Analisi probabilistica di giochi

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1 Scuola Iteruiversitaria Lombarda di Specializzazioe per l Isegameto Secodario Sezioe di Milao VII Ciclo Idirizzo Fisico-Iformatico-Matematico Classe di abilitazioe 47 Matematica Aalisi probabilistica di giochi Relatore-Tutor: Prof. Bruo BETRÒ Supervisore: Prof.ssa Nadia MORETTI Relazioe Fiale di Tirociio di: Domeico Roberto IANNIZZI Matricola: Y03596

2 SOMMARIO Itroduzioe.2 Presetazioe del cotesto e aalisi dell esperieza di tirociio. 3 Prerequisiti...4 Coteuti: presetazioe delle lezioi.5 Impariamo a cotare...5 Probabilità di eveti...5 Calcolo combiatorio.8 Modelli probabilistici..9 Probabilità codizioata e idipedeza...9 Variabili aleatorie discrete e loro distribuzioe 10 Valore atteso.11 Probabilità e giochi 13 Calcolo di probabilità ei giochi: lotto, superealotto, dadi, roulette..13 Quote e guadago probabile.13 Giochi equi/iiqui.14 Sistemi/strategia di gioco.14 Legge dei gradi umeri e giochi.14 Verifica dell appredimeto..16 Coclusioi e aalisi critica dell esperieza..16 Appedici...17 Appedice A Dispese.17 Appedice B Soluzioi degli esercizi..50 Appedice C Verifica...55 Bibliografia 58 1

3 Itroduzioe Il lavoro qui presetato è il frutto dell attività di tirociio da me svolta, ell ambito della Scuola Iteruiversitaria Lombarda per l Isegameto Secodario - Sezioe di Milao (SILSIS-MI), presso il Liceo Scietifico Statale Bertrad Russell di Milao, classe V B (biligue). Tale attività cosiste i u esperieza attiva di isegameto riguardate l itroduzioe al Calcolo delle Probabilità utilizzato per aalizzare le situazioi di icertezza, i particolare i giochi cosiddetti d azzardo. L idea di proporre tale argometo è scaturita, dopo u atteta attività di osservazioe della classe, dalla programmazioe curriculare, dal cotesto scolastico ed ache da u giusto cofroto co l isegate accogliete grazie alla spledida esperieza di grade collaborazioe dovuta alla sua dispoibilità e i particolare al suo metodo di isegameto: dialogico comuicativo attraverso il quale discutere e proporre problemi da risolvere come casi di studio, metodologia che ho adottato durate il mio iterveto attivo. L argometo è stato poi realmete preso i cosiderazioe isieme all isegate accogliete a seguito dell idagie sulla tedeza rispetto alla scelta uiversitaria: Ecoomia e Commercio, Scieze della Comuicazioe, e i geerale facoltà che prevedoo u corso itroduttivo al Calcolo delle Probabilità già al I ao, al fie di forire u adeguata paoramica dell argometo che spesso, per macaza di tempo, viee u po trascurato el programma curriculare, stimolado ache la curiosità degli allievi i proposito. Lo sviluppo del progetto è stato articolato i 5 ore di icotri 1 durate i quali soo stati affrotati ache degli esempi proposti come esercizi/problemi da risolvere iereti agli argometi trattati durate la lezioe. Al termie della prima lezioe ho forito agli studeti gli apputi della stessa co i relativi esercizi e l aalogo per la lezioe successiva. Dalla secoda lezioe i poi ho forito alla fie di ogi iterveto le dispese 2 relative alla successiva lezioe. Abbiamo adottato questa strategia per verificare il livello di attezioe alla prima lezioe e per forire, a più voleterosi, la possibilità di effettuare ua lettura idividuale prima della spiegazioe i modo che gli studeti potessero testare la propria capacità di compresioe di u testo scritto. Questa metodologia ha stimolato, i quasi tutti gli allievi, la curiosità di effettuare questa pre-lettura. Le lezioi soo, quidi, state sempre più partecipate e più scorrevoli. Alla fie, per verificare l appredimeto dei cocetti fodametali (calcolo combiatorio, probabilità codizioata ed idipedeza e legge dei gradi umeri), è stata sommiistrata ua prova sotto forma di test a risposta multipla (tempo cocesso u ora di lezioe). La verifica ha dato risultati mediamete discreti. 1 La durata di u ora di lezioe è di 55 miuti. 2 Le dispese co gli apputi e gli esercizi si trovao i Appedice A, le soluzioi degli esercizi i Appedice B. 2

4 Presetazioe del cotesto e aalisi dell esperieza di tirociio La classe V B è composta da 15 studeti cotro i 14 dell ao precedete e le diamiche relazioali/comportametali sostazialmete o si soo modificate. La classe si dimostra collaborativa, ache se i risultati i matematica soo solo mediamete sufficieti. Si evideziao tre allievi co particolare attitudie per la materia. Ad alcui gioverebbe u maggior impego di studio domestico, come mi coferma la docete accogliete. Il livello di attezioe i classe è buoo e la lezioe è sempre partecipata soprattutto grazie alle capacità coivolgeti della docete accogliete che crea sempre u clima sereo. Durate le mie lezioi ho riscotrato proprio questi aspetti, ifatti gli alui si soo dimostrati atteti, propositivi e iteressati all argometo da me presetato, i particolare alcui hao sopperito co l ituizioe alle careze di base. La preseza i aula, i qualità di tirociate, è stata per me di grade importaza, poiché mi ha cosetito di tradurre i pratica le competeze apprese i via teorica. Ho avuto modo così di costatare quata ricaduta positiva sull itero sistema scolastico abbiao avuto le riforme varate dagli ai Settata i poi perché è reale e palpabile u grade rispetto per l aluo, posto al cetro del sistema scolastico e cosiderato soggetto attivo dell appredimeto, e l isegate ha il compito di stimolare e mettere i codizioi di studiare sereamete. La sede del Liceo Scietifico Statale Bertrad Russell, situato ella zoa di Niguarda a ord di Milao, è ua struttura modera, fuzioale, che cosete u facile accesso ache ai disabili motori, i cui soo preseti i laboratori di: Fisica, Iformatica, Ligue, Scieze e Chimica. Il corpo docete è stabile e la scuola è molto atteta alle problematiche degli studeti e al rapporto scuola-famiglia. L idetità culturale del Liceo si foda su u curriculum di studi che valorizza il sapere umaistico e isieme quello scietifico, itegrato dalle sperimetazioi dell iformatica, della doppia ligua straiera e della sperimetazioe di scieze a idirizzo biomedico. La scuola sostiee il progetto Scuola i Ospedale presso l ospedale di Niguarda a sostego dei giovai degeti i età scolare ricoverati el reparto Uità Spiale. Soo stato persoalmete coivolto i questo progetto e ho effettuato u iterveto co u ragazzo ricoverato (15 icotri). Ho vissuto questa esperieza all iizio co u po appresioe ma poi co u grade coivolgimeto ache emotivo e spero di portarla avati i futuro. 3

