Se misuriamo lo spessore di una moneta con un calibro ventesimale, 1 possiamo conoscere questo spessore con l errore di mm 0, 05mm

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1 UNITÀ L ELABORAZIONE DEI DATI IN FISICA 1. Gli errori di misura. Sono gli errori che si commettono inevitabilmente quando si misura una qualunque grandezza fisica, utilizzando un qualunque strumento e adoperando qualunque tecnica di misura, anche la più accurata. A causa di questi errori, il valore reale di una grandezza fisica non può essere mai conosciuto esattamente, ma solo con una certa approssimazione, cioè con un certo margine di errore. Gli errori che si possono commettere durante la misura di una grandezza fisica sono di tre tipi: errori di sensibilità, errori casuali, errori sistematici.. Errori di sensibilità. Sono dovuti alla limitata sensibilità dello strumento utilizzato, cioè alla minima quantità che lo strumento è in grado di apprezzare, che corrisponde alla distanza tra due tacche consecutive sulla scala di lettura dello strumento. Per esempio, se misuriamo la lunghezza di una stanza con una rotella metrica suddivisa in tacche di 1 cm, possiamo conoscere il valore di questa lunghezza con l errore di 1 cm poiché non siamo in grado di valutare i millimetri. Possiamo scrivere, per esempio: l cm 45,7 0,1 dm 4,57 0, 01 m Se misuriamo la lunghezza di un quaderno con un righello suddiviso in tacche di 1 mm, possiamo conoscere il valore di questa lunghezza con l errore di 1 mm, poiché non siamo in grado di valutare i decimi di millimetro. Possiamo scrivere, per esempio: l 97 1mm 9,7 0,1 cm,97 0, 01dm Se misuriamo lo spessore di una moneta con un calibro ventesimale, 1 possiamo conoscere questo spessore con l errore di mm 0, 05mm, 0 ma non siamo in grado di valutare centesimi di millimetro. Possiamo s 1,65 0,05 mm 0,165 0, 005 scrivere, per esempio: cm Come si può notare l errore di sensibilità può essere ridotto utilizzando uno strumento più sensibile, ma non può mai essere eliminato completamente. 3. Errori casuali. Gli errori casuali sono dovuti a vari fattori che possono influenzare il valore della misura sia per eccesso sia per difetto. Questi errori sono prodotti da cause imprevedibili che non si possono eliminare e che modificano leggermente il normale funzionamento dello strumento di misura. Quando la misura di una grandezza fisica contiene piccoli errori casuali, si dice che tale misura è precisa. Questo succede quando, ripetendo più volte la misura, si ottengono valori abbastanza vicini tra loro.

2 Gli errori casuali possono essere prodotti: da particelle di polvere che si sono accumulate nello strumento; questo avviene negli strumenti aventi un indice che si muove su una scala graduata; bilancia manometro igrometro da piccole variazioni di temperatura o di umidità che avvengono durante le misure; questo avviene negli strumenti che funzionano con la corrente; amperometro voltmetro ohmetro dagli scarsi riflessi dell operatore che esegue le misure; questo avviene nelle misure di tempo eseguite con un cronometro manuale. cronometro analogico cronometro digitale

3 4. Errori sistematici. Gli errori sistematici sono quelli che alterano il valore della grandezza misurata o sempre per eccesso o sempre per difetto. Questi errori possono essere causati: da uno strumento di misura difettoso, come un righello deformato o un orologio che va avanti; da uno strumento che non è stato tarato bene dall operatore prima di fare le misure; oppure da un metodo di misura errato eseguito dall operatore. Quando la misura di una grandezza fisica contiene piccoli errori sistematici, si dice che tale misura è accurata. Se l operatore si accorge della presenza di errori sistematici, questi possono essere eliminati sostituendo lo strumento con un altro che non sia difettoso, o tarandolo bene prima di eseguire le misure o utilizzando una tecnica di misura più accurata.

