Le leggi di Keplero. INTERVENTO DIDATTICO realizzato da. Metta Fabrizio

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1 Le leggi di Keplero INTERVENTO DIDATTICO realizzato da Metta Fabrizio

2 Ordine della presentazione Introduzione storica: l Secoli XVI e XVII Vita di Keplero Riflessioni, collegamenti e spunti didattici del percorso proposto

3 sono caratterizzati da : Eventi storici e letterari Guerra dei 30 anni in Europa Epidemie e carestie Rinascimento Rivoluzione Copernicana I SECOLI XVI e XVII Personaggi N. Copernico G. Galilei Giordano Bruno Tyco Brahe G. Keplero I. Newton Scoperte : Matematica e Fisica Tavola dei logaritmi (Nepero) Geometria analitica ( Cartesio ) Calcolo infinitesimale (Newton Leibniz)

4 La Rivoluzione Copernicana Modello Geocentrico ( Eudosso, Tolomeo, Aristotele ) Il modello geocentrico prevede che l'universo intero ruoti intorno alla Terra, che dunque ne costituisce il centro Modello di Eudosso ( 408 a.c a.c.) Nel IV sec. a.c. Eudosso propone un modello in cui le stelle stanno su sfere concentriche rispetto alla Terra. La sfera più esterna è quella delle stelle fisse che si muove di moto circolare uniforme, mentre i corpi più interni si distribuiscono su 27 sfere diverse Questo modello verrà ripreso da Aristotele (384 a.c 322 a.c.)

5 La Rivoluzione Copernicana Modello Geocentrico ( Eudosso, Tolomeo, Aristotele ) Modello di Tolomeo (100 d. C 175 d. C. ) In questo modello si immagina che i corpi celesti si muovano su orbite circolari il cui centro a sua volta ruoti viene trascinato dal moto circolare di altre sfere celesti concentriche rispetto alla Terra e indipendenti le une dalle altre. Si arriva cosi ad un moto complesso prodotto dalla composizione del moto di due sfere C Una detta epiciclo su cui sta il pianeta ed un altra detta deferente che e concentrica alla Terra. Tale composizione rende conto del moto chiamato retrogrado di Marte.

6 La Rivoluzione Copernicana Sistema Geocentrico ( Eudosso, Tolomeo, Aristotele )

7 La Rivoluzione Copernicana Sistema Eliocentrico ( Copernico ) Un primo modello eliocentrico viene formulato da Aristarco di Samo nel III sec. a. C. che resta però isolato Nel 1543 N. Copernico pubblica il De revolutionibus orbium celestium in cui riprende il modello di Aristarco arricchendolo di osservazioni e calcoli. Egli afferma che un modello con al centro il Sole. Questa affermazione semplice in realtà mina alla base il sistema religioso filosofico del momento e viene osteggiata con forza Si ha la RIVOLUZIONE COPERNICANA L'uomo non è più al centro dell'universo

8 La Rivoluzione Copernicana Sistema Eliocentrico ( Copernico) Il modello presentato però da Copernico in realtà non risolve i problemi delle orbite, anzi sembra complicarle. Copernico è costretto a ricorrere ancora ai concetti di epiciclo e deferente ma il modello si complica ancora, tanto da diventare più complesso del modello geocentrico In questo contesto storico si inserisco prima le osservazioni di Tycho Brahe che in circa 8 anni riesce a mettere insieme una mole di dati tale da poter offrire la base per poter confutare definitivamente il modello geocentrico In questo frangente si inserisce un' astronomo tedesco dal nome Giovanni Keplero

9 La Rivoluzione Copernicana Sistema Eliocentrico ( Copernico)

10 Vita di Keplero La conoscenza delle leggi di Keplero è un tassello della formazione culturale di uno studente molto importante sia per gli aspetti singolari che presenta ( approccio ad un problema in modo empirico ) quanto per la creazione di un bagaglio critico riguardo alle metodologie di investigazione della realtà fisica. Il periodo raccolto in quel lasso di tempo di circa 150 anni avviato idealmente con la pubblicazione del De Rivolutionibus Corpum Coelestium da parte di Nicolò Copernico, nel quale si susseguirono ed intersecarono nomi illustri come Copernico,Keplero, Galilei e Newton portò ad uno degli sviluppi maggiori nella storia dell'astronomia. Keplero in questo contesto accetta il sistema copernicano dei pianeti che orbitano intorno al Sole ma si pone delle domande riguardo alla forma di tali orbite ed alla velocità del pianeta nell'orbita giungendo a conclusioni coraggiose alle quali però verrà dato un assetto matematico rigoroso solo 50 anni più tardi da parte di Newton.