5 Prerequisiti L isegate accogliete mi ha chiesto prevetivamete, all iizio dell a.s , di esplicitare quali fossero i prerequisiti ecessari alla compresioe dell argometo trattato durate il mio iterveto attivo, assumedosi il compito di trattare i classe gli argometi propedeutici seza alterare il programma curriculare i modo tale da poter itegrare il più possibile le mie lezioi agli argometi precedetemete svolti. Dopo la presetazioe dei segueti prerequisiti: isiemistica: operazioi sugli isiemi e relative proprietà; logica: coettivi e relative proprietà, tavole di verità; calcolo algebrico; sviluppo della poteza di u biomio: Triagolo di Tartaglia; limiti di successioi; limiti di fuzioi; studio di fuzioi a variabile reale; avere la buoa abitudie di usare prima la testa (ituito e ragioameto); essere capaci di stupirsi e aver voglia di capire di frote a risultati o sempre ituitivi; l isegate accogliete mi ha rassicurato riguardo alla coosceza da parte degli studeti dei primi quattro prerequisiti, affrotati e studiati ei precedeti ai. Per quato riguarda i limiti e lo studio di fuzioi, ivece mi ha detto che sarebbero stati argometi del primo quadrimestre della quita. Ifie per quato riguarda l attitudie al ragioameto, la capacità e la voglia di cofrotarsi co problematicità o del tutto ituitive mi ha cofortato perché la classe è partecipe alle iiziative e al cofroto. Quidi, dopo u atteto e cordiale cofroto, si è deciso di proporre il mio iterveto tra la fie di geaio e l iizio febbraio 2007 e così è stato. 4

6 Coteuti: presetazioe delle lezioi Impariamo a cotare (Lezioe del 20 /01/ I ora) Obiettivi della lezioe Itroduzioe al cocetto di: esperimeto aleatorio, eveto e probabilità. Idividuare la atura di u eveto. Valutare le probabilità di u eveto i base alla teoria classica. Cooscere la legge empirica del caso e le implicazioi di carattere applicativo a essa coesse. Valutare le probabilità di u eveto i base alla teoria frequetista. Cooscere il sigificato di probabilità soggettiva. Capire le esigeze che portao alla formalizzazioe di ua teoria assiomatica della probabilità. Saper calcolare la probabilità: dell eveto cotrario, uioe di eveti. Ricooscere la atura dei raggruppameti che si possoo fare co oggetti. Determiare il umero di permutazioi,disposizioi, combiazioi semplici o co ripetizioi. Probabilità di eveti La lezioe è iiziata co la presetazioe delle lezioi e co u itroduzioe ache storica del cocetto di probabilità. Itroduzioe. Cos è la probabilità? Eveti icerti misura dell icertezza. Calcolo delle Probabilità = teoria matematica dell icertezza. Defiizioe di probabilità che e rispecchi il sigificato ituitivo e allo stesso tempo sia operativa dare regole di calcolo. Cei storici Calcolo delle probabilità scoosciuto al modo atico per asseza metodo sperimetale. Riascimeto: Cardao (1526 ca) prima trattazioe della probabilità: calcolo della probabilità della somma di tre dadi, problema ripreso poi da Galileo. Nascita del calcolo delle probabilità attribuita alla corrispodeza (1654) tra Pascal e Fermat. Iteresse di Pascal attivato da u giocatore d azzardo dell epoca, de Mèrè, che lametava discrepaza tra suoi calcoli e la frequeza dei risultati (a lui sfavorevole). Paterità di Pascal cotestata, ma Pascal compie primi studi sistematici. Cotrasto co impostazioe di Cartesio, alla base del determiismo, ormai abbadoato dalla scieza modera. Nato come teoria matematica dei giochi, il Calcolo delle probabilità crebbe progressivamete di importaza. Laplace (1812): E otevole il fatto che ua scieza che è iiziata co l aalisi dei giochi d azzardo dovesse essere elevata al rago dei più importati oggetti della coosceza umaa. Grade sviluppo teorico el XX secolo. Kolmogorov (1933): approccio assiomatico che acora oggi e costituisce il fodameto. 5