4 5. La stima dell errore. Considerato che tutte le misure contengono sempre degli errori, bisogna trovare un modo per stimare il valore più attendibile della grandezza misurata e l errore complessivo da attribuire alla misura. Secondo i risultati ottenuti dalle misure, si possono verificare tre casi: a- ripetendo più volte la misura della grandezza si ottiene sempre lo stesso valore; b- ripetendo più volte la misura della grandezza si ottengono valori diversi, ma non si vogliono fare molte misure per non perdere troppo tempo; c- ripetendo più volte la misura della grandezza si ottengono valori diversi e, anche a costo di perdere molto tempo, si vogliono fare molte misure per avere un risultato più preciso. Nel caso a si prende come valore più probabile il valore misurato dallo strumento e come errore la sensibilità dello strumento. Per esempio, misurando la massa con una bilancia che ha la sensibilità di 0,1 Kg e leggendo sempre lo stesso valore di 4,7 Kg si ottiene: m m m ( 4,7 0,1 ) Kg Misurando la massa con una bilancia che ha la sensibilità di 0,01 Kg e leggendo sempre lo stesso valore di 4,7 Kg si ottiene: m m m ( 4,7 0,01) Kg Nel caso in cui effettuando più misure si ottengono valori diversi, per esprimere il risultato complessivo bisogna introdurre altri concetti. 6. La media, la semidispersione e lo scarto quadratico medio. Se effettuando più volte la misura di una grandezza fisica si ottengono valori diversi, il valore più probabile della grandezza misurata è la media aritmetica di questi valori. Se vengono effettuate N misure, ottenendo i valori 1,,... N, la media aritmetica si calcola eseguendo il rapporto tra la somma delle misure e il numero delle misure: 1... N Per valutare l errore da attribuire alla misura, bisogna vedere quante sono le misure effettuate. Se le misure sono poche ( N 10), si considera come errore la semidispersione delle misure, cioè la semidifferenza fra il valore massimo misurato M e il valore minimo misurato m. Quindi: M m Se le misure sono numerose (N>10), è molto probabile che qualche misura abbia un valore anomalo, cioè o molto più grande o molto più piccolo rispetto agli altri. Calcolando la semidispersione si avrebbe un valore troppo grande e non sarebbe opportuno avere un errore elevato per una sola misura. Per questo motivo quando le misure sono numerose è meglio assumere come errore lo scarto quadratico medio, che si indica con e il cui valore non è molto influenzato da una misura anomala. Lo scarto quadratico medio è la radice quadrata della media dei quadrati degli scarti. Lo scarto di una misura è la differenza tra quella misura e il valore medio. s1 s... sn ( 1 ) ( )... ( N ) N N N

5 7. L errore assoluto, relativo e percentuale. L errore assoluto di una misura è l errore che si commette quando si effettua la misura con uno strumento e, secondo i casi che si possono presentare, può essere uguale o all errore di sensibilità dello strumento o alla semidispersione o allo scarto quadratico medio. In generale, la grandezza fisica misurata si indica con, il valore misurato si indica con e l errore assoluto si indica con. Il risultato della misura si scrive così: L errore relativo di una misura è il rapporto tra l errore assoluto e il valore misurato. Si indica con r e risulta che: r L errore percentuale di una misura è l errore relativo moltiplicato per 100 ed espresso in percentuale. Si indica con % e risulta: % ( r 100)% Per esempio, misurando la lunghezza di un chiodo con un righello tarato in millimetri, si ottiene il valore misurato l= 55 mm, un errore di sensibilità di 1 mm e si scrive: l l l ( 55 1) mm. Risulta perciò: errore assoluto l = 1 mm l 1mm errore relativo l r 0, 018 l 55mm errore percentuale l % ( l 100)% (0,018100)% 1,8 % r 8. La precisione di una misura. La precisione di una misura coincide con il suo errore percentuale. Una misura è tanto più precisa quanto minore è il suo errore percentuale. 9. La propagazione degli errori. La propagazione degli errori è un problema che si presenta ogni volta che si esegue una misura indiretta e consiste nel determinare come si propagano gli errori dalle grandezze fisiche misurate con gli strumenti alle grandezze fisiche calcolate con la formula. Per esempio, se si vuole misurare l area di una banconota, si utilizza un righello tarato in millimetri, si misura la base b e si ottiene un valore medio b 17 mm con un errore assoluto b 1mm. Si scrive: b b b ( 17 1) mm Poi si misura l altezza h e si ottiene un valore medio Si scrive: h h h ( 67 1) mm Successivamente si calcola il valore medio dell area utilizzando la formula: A b h 17mm67mm 8509mm. h 67 mm con un errore assoluto h 1mm. Per ottenere l errore assoluto dell area si calcolare il valore massimo dell area A M, il valore minimo dell area A m e poi la semidifferenza tra A M e A m che ci darà l errore assoluto dell area ΔA. A M A m b M b m A A h h M M m A 18mm68mm 8704mm 16mm66mm 8316mm m 8704mm 8316mm Il calcolo dell area alla fine si esprime in questo modo: A A A 388mm 194mm ( ) mm (85,0910 1,9410 ) mm (85,09 1,94) 10 mm Generalmente si scrive l errore con una sola cifra e si ottiene il risultato definitivo: A ( 85 ) 10 mm

