SISTEMI DINAMICI DEL SECONDO ORDINE

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1 SISTEMI DINAMICI DEL SECONDO ORDINE I sistmi diamici dl scodo ordi soo sistmi diamici SISO rarstati da quazioi diffrziali liari a cofficiti costati di ordi : d y(t dy(t d x(t dx(t a + a + ay(t b + b + bx(t dt dt dt dt dov si è idicato co x(t il sgal igrsso co y(t l uscita dl sistma. ESEMPIO Vdiamo la fuzio di trasfrimto dlla rt a ritardo aticio. R C x(tvi(t + _ i(t C y(tvo(t R Alichiamo alla rt lttrica la lgg di Kirchoff dll tsioi qulla dll corrti, oché l rorità carattristich dll rsistz di codsatori: dov t v o(t R i(t + i( τdτ C Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst

2 Sostitudo la scoda lla rima si ha: ( v (t v i(t v o(t d v i(t o i(t + C. R dt ( v (t t v i(t v o(t d v i(t o v i( τ v o( τ v i(t v o(t v o(t R + RC + dτ+ C R dt C R C o ach, drivado rimo scodo mmbro: ossia ( ( d v o(t d v i(t v o(t RC RC + dt dt d ( v i(t v o(t d v i(t v o(t + RRCC + ( v i(t v o(t + R C dt dt ( ( x'(t y'(t + R R C C ( x''(t y''(t + ( x(t y(t RC y'(t (RC + RC i dfiitiva RR CC y''(t + RR CC x''(t ( RC + RC + RC y'(t + ( R C + R C x'(t + x(t + y(t. Trasformado scodo Lalac l quazio diffrzial co codizioi iiziali ull si ha i qusto caso: Y(s RR CC s + (RC + RCs + G(s X(s RR CC s + (RC + RCs + + RCs ( + RC s ( + RCs ( + τs ( + τs ( + RC s ( + RCs + RCs ( + τs ( + τs + τs ( + τs ( + τs + ( τ + τ + τs + ττ s dov si è osto Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst

3 τ RC, τ RC, τ RC. I altrativa, r dtrmiar la fuzio di trasfrimto dlla rt a ritardo aticio facciamo uso dll imdz di comoti lttrici dlla rgola dl artitor: R + Y(s sc src + G(s X(s sc + R + + src + + sc sc + sc R R src + ( + src( + src src + sr src ( src( src C src ch coicid co la fuzio di trasfrimto rcdtmt dtrmiata. La fuzio di trasfrimto è dl scodo ordi, co m zri rali gativi i z, τ z τ oli da dtrmiar, ch si dimostrao ssr ach ssi rali gativi. I articolar, r l ot rorità di oliomi dl scodo ordi, si ha: ττ ch, cofrotata co l rcdti, coduc al risultato: zz ossia Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 3

4 z. z Tal rlazio srim il fatto ch i oli soo disosti trambi stramt agli zri o trambi itramt agli zri. Si vrifica ch la scoda codizio o è ossibil, duqu dtto α z < z si ha α, τ ατ la situazio ch si vrifica è qulla illustrata lla sgut figura. σ α ατ τ τ τ Duqu la fuzio di trasfrimto dl sistma si srim lla forma: ( + τ s ( s ( s ( s ( s ( s G(s + τ + τ + τ + τ + τ ( + τ s ( + τ s τ ( τ s ( s ( s ( + ατs + + ατ + α α quidi è il rodotto dlla fuzio di trasfrimto di ua rt ritardatric r qulla di ua rt aticiatric, com dl rsto si vic ach ossrvado la maa oli-zri dl sistma. Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 4

5 SISTEMA ELEMENTARE DEL SECONDO ORDINE Vdiamo ora il sistma lmtar dl scodo ordi, ch è il circuito sri RLC. R L vi(t + _ i(t C vo(t L igrsso dl sistma è la tsio ai cai dl grator vi(t, l uscita dl quadriolo è la tsio ai cai dl codsator vo(t. Dtrmiiamo la fuzio di trasfrimto dl sistma. Alichiamo la lgg di Kirchoff dll tsioi l rorità carattristich dlla rsistza, dll iduttaza dl codsator. Si ha: da cui di(t v(t i Ri(t + L + v o(t dt dv o(t d v o(t v i(t RC LC v o(t dt + d t + o ach, s si idica co x(t l igrsso vi(t co y(t l uscita vo(t : LC y''(t + RC y'(t + y(t x(t. Trasformado scodo Lalac l quazio diffrzial co codizioi iiziali ull (vo(, il codsator è suosto iizialmt scarico si ha: Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 5