7 Applicazioi del Calcolo delle probabilità oggi preseti i ogi ramo della scieza, ella tecologia, ella fiaza. Fie della visioe ewtoiaa della fisica e avveto della fisica quatistica hao dimostrato l impossibilità di fare previsioi esatte i ogi circostaza: il pricipio di idetermiazioe di Heiseberg (1927) afferma che o è possibile cooscere simultaeamete la posizioe e la velocità di u dato oggetto co precisioe arbitraria. Nel secolo XX grade sviluppo della Statistica, braccio operativo, della probabilità: studia sostazialmete come combiare le probabilità che misurao l icertezza relativa ad u certo feomeo co osservazioi sperimetali del feomeo stesso. Modello probabilistico: modello matematico che descrive la realtà i modo approssimato (astrazioe) e valido temporaeamete. Eveti aleatori Co esempi pratici ho itrodotto i cocetti di: esperimeto aleatorio, eveto elemetare e spazio campioario, di cui, dopo, soo state date ache le defiizioi 3. Laciado u dado o sappiamo a priori che umero uscirà, però sappiamo che i casi possibili soo 6 ( esce 1, esce 2,..) e i macaza di altre iformazioi, cioè suppoedo che il dado o sia truccato, stimiamo che oguo di questi casi abbia probabilità uguale a quella degli altri, perciò pari a 1/6. Allo stesso modo se laciamo ua moeta i casi possibili soo due (testa, croce), ciascuo co probabilità 1/2. Questi soo esempi di esperimeti aleatori (casuali), cioè esperimeti di cui o si coosce l esito, che dipede dal caso ( aleatorio sigifica casuale e deriva dal latio alea che sigifica dado... ricordate Cesare quado diceva: Alea iacta est?). Ho presetato ulteriori esempi di esperimeti aleatori, sottolieado che i tutti casi presetati o è oto l esito, ma sappiamo quali soo i casi possibili e che impareremo a calcolare la probabilità di ciascuo di essi. Mi è stata posta la seguete domada: Tra possibile e probabile c è o o c è differeza? La domada era plausibile perché ho usato etrambi i termii e di solito questi vegoo adoperati el liguaggio comue come sioimi. Ho risposto che vi è differeza, ifatti: E possibile che domai piova, ma o è probabile! Ho trattato solo il caso i cui lo spazio campioario è discreto, perché gli studeti o avevao acora gli strumeti ecessari per le difficoltà matematiche che preseta il caso cotiuo. Ho evideziato il fatto che i sottoisiemi dello spazio campioario hao u ruolo importate: certi sottoisiemi hao specifici sigificati dal puto di vista degli eveti (co la loro rappresetazioe grafica attraverso i diagrammi di Eulero-Ve): eveto certo, eveto impossibile Prima di passare alla probabilità degli eveti è stato utile richiamare le proprietà delle operazioi uioe, itersezioe e complemetare sugli isiemi. 3 Defiizioi, esempi, osservazioi, di seguito citati soo stati richiamati i modo esplicito sia a lezioe che elle dispese, preseti i Appedice A e forite agli studeti. 6

8 Probabilità di eveti A questo puto ho cercato di portare la classe a pesare a ua defiizioe ituitiva di probabilità. La probabilità di u eveto è u umero reale dell itervallo [0,1], che esprime, misura, quato riteiamo probabile il verificarsi di quell eveto. Ad esempio, se laciamo ua moeta, stimiamo che la probabilità che esca testa sia 0.5 = 1/2 (el liguaggio comue si usa dirlo i percetuale: la probabilità del 50%, cioè probabilità p = probabilità 100 p%). Quidi ho detto che il calcolo delle probabilità è la braca della matematica che ci dice come si calcolao le probabilità di eveti complessi, cooscedo già la probabilità di altri eveti più semplici. Prima di dare la defiizioe di probabilità, ho detto che bisoga rispodere ad alcue questioi: 1. come cooscere le probabilità degli eveti più semplici? 2. co quali regole si passa dalla probabilità di alcui eveti a quella di altri? Che proprietà deve avere cioè la probabilità che assego agli eveti? Ho esposto alcue cosiderazioi tratte dal seso pratico, che, i liea di pricipio, molti di loro già cooscevao: la probabilità della totalità di tutti i casi possibili deve essere pari a 1: P(Ω) =1 ; la probabilità dell isieme vuoto deve essere zero: P( ) = 0; se coosciamo la probabilità di A possiamo ricavare quella di A c : P(A c ) = 1 P(A); se A e B soo disgiuti, A B=, cooscedo P(A) e P(B), ricaviamo P(A B) = P(A) + P(B); e così possiamo adare avati Ho dato la defiizioe assiomatica di probabilità, soffermadomi a chiarire che: la probabilità è ua fuzioe. gli eveti soo isiemi e se e può fare uioe, itersezioe, complemetare, la probabilità di u eveto è u umero reale (fra 0 e 1), duque le probabilità di eveti si possoo sommare, sottrarre, Ho fatto osservare che se lo spazio è discreto, basta cooscere la probabilità degli eveti elemetari per essere i grado di calcolare la probabilità di qualsiasi eveto. Perciò basta cooscere P ω = p =, cioè le probabilità degli eveti elemetari. ({ } ) 1, 2, Come assegare le probabilità Dopo aver visto come si possoo ricavare probabilità di eveti più complicati dalla coosceza della probabilità di eveti semplici, ho affrotato la questioe del come vao attribuite le probabilità degli eveti semplici. Ho ribadito che la scelta di queste probabilità deve soddisfare le proprietà matematiche viste, ma è u qualcosa che esula dalla matematica, coivolgedo piuttosto le ostre valutazioi. Ad esempio, se lacio u dado, siccome oi riteiamo a priori che ogi faccia abbia la stessa probabilità di uscire, allora attribuiamo probabilità pari a 1/6 all uscita di u 6. Se però laciassimo u dado 1000 volte e il 6 comparisse 250 volte, saremmo portati a pesare che il dado o è be bilaciato e la probabilità che esca 6 è (vicia a) 1/4. Ho affermato che queste due idee appea descritte (cosiderazioi di equiprobabilità oppure calcolo di ua frequeza) soo alla base di due approcci: la defiizioe classica di probabilità e la defiizioe frequetista. Ho dato le defiizioi classica e frequetista di probabilità, facedo le segueti importati osservazioi: 7