11 Vita di Keplero nacque a Leonberg, poco distante dalla cittadina di Weil der Stadt (Germania) nel Il padre era un soldato di ventura, che morì quando Keplero aveva solo 5 anni. avviato agli studi ecclesiastici, dapprima in un seminario locale e in seguito, maturato il desiderio di prendere i voti, iscrivendosi alla prestigiosa università di Tubinga, baluardo dell'ortodossia luterana. Ebbe come tutote M. Maestlin ( copernicano ). a differenza di Copernico che non si preoccupa più di tanto della forma effettiva che potevano assumere le orbite planetarie, Keplero era invece molto interessato a queste, al punto da tentar di capire se esistesse una sorta di forza emanata al Sole, idea rifiutata da Galileo, che potesse influenzare il moto dei pianeti. Queste sue congetture gli procurarono una montagna critiche da parte dei più oltranzisti della facoltà, al punto che Maestlin gli consigliò di abbandonare la carriera ecclesiastica e di trasferirsi a Graz per andare a occupare la cattedra di matematica divenuta improvvisamente vacante nel Come docente in questa scuola Keplero era tenuto a curare annualmente la compilazione di un calendario che, fra le altre cose, doveva prevedere il tempo, le crisi politiche, la salute pubblica e gli avvenimenti eccezionali. Purtroppo le predizioni di disgrazie gli riuscirono spesso e grazie al suo primo almanacco, quello del 1595, nel quale previde un inverno particolarmente rigido e un'invasione turca, si trovò famoso da un giorno all'altro.

12 Vita di Keplero Nel 1596 Keplero pubblica la sua prima opera, il Mysterium Cosmographicum in cui elaborava il suo modello cosmologico. Da buon euclideo riteneva che esistessero 5 solidi regolari e questi venivano invocati per spiegare quegli immensi spazi che dovevano separare i pianeti per render conto dei loro moti così come si osservavano da Terra basandosi sulla teoria eliocentrica. Inoltre aggancianciò alla teoria tolemaica che supponeva le orbite planetarie in contatto fra loro e che fosse il cosiddetto Primo Mobile a trasmettere il moto ai vari pianeti. La spiegazione che Keplero dava sulla posizione spaziale dei pianeti era curiosa: se si immagina una sfera col raggio pari all'orbita di Saturno e a questa s'inscrive un cubo, allora la sfera a sua volta inscritta in questo cubo avrebbe avuto il raggio uguale all'orbita di Giove. Se poi un tetraedro regolare veniva iscritto in questa seconda sfera che doveva avere le dimensioni dell'orbita di Marte; e così di seguito, ponendo successivamente un dodecaedro tra l'orbita di Marte e quella della Terra, un icosaedro tra la Terra e Venere infine un ottaedro tra Venere e Mercurio. Questo spiegava perfettamente il numero dei pianeti con quello dei 5 poliedri di Euclide. Agli occhi di noi moderni si tratta sicuramente di un'idea stravagante che tuttavia racchiude il pregio di stabilire una relazione matematica tra le distanze dei pianeti dal Sole e il loro periodo di rivoluzione, relazione che nel 1618 porterà lo scienziato tedesco a formulare la sua terza legge. Importanza della geometria nello sviluppo della matematica Orbite geometriche Solidi Platonici