6 V (s Y(s G(s o LC. V (s X(s i LC s + RC s + R s + s + L LC I altrativa, r dtrmiar la fuzio di trasfrimto dlla rt lttrica lmtar dl scodo ordi facciamo uso dll imdz di comoti lttrici dlla rgola dl artitor: Y(s G(s sc LC X(s R R+ sl+ s + s+ sc L LC ch coicid co la fuzio di trasfrimto rcdtmt dtrmiata. Riscriviamo la fuzio di trasfrimto dl sistma dl scodo ordi odo LC R δ L R δ LC C L. Si ha G(s s + δs + dov δ soo dtti risttivamt cofficit di smorzamto ulsazio atural dl sistma. La fuzio di trasfrimto dlla rt lttrica lmtar dl scodo ordi uò rarstar ach u sistma diffrt dal sistma i qustio, ma smr co u modllo dl tio: Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 6

7 a y''(t + b y'(t + cy(t dx(t cui corrisodoo du oli. Ididtmt dalla atura fisica dl sistma modllato, s la sua fuzio di trasfrimto è la stssa dlla rt lttrica dl scodo ordi, sso rsta vidtmt lo stsso comortamto diamico dl circuito lttrico cosidrato. Prdiamo ad smio il sistma x(t mccaico traslatorio i figura, i f(t cui ua massa M si muov K M sottoosta ad ua forza orizzotal f(t ssdo collgata ad u lmto fisso vrtical da ua molla idal co costat lastica B K uo smorzator idal co cofficit di attrito viscoso B. Evidtmt, dtto x(t lo sostamto orizzotal dlla massa, si ha d x(t dx(t f(t M + B + Kx(t d t dt da cui, scglido f(t com igrsso x(t com uscita, si otti K X(s M G(s. F(s K B K K Ms + Bs + K s + s+ s + δ s+ M M Si ha acora il sistma dl scodo ordi lmtar ma rmoltilicato r u guadago K, il cui uico fftto è qulli di modular i valori dll ordiat dll risost dl sistma. Ioltr, r K i du sistmi lttrico mccaico coicidoo. Poiamoci i qusto caso cosidriamo duqu il sistma co fuzio di trasfrimto G(s. s + δs + Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 7

8 Il sistma è dl scodo ordi, ifatti tal è l ordi dll quazio diffrzial ch lo dscriv: la fuzio di trasfrimto dl sistma ha m zri oli i: Si rstao quidi divrsi casi. / δ ± δ.. Pr δ > l radici soo rali distit..a. Pr δ> i oli soo rali gativi distiti..b. Pr δ<- i oli soo rali ositivi distiti.. Pr δ < l radici soo comlss coiugat: / δ ± j δ..a. Pr <δ< i oli soo comlssi coiugati co art ral gativa..b. Pr -<δ< i oli soo comlssi coiugati co art ral ositiva..c. Pr δ i oli soo immagiari uri: / ± j 3. Pr δ l radici soo rali coicidti: / δ. 3.A. Pr δ i oli soo rali gativi coicidti i -. 3.B. Pr δ- i oli soo rali ositivi coicidti i +. Ass Immagiario Luogo di oli al variar dl cofficit di smorzamto δ> δ< <δ< δ Ass immagiario Luogo di oli al variar dl cofficit di smorzamto.5 δ> δ δ> δ<- δ- δ<- <δ< δ δ -<δ< -<δ< δ Ass ral Ass ral I articolar, oiamoci l caso ( δ < siao σ d risttivamt la art ral immagiaria di du oli, ossia: Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 8

9 / σ± j d co σ δ d δ. < Evidtmt si ha ach: G(s. s + δs + (s σ + d Il trmi δ vi dtto cofficit di smorzamto di oli, mtr è dtta ulsazio atural di oli. Ifi, d è dtta ulsazio smorzata di oli. σ ϕ <δ< δ -<δ< Im d π d ϕ R Im Im d σ R ϕ σ R Co smlici cosidrazioi gomtrich si dduc ch la ulsazio atural rarsta il modulo di oli, ifatti si ha: / σ + d. Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 9

10 Ivc il cofficit di smorzamto δ rarsta il coso dll agolo formato dal raggio vttor ch uisc la radic a art immagiaria ositiva co l origi isim al smiass ral gativo: r tal motivo si ha δ> quado i oli hao art ral gativa δ< r oli osizioati l smiiao dstro. Ad smio, l caso di oli a art ral gativa (figura i alto a siistra, si ha: da cui vidtmt σ δ cosϕ δ cos ϕ, ϕ ar cosδ. Si vrifica facilmt ch qust ultim du rlazioi soo valid ach r oli π immagiari uri (δ ϕ r oli a art ral ositiva (co -<δ< π <ϕ<π. Ifatti, l caso di oli a immagiari uri (figura lla agia rcdt i alto al ctro, si ha: da cui vidtmt δ, π ϕ δ cos ϕ, ϕ ar cosδ. Ivc, l caso di oli a art ral ositiva (figura lla agia rcdt i alto a dstra, si ha: da cui si ha acora σδ cos( πϕ δ cos ϕ, ϕ ar cosδ. Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst

11 Ragioado aalogamt sulla art immagiaria si ha ach, i tutti tr i casi rcdti: d δ siϕ ch si smlifica, l caso articolar di oli immagiari uri, ssdo rlazio baal π ϕ, lla d. Dalla rlazio rcdt sulla art immagiaria di oli si ha ach δ si ϕ, ϕ arcsi δ, δ ϕ arctg. δ Calcoliamo ora la risosta al gradio dl sistma l caso i cui i oli siao comlssi coiugati (ossia δ <. La trasformata dlla risosta al gradio val: Y(s G(s s s s + δs + s((s σ + d k αs + β + s (s σ + d co k s + δs + s αs + β s δs s (s σ + d s(s + δs + s(s + δs + s δ s + δs + Quidi Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst

12 da cui s δ Y(s + s (s σ + d (s + δ s (s + δ + d (s + δ δ s (s + δ + d (s + δ + d δ d δ (s + δ + d y(t δ t cos( dt δ δ δ t si( dt (t. Si ha ach δ t y(t δ δ t δ δ cos( dt + δ si( dt (t δ t d d δ ( si ϕ cos( t + cosϕ si( t (t si( t + ϕ (t Quidi la risosta al gradio è costituita da ua siusoid modulata da u sozial. Aalizziamo ora la risosta al gradio r il caso articolar.a, i cui <δ<, ossia quado i oli dl sistma soo l smiiao siistro. Evidtmt a rgim il trmi sozial lla risosta covrg a zro, mtr il trmi siusoidal oscilla tra i valori + -. Duqu la risosta idicial dl sistma dl scodo ordi r <δ< è cotuta tra du ivilui, trambi covrgti a + ch valgoo: δt y i (t ± (t. / δ Rarstiamo l adamto l tmo dlla risosta al gradio dl sistma r <δ<. d. Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst

13 Ivilui y(t MP.5.95 td tr tp ts5% t La risosta art da y( + si ϕ. δ L uscita dl sistma covrg al valor fial dl gradio, ossia raggiug il rgim, ifatti si ha: y ( + la risosta al gradio ha u adamto oscillatorio comrso tra i du ivilui. I uti di massimo miimo dlla risosta si trovao tutti sugli ivilui, ovvro tali uti si ottgoo quado il trmi siusoidal val + (uti di miimo - (uti di massimo. Il sistma si dic sottosmorzato. I aramtri iù imortati ch dscrivoo la risosta idicial di u sistma lmtar dl scodo ordi co oli comlssi coiugati a art ral gativa (ovvro r <δ< soo i sguti. Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 3

14 Tmo di assstamto. Tmo di ritardo. Tmo di salita. Tmo di icco. Massima sovralogazio rctual. I articolar si dfiisc tmo di assstamto al 5% (% o B% il tmo occorrt rché la risosta idicial rimaga tro il 5% (% o B% dl valor fial. Si dfiisc rciò ua bada B itoro al valor di rgim: il tmo di assstamto al 5% (% o B% è duqu il tmo ch la risosta imiga r trar dfiitivamt lla bada di assstamto tra.95.5 (.98.8 o -B +B. S ad smio ts5% è il tmo di assstamto al 5%, u limit surior r il tmo di assstamto si otti arossimado la risosta al gradio co i suoi ivilui: δ ± δ t s5% ±.5. Qusto calcolo, r quato arossimato, o è di iù smlici; ffttuiamo rciò ua ultrior arossimazio, suodo ch δ. Tal arossimazio val quado il quadrato dl cofficit di smorzamto è sufficitmt mior dll uità, ossia r δ. Abbiamo così: δs5% t.5 l.5 3 ts 5% 3τ. δ δ Si dfiisc duqu ua costat di tmo ch è l ivrso dlla art ral dl olo, a mo dl sgo: Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 4

15 τ. σ δ Si riott duqu il risultato valido r i sistmi lmtari dl rimo ordi: doo tr costati di tmo il sistma dl scodo ordi ha raggiuto il 95% dl valor fial. Aalogamt si ha l. 4 ts% 4τ δ δ ossia doo quattro costati di tmo il sistma ha già raggiuto il 98% dl valor fial. Pr ua grica bada B% si ha ifi: B l B t sb% l τ. δ I dfiitiva l arossimazioi fatt coducoo a trattar il sistma com uo quivalt dl rimo ordi co ua costat di tmo ari all ivrso dlla art ral di oli, a mo dl sgo, ll iotsi ch il cofficit di smorzamto sia δ. 3 Maa oli - zri Ass immagiario Ass ral Com r i sistmi dl rimo ordi, dall srssioi trovat r il tmo di assstamto si dduc ch il sistma è tato iù lto a raggiugr il rgim quato Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 5

