Capitolo 27. Elementi di calcolo finanziario EEE

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1 Capitolo 27 Elemeti di calcolo fiaziario EEE

2 27.1 Le diverse forme dell iteresse Si defiisce capitale (C) uo stock di moeta dispoibile i u determiato mometo. Si defiisce iteresse (I) il prezzo d uso del capitale. Si defiisce saggio o tasso di iteresse (r) l iteresse maturato dall uità di capitale (1 ) ell uità di tempo (1 ao)

3 27.1 Le diverse forme dell iteresse L iteresse rappreseta il costo del dearo dipede dal redimeto che si può ritrarre impiegadolo i ivestimeti fruttiferi ovvero dal sacrificio sopportato el dilazioare u cosumo presete per u cosumo futuro osservazioe di seso comue: è sempre preferibile disporre di ua somma subito piuttosto che posposta el tempo

4 27.1 Perché è preferibile disporre di ua somma di dearo subito piuttosto che posposta el tempo? Per diversi motivi: Psicologici: Logici: Ecoomici: gli uomii soo esseri mortali ed il tempo di vita o è ifiito più lotao è il mometo del pagameto, maggiore è l icertezza il possesso del dearo forisce, co il tempo, u iteresse ecoomico

5 27.1 Le diverse forme dell iteresse L iteresse può essere calcolato secodo diverse modalità: Iteresse semplice gli iteressi maturati i u dato periodo o si sommao al capitale el calcolo degli iteressi del periodo successivo Iteresse composto gli iteressi maturati alla fie di u dato periodo si sommao al capitale e quidi divetao fruttiferi per il periodo successivo

6 27.1 Le diverse forme dell iteresse I relazioe al mometo della maturazioe, elle trasazioi fiaziarie l iteresse può avere le segueti scadeze: Auale matura alla fie dell ao Semestrale matura alla fie del semestre Quadrimestrale matura alla fie del quadrimestre Trimestrale matura alla fie del trimestre Bimestrale matura alla fie del bimestre Mesile matura alla fie del mese il più frequete Ua volta maturato, l iteresse può essere prelevato Se o è prelevato: i caso di iteresse semplice, o diveta fruttifero i caso di iteresse composto, diveta fruttifero

7 27.1 DEFINIZIONI r = saggio di iteresse (auale, semestrale, trimestrale ecc.) = durata temporale dell operazioe, misurata el umero di volte (cicli) i cui l iteresse matura el periodo di tempo cosiderato dall operazioe NOTA BENE: è da itedersi come la frequeza co cui l iteresse matura el periodo di tempo cosiderato (è misurato i cicli)

8 27.1 Esempi di come si calcola = durata temporale dell operazioe, misurata el umero di volte (cicli) i cui l iteresse matura el periodo cosiderato PERIODO CALCOLO INTERESSE ANNUALE ( è espresso i umero di cicli auali) 3 mesi = 0,25 cicli auali (3 mesi / 12 mesi) 3 ai = 3 cicli auali (3 ai / 1 ao) 3 ai e 6 mesi = 3,5 cicli auali (3,5 ai / 1 ao) INTERESSE SEMESTRALE ( è espresso i umero di cicli semestrali) 3 mesi = 0,5 cicli semestrali (3 mesi / 6 mesi) 3 ai = 6 cicli semestrali (3 ai / 0,5 ai) 3 ai e 6 mesi = 7 cicli semestrali (3,5 ai / 0,5 ai)

9 INTERESSE SEMPLICE

10 INTERESSE SEMPLICE gli iteressi maturati i u dato periodo NON si sommao al capitale el calcolo degli iteressi del periodo successivo i altre parole, gli iteressi soo ifruttiferi

11 Iteresse semplice Calcolo dell iteresse I C r o dove: I C 0 r = iteresse maturato = capitale iiziale = saggio di iteresse = durata temporale (umero di cicli di maturazioe dell iteresse ell arco temporale cosiderato)

12 Iteresse semplice ESEMPIO: Calcolo dell iteresse I C o r Calcolare l iteresse maturato da u capitale di 100 depositato i baca al saggio auale del 6% Per u ao: C 0 = 100 r = 0,06 auale (aualità) = 1 I = 100 0,06 1 = 6

