) [,b] g(ξ i )[F (x i+1 ) F (x i )] = F (x i )[g(ξ i ) g(ξ i 1 )] + g(ξ n )F (x n+1 ) f(x)dx xi+1 g(ξ i ) x i 1 i=1 f(x)dx (min F )[g(b) g()] + g(b) [,b] f(x)dx

22 Integrle di Riemnn e quindi, per l rbitrrietà di ɛ, (mx F )[g(b) g()] + g(b) [,b] f(x)dx (fg)(x)dx (min F )[g(b) g()] + g(b) [,b] f(x)dx d cui deriv che [g(b) g()] 1 {g(b) f(x)dx } (fg)(x)dx [min F, mx F ]; [,b] [,b] esiste, cioé, µ [min [,b] F, mx [,b] F ] tle che (fg)(x)dx = µ[g(b) g()] + g(b) f(x)dx. Dl Teorem di Esistenz degli Zeri (pplicbile F perché continu) segue llor che esiste c [, b] tle che µ = c f(x)dx, uguglinz d cui deriv fcilmente l tesi. Corollrio 3..Sino f,g definite e integrbili secondo Riemnn in [, b] vlori in R con g monotòn (per fissre le idee si g non decrescente). Allor esiste c [, b] tle che (fg)(x)dx = g(+) c f(x)dx + g(b) c f(x)dx oppure oppure (fg)(x)dx = g() c f(x)dx + g(b ) c (fg)(x)dx = g(+) c f(x)dx + g(b ) c f(x)dx f(x)dx. Dimostrzione. Provimo solo l prim formul, poiché le ltre si ottengono llo stesso modo. Considerimo un nuov funzione g 1 :[, b] R definit ponendo g(x) x ], b] g 1 (x) = g(+) x = nch ess non decrescente (perché?). Applicndo ll coppi di funzioni f,g 1 il precedente Teorem ottenimo l tesi. 4.Il Teorem Fondmentle del Clcolo Integrle.

23 Integrle di Riemnn In questo prgrfo dimostreremo un importntissimo risultto che leg l integrle di Riemnn l concetto di primitiv nel cso di funzioni continue. Inizimo presentndo un risultto che mette in luce quell che, probbilmente, è l più importnte proprietà delle funzioni integrli Teorem di Derivbilità dell Funzione Integrle.Si f :[, b] R integrbile secondo Riemnn. Se [, b],l funzione integrle F (x) = x f(t)dt :[, b] R è derivbile in ogni punto x 1 [, b] dove f è continu; inoltre,si h F (x 1 )=f(x 1 ). Dimostrzione. Si x 1 [, b] un punto di continuità perf. Considerimo, per h R,h 0, tle che x 1 + h [, b], il rpporto incrementle di F ed osservimo (supponendo, tnto per fissre le idee, che h>0) chesih F (x 1 + h) F (x 1 ) h = x1+h f(t)dt x 1 f(t)dt = h x1+h x 1 f(t)dt [ h inf [x 1,x 1+h] f, sup f], [x 1,x 1+h] dove l ultim relzione di pprtenenz è conseguenz del Teorem dell Medi. L continuità dif in x 1 implic che per ogni ɛ>0 esiste δ>0tle che d x [, b], x x 1 <δsegue che f(x) f(x 1 ) <ɛ;ne viene che f(x 1 ) ɛ<f(x) <f(x 1 )+ɛ per x [, b], x x 1 <δ; quindi, f(x 1 ) ɛ inf ]x1 δ,x 1+δ[ f sup ]x1 δ,x 1+δ[ f f(x 1 )+ɛ. Se desso h<δricvimo fcilmente che inf ]x1 δ,x 1+δ[ f inf [x1,x 1+h] f sup [x1,x 1+h] f sup ]x1 δ,x 1+δ[ f e quindi, d qunto già osservto, che x1+h x 1 f(t)dt f(x 1 ) h ɛ; qunto provto è l tesi. L principle conseguenz del precedente risultto è il seguente teorem, l cui dimostrzione è, questo punto, immedit Teorem Fondmentle del Clcolo Integrle (Torricelli-Brrow).Si f :[, b] R un funzione continu e si [, b]. Allor l funzione integrle F (x) = x f(t)dt x [, b], è un primitiv di f. Osservzione 4.1: Il Teorem Fondmentle del Clcolo Integrle ed il Teorem di Lgrnge (pplicto ll funzione integrle) permettono di ffermre che, nell second prte del Teorem dell Medi, il punto c dell tesi si trov in ], b[. 3