16 iù lvata è la costat di tmo. Tracciado la maa oli-zri dl sistma si coclud ch sso è tato iù lto quato iù vicii soo i oli all ass immagiario, ossia quato iù iccola è la art ral di oli. Quidi il sistma è tato iù vloc a raggiugr il rgim quato iù grad è la art ral di oli. Si dfiisc oi il tmo di ritardo td, ari al tmo cssario affiché la risosta idicial raggiuga il 5% dl valor fial. Acora, il tmo di salita tr idica il tmo cssario affiché la risosta idicial assi dal % (5% al 9% (95% dl valor fial. Essdo i qusto caso la risosta oscillatoria, il tmo di salita uò ach dfiirsi com il tmo cssario a ch la risosta al gradio giuga r la rima volta al valor fial, ossia assi dallo % al % dl valor fial. Ua imortat scifica r i sistmi dl scodo ordi è la massima sovralogazio rctual, data dalla diffrza tra il valor massimo dll uscita il valor fial, srsso i trmii rctuali di qust ultimo: MP y(t y( P + y( + ssdo tp il tmo di icco, o tmo cssario r raggiugr il rimo massimo lla risosta idicial. Calcoliamo il tmo di icco com il rimo istat di tmo i cui si aulla la drivata rima dlla risosta: Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 6

17 da cui δt δt d d d y'(t δ si( t +ϕ cos( t +ϕ δ δ δt d d δsi( t +ϕ δ cos( t +ϕ δ δt d d ( cos si( t si cos( t ϕ +ϕ ϕ +ϕ δ δt δt d d si( t +ϕϕ si( t δ δ si( dt duqu i massimi i miimi dlla risosta idicial si ottgoo r ossia d t k π, k kπ t, k d r k si ha il rimo massimo, ovvro t P π. d Quidi il tmo di icco did dalla art immagiaria di oli, quato iù ssi soo lotai dall ass ral, tato mior è tal tmo, cioè tato iù raido è il raggiugimto dl rimo massimo. Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 7

18 tp 5 Tmo di icco 5 π Cofficit di smorzamto δ L adamto dl tmo di icco ristto al cofficit di smorzamto è rarstato i figura. L adamto tmoral di massimi miimi è rarstato di sguito, i ua scala di tmi ormalizzata ristto alla ulsazio atural. + πδ δ y(t + δ t πδ δ δ t π π δ δ 3π δ 4π δ 5π δ 6π δ t t Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 8

19 Noto il tmo di icco, è ora ossibil calcolar la massima sovralogazio rctual dal valor dl rimo massimo: δπ δt d P y(tp si( dtp + ϕ δ δ δπ δπ δ + si ϕ + δ δ si( π + ϕ da cui MP y(tp y( + y( + + δπ δ δπ δ. La massima sovralogazio rctual è duqu fuzio uicamt dl cofficit di smorzamto. L adamto dlla massima sovralogazio rctual ristto al cofficit di smorzamto è rarstato lla figura succssiva. MP 8 Massima sovralogazio rctual Cofficit di smorzamto δ Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 9

20 Valori tiici dlla massima sovralogazio rctual soo i valori dll itrvallo MP [5%,4%], i quali si ottgoo r valori dl cofficit di smorzamto δ [.8,.77]. I articolar valori otvoli dlla massima sovralogazio rctual si ottgoo r δ.6 (MP % r δ. 77 (M P 5%. Dal grafico si ota ch r δ la risosta idicial rsta il massimo icco ossibil, ssdo la massima sovralogazio rctual ari al %. Ifatti gli soziali lla risosta al gradio dgrao i u trmi costat ch o si stigu, la risosta è oscillatoria o smorzata. Il rimo icco è ari a, ssdo MP%, si π raggiug i u tmo tp (ottuto r δ, ossia d. All aumtar dl cofficit di smorzamto il icco si riduc, ma il tmo r raggiugrlo tp aumta, sio a ch il icco si aulla r δ: si ha smorzamto critico la risosta o è iù oscillatoria, ma divi ariodica, ifatti tp +. I dfiitiva, la risosta td al valor di rgim lo raggiug i u tmo ifiito. Calcoliamo ora il tmo di salita com il tmo cssario a ch la risosta raggiuga r la rima volta il valor di rgim: y(t δ t r δ r si( dtr + ϕ da cui ossia δ t δ r si( dtr + ϕ si( d tr + ϕ. Duqu l itrctt dlla risosta idicial co il gradio si ottgoo r Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst

21 ossia dt+ ϕ k π, k kπ ϕ t, k d r k si ha la rima itrctta, ossia il tmo di salita t r π ϕ. d Si ha ach tr π ar cos( δ. δ L adamto dl tmo di salita co il cofficit di smorzamto è rarstato i figura. tr Tmo di salita π Cofficit di smorzamto Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst

22 Cofrotado l rlativ srssioi, si vrifica ch vidtmt il tmo di salita è smr ifrior al tmo di icco. Com r il tmo di icco, ach il tmo di salita è ivrsamt roorzioal alla art immagiaria di oli, quidi il sistma è tato iù vloc l trasitorio quato iù grad è la art immagiaria di oli. Si uò dimostrar ioltr ch il tmo di salita aumta co l aumtar dl cofficit di smorzamto. Abbiamo visto ch u risultato aalogo val r il tmo di assstamto, ch si riduc co l aumtar dlla art ral di oli. Saiamo ioltr ch l tità dl rimo icco dlla risosta idicial o è ifluzata dalla ulsazio atural ma dal solo cofficit di smorzamto. S ad smio matiamo fissa la ulsazio atural variamo il cofficit di smorzamto, qusto corrisod a sostar i oli dl sistma lugo ua circofrza di raggio. I articolar, dimiudo il cofficit di smorzamto, aumta l agolo φ aumta la massima sovralogazio rctual. Il tmo di assstamto aumta (rché dimiuisc la art ral di oli mtr migliorao il tmo di icco il tmo di salita (oiché dimiuisc il cofficit di smorzamto. Ad smio, l caso i figura il sistma avt la coia di oli - rsta di tmi di assstamto, di icco di salita iù bassi dl sistma co i oli -. Im d d ϕ σ ϕ σ R Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst

23 Rarstiamo ora l adamto dlla risosta idicial al variar dl cofficit di smorzamto (la scala di tmi è ormalizzata ristto alla ulsazio atural. y(t δ t t Dalla figura si ossrva com dimiudo il cofficit di smorzamto si abbia ua massima sovralogazio rctual maggior, ua dimiuzio dl tmo di icco dl tmo di salita, oché u aumto dl tmo di assstamto. Cosidriamo ora il caso i cui sia matuto fisso il cofficit di smorzamto vga variata la ulsazio atural. Qusto corrisod a sostar i oli dl sistma lugo ua rtta usct dall origi ch forma u agolo φarcosδ co il smiass ral gativo. Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 3

24 δ costat > varia Im I tal caso, mtr rsta fissa la massima sovralogazio rctual, ossia l tità dl rimo icco, si modificao gli ivilui dlla risosta idicial quidi il tmo di assstamto. I articolar qust ultimo si riduc all aumtar dlla ulsazio atural, rddo il sistma iù roto. ϕ R Variado la sola ulsazio atural si ottgoo i sguti adamti dlla risosta idicial y(t t I dfiitiva cambiar la ulsazio atural dl sistma quival a cambiar l ass di tmi: iù è lvato, iù cotratto è l ass di tmi. Ifatti, aumtado la Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 4

25 ulsazio atural si riducoo i tmi di assstamto, di icco di salita, mtr la massima sovralogazio rctual (ch did uicamt dal cofficit di smorzamto o subisc variazioi. Cosidriamo ifi il caso i cui la fuzio di trasfrimto dl sistma sia modificata matdo fisso il rodotto dl cofficit di smorzamto r la ulsazio atural, ossia la art ral di oli. Ciò corrisod a muovr i oli dl sistma lugo ua rtta vrtical di ascissa δ. Im δ> varia δ costat ϕ R Gli adamti tmorali ch si ottgoo r la risosta al gradio soo diagrammati di sguito. Evidtmt i qusto caso la art ral di oli rima ivariata, duqu o cambia il tmo di assstamto (oiché gli ivilui dlla fuzio soo gli stssi. Cambiao ivc la raidità dl trasitorio l tità dl icco: aumtado il cofficit di smorzamto δ ( riducdosi la ulsazio atural aumtao il tmo di icco il tmo di salita, mtr si riduc la massima sovralogazio rctual. Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 5

26 .8 y(t δ t Possiamo duqu cocludr ch u sistma lmtar dl scodo ordi co oli comlssi coiugati cofficit di smorzamto δ co <δ< è tato iù vloc l trasitorio l rgim quato iù lotai soo i suoi oli dall origi dl iao comlsso. Abbiamo così aalizzato il caso.a, i cui <δ<. Cosidriamo ora il caso.b, i cui i oli soo comlssi coiugati co art ral ositiva (-<δ<. La risosta dl sistma è acora la stssa, ossia: y(t δ t δ si( dt + ϕ (t. Essdo il cofficit di smorzamto gativo, l sozial è divrgt lo soo ach gli ivilui. Il sistma è oscillatorio o smorzato co amizza crsct; o si uò arlar di rgim. Ciò ra rvdibil, oiché i oli soo a art ral ositiva d hao modi associati divrgti. Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 6