13 Iteresse semplice ESEMPIO: Calcolo dell iteresse I C o r Calcolare l iteresse maturato da u capitale di 100 depositato i baca al saggio auale del 6% Per 272 giori: C 0 = 100 r = 0,06 auale (aualità) = 272/365 = 0,745 I = 100 0,06 0,745 = 100 0,0447 = 4,47

14 Iteresse semplice ESEMPIO: Calcolo dell iteresse I C o r Calcolare l iteresse maturato da u capitale di 100 depositato i baca al saggio semestrale del 3% Per u ao: C 0 = 100 r = 0,03 semestrale (semestralità) = 12/6 = 2 I = 100 0,03 2 = 6

15 Iteresse semplice ESEMPIO: Calcolo dell iteresse I C o r Calcolare l iteresse maturato da u capitale di 100 depositato i baca al saggio semestrale del 3% Per 272 giori: C 0 = 100 r = 0,03 semestrale (semestralità) = 272/182,5 = 1,490 I = 100 0,03 1, 490 = 100 0,0447 = 4,47

16 27.2 Attezioe Nel calcolare l iteresse semplice, se il saggio raddoppia e la durata si dimezza (o viceversa) il risultato fiale o cambia, qualuque sia il umero di volte che l iteresse è maturato Ciò è dovuto al fatto che gli iteressi maturati o si sommao al capitale e quidi o divetao fruttiferi

17 Iteresse semplice Iteresse: formule derivate I C dove: I = iteresse maturato; C 0 = capitale iiziale; r = saggio di iteresse; = durata temporale (umero di cicli di maturazioe ell arco temporale cosiderato) Formule derivate: o r C o I r r I C o I C o r

18 Iteresse semplice ESEMPIO: formule derivate I C o r Per u ao, co saggio auale del 6%: I = 100 0,06 1 = 6 C 0 = 6 / 0,06 =100 r = 6 / 100 = 0,06 = 6 / (100 x 0,06) = 6 / 6 = 1 ciclo (auale)

19 Iteresse semplice ESEMPIO: formule derivate I C o r Per u ao, co saggio semestrale del 3%: I = 100 0,03 2 = 6 C 0 = 6 / 0,03 x 2 =100 r = 6 / 100 x 2 = 0,03 = 6 / (100 x 0,03) = 6 / 3 = 2 cicli (semestrali)

20 Iteresse semplice Calcolo del motate Si defiisce motate (M ) la somma del capitale e dei relativi iteressi maturati i u determiato periodo di tempo M C o ( 1 r) dove: M C 0 r = motate = capitale iiziale; = saggio di iteresse; = durata temporale (umero di cicli di maturazioe ell arco temporale cosiderato)

21 M C o ( 1 r)

22 Iteresse semplice Calcolo del motate Si defiisce motate (M ) la somma del capitale e dei relativi iteressi maturati i u determiato periodo di tempo: M C ( 1 r) o Il motate uitario è la somma di u capitale di 1 euro e dei relativi iteressi maturati i u ao ed è idicato co il simbolo q: q = (1 + r) motate uitario Formule derivate: C o M 1 I M 1 1 r 1 r r M C o 1 M C o r 1

23 I =

24 INTERESSE COMPOSTO

25 INTERESSE COMPOSTO Nell iteresse composto, gli iteressi maturati alla fie di u dato periodo si sommao al capitale, per diveire fruttiferi per il periodo successivo

26 INTERESSE COMPOSTO Calcolo del motate q C r C M r C r r C r M M r M I M M r C r C C I C M ) (1 ) (1 ) )(1 (1 ) (1 ) (1 Alla fie del primo periodo: Alla fie del secodo periodo: Alla fie del periodo eesimo:

27 Iteresse composto Calcolo del motate e formule derivate M C0 ( 1 r) C0 q Formule derivate: M = C 0 q C 0 M q I = M C 0 = C 0 q - C 0 I C0 ( q 1) I = M C 0 = M M 1/q = M (1-1/q ) I Sc M q 1 q (1 + r) = M / C 0 (1 + r) = r M C 0 1 logm = logc 0 + log q log q = logm logc 0 log M log C0 log q