9 Sia Pascal che de Mèrè si aspettavao che, a lugo adare, la frequeza co cui u eveto si verifica si stabilizzi sul valore della probabilità. Opiioe comue, espressa ella cosiddetta legge empirica del caso i ua successioe di prove fatte elle stesse codizioi, la frequeza di u eveto si avvicia alla probabilità dell eveto stesso e l approssimazioe tede a migliorare co l aumeto del umero delle prove. Rovesciado l impostazioe classica, si arrivò alla defiizioe frequetista la probabilità di u eveto è il limite della frequeza (relativa) dei successi (cioè del verificarsi dell eveto), quado il umero delle prove tede all ifiito. Ache la defiizioe frequetista è operativa, el seso che forisce ua regola di calcolo (aaloga a quella della defiizioe classica) delle probabilità i determiate circostaze. Nella defiizioe classica la scelta della probabilità degli eveti è fatta a priori, metre ella defiizioe frequetista a a posteriori, dopo l estrazioe di u campioe statistico. Il buo seso ci dice che se il campioe è abbastaza umeroso, allora la frequeza relativa è abbastaza vicia alla probabilità vera. Questo è u cocetto che verrà precisato dalla Legge dei gradi umeri, su cui toreremo. Per completezza ho dato ache la defiizioe soggettiva, facedo ache le segueti osservazioi: Già acceata i Pascal, si può fare risalire a Daiele Beroulli, ripresa el 900 da Bruo de Fietti e Jimmy Savage: Probabilità è il grado di fiducia che ua persoa ha el verificarsi dell eveto. No è ua caratteristica itriseca dell eveto 4. Defiizioe operativa : La probabilità P(A) di u eveto A è il prezzo che u idividuo ritiee equo pagare per ricevere 1 se l eveto si verifica e 0 se l eveto o si verifica. Le probabilità degli eveti devoo essere attribuite i modo che o sia possibile otteere co u isieme di scommesse ua vicita certa o ua perdita certa (pricipio di coereza o equità). La coereza implica le solite regole della probabilità. Calcolo combiatorio Ho quidi affermato che, dalla defiizioe classica di probabilità come rapporto fra il umero di casi favorevoli ed il umero di casi possibili, e segue che è importate saper cotare i casi i questioe, quidi per alcue situazioi tipiche, come fare questo coteggio ce lo dice il calcolo combiatorio. Ioltre le dimostrazioi delle formule presetate o state fatte i modo formale (rimadado al libro di testo), per cocetrarsi solo sulla compresioe dei termii tramite defiizioi ed esempi, però ho presetato u pricipio che serve per ricavare le formule, pricipio che è utile ache i geerale Pricipio del prodotto di possibilità. Ho quidi dato le defiizioi di permutazioi, disposizioi e combiazioi sia semplici che co ripetizioe, osservado che: Nei problemi di coteggio la difficoltà spesso sarà el capire quale di questi modelli si applica meglio. Acora più atteti bisoga essere quado si tratta di calcolare le probabilità come casi favorevoli, quali casi soo equiprobabili?! casi possibili Alla fie della lezioe ho riassuto i uo schema quato detto relativamete al coteggio. Ifie ho cosegato le dispese relative a ciò che ho spiegato e che avrei spiegato el successivo icotro, assegado alcui esercizi per casa. 4 Ho evideziato questo aspetto sottolieado il fatto che la probabilità del verificarsi di u eveto o è propria dell eveto e eppure ierete alla sua atura ma apputo come da defiizioe operativa data di seguito. 8

10 Modelli probabilistici Probabilità codizioata e idipedeza (27 /01/ I ora durata) Obiettivi della lezioe Cooscere il fodametale cocetto di probabilità codizioata. Cooscere la legge delle probabilità totali. Cooscere la formula di Bayes. Cooscere il fodametale cocetto idipedeza. Saper calcolare la probabilità dell eveto itersezioe di eveti. Probabilità codizioata Ho iiziato la lezioe chiededo se avevao dei dubbi e delle domade su ciò che avevamo visto ella lezioe precedete e sugli esercizi dati per casa. Le risposta è stata el complesso affermativa, cioè che avevao capito abbastaza, i particolare u paio di studeti mi hao detto che grazie alle dispese e ache agli esempi/esercizi visti i classe e preseti su quest ultima soo riusciti a capire bee e a svolgere alcui degli esercizi proposti per casa. Ho cosegato loro le soluzioi ed ho corretto l esercizio che sembravao più ostico, chiededo a uo studete, che aveva svolto gli esercizi i questioe, di uscire alla lavaga e provarlo a fare isieme. Dopo la correzioe dell esercizio ho iiziato a spiegare, ribadedo che abbiamo visto, ache ell esercizio corretto, che la scelta dei valori che assume la probabilità su certi eveti dipede dalla ostra valutazioe, ifatti la ostra valutazioe può cambiare se si aggiugoo uove iformazioi, itroducedo, attraverso u esempio di vita quotidiaa, il cocetto di probabilità codizioata dadoe poi la defiizioe, e successivamete i teoremi di: Legge delle probabilità totali e Bayes, osservado che: Calcolare la probabilità di u eveto dato B è come cambiare spazio campioario, cioè da Ω ci si restrige a B. Fissato B, la fuzioe P(. B), cioè quella che all eveto A associa il umero P(A B) è ua probabilità su Ω (purché P(B)>0, altrimeti o è defiita). Alle volte è più facile calcolare le probabilità codizioate che o codizioate, ed è i questi casi che la legge delle probabilità totali risulta utile. La formula di Bayes serve per rovesciare le probabilità codizioate. Idipedeza A questo puto ho itrodotto il cocetto di idipedeza, dicedo che per redere coto di quato la coosceza di uove iformazioi modifica le ostre valutazioi della probabilità abbiamo itrodotto la probabilità codizioata: se voglio la probabilità di u eveto A, ma so che si è verificato B allora aziché P(A) cosidererò P(A B). Alle volte però può succedere che la uova iformazioe o cambi la valutazioe della probabilità, ad esempio sapere che oggi la massima temperatura o supererà i 28 o mi dovrebbe dire ulla sull esito del lacio di u dado che volessimo laciare! Ho dato quidi la defiizioe di eveti idipedeti, facedo le segueti osservazioi: La defiizioe va bee ache el caso P(A) = 0 oppure P(B) = 0. Se però P(A) > 0 e P(B) > 0 P A B P A P B A = P B, cioè la defiizioe è giusta : A allora è equivalete a: ( ) = ( ) e ( ) ( ) e B (che abbiao probabilità positiva) soo idipedeti se e solo se sapere che uo si è verificato o modifica la probabilità dell altro. 9

