Il livello logico digitale

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1 Il livello logico digitale porte logiche e moduli combinatori Algebra di commutazione Algebra booleana per un insieme di due valori Insieme di elementi A={,} Operazioni NOT (operatore unario) => = e = AND (binario) => = = = e = OR (binario) => + = e + = + = + =

2 Una semplice applicazione Variabile di controllo: X due stati: X= -> interruttore aperto X= -> interruttore chiuso Uscita Y Due stati: Lampadina spenta (Y=) Lampadina accesa (Y=) Y = X X= Y= X= Y= Modello logico AND X X2 Y Y = X AND X2 OR X Y Y = X OR X2 X2

3 Principali proprietà Le principali porte logiche

4 Comportamento esterno idealizzato Esempio: porta AND, logica positiva A A B B X X tempo Funzione di commutazione Sia xi una variabile di commutazione ed x=(x,x 2,,x n ) il vettore composto da n variabili binarie x i {,}, x {,} n Si definisce funzione di commutazione la funzione y=f(x), dove f: {,} n {,} Osservazione Il numero di n-ple diverse è 2 n Ogni n-pla definisce un assegnazione di verità

5 Funzioni di commutazione x x 2 y x n Alcune funzioni di commutazione elementari sono realizzate mediante porte logiche Altre funzioni sono realizzate componendo le porte di base rete logica Tabella di verità Una funzione di commutazione può essere definita mediante la tabella di verità, ossia un elenco dei valori di y per ogni assegnazione di verità n variabili valori della funzione 2 n assegnazioni di verità x 2 x y...

6 Numero di funzioni n variabili binarie => m=2 n assegnazioni diverse di valori. funzione = assegnare m valori di verità (,) => 2 m assegnazioni diverse n 2 n 2 2n Funzioni unarie x y x y y y 2 y 3 y : funzione y : negazione (NOT) y 2 : funzione identità y 3 : funzione

7 Funzioni binarie x 2 x y y y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 9 y y Y 2 y 3 y 4 y 5 NOT x 2 NOT x AND OR OR AND x x 2 y Analisi e Sintesi FUNZIONE DI COMMUTAZIONE Analisi Sintesi RETE LOGICA

8 Analisi di una rete di porte logiche Ha come obiettivo la descrizione dei valori dell uscita in funzione degli ingressi (tabella verità o forma chiusa) X X X + X ( X 3 ) (X + X ) ( X 3 ) X 3 X 3 Y = (X + X ) ( X 3 ) Esempio

9 Esempio Sintesi Forme canoniche Esiste un modo standard (o canonico) per definire una qualunque funzione? Si, 2 forme: Somma di Prodotti (SP) e la duale Prodotto di Somme (PS)

10 Mintermine Un mintermine m i di n variabili, è una funzione che vale solo in corrispondenza dell assegnamento di verità i. E il prodotto di tutte le variabili dirette o negate m 3= x 4 x 3 x 2 x Qualunque funzione è esprimibile come somma dei mintermini per cui y = f(x,.., x n )= Σ m k k f(k)= Esempio y=f(x,x2,x3) è se e solo se il numero di variabili con valore è pari x 3 x 2 x y m m 3 m 5 m 6 y =m +m 3 +m 5 +m 6 =Σ(,3,5,6) f(x,x 2,x 3 ) = x 3 x 2 x + x 3 x 2 x + x 3 x 2 x + x 3 x 2 x

11 Verifica Un mintermine vale solo per una particolare assegnazione di valori alle variabili (mi= f(i)=) x 3 x 2 x y m m 3 m 5 m y =Σ(,3,5,6) Sintesi Forma canonica SP Una funzione Y di n variabili espressa come somma canonica può essere realizzata mediante 2 livelli di logica (AND e OR) X X Y = Σ(,5,6) X X X2 5 Y X X Rete AND in OR 6

12 Esempio Disegnare un circuito in forma SP che realizzi la seguente tabella di verità (funzione di maggioranza) Esempio funzione di maggioranza

13 PLA (Programmable Logic Array)

14 Maxtermine Un maxtermine Mi di n variabili è una funzione che vale solo in corrispondenza dell assegnamento di verità i. E la somma di tutte le variabili dirette o negate M 2= x 4 +x 3 +x 2 +x Una funzione è esprimibile come prodotto dei maxtermini per cui y= f(x,.., x n )= Π M k f(k)= k Esempio y=f(x,x 2,x 3 ) è se e solo se il numero di variabili con valore è pari x 3 x 2 x y M M 2 M 4 y =M M 2 M 4 M 7 = Π(,2,4,7) 6 7 M 7 f(x,x 2,x 3 ) =(x 3 +x 2 + x ) (x 3 + x 2 + x ) ( x 3 + x 2 + x ) ) ( x 3 + x 2 + x )