13 Vita di Keplero La pubblicazione del Mysterium fu però tenuta in grande considerazione dall'astronomo danese Tycho Brahe, che allora era a Praga, il quale aveva accumulato un'impressionante mole di osservazioni planetarie visuali (soprattutto di Marte) di altissima precisione e che Keplero ebbe la fortuna di ereditare dopo essergli succeduto in qualità di matematico imperiale di Rodolfo II. Le osservazioni di Tycho erano talmente precise che in base a esse Keplero fu in grado di scoprire la rifrazione atmosferica. anche la migliore orbita calcolata da Keplero per render conto delle posizioni osservate non riusciva ad adattarsi in modo soddisfacente, a meno di non abbandonare l'idea di un'orbita circolare. Fu così che elaborando la mole di dati ereditata da Tycho che l'astronomo tedesco arrivò a stabilire nel 1602 che il raggio vettore che va dal Sole al pianeta spazza aree uguali in tempi uguali; questa è nota come la seconda legge di Keplero anche se in realtà fu scoperta per prima. La prima legge venne formulata 3 anni dopo e afferma che le orbite planetarie sono ellittiche e che il Sole occupa uno dei fuochi. Entrambe le leggi vennero pubblicate nell'astronomia Nova. Keplero era giunto a queste conclusioni studiando il moto di Marte, ma si rese conto ben presto che le leggi si applicavano indistintamente a tutti i pianeti. Keplero non fu un uomo fortunato. La grandezza di questo scienziato, come spesso accade, non fu riconosciuta ai suoi tempi, né la sua fama assurse mai al livello che avrebbe meritato. Morì Ratisbona nel 1630 durante un viaggio. Fu sepolto nel camposanto della chiesa di quella città, ma la sua tomba venne distrutta

14 La prima legge Dalle osservazioni fatte Keplero arriva alla conclusione che le orbite planetarie non erano delle perfette ed incorruttibili circonferenze, ma piuttosto ricorre ad una particolare curva geometrica chiamata ellisse ovvero ad una conica. Tolomeo I (367 a.c 283 a. C. ) Museo di Alessandria Menecmo (380 a.c ca. 320 a.c. ca.) Apollonio di Perga ( 262 a.c a. C.) Le Coniche

15 La prima legge Le orbite descritte dai pianeti intorno al Sole sono ellittiche ed il Sole occupa la posizione di uno dei due fuochi I legge D:\mathesis\turrisi colonna\ellisse.html

16 La Seconda Legge Nonostante noi presentiamo la seconda legge in ordino cronologico come conseguente della prima, in realtà Keplero arrivò a formulare per prima quest'ultima nel 1602 mentre la prima venne formulata solo tre anni dopo. Keplero dunque si rese conto che Marte presentava delle accelerazioni e dei rallentamenti nel suo moto attorno al Sole, dei quali però non riusci mai a dare una spiegazione scientifica. Egli però arrivo alla conclusione che se si congiungeva idealmente il Sole con il pianeta tramite un raggio vettore, questo percorreva o meglio spazzava porzioni di aree uguali in tempi uguali,ovvero la velocità del pianeta aumentava man mano che esso si avvicinava alla minima distanza dal Sole (perielio) e diminuiva per assumere un valore minimo nel punto di massima distanza dal Sole (afelio). Prendiamo tale punto di partenza per fare una dimostrazione della seconda legge di Keplero. Possiamo immaginare di poter considerare il sistema Sole- Pianeta come isolato, e trascurare cioè l'azione di tutti gli altri corpi del sistema solare. In questo caso l'unica forza agente sul sistema è quella che il Sole esercita sul pianeta e per la terza legge di Newton quella che il pianeta esercita sul Sole. Tali forze agiscono lungo la congiungente Sole-Pianeta, pertanto il loro momento vale :

17 La Seconda Legge Se il momento delle forze è nullo lungo tale congiungente allo lungo la stessa il momento della quantità di moto sarà costante. Possiamo pertanto scrivere:

18 La Seconda Legge Se il momento delle forze è nullo lungo tale congiungente allo lungo la stessa il momento della quantità di moto sarà costante. Possiamo pertanto scrivere: Ma r a > r p

19 La Seconda Legge Se il momento delle forze è nullo lungo tale congiungente allo lungo la stessa il momento della quantità di moto sarà costante. Possiamo pertanto scrivere: Ma r a > r p Allora da questo risultato ricaviamo una prima importante informazione, ovvero che la velocità durante il moto non è costante ed in particolare data la costanza della relazione precedente è massima quando il corpo si trova più lontano e minima quando si trova più vicino. Facendo riferimento a questo risultato possiamo ottenere la seconda legge di Keplero