6 10. Le cifre significative di un numero decimale. Sono le cifre che hanno effettivamente significato all interno del numero. Il numero di cifre significative si determina contando le cifre da quella più a destra (qualunque essa sia) a quella più a sinistra che sia diversa da zero. Esempi: 3,47 ha 3 cifre significative; 14,70 ha 4 cifre significative;,074 ha 4 cifre significative; 0,73 ha 3 cifre significative; 0,003 ha cifre significative; Gli zeri che si trovano a sinistra non sono significativi, poiché si possono eliminare scrivendo il numero in forma scientifica. Per es. 0,003 3,310 e le cifre significative sono effettivamente due. 11. Le cifre significative di una misura diretta. Sono le cifre che vengono effettivamente lette sullo strumento quando si esegue la misura diretta di una grandezza fisica. Esse sono tutte le cifre che si misurano con certezza e la prima cifra incerta. Per esempio se si misura una lunghezza con una rotella metrica tarata in centimetri, si deve scrivere: l=36,43 m poiché i 36 m si misurano con certezza, i 4 dm si misurano con certezza e i 3 cm sono incerti poiché potrebbero essere anche o 4. Per questa misura non ha senso scrivere l=36,43 m poiché lo strumento utilizzato non permette di misurare i millimetri. D altra parte non è corretto scrivere l=36,4 m poiché lo strumento utilizzato permette di apprezzare i centimetri e bisogna indicarli. 1. Le cifre significative di una misura indiretta. Sono le cifre che ha senso scrivere quando si calcola il risultato di una misura indiretta. Queste cifre devono essere tante quante sono le cifre della misura meno precisa. Per esempio, se abbiamo due lunghezze: l 1,844 m e l 1,1 m e con questi valori si eseguono dei calcoli, il risultato finale deve essere scritto con tre cifre significative. addizione: sottrazione: l 1 l,844 m 1,1 m 3,964 m 3,96 m l 1 l,844 m1,1 m 1,744 m 1,74 m moltiplicazione: l l 1,844 m1,1 m 3,1858 m 3,19 m l1,844m quoziente:, , 54 l 1,1m

7 13. Arrotondamento di un numero. È un operazione che bisogna eseguire per scrivere il risultato di una misura col giusto numero di cifre significative, eliminando quelle non significative. Se la cifra che si elimina è 0, 1,, 3, o 4, l ultima cifra che rimane si lascia invariata (arrotondamento per difetto); Se la cifra che si elimina è 5, 6, 7, 8, o 9, l ultima cifra che rimane si aumenta di una unità (arrotondamento per eccesso). Per esempio il numero 1,3764 contiene 7 cifre significative; arrotondato con 6 cifre significative diventa: 1,3764 arrotondato con 5 cifre significative diventa: 1,376 arrotondato con 4 cifre significative diventa: 1,38 arrotondato con 3 cifre significative diventa: 1,4

8 14. Il calibro ventesimale. È uno strumento formato da una scala principale fissa tarata in millimetri e una scala secondaria scorrevole, detta nonio (dal nome dell inventore portoghese). Con esso si possono misurare: 1. le dimensioni esterne di un oggetto posto tra le ganasce A;. le dimensioni interne di un oggetto posto tra le ganasce B; 3. la profondità di una cavità, mediante l asticella C. Si può notare che, quando le ganasce sono chiuse senza alcuno spessore in mezzo (Fig. 1), lo zero della scala fissa è allineato esattamente con lo zero del nonio. Inoltre, 19 divisioni sulla scala fissa, cioè 19 millimetri, corrispondono a 0 divisioni sulla scala del nonio. Ciò vuol dire che, mentre ogni divisione della scala fissa corrisponde ad 1 millimetro, ogni divisione della scala del nonio è un po più piccola e corrisponde a 19/0 mm, infatti: 19 0 mm 19mm 0 Fig. 1 Calibro con le ganasce chiuse Eseguendo la misura di uno spessore d, la scala del nonio si sposta rispetto alla scala principale e la lunghezza dello spessore d è data proprio dalla distanza tra lo zero principale e lo zero del nonio. Supponiamo che, eseguendo la misura di uno spessore d, si presenti la situazione indicata in figura. Si vede che lo spessore d risulta: B A C d = 1mm + AB Fig. Ganasce del calibro quando si misura uno spessore d. Per valutare AB bisogna vedere quale tacca del nonio è allineata esattamente ad una tacca della scala principale. Tale allineamento avviene nel punto C, in corrispondenza della nona tacca del nonio, per cui risulta che: 19 AB= AC- BC = 9 1mm 9 mm 9mm 8,55mm 0, 45mm 0 Perciò lo spessore d risulta: d 1mm 0,45 mm 1,45 mm Siccome è possibile sbagliare la lettura di una divisione, cioè di 1/0 mm = 0,05 mm, la misura si deve scrivere col giusto numero di cifre significative in questo modo: d 1,45 mm 0,05 mm (1,45 0,05) mm Osservare che la parte decimale del risultato si può leggere direttamente sul nonio senza eseguire calcoli, poiché la tacca del nonio meglio allineata è la tacca successiva al numero 4, che corrisponde a 0,45 mm.