24 Integrle di Riemnn Nel Teorem di Torricelli-Brrow l ipotesi di continuità non può essere tolt; inftti, supponimo che f si integrbile secondo Riemnn, m non continu (per esempio f si non continu e monotòn, con discontinuità, quindi, di prim specie o eliminbili); llor ogni su funzione integrle h senso, come osservto sopr, m nessun di esse può essere un primitiv per f, poiché f è priv di primitive. Si noti nche che l esistenz di primitive non implic l integrbilità secondo Riemnn; tl fine si consideri l funzione { x sin 1 x x 0 f(x) = 0 x =0 e l su derivt { x sin 1 f x (x) = x cos 1 x x 0 0 x =0 f è dott di primitive, m essendo non limitt in ogni intorno di x = 0 (l dimostrzione viene lscit l lettore) non è integrbile secondo Riemnn nell intervllo [ 1, 1]. Esercizio 4.1. Si f :[, b] R continu. Dire se dt un su primitiv F ess è un funzione integrle, cioé esiste [, b] tle che F (x) = x f(t) dt, x [, b], giustificndo l rispost. In cso di rispost negtiv, dire nche se esistono funzioni per le quli l rispost è positiv, individundo un condizione sufficiente che deve essere soddisftt d un funzione f perchè ogni su primitiv si un funzione integrle. L condizione trovt è nche necessri? Corollrio 4.1.Si f :[, b] R un funzione continu e si G un qulunque primitiv di f. Allor f(t)dt = G(b) G(). Dimostrzione. Dl precedente Teorem Fondmentle sppimo che l funzione F (x) = x f(t)dt x [, b], è un primitiv di f (qulunque si il punto che sceglimo in [, b]). È llor noto (Cpitolo 10) che tle F e G differiscono per un costnte k R; cioé G(x) F (x) =k, per ogni x [, b], e quindi G(b) G() =F (b) F () = L dimostrzione è conclus. G(b) F (b) =k = G() G(b) f(t)dt f(t)dt = b f(t)dt. Il precedente Corollrio 4.1 serve spiegre come è possibile clcolre il vlore dell integrle di Riemnn per 4

25 Integrle di Riemnn un funzione continu; vedremo in seguito come è possibile determinre il vlore di tle integrle per ltre clssi di funzioni integrbili secondo Riemnn (per esempio, quell delle funzioni generlmente continue e limitte). Esercizio 4.. Si f :[, b] R un funzione integrbile secondo Riemnn e si F :[, b] R un su primitiv. Provre che f(x) dx = F (b) F (). Sempre dl Corollrio 4.1 segue (con le stesse notzioni) che per ogni coppi di punti,x 1 [, b] risult x1 f(t)dt = G(x 1 ) G( ) (l dimostrzione viene lscit l lettore); l differenz G(x 1 ) G( ) viene volte indict con [G(t)] x1. Esempio 4.1. Si vogli clcolre l integrle definito seguente π 0 dx cos x + sin x +1 Osservimo innnzitutto che, essendo cos x 0 e sin x +1 0, il denomintore si nnull se e solo se cos x = 0 e sin x+1=0, un ftto che in [0,π] non si verific mi; quindi l funzione dt è definit, continu e positiv in [0,π]; ne segue in prticolre che il precedente integrle dovrà essere positivo. Nel Cpitolo 1 bbimo già clcolto un primitiv dell funzione integrnd negli intervlli [0, π [e]π,π]; ess è l funzione rctg(tgx + 1); tenendo conto dell osservzione importnte ftt ll inizio del cpitolo sull integrzione indefinit bbimo scritto che tutte e solo le primitive dell funzione integrnd in [0,π]\{0} sono le funzioni del tipo rctg(tgx +1)+c 1 x [0,π/[ G(x) = rctg(tgx +1)+c x ]π/,π] che sono poi stte incollte medinte un procedimento di limite per x π, ottenendo così che tutte e solo le primitive in [0,π] sono le funzioni rctg(tgx +1)+c 1 x [0,π/[ G(x) = π/+c 1 x = π/ rctg(tgx +1)+π + c 1 x ]π/,π] È llor fcile verificre che π 0 dx cos x + sin x +1 = π. Se nel clcolo di tli primitive (effettuto nel Cpitolo 1) non vessimo tenuto conto dell osservzione importnte come bbimo ftto ed vessimo considerto come primitive le funzioni del tipo F (x) = 5