11 Se coosciamo P ( A), P( B) e P ( A B) allora per decidere se A e B soo idipedeti bisoga verificare l equazioe della defiizioe. Altre volte ivece si ritiee a priori che due eveti soo idipedeti e si usa l equazioe della defiizioe per calcolare la probabilità dell itersezioe. No è sempre evidete se due eveti siao o o siao idipedeti. La defiizioe di idipedeza vista vale per coppie di isiemi, ma si può estedere a famiglie di eveti di cui ho dato defiizioe. Quidi prima di itrodurre u uovo argometo, ho riassuto i uo schema quato detto ed ho assegato alcui esercizi per casa, ioltre abbiamo dato loro ua decia di miuti affiché potessero sia riposarsi/rilassarsi che chiarirsi le idee su quato spiegato. Variabili aleatorie discrete e loro distribuzioi (27/01/ II ora) Obiettivi della lezioe Cooscere il cocetto di variabile aleatoria (discreta). Cooscere il cocetto di legge o distribuzioe di ua variabile aleatoria. Cooscere il problema delle prove ripetute: processo di Beroulli. Ricooscere e saper utilizzare le tipiche distribuzioi di probabilità: beruolliaa, biomiale, geometrica. Variabile aleatoria Al rietro dalla breve pausa, ho itrodotto il cocetto di variabile aleatoria (v.a.), dicedo che ua v.a. è quatità che può assumere diversi valori (cioè è variabile), i dipedeza dal caso (aleatoria), osservado che: dato ω Ω, X(ω) è uivocamete determiato poiché X è ua fuzioe. Nella roulette ogi ω {0, 1,, 36} ha probabilità 1/37 di uscire, ed è chiaro che ci iteresserà qual è la probabilità di vicere qualcosa, cioè se X è la variabile vicita, ci iteressa la probabilità che 0 P ω Ω : X ω > 0, probabilità dell isieme degli ( ) X > : ( ) elemeti di Ω tali che X di ω è maggiore di zero. La probabilità è defiita su Ω, ecco perché abbiamo dovuto scrivere così! I realtà ella pratica spesso ci si dimetica di Ω e si usa ua otazioe più succita: ( X = a) = ( ω Ω : X ( ω) = a), ( X > b) = ( ω Ω : X ( ω) > b), ( X ( a, b ) = ω Ω : X ( ω) ( a, b duque gli ω o compaioo, restao sottoitesi, ( X I ) sottoisieme di Ω, quello degli ω tali che X(ω) I. ( ), dove I R è u eveto, cioè u Se tutti e soli gli elemeti di A vegoo madati i I da X, allora A è l eveto ( X I ) = A. ( X I ) coicide co l isieme X -1 (I) delle cotroimmagii di I tramite X. 10

12 A questo puto abbiamo fatto torare i gioco la probabilità, osservado quato segue: Pɶ I = P X I. la legge di ua v.a. è ua probabilità ( ) ( ) A voler essere pigoli P ɶ agisce sugli itervalli di R e oi abbiamo parlato solo di probabilità su spazi campioari discreti i effetti la trattazioe delle probabilità su R porta a delle complicazioi matematiche che esulao da questa breve trattazioe (ecco perché abbiamo saltato i casi cotiui e le v.a. cotiue). Ho, quidi, itrodotto la prova di Beroulli, e la v.a. beroulliaa di parametro p, facedo otare che o è ecessario che i risultati dell esperimeto siao solo di due tipi, ma che per i ostri scopi o iteressi possiamo idetificare due isiemi di risultati, A e B, e chiamare i risultati i A successo e quelli i B (= A c ) isuccesso. Ho dato ache la defiizioe del processo di Beroulli, el caso i cui ripetiamo più volte u esperimeto di Beroulli, osservado che: legate a u processo di Beroulli ci soo delle domade abbastaza aturali: 1. Quati successi otteiamo i prove? (Ad esempio, quate teste el lacio di ua moeta). 2. Quato dobbiamo aspettare per vedere u successo? (Ad esempio, per vicere alla roulette). La risposta i etrambi i casi è data da ua v.a. Ho defiito, pertato, le v.a. biomiale e geometrica, e le rispettive distribuzioi di probabilità, osservado che: X B 1, p = B p. a. Se = 1 riotteiamo ua v.a. beroulliaa, cioè ( ) ( ) b. Ua biomiale può essere vista come la somma di v.a. beroulliae idipedeti e di parametro p. c. L ipotesi di idipedeza è fodametale (cioè il fatto che l esito di ua prova o iflueza le altre), perché, ad esempio, se scegliessimo X 1 = X 2 = = X allora potremmo avere solo oppure 0 successi. d. Eveti rari possoo accadere! Quado si verifica u eveto raro, è però possibile che il ostro modello sia iadeguato (Paradosso della scimmia). Ifie ho assegato alcui esercizi per casa ed ho cosegato le dispese relative all argometo della successiva lezioe. Valore atteso (29/01/ I ora) Obiettivi della lezioe Defiire e calcolare il valor atteso di ua v.a. precisadoe il sigificato. Cooscere e saper applicare le proprietà del valor atteso Valore atteso La lezioe è iiziata co la alcui chiarimeti relativi alle otazioi, a cui o erao abituati, ifatti, i geerale, è emerso che durate la spiegazioe erao compresibili ma poi, a casa, quado hao riletto gli apputi e le dispese hao avuto alcue difficoltà a ritrovarsi, per il resto, comuque, la maggior parte di loro ha cofermato che avedo avuto la possibilità di fare ua pre-lettura a casa degli argometi dell icotro precedete soo stati giovati ella compresioe dei cocetti sia i classe che successivamete a casa, ifatti erao desiderosi di iiziare la uova lezioe e questo è stato evideziato dal fatto che avevao risolto quasi tutti gli esercizi proposti di cui ho cosegato le relative soluzioi ho corretto u esercizio di cui mi hao chiesto spiegazioe, riguardate il teorema di Bayes. Quidi ho iiziato a spiegare, ribadedo che abbiamo visto che se diamo ua macchia da scrivere ad ua scimmia e la lasciamo fare questa prima o poi scriverà qualsiasi libro che scegliamo. 11

13 Naturalmete ci aspettiamo che per fare ciò ci metta abbastaza tempo: è aturale chiedersi quato tempo ci mette la scimmia prima di riuscire? o meglio quati tetativi deve fare? I questo modo ho itrodotto il cocetto di valore atteso, di cui poi ho dato la defiizioe facedo alcue cosiderazioi, i particolare relativa alla otazioe: Gli x soo i valori che X può assumere, perciò se X assume u umero fiito di valori, è ua somma fiita; o cofodiamo f X ( x ) co la somma precedete, ifatti f X ( x ) = 1 ( { x1, x2, } ), metre i x f X ( x ) P X compaioo ache gli x. E(X) (se esiste) è u umero reale (o è ua quatità aleatoria!) perché Se X assume solo u umero fiito di valori: {x 1, x 2,, x } ed oguo co probabilità 1, allora E ( ) 1 1 X = x = x il valore atteso è la media aritmetica dei valori assuti. = 1 = 1 Questo è u caso particolare di E(X): ( ) ( ) ( ) =, dove x è il valore assuto e X x f x E X = 1 f x è la probabilità di assumerlo ( peso di x ). Quidi E(X) può essere visto come media X pesata dei valori assuti dove pesao di più i valori più probabili. E(X) può essere diverso da tutti gli x (ad esempio la media aritmetica di umeri può essere diversa da ciascuo), quidi E(X) o è il valore più probabile di X semmai è il valore attoro a cui X è cetrata (ricordado loro la media aritmetica vista i Fisica: teoria degli errori e statistica descrittiva ). Ifie ho assegato alcui esercizi per casa ed ho cosegato le dispese relative all argometo della successiva lezioe. 12

