FAM. 1. Determina la forza risultante sulla spira, cosa puoi dedurre sull equilibrio della spira?

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1 FAM Serie 33: Elettrodinamica VIII C. Ferrari Eserciio Momento meccanico su una spira: motore elettrico Una spira conduttrice quadrata di lato 0cm si trova nel piano. Una corrente di 0A la percorre nel senso indicato in figura. Si applica una campo magnetico B( ) = B e, con B = 0,T.. Determina la fora risultante sulla spira, cosa puoi dedurre sull equilibrio della spira? 2. Determina il momento meccanico risultante rispetto a, cosa accade? 3. Cosa bisogna fare per ottenere un moto rotatorio continuo? asse di rotaione I Indicaione: Prendi come punto di applicaione della fora su ogni lato della spira il suo centro di massa e trascura la differena tra i due segmenti della spira paralleli all asse.

2 Eserciio 2 Campo magnetico dipolare (difficile) Lo scopo di questo eserciio è di determinare il campo magnetico per la situaione illustrata nella figura di sinistra e in un punto per il quale a,b. Sia S la seione dei fili della spira. b j +j b +ρ ρ a a Per far ciò utiliiamo la conoscena del poteniale dipolare elettrico e la struttura matematica dell equaione di Poisson per il poteniale elettrico ϕ rispettivamente il poteniale vettore A.. Scrivi l equaione di Poisson per il poteniale scalare ϕ e per le componenti del poteniale vettore A (in coordinate cartesiane). sserva che hanno la stessa struttura matematica e identifica le corrispondene. 2. Ad una distana a,b possiamo assimilare le due sbarre della figura di destra qui sopra ad un dipolo, il poteniale elettrostatico vale ϕ( ) = 4πε 0 p ˆ 2, scrivi questa espressione in termini dei dati. 3. Sfruttando le corrispondene scrivi l espressione della componente A poteniale vettore. In modo analogo determina A. Inoltre, poiché j = 0, possiamo porre A = Deriva il campo magnetico. 5. Confronta con il campo elettrico associato al poteniale dipolare del punto 2., in cui il momento di dipolo elettrico p è orientato lungo l asse nel verso positivo (ossia p = (0,0,p)). Commenta. Referena: R. Fenman, Elettromagnetismo e materia, Zanichelli (200), capitolo 4, in cui sono trattati altri esempi basati su questo metodo. 2

3 Eserciio 3 Momento magnetico in campo inomogeneo Considera un magnete che genera un campo magnetico inomogeneo come illustrato sulla figura qui sotto in cui facciamo passare un insieme di sistemi con carica elettrica q = 0 e con un momento magnetico µ 0. schermo asse del fascio N N v 0 B B µ S S L d Il magnete genera un forte gradiente di campo verticale, tenendo conto della condiione B = 0esupponendo che L sia sufficientemente granderispetto alla distana tra i magneti, il campo magnetico sull asse del fascio può essere scritto come con B > 0. B 0 B B B B 0 B. Determina la fora subita dal sistema. (La fora di Lorent interviene?) 2. Determina la posiione d impatto ( imp, imp ) sullo schermo (utilia anche i parametri della figura) e verifica che il risultato è fisicamente accettabile. 3. Se ripetiamo l esperimento con un grande numero di sistemi con stessa velocità, ma con distribuione aleatoria ma isotropa del momento magnetico la cui norma vale sempre µ, determina i possibili valori di imp e imp. Disegna sul piano corrispondente allo schermo la distribuione dei punti d impatto per un numero N di esperimenti. sservaione: Questo è il risultato che si ottiene con un sistema macroscopico. 4. Considera ora lo stesso esperimento del punto precedente ma con un atomo che possiede un momento magnetico orbitale µ (per esempio l atomo di idrogeno). Nella vecchia teoria quantistica si suppone che la componente µ del momento magnetico orbitale possa assumere solo un numero dispari di valori 2, nel caso non triviale più semplice µ { µ B,0,µ B } dove µ B = 2m e = 9, J/T è chiamato magnetone di Bohr e = h e 2π è la costante di Planck divisa per 2π. È utile controllare il risultato, in particolare confrontare se i parametri giocano il ruolo atteso. 2 Questo risultato segue dalle regole di quantificaione di Bohr Sommerfeld. Esse non si basano su una nuova teoria, bensì sfruttano la fisica classica applicata al modello atomico di Bohr al quale si aggiungono delle regole ad hoc costruite per poter render conto della quantificaione di alcune osservabili nel caso dell atomo di idrogeno. 3

4 Determina le possibili posiioni d impatto sull asse dello schermo, rappresenta questo graficamente e confrontalo con il punto precedente. Eserciio 4 Paramagnetismo. Si consideri un gas paramagnetico i cui atomi hanno un momento di dipolo magnetico intrinseco di, J/T, che si trova in una regione in cui vi è un campo magnetico di intensità 0,50 T. A che temperatura l energia cinetica di traslaione media degli atomi del gas uguaglia l energia richiesta per invertire un dipolo nel campo esterno? 2. Un campione di un sale paramagnetico la cui curva di magnetiaione è riportata qui sotto è mantenuto a temperatura ambiente (300 K). Che campo magnetico bisogna applicare affiché la saturaione magnetica del campione sia il 50%? Con un campo magnetico di 4T quale deve essere la temperatura per ottenere la stessa saturaione? M/M ma B est /T Eserciio 5 Solido paramagnetico Considera un solido composto da N atomi per unità di volume in cui ciascun atomo ha un momento di dipolo magnetico µ. Si supponga che la direione dei dipoli possa essere solo parallela o antiparallela a un campo magnetico esterno B (come, ad esempio, nel caso in cui µ sia il momento magnetico di spin µ s di un singolo elettrone). Secondo la fisica statistica, si può dimostrare che la probabilità che un atomo si trovi in uno stato di energia U è proporionale a e βu dove β = /(k B T) è chiamata temperatura inversa, questa è nota come legge di Boltmann. Poiché U = µ B, la fraione di atomi il cui dipolo è parallelo a B è proporionale a e βµb e la fraione il cui dipolo è antiparallelo a B è proporionale a e βµb.. Dimostra che il valore medio della magnetiaione di questo solido è M = Nµ tanh(βµb) ( ) e rappresenta graficamente la funione M (T). 4

5 2. Dimostra che ( ) si riduce a M = Nµ 2 B/(k B T) per µb k B T, cosa indica questo caso limite? 3. Dimostra che ( ) si riduce a M = Nµ per µb k B T, cosa indica questo caso limite? Indicaione: Il punto. è un problema di variabili aleatorie discrete. sservaione: Lo scopo della fisica statistica è di spiegare con l ausilio della meccanica (microscopica) le proprietà termodinamiche (e più generalmente macroscopiche) con l ausilio della teoria delle probabilità, qui per esempio conoscendo l energia di interaione di un singolo atomo possiamo fare delle previsioni sul comportamento della grandea macroscopica magnetiaione. Il fattore e βu che da il peso statistico ad un possibile valore microscopico di µ, è chiamato fattore di Boltmann. 5