Analisi probabilistica di giochi

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Analisi probabilistica di giochi"

Transcript

1 Scuola Iteruiversitaria Lombarda di Specializzazioe per l Isegameto Secodario Sezioe di Milao VII Ciclo Idirizzo Fisico-Iformatico-Matematico Classe di abilitazioe 47 Matematica Aalisi probabilistica di giochi Relatore-Tutor: Prof. Bruo BETRÒ Supervisore: Prof.ssa Nadia MORETTI Relazioe Fiale di Tirociio di: Domeico Roberto IANNIZZI Matricola: Y03596

2 SOMMARIO Itroduzioe.2 Presetazioe del cotesto e aalisi dell esperieza di tirociio. 3 Prerequisiti...4 Coteuti: presetazioe delle lezioi.5 Impariamo a cotare...5 Probabilità di eveti...5 Calcolo combiatorio.8 Modelli probabilistici..9 Probabilità codizioata e idipedeza...9 Variabili aleatorie discrete e loro distribuzioe 10 Valore atteso.11 Probabilità e giochi 13 Calcolo di probabilità ei giochi: lotto, superealotto, dadi, roulette..13 Quote e guadago probabile.13 Giochi equi/iiqui.14 Sistemi/strategia di gioco.14 Legge dei gradi umeri e giochi.14 Verifica dell appredimeto..16 Coclusioi e aalisi critica dell esperieza..16 Appedici...17 Appedice A Dispese.17 Appedice B Soluzioi degli esercizi..50 Appedice C Verifica...55 Bibliografia 58 1

3 Itroduzioe Il lavoro qui presetato è il frutto dell attività di tirociio da me svolta, ell ambito della Scuola Iteruiversitaria Lombarda per l Isegameto Secodario - Sezioe di Milao (SILSIS-MI), presso il Liceo Scietifico Statale Bertrad Russell di Milao, classe V B (biligue). Tale attività cosiste i u esperieza attiva di isegameto riguardate l itroduzioe al Calcolo delle Probabilità utilizzato per aalizzare le situazioi di icertezza, i particolare i giochi cosiddetti d azzardo. L idea di proporre tale argometo è scaturita, dopo u atteta attività di osservazioe della classe, dalla programmazioe curriculare, dal cotesto scolastico ed ache da u giusto cofroto co l isegate accogliete grazie alla spledida esperieza di grade collaborazioe dovuta alla sua dispoibilità e i particolare al suo metodo di isegameto: dialogico comuicativo attraverso il quale discutere e proporre problemi da risolvere come casi di studio, metodologia che ho adottato durate il mio iterveto attivo. L argometo è stato poi realmete preso i cosiderazioe isieme all isegate accogliete a seguito dell idagie sulla tedeza rispetto alla scelta uiversitaria: Ecoomia e Commercio, Scieze della Comuicazioe, e i geerale facoltà che prevedoo u corso itroduttivo al Calcolo delle Probabilità già al I ao, al fie di forire u adeguata paoramica dell argometo che spesso, per macaza di tempo, viee u po trascurato el programma curriculare, stimolado ache la curiosità degli allievi i proposito. Lo sviluppo del progetto è stato articolato i 5 ore di icotri 1 durate i quali soo stati affrotati ache degli esempi proposti come esercizi/problemi da risolvere iereti agli argometi trattati durate la lezioe. Al termie della prima lezioe ho forito agli studeti gli apputi della stessa co i relativi esercizi e l aalogo per la lezioe successiva. Dalla secoda lezioe i poi ho forito alla fie di ogi iterveto le dispese 2 relative alla successiva lezioe. Abbiamo adottato questa strategia per verificare il livello di attezioe alla prima lezioe e per forire, a più voleterosi, la possibilità di effettuare ua lettura idividuale prima della spiegazioe i modo che gli studeti potessero testare la propria capacità di compresioe di u testo scritto. Questa metodologia ha stimolato, i quasi tutti gli allievi, la curiosità di effettuare questa pre-lettura. Le lezioi soo, quidi, state sempre più partecipate e più scorrevoli. Alla fie, per verificare l appredimeto dei cocetti fodametali (calcolo combiatorio, probabilità codizioata ed idipedeza e legge dei gradi umeri), è stata sommiistrata ua prova sotto forma di test a risposta multipla (tempo cocesso u ora di lezioe). La verifica ha dato risultati mediamete discreti. 1 La durata di u ora di lezioe è di 55 miuti. 2 Le dispese co gli apputi e gli esercizi si trovao i Appedice A, le soluzioi degli esercizi i Appedice B. 2

