Aritmetica binaria e circuiti aritmetici

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1 Aritmetica binaria e circuiti aritmetici Architetture dei Calcolatori (lettere A-I) Addizioni binarie Le addizioni fra numerali si effettuano cifra a cifra (come in decimale) portando il riporto alla cifra successiva = = = = 0 con il riporto di = = 0101 Se il numero di cifre non permette di rappresentare il risultato si ha un trabocco (overflow) nella propagazione del riporto Valeria Cardellini 1

2 Overflow Se si considerano due numeri interi assoluti rappresentati su n bit, si verifica la condizione di overflow ogni volta che il risultato supera 2 n -1 Sommiamo 5 e 11 su 4 bit (max rappr. = 2 4-1=15) (5) 10 = (0101) 2 (11) 10 = (1011) = Overflow Valeria Cardellini 2 Aritmetica in CP2: operazione di negazione Sia A rappresentato in complemento a due A = a n-1 a a 1 a 0 Abbiamo visto come la rappresentazione di -A si ottiene nel modo seguente: 1 se a i =0 Si complementa ogni bit a i ottenendo il bit a i = Si considera la stringa ottenuta come un intero 0 se a i =1 senza segno e si somma 1 : A=18 su 8 bit Rappresentazione di A in CP2: Complemento (bit a bit): Sommiamo 1: = = = -18 Valeria Cardellini 3

3 Perché funziona Sia A l intero in CP2 da negare: A = a n-1 a a 1 a 0 Il suo valore è A = -a n-1 2 n-1 + Σ a i 2 i Costruiamo il complemento bit a bit; otteniamo l intero B che vale B = -a n-1 2 n Σ a i b i Calcoliamo A+B; se vale 0 allora B=-A A+B = -(a n-1 + a n-1 ) 2 n Σ (a i + a i ) 2 i Notiamo che b+b=1: A+B = -2 n Σ 2 i = -2 n (2 n-1-1) = 0 Esercizio: applicare questa tecnica ad A=0 e A=-2 n-1 Valeria Cardellini 4 Addizioni in complemento a 2 L addizione per interi in complemento a due è identica a quella per interi senza segno Si somma dal bit meno significativo portando il riporto ad ogni passo Si trascura l eventuale riporto in uscita dal bit più significativo L unica differenza è nel modo in cui si controlla l overflow Sommiamo 3 e 4 su 4 bit -3 = = = L ultimo bit di riporto viene ignorato: il risultato è corretto Valeria Cardellini 5

4 La regola di overflow Si verifica un overflow nell addizione di interi in complemento a 2 se e solo se Il risultato della somma di due interi positivi è un intero negativo Il risultato della somma di due interi negativi è un intero positivo Sommiamo 5 e 4 su 4 bit (max rappr. = 2 3-1=7) +5 = = = 1001 Overflow: la somma di due interi positivi non può dare un intero negativo Valeria Cardellini 6 Sottrazioni in complemento a 2 Per sottrarre ad un minuendo (M) un sottraendo (S) basta sommare M e S Conosciamo la maniera semplice di calcolare la negazione di un numero in complemento a due Riusciamo a realizzare la sottrazione come se fosse una somma Risparmiando così sulla circuteria della ALU Esercizio Calcolare 2 5 su 4 bit Calcolare ( 3) 1 su 4 bit Valeria Cardellini 7

5 Overflow per la sottrazione Può verificarsi l overflow con la sottrazione? Poiché la sottrazione è in effetti implementata Con una negazione ed una addizione Vale la regola di overflow della somma Si verifica se e soltanto se: Il risultato della somma di due interi positivi è un intero negativo Il risultato della somma di due interi negativi è un intero positivo Operazione A B Risultato Condizioni di overflow A+B A+B A-B A-B Valeria Cardellini 8 Esercizio Calcolare il risultato delle seguenti operazioni binarie tra numeri interi con segno rappresentati in complemento a 2 su 8 bit Scrivere l equivalente rappresentazione dei numeri in decimale (verificando la correttezza del risultato ottenuto) Valeria Cardellini 9

6 Semiaddizionatore (half adder) Circuito logico a 2 ingressi e 2 uscite - Uscite: somma e riporto (Carry) Non può essere usato per la somma di numerali a più bit, dove occorre sommare anche il riporto della cifra precedente Valeria Cardellini 10 Addizionatore completo (full adder) Circuito logico a 3 ingressi e 2 uscite Riceve il riporto dalla cifra precedente (Carry In) E il generico stadio di un addizionatore su n bit Nel corso di reti logiche, sono stati studiati n-bit ripple carry adder, n-bit carry lookahead adder Per ripassarli, Appendice B di Patterson Valeria Cardellini 11