27 La risosta al gradio co i suoi ivilui è rarstata i figura. Risosta al gradio -5 Ivilui Tmo [s] Cosidriamo ora il caso.c, i cui i oli soo immagiari uri (δ, φ π. La risosta dl sistma si otti dalla rcdt sostitudo δ, ossia: y(t δ t δ si( dt + ϕ (t δ π si( t + (t ( cos( t (t. Essdo il cofficit di smorzamto ullo, il trmi sozial divi costat quidi gli ivilui soo du rtt orizzotali di ordiata risttivamt. La risosta al gradio dl sistma è ua siusoid o smorzata, co ulsazio ari alla ulsazio atural. Il tmo di icco val t P π d π mtr il tmo di salita è Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 7

28 tr π π d π la sovralogazio rctual è dl %, ifatti si ha: y(t P y( + MP %. y( + Ifi, il tmo di assstamto è ifiito, oiché la risosta o si asssta mai ad u valor di rgim. Risosta al gradio co smorzamto ullo.5 Amizza Tmo [s] Cosidriamo ora il caso 3.A, i cui δ, ossia i du oli soo rali coicidti i -. Si ha: G(s (s + quidi la trasformata dlla risosta al gradio val: Y(s s(s + k k + s (s + k + s + Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 8

29 dov k (s + s k s s k k dov l ultima rlazio driva dal torma di rsidui. Quidi Y(s s (s + s + da cui y(t ( t t t (t. Quidi y( +. Si ossrva ch r t> da cui t t t t y'(t + t + t Ioltr r il torma dl valor fial si ha + y '(. y( + lim sy(s lim. s s (s + Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 9

30 La risosta al gradio ottuta è diagrammata lla figura sgut. Si tratta di ua risosta ariodica, simil a qulla ottuta r il sistma lmtar dl rimo ordi, ma iù lta l rimo tratto (la curva si stacca dall origi rstado tagt all ass ral. I qusto caso si vrifica ch il tmo di salita, il tmo di icco il tmo di assstamto soo ifiiti, mtr la massima sovralogazio rctual è ulla. Si dic ch il sistma rsta uo smorzamto critico. Risosta al gradio co smorzamto critico Amizza Tmo [s] Cosidriamo ora il caso 3.B, i cui δ-, ossia i du oli soo rali coicidti i +. Si ha: G(s (s quidi la trasformata dlla risosta al gradio val: Y(s s(s k k + s (s k + s Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 3

31 dov k (s s k s s+ k k dov l ultima rlazio driva dal torma di rsidui. Quidi Y(s + s (s s da cui si otti ua risosta divrgt (ifatti i oli soo osizioati l smiiao dstro: y(t ( t t t + (t. Risosta al gradio co smorzamto gativo uitario 5 Amizza Tmo [s] Si ossrva acora ch Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 3

32 + y(. Ioltr r t> si ha: y'(t t t da cui + y '(. Ossrviamo ch o val il torma dl valor fial, ssdo violat l su iotsi. Ifatti si ha: ( t y( + lim + ( t + t + lim sy(s lim y( + s s (s Sia ora il caso.a, i cui δ>, ossia i du oli soo rali distiti gativi. Si ha: G(s s + δs + (s (s dov suoiamo >, ossia (si vda la maa di oli i figura: δ δ, δ + δ Im R Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 3

33 Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 33 risulta δ. La trasformata dlla risosta al gradio val: 3 s k s k s k (s s(s Y(s + + dov ( s(s k ( s(s k s s (s (s k s 3 s s s < δ δ > δ δ + δ + da cui ( (t k k y(t t 3 t + + (t y(t t t + δ +.

34 Modi co i risttivi rsidui risosta al gradio (δ>.5 k y(t Modo di -.5 Modo di Tmo [s] La risosta al gradio co i modi corrisodti è diagrammata lla figura rcdt (si ossrva ch k < k3, oiché >. Il sistma si dic sovrasmorzato (δ>. Si ossrva ch il modo di è iù raido ad stigursi di qullo di, ssdo qust ultimo olo iù vicio all ass immagiario. Ioltr il valor iizial dlla risosta è y( + k + k3 r il torma di rsidui, mtr r t> si ha da cui d ifi k3 t t ( y '(t + δ + y '( Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 34