20 La Seconda Legge Consideriamo le aree spazzate dal raggio vettore in due differenti punti dell'orbita c ome mostrato in figura. Consideriamo due triangoli aventi come vertice il Sole e per base un pezzettino di orbita. Se li prendo abbastanza piccoli da confondere l'orbita con il segmento congiungente i due punti, ovvero se scelgo un t molto piccolo in prossimità dell'afelio e del perielio avrei per ciascuno dei due triangoli L' area all' afelio è: Considerando di prendere lo stesso intervallo di tempo t e facendo il rapporto avrei

21 La Seconda Legge ovvero: Possiamo allora formulare la seconda legge ovvero Il raggio vettore che congiunge il Sole ed il pianeta spazza aree uguali in tempi uguali

22 La Legge di Gravitazione Circa 150 anni dopo la formulazione delle leggi di Keplero I. Newton formula la Legge di Gravitazione Universale con la pubblicazione dei Philosophiae Naturalis Principia Mathematica ( 1687 )

23 La Legge di Gravitazione Il valore di questa costante fu misurato per la prima volta dal fisico inglese Henry Cavendish nel 1798 per mezzo di uno strumento chiamato bilancia di torsione. Il valore attualmente riconosciuto è di 6, N m 2 kg -2, valore che rappresenta l intensità della forza di interazione tra due corpi sferici, ciascuno di massa pari a 1 kg e posti a distanza di 1 m l uno dall altro.

24 La Terza legge di Keplero Per provare la terza legge di Keplero partiamo dalla seconda legge di Newton ovvero : Applichiamo la legge di gravitazione al sistema Sole-pianeta ed avremo: Supponiamo che l'orbita percorsa sia circolare. In questo nel sistema agisce anche la Fc Eguagliando la Fc e la Fg avrei:

25 La Terza legge di Keplero Tenendo presente che abbiamo assunto l'orbita circolare posso scrivere: E sostituendo nella precedente avrei: da cui:

26 La Terza legge di Keplero Il rapporto tra il cubo del raggio dell'orbita ed il quadrato del tempo di rivoluzione è lo stesso per tutti i pianeti

27 Applicazione: Calcolo della massa del Sole Possiamo utilizzare il risultato ottenuto relativo alla terza legge per calcolare la massa del Sole. Esplicitando rispetto a m s

28 L'energia Aspetto energetico qualitativo del moto E tot = E c + E p Gli ultimi due casi danno quindi un'orbita chiusa

29 Conclusioni Lo studio delle Leggi di Keplero offre un'occasione importante per sviluppare il senso critico degli studenti a scuola. Il collegamento con argomenti importanti della matematica quali lo studio delle coniche permette di fare un percorso trasversale che abbraccia anche la letteratura e la storia. Applet java disponibili E' inoltre un'occasione per proporre una riflessione critica sullo studio della fisica ed in particolare sul moto del proiettile. E' proprio una curva parabolica o andrebbe trattato diversamente????

30 Applicazione: Moto del satellite Possiamo a questo punto cercare di calcolare quali sono le condizioni che consentono ad un satellite di restare in orbita. Affinchè il satellite sia in equilibrio ad una data distanza deve accadere che la forza centripeta e la forza di gravità devono eguagliarsi ovvero: e dividendo ambo i membri per otteniamo ovvero Notiamo che all'aumentare di r diminuisce v

31 Applicazione: Moto del satellite Facciamo un esempio pratico di applicazione Supponiamo di avere un satellite in moto intorno alla terra sulla linea dell'equatore che compie un intero giro in un giorno. Un tale satellite è detto geostazionario in quanto ruota con la stessa velocità angolare della terra e quindi appare come immobile rispetto ad un osservatore posto sulla superficie terrestre. Partendo dalla formula precedente avrei: Ma la velocità può essere espressa come Eguagliando le due espressioni ed elevando al quadrato avrei

32 Applicazione: Moto del satellite E ricavando d avrei Sostituendo T = sec m T = 5, kg trovo d= 4, Km A questa distanza devo sottrarre il raggio terrestre ed ho h = 4, m 6, m = 3, Km Ovvero il satellite deve ruotare a circa Km di altezza. Posso ora ricavare la velocità : ovvero = 3 Km/sec