RANGO DI UNA MATRICE RAN. 1 Operazioni elementari di riga

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1 RN RNGO DI UN MTRICE Opeazioni elementai di iga Data una matice IR (mn) si dice opeazione elementae di iga ciascuna delle seguenti opeazioni: scambio della iesima iga con la jesima; moltiplicazione della iesima iga pe un numeo eale α diveso da zeo; addizione alla iesima iga della jesima moltiplicata pe un numeo eale α diveso da zeo Le matici ottenute eseguendo queste opeazioni sulla matice unità si sogliono indicae ispettivamente con i (α) (α) e pendono il nome di matici elementai (iga) Con ifeimento a I (matice unità di odine ) si ha: α α Valgono le seguenti poposizioni che ci limitiamo ad enunciae T Se è una qualsiasi matice elementae di odine n alloa: a b è non singolae; è a sua volta una matice elementae Pe le matici elementai degli esempi pecedenti si ottiene: e isulta: ( α ) α ( α ) ( ) ( α ) α I isultati ottenuti negli esempi possono essee genealizzati Infatti pe i j m i j si ha: i ( i ) α E' inteessante notae che ogni opeazione elementae di iga su una matice IR (mn) può essee esegui ta moltiplicando a sinista pe la coispondente matice elementae di odine m

2 Data la matice ci poponiamo di effettuae su le seguenti opeazioni elementai di iga: scambio della pima iga con la seconda; moltiplicazione della pima iga pe ; addizione alla seconda iga della teza moltiplicata pe ; () ; ) ( Date due matici B IR (mn) si dice che è equivalente a B pe ighe e si scive B se B si ottiene applicando ad una o più opeazioni elementai di iga Si iconosce facilmente che è una elazione di equivalenza; come tale essa detemina una patizione di IR (mn) in classi (pincipio di contazione) Tutte le matici appatenenti ad una stessa classe sono equivalen ti pe ighe cioè si possono ottenee l'una dall'alta mediante una sequenza più o meno lunga di opeazioni elementai Matici a gadini Una matice IR (mn) si dice a gadini se il pimo elemento non nullo della iga iesima pe i m è situato più a desta del pimo elemento non nullo della iga pecedente Il pimo elemento non nullo di ogni iga si dice un elemento dominante della matice Le seguenti matici eali di tipo () sono a gadini B C Gli elementi dominanti di ciascuna matice sono stati indicati in gassetto

3 Ciò pemesso vale la seguente impotante poposizione: Pe ogni matice IR (mn) esistono p matici elementai p di odine m tali che: p () sia una matice a gadini C i cui elementi dominanti sono tutti uguali a e sono gli unici elementi non nulli delle ispettive colonne La matice C si dice foma canonica pe ighe di Le colonne di C che contengono gli -dominanti si dicono colonne unità; il loo numeo pende il nome di ango di e viene indicato con () Dalla () tenendo pesente la elazione di equivalenza pe ighe segue che: p C C Si dimosta che ogni classe di matici equivalenti pe ighe contiene una e una sola matice nella foma C Di conseguenza le matici che appatengono a una stessa classe hanno tutte lo stesso ango Vogliamo idue la matice nella foma canonica pe ighe Si ha successivamente: ( ) ( ) ( ) ( ) () () ( / ) () () ( ) ( ) ( ) ( ) Risulta () Vediamo alcune popietà fondamentali del ango di una matice omettendo pe bevità le dimostazioni Se IR (m p) e B IR (p n) alloa: ( B) min [ () (B) ] () paole: il ango del podotto di due (o più) matici non supea il ango di uno dei fattoi T O T

4 Data una matice IR (mn) e due matici quadate P e Q non singolai P GL(m IR) e Q GL(n IR ) si ha: (P ) ( Q) (P Q) () () paole: se si moltiplica una matice pe una matice quadata non singolae (a sinista o a desta) il ango della matice podotto è uguale al ango di Pe ogni matice quadata si ha: GL(n IR ) () n () paole: una matice quadata di odine n è non singolae se e solo se il ango di è uguale a n Riduci la matice nella foma canonica pe ighe e indica il ango di () () () () () () () () 9 (9) () () () Date le matici B C D detemina ( B) (C D) (D C) (B C) (C T ) () C () ; () ; () ; () I ; () I ; () ; () ; () ; (9) ; () ; () ; () T T EP RN / SOLUZIONE DI LCUNI ESERCIZI

5 Metodo di Jodan pe il calcolo della matice invesa Se GL(n IR ) la foma canonica pe ighe di possiede n colonne unità (pe il T) e quindi coincide con I n la matice unità di odine n Esistono alloa p matici elementai p di odine n tali che: Ne segue: da cui invetendo ambo i membi si ottiene: I p n () p () () p Quindi ogni matice quadata non singolae è un podotto di matici elementai O Vogliamo scivee la matice come podotto di matici elementai tal fine iduciamo nella foma canonica pe ighe Si ha subito: Pe il T è alloa: da cui: e quindi: I Il calcolo dell'invesa di se effettuato con il metodo classico putazionale anche pe valoi non molto gandi di n Esistono vai metodi che pemettono di ottenee adj compota un elevato costo com iducendo sensibilmente il numeo di opeazioni da effettuae Uno dei più usati nelle applicazioni chiamato metodo di Jodan è una immediata conseguenza delle uguaglianze () e () Osseviamo che la () affema l'esistenza di p opeazioni elementai di iga che iducono la matice nella foma canonica pe ighe I n ; la () assicua che pe ottenee basta effettuae su I n le stesse opeazioni elementai di iga che iducono ad I n In patica conviene pocedee come segue: si scive la matice I n accanto ad in modo da fomae la matice aumentata [ I ] di n tipo (n n); si effettuano sulla matice aumentata le opeazioni elementai di iga che iducono ad I n : quando saà idotta a I n quest'ultima saà diventata

6 Ci poponiamo di calcolae se esistono le invese delle matici: B pplicando il metodo di Jodan alla matice si ha: [ ] I pplicando il metodo di Jodan alla matice B si ha: [ ] B I Poiché (B) < la matice B è singolae B non esiste OSSERVZIONE L'esempio chiaisce che non è necessaio calcolae peventivamente il deteminante di una matice quadata B pe sapee se B è invetibile Si ceca comunque di idue la matice aumentata di B nella foma canonica pe ighe e se a un ceto punto si tova che il ango di B è minoe dell'odine si conclu de che B non esiste Scivi ciascuna delle seguenti matici come podotto di matici elementai () () () () 9 () Calcola se esiste l'invesa della matice icoendo al metodo di Jodan () () () () () () () () () () () 9 () Non invetibile EP RN / SOLUZIONE DI LCUNI ESERCIZI