14 Probabilità e giochi (03/02// I ora) Obiettivi della lezioe Cooscere e saper calcolare le quote e i guadagi probabili dei giochi. Cooscere e saper determiare l esito di u gioco equo/iiquo. Saper trasformare il gioco da equo a iiquo e viceversa. Cooscere il sigificato di La legge dei gradi umeri. Calcolo di probabilità ei giochi: lotto, superealotto, dadi, roulette La lezioe è iiziata co molto etusiasmo visto l argometo, ifatti è stata molto più scorrevole delle precedeti. Gli esercizi proposti, di cui ho cosegato loro le relative soluzioi, erao stati svolti completamete grazie ache alla docete accogliete che ha fatto ua lezioe di ripasso i cui ha chiarito alcui dubbi svolgedo alcui esercizi, rimasti i sospeso, isieme ai ragazzi. Quidi abbiamo calcolato tutti isieme le probabilità dell eveto: il giocatore vice al gioco del : lotto, superealotto, dadi, roulette, dopo ua breve descrizioe di ogi gioco, el caso degli ultimi due ho forito loro ua paio di brochure (regole specifiche: Roulette Americaa, Dadi, Blac Jac, ) che avevo preso al Casiò. Quote e guadago probabile A questo puto ho itrodotto i cocetti di: quote e guadago probabile, perché il giocatore di solito o parla i termii probabilità, preferisce parlare di quote, cioè il rapporto tra i casi sfavorevoli e quelli favorevoli, calcolado questi casi e quidi le quote per il giocatore relativamete ai giochi sotto aalisi: lotto, superealotto, dadi, roulette; facedo osservare quato segue: se le quote cotro u eveto soo a 1, sigifica che se si vicesse la scommessa u giusto payoff (profitto = somma spettate al vicitore di ua scommessa o gioco d azzardo) dovrebbe essere per ogi 1 scommesso; aturalmete i payoff el casiò/lotto o soo i accordo co le giuste quote, ifatti esse soo sempre miori: Dadi il baco paga alla pari 1 a 1. Roulette paga il sigolo umero 35 cotro 1. Lotto per l ambo paga 250 cotro 1. Superealotto esistoo le quote? No esistoo delle vere quote fissate a priori Nei giochi è molto importate il valore atteso di v.a.: speraza matematica guadago probabile del giocatore. Giuste quote dovrebbero dare il giusto payoff i u gioco equo. Tutti i giochi del casiò e tutti i giochi/lotterie soo ieretemete iiqui e parziali ei cofroti del giocatore. Questo dà al casiò e ai gestori dei giochi/lotterie il loro vataggio, cioè il modo di fare soldi a lugo termie a causa della legge dei gradi umeri. Nella roulette il vataggio è dato dai 2 settori verdi 0 e 00. Alcue volte i giocatori hao cercato di elimiare il vataggio del casiò cercado di otteere iformazioi addizioali sul gioco icremetado così la loro probabilità di vicere: sistemi/strategie di gioco. 13

15 Giochi equi e iiqui A questo puto ho parlato del cocetto di equità ei giochi, cosiderado la v.a. che rappreseta le vicite di u idividuo i u gioco: X = guadago del giocatore (positivo, egativo o ullo), cioè la somma di ogi vicita, perdita ed evetuali tasse/quote per giocare. Il liguaggio dei giocatori usato qui sembra frivolo, ma il modello descritto ha u ampia applicazioe: l acquisto di u qualsiasi tipo di assicurazioe è u gioco dove si vice quado oi (o gli eredi) riscuotiamo, e le perdite soo i premi pagati. Dopo aver dato la defiizioe di gioco equo, ed aver calcolato il guadago probabile ei giochi sotto aalisi, abbiamo fatto le segueti cosiderazioi: Dal puto di vista della speraza (itesa come guadago probabile) il gioco dei dadi è migliore del gioco della roulette. Ha seso giocare al lotto e superealatto solo se si giocao piccole quatità di dearo, co la quasi certezza di perdere ma co la remota speraza di vicere grosse cifre. L emozioe di u sogo milioario giustifica ua piccola cifra giocata, e quasi certamete persa I termii di quote, u pagameto co le vere quote corrispode a u gioco equo. Il Casiò ha successo perché i giochi soo sempre sfavorevoli al giocatore, e ho dato loro la brochure del Casiò: Il gioco d azzardo, i cui il Casiò avverte il cliete/giocatore che il gioco può divetare ua dipedeza e quidi u problema, iiziado co queste parole è u gioco come tutti gli altri. E si gioca per vicere, o perché si ama il brivido della sfida. Poiché è u divertimeto, ha il suo prezzo. E ua volta si vice, u altra si perde. È ormale. Nel campo del gioco d azzardo, poi, o esistoo leggi che permettoo di prevedere i risultato del gioco stesso. Sistemi/strategia di gioco Ho, quidi, itrodotto i sistemi/strategie di gioco. Ci siamo posti il seguete problema: esiste strategia di gioco che permette di trasformare gioco sfavorevole i uo favorevole? La possibile risposta, dopo la presetazioe di u esempio pratico, è che occorre disporre di u capitale illimitato, cioè che siao permesse putate illimitate, cocludedo che: o è possibile trasformare u gioco sfavorevole i uo favorevole se o si dispoe di u capitale illimitato ( problema della rovia del giocatore co capitale limitato). Legge dei gradi umeri e giochi A questo puto ho itrodotto La Legge dei gradi umeri: essa afferma semplicemete che, tate più prove usiamo per calcolare la stima, tato più questa sarà vicia, probabilmete, alla probabilità reale dell'eveto A. Abbiamo visto la Legge dei gradi umeri el caso del gioco dei dadi: sia X = guadago del giocatore ad ogi ua giocata co posta di 1 ; E X = ; sappiamo che ( ) assumiamo che il giocatore cotiui a giocare X i guadago al gioco i-esimo; ogi v.a. X i X ed è ragioevole assumerle idipedeti; E S = perdita; S = guadago dopo giocate ( ) ( ) all'aumetare del umero delle giocate la perdita attesa cresce seza limite; usado la legge dei gradi umeri si può dire di più: La perdita media dopo molte giocate è circa di 1,5 cetesimi, lo stesso che ci saremmo aspettati dopo ua solo giocata, questa è 14