4 Presetazioe del cotesto e aalisi dell esperieza di tirociio La classe V B è composta da 15 studeti cotro i 14 dell ao precedete e le diamiche relazioali/comportametali sostazialmete o si soo modificate. La classe si dimostra collaborativa, ache se i risultati i matematica soo solo mediamete sufficieti. Si evideziao tre allievi co particolare attitudie per la materia. Ad alcui gioverebbe u maggior impego di studio domestico, come mi coferma la docete accogliete. Il livello di attezioe i classe è buoo e la lezioe è sempre partecipata soprattutto grazie alle capacità coivolgeti della docete accogliete che crea sempre u clima sereo. Durate le mie lezioi ho riscotrato proprio questi aspetti, ifatti gli alui si soo dimostrati atteti, propositivi e iteressati all argometo da me presetato, i particolare alcui hao sopperito co l ituizioe alle careze di base. La preseza i aula, i qualità di tirociate, è stata per me di grade importaza, poiché mi ha cosetito di tradurre i pratica le competeze apprese i via teorica. Ho avuto modo così di costatare quata ricaduta positiva sull itero sistema scolastico abbiao avuto le riforme varate dagli ai Settata i poi perché è reale e palpabile u grade rispetto per l aluo, posto al cetro del sistema scolastico e cosiderato soggetto attivo dell appredimeto, e l isegate ha il compito di stimolare e mettere i codizioi di studiare sereamete. La sede del Liceo Scietifico Statale Bertrad Russell, situato ella zoa di Niguarda a ord di Milao, è ua struttura modera, fuzioale, che cosete u facile accesso ache ai disabili motori, i cui soo preseti i laboratori di: Fisica, Iformatica, Ligue, Scieze e Chimica. Il corpo docete è stabile e la scuola è molto atteta alle problematiche degli studeti e al rapporto scuola-famiglia. L idetità culturale del Liceo si foda su u curriculum di studi che valorizza il sapere umaistico e isieme quello scietifico, itegrato dalle sperimetazioi dell iformatica, della doppia ligua straiera e della sperimetazioe di scieze a idirizzo biomedico. La scuola sostiee il progetto Scuola i Ospedale presso l ospedale di Niguarda a sostego dei giovai degeti i età scolare ricoverati el reparto Uità Spiale. Soo stato persoalmete coivolto i questo progetto e ho effettuato u iterveto co u ragazzo ricoverato (15 icotri). Ho vissuto questa esperieza all iizio co u po appresioe ma poi co u grade coivolgimeto ache emotivo e spero di portarla avati i futuro. 3

5 Prerequisiti L isegate accogliete mi ha chiesto prevetivamete, all iizio dell a.s , di esplicitare quali fossero i prerequisiti ecessari alla compresioe dell argometo trattato durate il mio iterveto attivo, assumedosi il compito di trattare i classe gli argometi propedeutici seza alterare il programma curriculare i modo tale da poter itegrare il più possibile le mie lezioi agli argometi precedetemete svolti. Dopo la presetazioe dei segueti prerequisiti: isiemistica: operazioi sugli isiemi e relative proprietà; logica: coettivi e relative proprietà, tavole di verità; calcolo algebrico; sviluppo della poteza di u biomio: Triagolo di Tartaglia; limiti di successioi; limiti di fuzioi; studio di fuzioi a variabile reale; avere la buoa abitudie di usare prima la testa (ituito e ragioameto); essere capaci di stupirsi e aver voglia di capire di frote a risultati o sempre ituitivi; l isegate accogliete mi ha rassicurato riguardo alla coosceza da parte degli studeti dei primi quattro prerequisiti, affrotati e studiati ei precedeti ai. Per quato riguarda i limiti e lo studio di fuzioi, ivece mi ha detto che sarebbero stati argometi del primo quadrimestre della quita. Ifie per quato riguarda l attitudie al ragioameto, la capacità e la voglia di cofrotarsi co problematicità o del tutto ituitive mi ha cofortato perché la classe è partecipe alle iiziative e al cofroto. Quidi, dopo u atteto e cordiale cofroto, si è deciso di proporre il mio iterveto tra la fie di geaio e l iizio febbraio 2007 e così è stato. 4