26 Integrle di Riemnn rctg(tgx + 1)+ c, vremmo ottenuto π 0 dx cos x + sin x +1 =0 come fcilmente si verific; m per qunto osservto ll inizio, ciòè impossibile essendo l funzione integrnd positiv e continu in [0,π]. Esercizio 4.3. Dopo ver dimostrto che gli integrli definiti seguenti π 3 sin x cos x π 0 cos 6 x + sin 3 x cos 3 x + sin 6 x dx, dx 0 13 cos x + 8 sin x +4 devono essere positivi, clcolrne il vlore. Vlgono i seguenti risultti, conseguenze del Corollrio 4.1 Formul di Integrzione per Prti per l integrle definito.sino f, g : [, b] R due funzioni derivbili con derivte continue ed,x 1 due punti rbitrri di [, b]. Allor si h l seguente formul x1 x1 f (x)g(x)dx =(f(x 1 )g(x 1 ) f( )g( )) f(x)g (x)dx Dimostrzione. Un primitiv dell funzione f g + fg è l funzione fg; quindi per il Corollrio 4.1 si h x1 x1 f (x)g(x)dx + f(x)g (x)dx = f(x 1 )g(x 1 ) f( )g( ) che è l nostr tesi. L Formul di Integrzione per Prti h come conseguenz il seguente risultto reltivo ll Formul di Tylor con resto in form integrle Formul di Tylor con Resto in Form Integrle.Si f :(, b) R un funzione di clsse C n+1,n N, in tutto (, b). Per ogni coppi di punti x, (, b) sussiste l identità seguente f(x) = k=0 f (k) ( ) x (x ) k + k! dett Formul di Tylor con Resto in Form Integrle. f (n+1) (t) (x t) n dt, n! Dimostrzione. Dimostreremo l tesi procedendo per induzione su n; se n = 0 l tesi segue immeditmente dl Corollrio 4.1. Se desso mmettimo ver l tesi per n 1, dobbimo dimostrrl nel cso generle n; possimo intnto scrivere, grzie ll ipotesi di induzione, che f(x) = n 1 k=0 f (k) ( ) x (x ) k + k! 6 f n (t) (n 1)! (x t)n 1 dt (4.1);

27 Integrle di Riemnn desso usimo l Formul di Integrzione per Prti per clcolre l ultimo integrle ottenendo che x f n (t) (n 1)! (x t)n 1 dt = f n ( ) n x (x ) n + un bnle sostituzione nell formul (4.1) conclude l dimostrzione. f (n+1) (t) (x t) n dt; n! Esercizio 4.4. Utilizzndo l precedente Formul di Tylor dimostrre che se f :[, + [ R è ivi di clsse C, limitt per x [, + [ e con lim x + f (x) =0, llor deve versi lim x + f (x) =0. Primo Teorem di Integrzione per Sostituzione per l integrle definito.si f un funzione rele definit in [, b],ivi continu,e si g un funzione rele definit in [c, d] ed ivi derivbile con derivt continu, vlori in [, b]. Sino,x 1 [c, d]. Allor vle l seguente formul di integrzione per sostituzione x1 f(g(x))g (x)dx = g(x1) g() f(t)dt Dimostrzione. Si F un primitiv di f; llor si h g(x1) g() f(t)dt = F (g(x 1 )) F (g( )). D ltr prte, l funzione F (g) è un primitiv dell funzione f(g(x))g (x), cosicché x1 f(g(x))g (x)dx = F (g(x 1 )) F (g( )). Quindi i numeri che compiono nei due membri dell tesi sono uguli. Se si suppone che l funzione g che dà luogo ll sostituzione nel precedente Teorem è invertibile, llor è possibile stbilire un (Secondo) Teorem di Sostituzione, che vremo modo di utilizzre in seguito, sotto ipotesi per f molto più generli; per dimostrre tle risultto (cso prticolre del Teorem di Cmbimento di Vribili per l integrle di Riemnn per le funzioni di più vribili che proveremo nel Cpitolo 3) occorre premettere un definizione ed un Lemm Definizione 4.1.Si f : [, b] R un funzione; diremo che f è un funzione scl se esiste un decomposizione D = { = <x 1 <... x n <x n+1 = b} di [, b] tle che f è costnte su ogni sottointervllo ]x i,x i+1 [,, 1,...n. È fcile vedere che ogni funzione scl s è integrbile secondo Riemnn e che s(x) dx = ( ) xi + x i+1 s (x i+1 x i ) 7