35 y ( +. Dtt τ τ l costati di tmo di oli, si uò ach riscrivr la risosta al gradio com sgu: t t y(t τ τ + τ τ δ (t. Si ossrva acora ch dgli ultimi du modi il iù iflut è qullo rlativo al olo iù vicio all ass immagiario. Qust ultimo è duqu il olo domiat. Si ha ua ffttiva domiaza s risulta >, ovvro r τ δ. I tal caso si uò arossimar il sistma co qullo dl rimo ordi avt u solo olo i, oiché risulta: t t τ τ y(t τ (t (t δ δ δ δ t t t δ+ δ τ δ+ δ τ (t τ (t (t δ ( δ δ + δ il tmo di assstamto al 5% val ad smio: ts5% 3τ. Aalizziamo ifi il caso.b, i cui δ<-, ossia i du oli soo rali distiti ositivi. Si ha acora: Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 35

36 G(s s + δs + (s (s dov suoiamo > com i figura. Im R La risosta al gradio si srim acora com sgu: y(t + t t (t + δ i qusto caso divrg, oiché i modi soo rlativi a oli osizioati l smiiao dstro dl iao comlsso. No ha sso arlar di rgim ach i qusto caso o val il torma dl valor fial..4 Risosta al gradio r oli ositivi distiti (δ<-. Amizza Tmo [s] Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 36

37 Nlla figura rcdt vi rarstata la risosta al gradio di qusto sistma. SISTEMI DINAMICI DEL SECONDO ORDINE CON ZERI Si vuol ora samiar l fftto di uo zro sul comortamto di u sistma dl scodo ordi, i articolar l caso i cui il sistma ha du oli comlssi. Cosidriamo quidi u sistma diamico dl scodo ordi com i figura, avt fuzio di trasfrimto dl tio: ( +τs G(s s + δ s+ x(t G(s y(t co ulsazio atural > avt, r smlicità (i quato trattasi dl caso iù comu d ach di maggior itrss, oli comlssi coiugati (ovvro -<δ<. Il sistma rsta uo zro i z ch è a fas miima (ossia osto l smiiao τ siistro r τ>, mtr è a fas o miima (ossia osto l smiiao dstro s τ<. Evidtmt, r τ lo zro scomar il sistma si ricoduc al grico sistma lmtar dl scodo ordi. Calcoliamo la risosta al gradio, dtta y (t, dl sistma. Evidtmt risulta: (+τs Y(s G(s + τs s s s s s s s s s s ( + δ + ( + δ + ( + δ + S ora idichiamo co y (t la risosta al gradio di u grico sistma dl scodo ordi co oli comlssi coiugati rivo di zri, si ha vidtmt: Y(s s s s ( + δ +. Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 37

38 dal cofroto dll du rcdti rlazioi si dduc ch Saiamo ch co Y (s Y (s + Y (s τ s. δ t y(t si( dt +ϕ (t δ y ( quidi atitrasformado la rlazio tra Y (s Y (s si ha: dy (t y (t y (t +τ. dt Abbiamo visto i rcdza l calcolo dl tmo di icco ch r t> val la rlazio δ dy t (t si( dt dt δ ch è u trmi ch covrg a zro r t +. Quidi la risosta al gradio di u sistma dl scodo ordi co uo zro si comorta r t + com la risosta al gradio di u sistma dl scodo ordi rivo di zri. Ciò ra rvdibil i quato la rsza di qualch zro o cambia i modi dlla fuzio di trasfrimto, ma solo i cofficiti di fratti smlici. I altr arol si ha: y ( + y ( + + τ y ( + y ( + il cui valor did dalla osizio di oli l iao di Gauss (ovvro dalla loro art ral. Ioltr si ha Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 38

39 da cui + dy ( dt + y ( quidi la risosta al gradio di u sistma dl scodo ordi co uo zro iizia ad volvr dal valor ullo com la risosta al gradio di u sistma dl scodo ordi rivo di zri. Ossrviamo oi ch r t> val: Si ha: dy (t dy (t d y (t +τ. dt dt dt δt δt ( si( dt d cos( dt d y (t d dy (t δ + dt dt dt δ δt δt ( cosϕ si( dt + siϕ cos( dt si( ϕdt δ δ da cui i dfiitiva + d y ( si ϕ dt δ dy ( dy ( d y ( +τ +τ τ dt dt dt ch è u valor ositivo s lo zro è a fas miima (τ>, è gativo s lo zro è a fas o miima (τ< ullo r τ. Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 39