9 Supponiamo ora che, misurando la lunghezza l di un oggetto, si presenta la situazione indicata in fig. 3. La lunghezza dell oggetto é: l = 19 mm + AB L allineamento fra la tacca del nonio e la tacca della scala principale avviene nel punto C, in corrispondenza della tredicesima tacca del nonio, per cui risulta che: B A C Fig. 3 Ganasce del calibro quando si misura una lunghezza l. 19 AB= AC- BC = 13 1mm 13 mm 13mm 1,35mm 0, 65mm 0 Perciò la lunghezza risulta: l 19 mm 0,65 mm 19,65 mm e il risultato della misura si scrive in questo modo: l ( 19,65 0,05) mm Osservare che la parte decimale del risultato si può leggere direttamente sul nonio, essendo la tacca meglio allineata quella successiva al numero 6, che corrisponde proprio a 0,65 mm. Come esercizio, valuta la lunghezza delle misure seguenti e scrivila con l errore e col giusto numero di cifre significative: l 1 l l 3

10 15. La rappresentazione dei dati sperimentali. Se due grandezze fisiche ed y sono in relazione tra loro, si può osservare che variando una di esse, per esempio, varia anche l altra, cioè y. Effettuando varie misure della e varie misure della y si possono ordinare i dati in una tabella, poi si possono rappresentare in un grafico cartesiano e infine dal grafico si può ottenere la legge fisica, cioè l equazione matematica che lega tra loro le grandezze ed y. I principali grafici che si possono ottenere sono: 1. proporzionalità diretta;. proporzionalità inversa; 3. proporzionalità quadratica diretta; 4. proporzionalità quadratica inversa; 5. relazione lineare. Per ognuno di questi tipi di grafico bisogna saper fare due cose: a) data la formula, saper disegnare il grafico; b) dato il grafico, saper ricavare la formula.

11 16. La proporzionalità diretta. La formula è del tipo: y k dove k può essere un numero qualunque. Il grafico che rappresenta questa formula è una retta che passa per l origine degli assi e il valore di k si chiama coefficiente angolare della retta. Il valore del coefficiente angolare indica la pendenza della retta: se il coefficiente angolare è grande, la retta è molto ripida (quasi verticale); se il coefficiente angolare è piccolo, la retta è poco ripida (quasi orizzontale); Esempio 1: Data la formula y disegnare il grafico. Osservando la formula si riconosce che è quella di una proporzionalità diretta. Per disegnare il grafico si assegnano alla alcuni valori arbitrari e si calcolano i valori corrispondenti della y. Con questi valori si costruisce una tabella e si disegnano i punti ottenuti sul piano cartesiano. Collegando i punti con una linea si ottiene una retta che passa per l origine degli assi. y Esempio : Dato il grafico, ricavare la formula. Osservando il grafico si riconosce che è una retta che passa per l origine degli assi, perciò la formula corrispondente è quella di una proporzionalità diretta e deve essere del tipo y k y Ricavando k si ottiene: k perciò il valore di k si ottiene considerando un punto qualsiasi del grafico e calcolando il rapporto tra l ordinata y e l ascissa. 6 Per esempio considerando il punto (;6) si ottiene: ottiene: k 3 Perciò la formula che corrisponde al grafico è: y 3