28 27.2 Trasferimeto dei valori el tempo Le formule relative al motate dell iteresse composto servoo per effettuare i trasferimeti dei valori el tempo: posticipazioi e aticipazioi Soo operazioi ecessarie quado i valori che si verificao i periodi diversi devoo essere riportati allo stesso mometo fattore di riporto fattore di scoto

29 27.2 Trasferimeto dei valori el tempo: esempio 1 POSTICIPARE = sommare a u valore dispoibile al mometo 0 gli iteressi maturati ell itervallo da 0 a ANTICIPARE = detrarre da u valore dispoibile al mometo gli iteressi maturati ell itervallo da 0 a INTERESSE COMPOSTO ANNUO U capitale di 100 dispoibile oggi, impiegato per 3 ai al saggio d iteresse composto auo del 5% produce u motate pari a: Ciò sigifica che: M = 100 x (1+0,05) 3 = 100 x 1,16 = dispoibili oggi = 116 dispoibili fra 3 ai

30 27.2 Trasferimeto dei valori el tempo: esempio 2 POSTICIPARE = sommare a u valore dispoibile al mometo 0 gli iteressi maturati ell itervallo da 0 a ANTICIPARE = detrarre da u valore dispoibile al mometo gli iteressi maturati ell itervallo da 0 a INTERESSE COMPOSTO SEMESTRALE U capitale di 100 dispoibile oggi, impiegato per 3 ai al saggio d iteresse composto semestrale del 5% produce u motate pari a: Ciò sigifica che: 3 ai = 6 semestri M = 100 x (1+0,05) 6 = 100 x 1,34 = dispoibili oggi = 134 dispoibili fra 3 ai

31 27.2 Trasferimeto dei valori el tempo: esempio 3 POSTICIPARE = sommare a u valore dispoibile al mometo 0 gli iteressi maturati ell itervallo da 0 a ANTICIPARE = detrarre da u valore dispoibile al mometo gli iteressi maturati ell itervallo da 0 a INTERESSE COMPOSTO SEMESTRALE U capitale di 100 dispoibile oggi, impiegato per 1 ao e mezzo al saggio d iteresse composto semestrale del 5% produce u motate pari a: Ciò sigifica che: 1 ao e mezzo = 3 semestri M = 100 x (1+0,05) 3 = 100 x 1,16 = dispoibili oggi = 116 dispoibili fra 1 ao e mezzo

32 27.2 Trasferimeto dei valori el tempo Per r > 0 posticipado si ottiee u valore superiore al valore di parteza: C 0 q > C o q > 1 aticipado si ottiee u valore iferiore al valore di parteza: C 0 1/q > C o 1/q > 1 Per r = 0 (saggio ullo) I valori posticipati o aticipati corrispodoo al valore di parteza q = 1 1/q = 1

33 INTERESSE COMPOSTO tempo impiegato da u capitale per raddoppiare (q =2) Saggio auale ( r ) Ai (approssimati) 2% % % % % % % % % 7-8

34 Periodicità soo periodicità i valori costati che si verificao a itervalli di tempo regolari, corrispodeti al mometo della maturazioe dell iteresse, ovvero a periodi multipli degli stessi A secoda del periodo di scadeza: periodicità deceali p. quiqueali p. bieali p. auali p. semestrali p. quadrimestrali p. trimestrali p. bimestrali p. mesili

35 Periodicità rispetto al mometo della scadeza, le periodicità possoo essere aticipate (posizioate all iizio del periodo) o posticipate (posizioate alla fie del periodo) rispetto alla durata, le periodicità possoo essere limitate (umero di periodi limitato) o illimitate (umero illimitato di periodi) o cofodere l accumulazioe fiale/iiziale co la posticipazioe/aticipazioe: le prime si riferiscoo a valori periodici, che si ripetoo el tempo le secode a meri trasferimeti di sigoli valori el tempo

36 Periodicità Periodicità t < 1 ao t = 1 ao 0 s 0 0 a s s s s a s s s s a a a s s s Semestralità posticipate ai Semestralità aticipate ai a Aualità posticipate ai soo periodicità i valori costati che si verificao a itervalli di tempo regolari, corrispodeti al mometo della maturazioe dell iteresse, ovvero a periodi multipli degli stessi t > 1 ao 0 Aualità aticipate ai b p pb pb Poliaualità Biaualità (t=2) posticipate ai pb b p pb Poliaualità (t=2) aticipate Biaualità aticipate ai

37 27.5 Aualità Periodicità costati posticipate limitate: Accumulazioe fiale a a a a 0 q q 2 q A aq i0 i 1 q A q 1 a r (1) Iversa: a A q r 1 (2)

38 27.5 Periodicità Periodicità costati posticipate limitate: Accumulazioe fiale Si tratta di ua progressioe geometrica co ragioe q.