6 Coteuti: presetazioe delle lezioi Impariamo a cotare (Lezioe del 20 /01/ I ora) Obiettivi della lezioe Itroduzioe al cocetto di: esperimeto aleatorio, eveto e probabilità. Idividuare la atura di u eveto. Valutare le probabilità di u eveto i base alla teoria classica. Cooscere la legge empirica del caso e le implicazioi di carattere applicativo a essa coesse. Valutare le probabilità di u eveto i base alla teoria frequetista. Cooscere il sigificato di probabilità soggettiva. Capire le esigeze che portao alla formalizzazioe di ua teoria assiomatica della probabilità. Saper calcolare la probabilità: dell eveto cotrario, uioe di eveti. Ricooscere la atura dei raggruppameti che si possoo fare co oggetti. Determiare il umero di permutazioi,disposizioi, combiazioi semplici o co ripetizioi. Probabilità di eveti La lezioe è iiziata co la presetazioe delle lezioi e co u itroduzioe ache storica del cocetto di probabilità. Itroduzioe. Cos è la probabilità? Eveti icerti misura dell icertezza. Calcolo delle Probabilità = teoria matematica dell icertezza. Defiizioe di probabilità che e rispecchi il sigificato ituitivo e allo stesso tempo sia operativa dare regole di calcolo. Cei storici Calcolo delle probabilità scoosciuto al modo atico per asseza metodo sperimetale. Riascimeto: Cardao (1526 ca) prima trattazioe della probabilità: calcolo della probabilità della somma di tre dadi, problema ripreso poi da Galileo. Nascita del calcolo delle probabilità attribuita alla corrispodeza (1654) tra Pascal e Fermat. Iteresse di Pascal attivato da u giocatore d azzardo dell epoca, de Mèrè, che lametava discrepaza tra suoi calcoli e la frequeza dei risultati (a lui sfavorevole). Paterità di Pascal cotestata, ma Pascal compie primi studi sistematici. Cotrasto co impostazioe di Cartesio, alla base del determiismo, ormai abbadoato dalla scieza modera. Nato come teoria matematica dei giochi, il Calcolo delle probabilità crebbe progressivamete di importaza. Laplace (1812): E otevole il fatto che ua scieza che è iiziata co l aalisi dei giochi d azzardo dovesse essere elevata al rago dei più importati oggetti della coosceza umaa. Grade sviluppo teorico el XX secolo. Kolmogorov (1933): approccio assiomatico che acora oggi e costituisce il fodameto. 5

7 Applicazioi del Calcolo delle probabilità oggi preseti i ogi ramo della scieza, ella tecologia, ella fiaza. Fie della visioe ewtoiaa della fisica e avveto della fisica quatistica hao dimostrato l impossibilità di fare previsioi esatte i ogi circostaza: il pricipio di idetermiazioe di Heiseberg (1927) afferma che o è possibile cooscere simultaeamete la posizioe e la velocità di u dato oggetto co precisioe arbitraria. Nel secolo XX grade sviluppo della Statistica, braccio operativo, della probabilità: studia sostazialmete come combiare le probabilità che misurao l icertezza relativa ad u certo feomeo co osservazioi sperimetali del feomeo stesso. Modello probabilistico: modello matematico che descrive la realtà i modo approssimato (astrazioe) e valido temporaeamete. Eveti aleatori Co esempi pratici ho itrodotto i cocetti di: esperimeto aleatorio, eveto elemetare e spazio campioario, di cui, dopo, soo state date ache le defiizioi 3. Laciado u dado o sappiamo a priori che umero uscirà, però sappiamo che i casi possibili soo 6 ( esce 1, esce 2,..) e i macaza di altre iformazioi, cioè suppoedo che il dado o sia truccato, stimiamo che oguo di questi casi abbia probabilità uguale a quella degli altri, perciò pari a 1/6. Allo stesso modo se laciamo ua moeta i casi possibili soo due (testa, croce), ciascuo co probabilità 1/2. Questi soo esempi di esperimeti aleatori (casuali), cioè esperimeti di cui o si coosce l esito, che dipede dal caso ( aleatorio sigifica casuale e deriva dal latio alea che sigifica dado... ricordate Cesare quado diceva: Alea iacta est?). Ho presetato ulteriori esempi di esperimeti aleatori, sottolieado che i tutti casi presetati o è oto l esito, ma sappiamo quali soo i casi possibili e che impareremo a calcolare la probabilità di ciascuo di essi. Mi è stata posta la seguete domada: Tra possibile e probabile c è o o c è differeza? La domada era plausibile perché ho usato etrambi i termii e di solito questi vegoo adoperati el liguaggio comue come sioimi. Ho risposto che vi è differeza, ifatti: E possibile che domai piova, ma o è probabile! Ho trattato solo il caso i cui lo spazio campioario è discreto, perché gli studeti o avevao acora gli strumeti ecessari per le difficoltà matematiche che preseta il caso cotiuo. Ho evideziato il fatto che i sottoisiemi dello spazio campioario hao u ruolo importate: certi sottoisiemi hao specifici sigificati dal puto di vista degli eveti (co la loro rappresetazioe grafica attraverso i diagrammi di Eulero-Ve): eveto certo, eveto impossibile Prima di passare alla probabilità degli eveti è stato utile richiamare le proprietà delle operazioi uioe, itersezioe e complemetare sugli isiemi. 3 Defiizioi, esempi, osservazioi, di seguito citati soo stati richiamati i modo esplicito sia a lezioe che elle dispese, preseti i Appedice A e forite agli studeti. 6