15 Verifica Un maxtermine vale solo per una particolare assegnazione di valori alle variabili x 3 x 2 x y M M 2 M 4 M M M 2 M M 7 y =Π(,2,4,7) Mappe di Karnaugh (MK) Usate per funzioni di commutazione a 2,3,4,5,6 variabili Sono simili alle tabelle di verità perché presentano tutti i possibili valori degli ingressi e la corrispondente uscita Facilitano la minimizzazione: le caselle sono numerate in modo che due caselle adiacenti (verticalmente o orizzontalmente) differiscano per un solo bit (la mappa è richiusa su se stessa ) E possibile operare la semplificazione ad occhio : gruppi di caselle adiacenti con valore corrispondono a termini semplificabili φ x + φ x = φ

16 MK per 2 variabili Esempio A B y B A Y=AB+AB MK per 2 variabili Esempio di semplificazione A B y Y=AB+AB = A(B+B)=A B A La forma SP contiene due termini nei quali la variabile B compare sia diretta che negata Sulla MK le celle con valore sono adiacenti La variabile B può essere semplificata

17 Mappe di Karnaugh per 3 e 4 variabili di commutazione Y X X X 3 Y X X Mappe di Karnaugh per 3 e 4 variabili di commutazione X Y X X 3 Y X X

18 Esercizio Impiego di MK Semplificare il circuito dato mediante MK A B C Y Tabella di verità A B C A B C A B C m 4 m 5 m 6 Y Soluzione A B C Y A B C A B C+ A B C A B A B C+A B C A C Y=A C+A B A B C

19 Algebra di commutazione minimizzazione Y = Σ(,5,6) = /X 3 / /X X + /X 3 /X X + /X 3 X /X Y X X Y X X X X /X 3 X /X /X 3 / /X X + /X 3 /X X = /X 3 /X X ( + / ) = = /X 3 /X X = /X 3 /X X Y = /X 3 /X X + /X 3 X /X somma minima. min(termini prodotto) 2. min(letterali) Porte universali Con le tre porte (NOT, AND, OR) può essere realizzata qualunque funzione (insieme completo) Non è minimo: l operatore AND (OR) è ridondante Le porte NAND ed NOR solo le (uniche) porte universali poiché mediante esse può essere realizzata qualunque funzione binaria

20 Realizzazione NOT,AND,OR Sintesi con porte universali SP: Le porte AND e la OR sono sostituite con NAND PS: Le porte OR e la AND sono sostituite con NOR

21 = = = = = = = =

22 Esempio y=σ(,5,6) X X X X X X 5 Y X X 5 Y X X 6 Rete AND in OR X X 6 Rete NAND in NAND Sintesi a 2 livelli (forme canoniche) Una qualunque funzione di commutazione può essere realizzata con 2 livelli di porte secondo le seguenti strutture Somma di Prodotti (SP) AND in OR NAND in NAND Prodotti di Somme (PS) OR in AND NOR in NOR

23 La porta XOR Porta logica XOR X X Y X X La porta XNOR Porta logica XNOR X X Y X X

24 Riepilogo Operatore Simbolo Proprietà NOT y= se e solo se x= y=x AND y=x x 2 y= se e solo se x =x 2 = OR y=x +x 2 y= se e solo se x =x 2 = NAND y=x /x 2 y= se e solo se x =x 2 = NOR y= x x 2 y= se e solo se x =x 2 = XOR y = x x 2 y= se e solo se x x 2 XNOR y= x x 2 y= se e solo se x =x 2 Buffer three-state L uscita può assumere uno stato di alta impedenza elettrica (non e uno stato logico), utile per disconnettere l uscita dagli altri circuiti ad essa collegati. X OE Y OE x y - Hi

25 Buffer three-state Serve per collegare vari le uscite di vari dispositivi ad uno stesso mezzo trasmissivo (bus) Un solo segnale di abilitazione deve essere abilitante, gli altri devono mettere le uscite dei buffer three-state in alta impedenza. OE In In2 OE2 Out OEn Inn Moduli combinatori fondamentali Sommatore Shifter Comparatore Codificatore Decodificatore Multiplexer(mux) Demultiplexer (demux)