40 I dfiitiva la rsza di uo zro i u sistma dl scodo ordi o modifica é il valor iizial é il valor fial dlla risosta al gradio; ciò ch cambia è il modo i cui la risosta al gradio si stacca dall ass di tmi. S lo zro è osto l smiiao siistro la drivata ll origi dlla risosta al gradio è ositiva, mtr l caso sza zri si ha drivata ulla. S ivc lo zro è osto l smiiao dstro tal drivata è gativa, duqu iizialmt la risosta dl sistma è iù lta ristto ai du casi rcdti: la risosta al gradio iizia ad volvr tddo o vrso il valor di ordiata dll igrsso (ari a, bsì volvdo vrso l ordiat gativ. I altr arol, s lo zro è a fas o miima iizialmt il sistma o volv i modo da sguir l igrsso ma allotaadosi da sso: ciò è tiico di sistmi co zri a fas o miima, ossia co qualch zro a art ral gativa. Nlla figura sgut è riortato u cofroto grafico dll risost al gradio di tr sistmi dl scodo ordi, co gli stssi oli, comlssi coiugati disosti l smiiao siistro, di quali il rimo è rivo di zri, il scodo ha uo zro a fas miima il trzo rsta uo zro ral ositivo. 3.5 Sistma sza zri Sistma co zro a fas miima Sistma co zro a fas o miima Aalogh cosidrazioi sull fftto di uo zro i u sistma dl scodo ordi valgoo l caso di oli rali. Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 4

41 Prtato la rsza di uo zro aggiutivo ral gativo (ositivo i u sistma dl scodo ordi lmtar iduc lla risosta idicial ua sovralogazio (sottologazio iizial ch è tato iù acctuata quato iù grad è il valor dlla costat di tmo dllo zro (oiché i tal caso l fftto di tal zro o è vidtmt trascurabil. Naturalmt l caso articolar di u sistma co oli rali uo zro aggiutivo molto vicio ad uo di oli, la risosta idicial si riduc a qulla di u sistma dl rimo ordi, oiché l fftto dllo zro è smlicmt qullo di cacllar uo di du oli. EFFETTO DI UN POLO AGGIUNTIVO: SISTEMI DI ORDINE SUPERIORE AL SECONDO Aalogamt a quato fatto l aragrafo rcdt, è ossibil ivstigar l fftto sul comortamto di u sistma lmtar dl scodo ordi di u olo aggiutivo ral (gativo, oiché u olo ositivo dstabilizzrbb il sistma, rddo divrgt la risosta la gradio. È così ossibil rovar ch l fftto ricial di u olo aggiutivo cosist l ralltamto dlla risosta al gradio, ovvro l aumto dl tmo di salita, quato iù grad è la costat di tmo di tal olo (oiché i tal caso l fftto di tal olo o è vidtmt trascurabil. I dfiitiva ossiamo riassumr alcu itrssati cosidrazioi sui sistmi di ordi qualsiasi.. Coi di oli/zri co olo zro molto vicii fra loro roducoo u fftto trascurabil sulla risosta. Di fatto tali coi ossoo ssr cacllat dalla fuzio di trasfrimto matdo ivariato il guadago i cotiua; i qusto modo si riduc l ordi dl modllo sza itrodurr rrori sigificativi sulla risosta dl sistma.. Poli zri lotai dall ass immagiario roducoo u fftto trascurabil sulla risosta. Prtato, idividuati i oli (rali o comlssi iù vicii all ass immagiario (oli domiati, vtuali altri oli o zri ttamt iù lotai dall ass immagiario ossoo ssr ach ssi limiati, sza altrar il guadago i cotiua, co buoa arossimazio dll risost dl sistma. I ratica soo trascurabili oli zri co Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 4

42 costati di tmo suriori di almo u ordi di gradzza ristto a qulla di oli domiati. 3. Poli vicii all ass immagiario (co costati di tmo o suriori di u ordi di gradzza ristto a qulla di oli domiati iducoo u ralltamto dlla risosta, ovvro u aumto dl tmo di salita, tato iù acctuato quato iù ssi soo rossimi all ass immagiario. 4. Zri vicii all ass immagiario (co costati di tmo o suriori di u ordi di gradzza ristto a qulla di oli domiati iducoo sovralogazioi /o sottologazioi tato iù rouciat quato maggior è la viciaza all ass. I articolar uo zro ral ositivo iduc ua sottologazio iizial. 5. S la fuzio di trasfrimto dl sistma rsta u olo domiat ral molto iù vicio all ass immagiario di tutti gli altri oli zri, rali o comlssi, il comortamto dl sistma è molto simil a qullo di u sistma dl rimo ordi co l uico olo coicidt co il olo domiat. 6. S la fuzio di trasfrimto ossid ua coia di oli domiati comlssi coiugati molto iù vicii all ass immagiario ristto a tutti gli altri oli zri, il comortamto dl sistma è molto simil a qullo di u sistma dl scodo ordi stadard. Coyright 7 Mariagrazia Dotoli. L autor garatisc il rmsso r la riroduzio la distribuzio dl rst 4