28 Integrle di Riemnn (l dimostrzione viene lscit l lettore). Dimostrimo il seguente interessnte ftto Lemm 4..Si f :[, b] R un funzione integrbile secondo Riemnn. Per ogni ɛ>0 esistono due funzioni scl h ɛ,k ɛ :[, b] R tli che h ɛ (x) f(x) k ɛ (x) x [, b], k ɛ (x) dx h ɛ (x) dx<ɛ. Dimostrzione. Si ɛ>0; esiste llor un decomposizione D ɛ = { = <x 1 <... x n <x n+1 = b} di [, b] tle che S Dɛ s Dɛ <ɛ; possimo desso definire le due funzioni scl cercte come segue h ɛ (x) = inf{f(x) :x [x i,x i+1 ]} x [x i,x i+1 [,, 1,...n, h ɛ (x) = inf{f(x) :x [x n,x n+1 ]} x [x n,x n+1 ] oppure ponendo h ɛ (x) = inf{f(x) :x [x i,x i+1 ]} x ]x i,x i+1 ],i=1,,...n +1, h ɛ (x) = inf{f(x) :x [,x 1 ]} x [,x 1 ] ed nche k ɛ (x) = sup{f(x) :x [x i,x i+1 ]} x [x i,x i+1 [,, 1,...n, k ɛ (x) = sup{f(x) :x [x n,x n+1 ]} x [x n,x n+1 ] oppure k ɛ (x) = sup{f(x) :x [x i,x i+1 ]} x ]x i,x i+1 ],i=1,,...n +1, k ɛ (x) = sup{f(x) :x [,x 1 ]} x [,x 1 ]. È fcile vedere che esse hnno le proprietà richieste (l dimostrzione viene lscit l lettore). Esercizio 4.5. Si f : [, b] R un funzione tle che per ogni ɛ > 0 esistono due funzioni scl h ɛ,k ɛ :[, b] R tli che h ɛ (x) f(x) k ɛ (x) x [, b], k ɛ (x) dx h ɛ (x) dx<ɛ. Provre che f è integrbile secondo Riemnn. 8