12 17. La proporzionalità inversa. k La formula è del tipo: y dove k può essere un numero qualunque. Il grafico che rappresenta questa formula è una iperbole equilatera, cioè simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. 8 Esempio 1: Data la formula y disegnare il grafico. Osservando la formula si riconosce che è quella di una proporzionalità inversa. Per disegnare il grafico si assegnano alla alcuni valori arbitrari e si calcolano i valori corrispondenti della y. Con questi valori si costruisce una tabella e si disegnano i punti ottenuti sul piano cartesiano. Collegando i punti con una linea curva si ottiene un iperbole equilatera. y Esempio : Dato il grafico, ricavare la formula. Osservando il grafico si riconosce che è un iperbole equilatera, perciò la formula corrispondente è quella di k una proporzionalità inversa e deve essere del tipo y Ricavando k si ottiene: k y perciò il valore di k si ottiene considerando un punto qualsiasi del grafico e calcolando il prodotto tra l ascissa e l ordinata y. Per esempio considerando il punto (5;) si ottiene: ottiene: k 5 10 Perciò la formula che corrisponde al grafico è: 10 y

13 18. La proporzionalità quadratica diretta. La formula è del tipo: y k dove k può essere un numero qualunque. Il grafico che rappresenta questa formula è una parabola con il vertice nell origine degli assi. Esempio 1: Data la formula y 3 disegnare il grafico. Osservando la formula si riconosce che è quella di una proporzionalità quadratica diretta. Per disegnare il grafico si assegnano alla alcuni valori arbitrari e si calcolano i valori corrispondenti della y. Con questi valori si costruisce una tabella e si disegnano i punti ottenuti sul piano cartesiano. Collegando i punti con una linea si ottiene una parabola con il vertice nell origine degli assi. y Esempio : Dato il grafico, ricavare la formula. Osservando il grafico si riconosce che è una parabola con il vertice nell origine degli assi cartesiani, perciò la formula corrispondente è quella di una proporzionalità quadratica diretta e deve essere del tipo y k y Ricavando k si ottiene: k perciò il valore di k si ottiene considerando un punto qualsiasi del grafico e calcolando il rapporto tra l ordinata e il quadrato dell ascissa. 8 8 Per esempio considerando il punto (;8) si ottiene: ottiene: k 4 Perciò la formula che corrisponde al grafico è y

14 19. La proporzionalità quadratica inversa. k La formula è del tipo: y dove k può essere un numero qualunque. Il grafico che rappresenta questa formula è una iperbole non equilatera, cioè non simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. 8 Esempio 1: Data la formula y disegnare il grafico. Osservando la formula si riconosce che è quella di una proporzionalità quadratica inversa. Per disegnare il grafico si assegnano alla alcuni valori arbitrari e si calcolano i valori corrispondenti della y. Con questi valori si costruisce una tabella e si disegnano i punti ottenuti sul piano cartesiano. Collegando i punti con una linea si ottiene un iperbole non equilatera. y 0, ,5 8 0,15 Esempio : Dato il grafico, ricavare la formula. Osservando il grafico si riconosce che è un iperbole non equilatera, perciò la formula corrispondente è k quella di una proporzionalità quadratica inversa e deve essere del tipo y Ricavando k si ottiene: k y perciò il valore di k si ottiene considerando un punto qualsiasi del grafico e calcolando il prodotto tra il quadrato dell ascissa e l ordinata. Per esempio considerando il punto (;1) si ottiene: k Perciò la formula che corrisponde al grafico è: y

15 0. La relazione lineare. La formula è del tipo: y m q dove m e q sono due numeri qualsiasi. Il grafico che rappresenta questa formula è una retta che non passa per l origine degli assi. Il numero m si chiama coefficiente angolare e indica l inclinazione della retta. Il numero q si chiama ordinata all origine e rappresenta l ordinata del punto di intersezione della retta con l asse y. Esempio 1: Data la formula y 1 disegnare il grafico. Osservando la formula si riconosce che è quella di una relazione lineare. Per disegnare il grafico si assegnano alla alcuni valori arbitrari e si calcolano i valori corrispondenti della y. Con questi valori si costruisce una tabella e si disegnano i punti ottenuti sul piano cartesiano. Collegando i punti con una linea si ottiene una retta che non passa per l origine degli assi. y Esempio : Dato il grafico, ricavare la formula. Osservando il grafico si riconosce che è una retta non passante per l origine degli assi, perciò la formula corrispondente è quella di una relazione lineare e deve essere del tipo y m q Il coefficiente angolare m si determina scegliendo due punti qualsiasi della retta e calcolando il rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse. 8 6 Per esempio, scegliendo i punti (0;) e (;8) si ottiene: m 3 0 L ordinata all origine q è uguale all ordinata del punto di intersezione della retta con l asse y. Nel grafico la retta incontra l asse y nel punto (0;) di ordinata, perciò q=. La retta y m q diventa quindi y 3