39 27.5 Periodicità Periodicità costati posticipate limitate: Accumulazioe fiale Si tratta di ua progressioe geometrica co ragioe q. La ragioe i ua progressioe geometrica è data dal rapporto costate tra u termie e quello successivo. La somma dei termii di ua progressioe geometrica si ottiee moltiplicado l ultimo termie (a*q -1 ) per la ragioe (q), sottraedo a questo risultato il primo termie (a*q 0 = a) e dividedo il tutto per la ragioe meo 1. A aq 1 q aq q 1 0 a q 1 q q 1 1 a q 1 r (1) da cui deriva la (2)

40 27.5 Periodicità Periodicità costati posticipate limitate: Accumulazioe iiziale q 1 2 q a a a a A 0 i0 a 1 i q 1 q 1 1 q Iversa: A 0 q 1 a rq (3) a A 0 rq q 1 (4)

41 27.5 Periodicità Periodicità costati posticipate limitate: Accumulazioe iiziale Si tratta di ua progressioe geometrica co ragioe q

42 27.5 Periodicità Periodicità costati posticipate limitate: accumulazioe iiziale Si tratta di ua progressioe geometrica co ragioe q. La ragioe i ua progressioe è data dal rapporto costate tra u termie e quello successivo. La sommatoria dei termii di ua progressioe geometrica si ottiee moltiplicado l ultimo termie (a*1/q) per la ragioe (q), sottraedo a questo risultato il primo termie (a*1/q ) e dividedo il tutto per la ragioe meo uo (q -1). I formula: (3) da cui deriva la (4)

43 27.5 Periodicità costati limitate: ATTENZIONE Per r > 0 e quidi per q > 1: Mediate l accumulazioe FINALE si ottiee sempre u valore SUPERIORE alla somma aritmetica delle periodicità a q 1 r a q 1 r Mediate l accumulazioe INIZIALE si ottiee sempre u valore INFERIORE alla somma aritmetica delle periodicità a q 1 rq a q 1 rq

44 27.5 Periodicità Periodicità costati posticipate illimitate: Accumulazioe iiziale Per le periodicità illimitate ha sigificato ecoomico solo l accumulazioe iiziale, che si ricava dalla formula delle periodicità limitate A 0 a r (5)

45 27.5 Periodicità Periodicità costati posticipate limitate: accumulazioe iiziale (5) iversa: (6)

46 ESEMPIO: Accumulazioe iiziale di aualità illimitate

47 27.5 Periodicità costati illimitate: ATTENZIONE Saggio % ( r ) Saggio uitario Moltiplicatore (1/ r) A 0 a r Dividere per u saggio sigifica moltiplicare per l iverso 1 0, , , , , , , , , , ,20 5

48 ESEMPIO: Accumulazioe iiziale di aualità illimitate ATTENZIONE:

49 Periodicità aticipate Le formule relative alle periodicità aticipate si ottegoo da quelle idicate per i valori posticipati, mediate la posticipazioe dei valori costati (auali, semestrali ecc.) cioè moltiplicado tali valori per il fattore q (accumulazioe) e 1/q (quota) Periodicità costati aticipate limitate: accumulazioe fiale A q aq 1 r a A 1 q q r 1 Periodicità costati aticipate limitate: accumulazioe iiziale A 0 q 1 aq rq a A 0 1 rq q q 1 Periodicità costati aticipate illimitate:accumulazioe iiziale A 1 A0r 0 aq a r q