16 ua otizia realmete molto deprimete per il giocatore, ifatti per ogi umero egativo più grade di 0,0142 da esempio 0,13 si ha 0,13 S < S ( 0,13) < (*) se il giocatore gioca abbastaza a lugo il suo guadago diveterà probabilmete sempre più egativo perchè a destra di (*) diveterà sempre più grade la sua perdita sarà sempre più grade seza limite cresce; ua piccola perdita media si traduce i u eorme perdita quado il umero di giocate è grade, co probabilità molto vicia a 1, cioè certa; L errore/fallacia del giocatore E importate o leggere ella Legge dei gradi umeri cose che essa o dice, ifatti i giocatori spesso el desiderio di vicere mal iterpretao la Legge dei gradi umeri: dopo u periodo sfortuato, di tetativi i u gioco, si dice che il prossimo tetativo/giocata è più favorevole perché la Leggi dei gradi umeri garatisce evetualmete u cambio di fortua. L argometazioe è sbagliata poiché ad esempio ogi lacio dei dadi è idipedete dai precedeti laci, ifatti i dadi o ricordao che cosa è accaduto precedetemete e o cercao di pareggiare il puteggio. Qual è la base dell errore/fallacia del giocatore? La Legge dei gradi umeri dice che, a lugo termie, la media i geerale si avviciao alla speraza matematica, cioè il valore atteso (guadago probabile del giocatore). Quidi è vero che o si può perdere sempre, cioè prima o poi si vice, ma o si sa quado, certamete o si sa se la prossima (idipedeza), per cui si ha la certezza che la perdita aumeta (rovia del giocatore). Assicurazioi e giochi Ho fatto vedere come le assicurazioi calcolao il premio auo di ua assicurazioe sulla vita, sottolieado come il risultato reda il gioco sfavorevole per il cliete. Approfodimeto Ifie ho fatto u breve approfodimeto riguardate la Legge dei gradi umeri. La Legge dei gradi umeri detta pure legge empirica del caso ovvero teorema di Beroulli Il problema è divetato storico ed è coosciuto come il Paradosso di Sa Pietroburgo poiché proprio i quella città vee formulato per la prima volta. Il primo paradosso ecoomico risale al tempo di Pietro il Grade. 15

17 Verifica dell appredimeto La verifica dell appredimeto è stata effettuata co la sommiistrazioe di ua prova costituita da 20 domade a risposta multipla (tre opzioi). Tempo cocesso u ora scolastica. La prova è stata affrotata co serietà. Gli studeti hao icotrato le difficoltà maggiori elle domade 10, 13, 15, 19, ache per gli aspetti formali di scritture per loro iusuali. Il livello di sufficieza è stato cocordato i dodici risposte esatte. I risultati espressi i percetuale soo stati: 20% sotto la sufficieza; 40% sufficieti; 25% discreti; 15% buoi. Quidi la prova ha avuto u risultato mediamete discreto. La docete accogliete ha teuto coto della valutazioe espressa come prova orale, di ciò gli studeti erao stati preavvertiti. Coclusioi e aalisi critica dell esperieza L esperieza di questo tirociio è stata, per me, molto positiva. I ragazzi si soo dimostrati atteti e dispoibili al cofroto e il rapporto istaurato co gli studeti elle varie classi è stato cootato da ua estrema cordialità el rispetto dei reciproci ruoli. Ciò grazia ache all abitudie a questo tipo di rapporto co i loro doceti. Ache co questi ultimi la collaborazioe è stato ottima facedomi setire u loro collega a tutti gli effetti. Ripesado al mio iterveto attivo se dovessi ripetere questa esperieza i ua mia futura classe dedicherei maggior tempo alle v.a. e alle loro distribuzioi, questo o vuol dire che il tempo dedicato all iterveto o è stato sufficiete, ma dedicherei più tempo ad alcui cocetti fodametale del Calcolo delle Probabilità i prospettiva di ua maggior compresioe degli argometi successivi di Statistica. 16

18 Appedici Appedice A Dispese Impariamo a cotare Probabilità di eveti Se laciamo u dado o sappiamo a priori che umero uscirà, però sappiamo che i casi possibili soo 6 ( esce 1, esce 2,..) e i macaza di altre iformazioi, cioè suppoedo che il dado o sia truccato, stimiamo che oguo di questi casi abbia probabilità uguale a quella degli altri, perciò pari a 1/6. Allo stesso modo se laciamo ua moeta i casi possibili soo due (testa, croce), ciascuo co probabilità 1/2. Questi soo esempi di esperimeti casuali o aleatori, cioè esperimeti di cui o si coosce l esito, che dipede dal caso ( aleatorio sigifica casuale e deriva dal latio alea che sigifica dado... ricordate Cesare quado diceva: Alea iacta est?). Vediamo altri esempi di esperimeti aleatori. Esempi 1. Estrarre ua pallia da u ura che cotiee 90 pallie umerate da 1 a 90 (estrazioe del lotto). 2. Nel gioco del poer, l esperimeto: che carte ho i ua mao dopo che il mazziere ha distribuito? 3. Laciare ua moeta fiché o esce testa e cotare quati laci soo stati ecessari (ua se è uscita al primo, due se o è uscita al prima ma al secodo si, ) 4. accedere ua lampadia e croometrare il tempo ecessario affiché si bruci. I tutti questi casi o è oto l esito, ma sappiamo quali soo i casi possibili (e impareremo a calcolare la probabilità di ciascuo di essi): i 1. ho 90 casi possibili; i 2. i casi possibili soo tutte le estrazioi di 5 carte da u mazzo da poer; i 3. i casi possibili soo tutti gli iteri positivi (duque u isieme umerabile); i 4. i casi possibili soo tutti i reali positivi. Defiizioe I possibili eveti di u esperimeto aleatorio soo detti eveti elemetari (ω). L isieme di tutti gli eveti elemetari è detto spazio campioario (Ω). Se lo spazio campioario è u isieme fiito o umerabile, è detto discreto, se è più umeroso è detto cotiuo (ad esempio se cotiee u itervallo della retta reale). I realtà spesso si vuole calcolare la probabilità o solo dei sigoli eveti elemetari (che soo gli elemeti ω dell isieme Ω), ma ache sottoisiemi di Ω (A Ω), che chiamiamo eveti. Esempi Nell esempio 2. l eveto fra le cique carte che ho i mao c è l asso di picche, oppure ho u poer servito. Nell esempio 3. l eveto servoo più di 5 laci. Nell esempio 4. l eveto la lampadia ha ua durata fra le 1000 e le 2000 ore. Tratteremo solo il caso i cui lo spazio Ω è discreto, perché il caso cotiuo preseta difficoltà i cui o etreremo. 17