26 Half Adder - Semisommatore Ingresso 2 bit, uscita 2 bit A+ B= C S C=AB S=AB + AB=A B A B In Out HA A B C S S HA A C S B C Full Adder (sommatore completo) Ingresso 3 bit: Operandi ( e ), riporto (C i ), Uscita 2 bit: Somma (S i ), e riporto (C i+ ) c i + + = c i+ S i c i FA S i c i c i c i+ S i C i A B HA Cg FA c i+ = se numero di 2 - Cg= se a=b= HA Cp C i+ - Cp= se a oppure b sono e c i = S i

27 Esempio sintesi funzione di carry c i FA S i c i c i c i+ S i C i+ = Σ (3,5,6,7)= C i + C i + C i + C i Esempio sintesi funzione di carry c i+ = c i + c i + c i + c i + c i + c i = (c i +c i ) + c i ( + ) + c i ( + ) = + c i + c i c i Sintesi in Somma di Prodotti c i+

28 Esempio sintesi funzione di carry Sintesi c i nand-nand A c i+ B doppia negazione Full Adder Circuito a minimo numero di porte Si vale solo quando il numero di bit è dispari: S i = C i Inoltre, c i+ = + c i + c i = + c i ( + ) = + c i ( ) c i c i+ c i ( ) S i

29 Ripple Carry Adder (RCA) Si usa il Full Adder per realizzare addizionatori a due operandi di n bit [A(n-:), B(n-:)] A B A B A2 B2 An- Bn- (C) FA C FA C2 FA C3 Cn FA Cn+ S S S2 Sn- Sn(OVerFlow) Detti Ts e Tc i tempi di ritardo del FA relativi alla somma (Si) ed al riporto (Ci+). A B A B A2 B2 An- Bn- Tc 2Tc 3Tc (n-)tc ntc FA FA FA FA Ts Ts+Tc Ts+2Tc S S S2 Ts+(n-)Tc Sn- Sn(OVF) si ha che il tempo per il calcolo del bit di peso i della somma è pari a Ts + itc, quindi il risultato e pronto dopo che il riporto si e propagato attraverso i FA (RIPPLE CARRY ADDER) Circuito per la somma/sottrazione a n- b n- a b a b S/D FA FA FA c OVF s n- s s

30 Decodificatore Ogni uscita vale in corrispondenza di una ed una sola configurazione d ingresso En I I Z Z Z 2 Z 3 I I DEC Z Z Z 2 XX En Z 3 Z = En I I Z = En I I Z 2 = En I I Z 3 = En I I n DEC 2 n Nota: Z i è il mintermine m i Z i = (Input) 2 = i Un decoder con n segnali di ingresso possiede 2 n segnali di uscita Esempio decoder 3-8

31 Codificatore Svolge la funzione inversa del decodificatore: per ogni configurazione d ingresso avente uno e solo un valore (le uniche valide) viene prodotta un uscita caratteristica che la individua I I I 2 COD Z I 3 I 2 I I Z Z I 3 Z Z = I + I 3 Z = I 2 + I 3 2 n COD n Un encoder con 2 n segnali di ingresso possiede n segnali di uscita Multiplexer Input: 2 n ingressi di segnale ed n di controllo Uscita: riproduce un ingresso I I i i Z I S I 2 n - Z I 2 n - n S(:n) I.... Z I 2 n - i. I i. dec 2 n - I 2 n - n 2 n - mi = mintermine definito sulle variabili di controllo S Z = Σ m i i= I i

32 Esempio Mux 8- Multiplexer come generatore di funzioni Si usano le variabili I per determinare quali mintermini sommare Le variabili S svolgono il ruolo d ingresso! 2 n - Y = Σ m i i= Y(X 3 X X ) = ( 7,,, 3, 4, 5) I i Vhi = Y Vlo= 4 X 3 X X

33 Demultiplexer -2 N (distributore oppure demux -2 N ) Funzione inversa del MUX Copia l ingresso sull uscita selezionata Z i E un decoder con un ingresso comune in più I S S 2 n - Z 2 n - n Z S(:n) I Z Se S(:n)=i allora Z i =I Z 2 Z 3 Calcolatori Elettronici, Beraldi, aa2/3 Comparatore

34 Shifter ALU ad un bit