29 Integrle di Riemnn Secondo Teorem di Integrzione per Sostituzione per l integrle definito.si f :[, b] R un funzione integrbile secondo Riemnn e si g un funzione rele definit in [c, d], ivi derivbile con derivt continu, vlori su [, b] ed invertibile. Sino y 0,y 1 [c, d]. Allor vle l seguente formul di integrzione per sostituzione y1 y 0 f(g(y))g (y)dy = g(y1) g(y 0) f(x)dx. Dimostrzione. È ovvio che bst provre l tesi per l integrle di Riemnn; possimo quindi supporre che c = y 0,d = y 1. Osservimo inoltre che le ipotesi su g permettono di sserire che g è non negtiv o non positiv su [c, d] (per noti risultti del Cpitolo 10); per fissre le idee supporremo che g si non negtiv. Scelto, desso, ɛ>0 esiste un decomposizione D ɛ = { = <x 1 <... x n <x n+1 = b} di [, b] tle che S Dɛ s Dɛ <ɛe due funzioni scl h ɛ,k ɛ :[, b] R definite prtire d tle decomposizione, con le proprietà descritte nel Lemm 4.; è fcile vedere che tle decomposizione di [, b] dà origine d un decomposizione D ɛ = {c = g 1 ( ) <g 1 (x 1 ) <... g 1 (x n ) <g 1 (x n+1 )=d} di [c, d] con h ɛ g, k ɛ g funzioni scl costnti ll interno degli intervlli dell decomposizione D ɛ; si h fcilmente h ɛ (g(y))g (y) f(g(y))g (y) k ɛ (g(y))g (y) y [c, d] e quindi d h ɛ (g(y))g (y) dy d f(g(y))g (y) dy d c c c k ɛ (g(y))g (y) dy; d ltr prte, detto h ɛ i (risp. kɛ i ) il vlore di h ɛ (risp. k ɛ ) sull i-esimo intervllo dell decomposizione D ɛ,si h fcilmente d c d h ɛ (g(y))g (y) dy = k ɛ (g(y))g (y) dy = g 1 (x i+1) g 1 (x i) g 1 (x i+1) h ɛ ig (y) dy = k ɛ i g (y) dy = xi+1 xi+1 x i h ɛ i dx = c g 1 (x i) x i k ɛ i dx = h ɛ (x) dx k ɛ (x) dx. Dlle uguglinze ppen provte e dll disuguglinze verificte dll funzioni h ɛ,k ɛ (si ved l tesi del Lemm 4.) segue fcilmente che d f(g(y))g (y)dy c f(x)dx <ɛ; l rbitrrietà di ɛ permette di concludere come richiesto nell tesi. Esercizio 4.6. Si r > 0 ed f :[ r, r] R integrbile secondo Riemnn. Dimostrre che se f è funzione pri, llor r f(x) dx = r f(x) dx, r f(x) dx = r r f( x) dx. 9

30 Qunto vlgono r r f(x) dx, r 0 f(x) dx, r 0 f( x) dx nel cso in cui f si funzione dispri? Integrle di Riemnn 5.Significto geometrico dell integrle di Riemnn. L integrle di Riemnn h nche un interessnte significto d un punto di vist geometrico, che chirisce nche il motivo dell definizione dottt; già Archimede (m probbilmente il suo metodo di esustione è ncor più ntico) cercò di clcolre l re di lcune figure elementri ricorrendo un procedimento che st ll bse dell Teori dell Misur di Peno-Jordn e che leg quest ultim ll integrle di Riemnn. Per spiegre tle significto dobbimo introdurre il concetto di insiemi pini misurbili secondo Peno- Jordn; fremo ciò in modo conciso, poiché quest teori srà mpimente trttt nel Cpitolo ; in prtic tenteremo di estendere il concetto di re di certi insiemi pini già noto dll Geometri Euclide fmiglie più mpie di sottoinsiemi, cercndo di mntenere il mggior numero possibile delle buone proprietà di cui quel concetto godev. Come già detto considereremo solo insiemi pini, cioé sottoinsiemi di R. Innnzitutto, convenimo di considerre misurbile secondo Peno-Jordn l insieme vuoto, ponendo, per definizione, m( ) = 0 (il simbolo m(x) si leggerà sempre misur di X ). Chimeremo poi insiemi elementri i rettngoli chiusi con lti prlleli gli ssi coordinti in R, cioé gli insiemi del tipo = [, b] [c, d], con <b,c<d. Un tle insieme srà per noi misurbile secondo Peno- Jordn; definiremo misur m di un insieme elementre l su misur (o re) nel senso dell Geometri Euclide, cioé il numero m( )=(b )(d c). Chimeremo pluriintervllo o plurirettngolo ogni insieme che risult unione di un numero finito di insiemi elementri due due privi di punti interni comuni; un tle insieme lo penseremo sempre misurbile secondo Peno-Jordn e ne definiremo l misur m(x) come somm delle misure degli insiemi elementri che lo compongono. Osservimo che ogni plurirettngolo può essere decomposto in differenti modi come unione di un numero finito di insiemi elementri due due privi di punti interni comuni; tuttvi, si può provre che l su misur non dipende dll decomposizione scelt per clcolrl. Un importnte proprietà dell misur dei plurirettngoli è l seguente: se P, Q sono due plurirettngoli con P Q llor m(p ) m(q). 30