19 Defiizioe Sia Ω uo spazio campioario discreto. Ogi suo sottoisieme A è detto eveto. Perciò tutti gli eveti possibili (attezioe! Elemetari e o) soo elemeti dell isieme delle parti di Ω, P(Ω) (l isieme che ha per elemeti i sottoisiemi di Ω). Duque u ruolo importate avrao i sottoisiemi di Ω: vediamo come certi sottoisiemi abbiao specifici sigificati dal puto di vista degli eveti (co la loro rappresetazioe grafica attraverso i diagrammi di Eulero-Ve): Ω eveto certo (sicuramete si verifica uo degli eveti ω Ω). (vuoto) eveto impossibile (o si verifica essu elemeto di φ!). A Ω si verifica A (cioè ω A). A c (complemetare da A) o si verifica A. A B si verifica A o B (o etrambi). A B si verificao A e B (simultaeamete). Se A B= allora A e B soo icompatibili (o possoo verificarsi cotemporaeamete). Se B A allora B implica A (se si verifica B, si verifica ache A). Prima di passare alla probabilità degli eveti è utile richiamare le proprietà delle operazioi (,, c ) sugli isiemi. Proposizioe Se A, B, C soo sottoisiemi di Ω, allora: A = A = A A Ω= A A Ω= Ω A A c = A A c =Ω (A c ) c =A A A=A A A=A prop. di idempoteza A B=B A A B=B A prop. commutativa A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C prop. associativa A (B C)=(A B) (A C) A (B C)=(A B) (A C) prop. distributiva A (A B)=A A (A B)=A prop. assorbimeto (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c leggi di De Morga Probabilità di eveti La probabilità di u eveto è u umero reale dell itervallo [0,1], che esprime, misura, quato riteiamo probabile il verificarsi di quell eveto. Ad esempio, se laciamo ua moeta, stimiamo che la probabilità che esca testa sia 0.5 = 1/2 (el liguaggio comue si usa dirlo i percetuale: la probabilità del 50%, cioè probabilità p = probabilità 100 p%). Il calcolo delle probabilità è la braca della matematica che ci dice come si calcolao le probabilità di eveti complessi (el caso discreto si tratta degli eveti i geerale), cooscedo già la probabilità di altri eveti più semplici (el caso, discreto, spesso gli eveti elemetari). Ci soo due questioi: 1. come cooscere le probabilità degli eveti più semplici? 2. co quali regole si passa dalla probabilità di alcui eveti a quella di altri? Che proprietà deve avere cioè la probabilità che assego agli eveti? Vediamo prima di rispodere alla secoda domada. Facciamo alcue cosiderazioi: 18

20 la probabilità di Ω deve essere pari a 1, cioè P(Ω) = 1; la probabilità dell isieme vuoto,, deve essere zero, cioè P( ) = 0; se coosciamo la probabilità di A, P(A), possiamo ricavare quella di A c : P(A c ) = 1 P(A); se A e B soo disgiuti, A B=, cooscedo P(A) e P(B), ricaviamo P(A B) = P(A) + P(B); e così possiamo adare avati Il matematico russo Kolmogorov studiò egli ai 30 le proprietà delle probabilità, scopredo che da pochi assiomi 5 si potevao ricavare tutte le altre proprietà. Questi assiomi veero scelti per defiire le probabilità, el seso che ogi fuzioe che abbia le proprietà euciate dagli assiomi viee detta probabilità (che poi serve per misurare la probabilità di eveti i casi cocreti, è u altro problema!) Defiizioe (assiomatica di probabilità) Sia Ω uo spazio campioario discreto. Si chiama probabilità su Ω ua qualsiasi fuzioe P: P(Ω) [0,1], co le segueti proprietà: (i) P(Ω) = 1; (ii) se {A } ℵ è ua successioe di eveti a due a due disgiuti (cioè A i A j = co i j) allora P A = P ( A ) (addittività umerabile). = 1 = 1 La coppia (Ω, P) si chiama spazio di probabilità (discreto). Attezioe! La probabilità è ua fuzioe. Gli eveti soo isiemi e se e può fare uioe, itersezioe, complemetare, La probabilità di u eveto è u umero reale (fra 0 e 1), duque le probabilità di eveti si possoo sommare, sottrarre, Proposizioe (proprietà delle probabilità) Sia P ua probabilità su Ω. Allora: (i) P( )=0; (ii) P(A c ) = 1 P(A); (iii) se A 1,, A soo eveti a due a due disgiuti (cioè A i A j = co i j), allora P A A A = P A + P A + + P A (addittività fiita); ( 1 2 ) ( 1) ( 2 ) ( ) (iv) P ( A B) = P( A) + P ( B) P( A B) qualsiasi siao A e B. Esercizio Suppoiamo che u cosumatore, etrato i u supermercato, abbia: probabilità pari a 0.7 di acquistare il prodotto a; probabilità pari a 0.2 di o acquistare il prodotto b; probabilità pari a 0.1 di o acquistare é il prodotto a é il prodotto b. Qual è la probabilità che acquisti sia a che b? Risposta Sia A l eveto {acquista a}, B l eveto {acquista b}. Allora P(A)=0.7, P(B c )=0.2, P(A c B c )=0.1, e chiediamo P(A B)=? 5 Gli assiomi della matematica soo proprietà che o si dimostrao, ma si assumoo vere, da essi si fao discedere tutte le altre tramite dimostrazioi (esempio assiomi della geometria euclidea). 19

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