50 SAGGIO NOMINALE E SAGGIO EFFETTIVO È prassi comue riferire il saggio d iteresse alla scadeza auale, ache quado l iteresse matura per frazioi (o multipli) di ao Spesso si opera per approssimazioe: per esempio, el caso di u saggio semestrale del 2,5%, è prassi comue idicarlo come u saggio auo (omiale) del 5% (2,5% x 2) i questo caso, il saggio auo così calcolato (5%) ha u valore puramete omiale e o effettivo (è più basso) Ma le operazioi di calcolo fiaziario devoo essere sempre eseguite utilizzado il saggio effettivo e o quello omiale Per ricavare il saggio effettivo auo, corrispodete a u saggio omiale che matura per periodi iferiori (frazioi) all ao occorre calcolare il motate uitario a fie d ao dell uità di capitale e trovare per differeza il saggio cioè sottraedo 1 al motate uitario a fie ao (vedi esempio succ.)

51 SAGGIO NOMINALE E SAGGIO EFFETTIVO Seguedo l esempio precedete, vogliamo calcolare il saggio effettivo auale el caso di u saggio omiale auo del 5% co scadeza semestrale Se il saggio omiale auo è il 5%, ma co scadeza semestrale: i u ao ci soo 2 semestri il saggio semestrale effettivo è 5% : 2 = 2,5% il motate a fie d ao è (1 + 0,025) 2 = 1,025 2 = 1, saggio auale effettivo è pari a 1, = 5,0625% Il calcolo del saggio effettivo auale serve per cofrotare operazioi fiaziarie simili, ma co diverso 51 periodo di maturazioe dell iteresse

52 SAGGIO NOMINALE E SAGGIO EFFETTIVO ESEMPIO: calcolare il saggio effettivo auale el caso di u saggio omiale auo del 12% co scadeza trimestrale Se il saggio omiale auo è il 12% co scadeza TRIMESTRALE: i u ao ci soo 4 trimestri il saggio trimestrale effettivo è 12% : 4 = 3% il motate a fie d ao è (1 + 0,03) 4 = 1,03 4 = 1, saggio auale effettivo è pari a 1, = 12,5509% 52

53 SCADENZA DELLE PERIODICITA SUPERIORE AL PERIODO DI MATURAZIONE DELL INTERESSE (multipli) I caso di periodicità co scadeze pari a multipli del periodo di maturazioe dell iteresse, il saggio effettivo risulta superiore al saggio omiale periodico Il saggio effettivo di scadeza multipla (bieale, trieale ecc.) si determia come el caso precedete, calcolado il motate dell uità di capitale, al mometo della scadeza della periodicità, e trovado per differeza il saggio. ESEMPIO: quato è il saggio effettivo di scadeza relativo a u reddito periodico co scadeza quiqueale, cosiderado u iteresse a maturazioe auale pari al 5%? è il 27,6% Motate uitario auale: 1 + 0,05 = 1,05 Motate uitario di scadeza quiqueale : 1,05 5 = 1,276 Saggio effettivo quiqueale: 1,276 1 = 0,276 = 27,6% 53

54 SCADENZA DELLE PERIODICITA SUPERIORE AL PERIODO DI MATURAZIONE DELL INTERESSE: esempio 1 Accumulazioe fiale di 6 aualità posticipate di 100 al saggio d iteresse del 3% semestrale Saggio effettivo auale Accumulazioe fiale: a q 1, = 0,0609 = 6,09% 1 r 100 x (1, ) / 0,0609 = 100 x 6,99 =

55 SCADENZA DELLE PERIODICITA SUPERIORE AL PERIODO DI MATURAZIONE DELL INTERESSE esempio 2 Accumulazioe iiziale di u reddito quiqueale illimitato (capitalizzazioe) di 100 al saggio d iteresse del 4% auale Saggio effettivo quiqueale 1, = 0,2166 = 21,66% Accumulazioe iiziale: a r 100 / 0,2166 = 100 x 4,62 =

56 SCADENZA DELLE PERIODICITA SUPERIORE AL PERIODO DI MATURAZIONE DELL INTERESSE esempio 3 Accumulazioe fiale di 8 rate trieali posticipate di 100 al saggio d iteresse del 2% semestrale Saggio effettivo trieale 1, = 0,1262 = 12,62% Accumulazioe fiale: a q 1 r 100 x (1, ) / 0,1262 = 100 x (2, ) / 0,1262 = = 100 x 12,58 = 1258