8 Probabilità di eveti A questo puto ho cercato di portare la classe a pesare a ua defiizioe ituitiva di probabilità. La probabilità di u eveto è u umero reale dell itervallo [0,1], che esprime, misura, quato riteiamo probabile il verificarsi di quell eveto. Ad esempio, se laciamo ua moeta, stimiamo che la probabilità che esca testa sia 0.5 = 1/2 (el liguaggio comue si usa dirlo i percetuale: la probabilità del 50%, cioè probabilità p = probabilità 100 p%). Quidi ho detto che il calcolo delle probabilità è la braca della matematica che ci dice come si calcolao le probabilità di eveti complessi, cooscedo già la probabilità di altri eveti più semplici. Prima di dare la defiizioe di probabilità, ho detto che bisoga rispodere ad alcue questioi: 1. come cooscere le probabilità degli eveti più semplici? 2. co quali regole si passa dalla probabilità di alcui eveti a quella di altri? Che proprietà deve avere cioè la probabilità che assego agli eveti? Ho esposto alcue cosiderazioi tratte dal seso pratico, che, i liea di pricipio, molti di loro già cooscevao: la probabilità della totalità di tutti i casi possibili deve essere pari a 1: P(Ω) =1 ; la probabilità dell isieme vuoto deve essere zero: P( ) = 0; se coosciamo la probabilità di A possiamo ricavare quella di A c : P(A c ) = 1 P(A); se A e B soo disgiuti, A B=, cooscedo P(A) e P(B), ricaviamo P(A B) = P(A) + P(B); e così possiamo adare avati Ho dato la defiizioe assiomatica di probabilità, soffermadomi a chiarire che: la probabilità è ua fuzioe. gli eveti soo isiemi e se e può fare uioe, itersezioe, complemetare, la probabilità di u eveto è u umero reale (fra 0 e 1), duque le probabilità di eveti si possoo sommare, sottrarre, Ho fatto osservare che se lo spazio è discreto, basta cooscere la probabilità degli eveti elemetari per essere i grado di calcolare la probabilità di qualsiasi eveto. Perciò basta cooscere P ω = p =, cioè le probabilità degli eveti elemetari. ({ } ) 1, 2, Come assegare le probabilità Dopo aver visto come si possoo ricavare probabilità di eveti più complicati dalla coosceza della probabilità di eveti semplici, ho affrotato la questioe del come vao attribuite le probabilità degli eveti semplici. Ho ribadito che la scelta di queste probabilità deve soddisfare le proprietà matematiche viste, ma è u qualcosa che esula dalla matematica, coivolgedo piuttosto le ostre valutazioi. Ad esempio, se lacio u dado, siccome oi riteiamo a priori che ogi faccia abbia la stessa probabilità di uscire, allora attribuiamo probabilità pari a 1/6 all uscita di u 6. Se però laciassimo u dado 1000 volte e il 6 comparisse 250 volte, saremmo portati a pesare che il dado o è be bilaciato e la probabilità che esca 6 è (vicia a) 1/4. Ho affermato che queste due idee appea descritte (cosiderazioi di equiprobabilità oppure calcolo di ua frequeza) soo alla base di due approcci: la defiizioe classica di probabilità e la defiizioe frequetista. Ho dato le defiizioi classica e frequetista di probabilità, facedo le segueti importati osservazioi: 7

9 Sia Pascal che de Mèrè si aspettavao che, a lugo adare, la frequeza co cui u eveto si verifica si stabilizzi sul valore della probabilità. Opiioe comue, espressa ella cosiddetta legge empirica del caso i ua successioe di prove fatte elle stesse codizioi, la frequeza di u eveto si avvicia alla probabilità dell eveto stesso e l approssimazioe tede a migliorare co l aumeto del umero delle prove. Rovesciado l impostazioe classica, si arrivò alla defiizioe frequetista la probabilità di u eveto è il limite della frequeza (relativa) dei successi (cioè del verificarsi dell eveto), quado il umero delle prove tede all ifiito. Ache la defiizioe frequetista è operativa, el seso che forisce ua regola di calcolo (aaloga a quella della defiizioe classica) delle probabilità i determiate circostaze. Nella defiizioe classica la scelta della probabilità degli eveti è fatta a priori, metre ella defiizioe frequetista a a posteriori, dopo l estrazioe di u campioe statistico. Il buo seso ci dice che se il campioe è abbastaza umeroso, allora la frequeza relativa è abbastaza vicia alla probabilità vera. Questo è u cocetto che verrà precisato dalla Legge dei gradi umeri, su cui toreremo. Per completezza ho dato ache la defiizioe soggettiva, facedo ache le segueti osservazioi: Già acceata i Pascal, si può fare risalire a Daiele Beroulli, ripresa el 900 da Bruo de Fietti e Jimmy Savage: Probabilità è il grado di fiducia che ua persoa ha el verificarsi dell eveto. No è ua caratteristica itriseca dell eveto 4. Defiizioe operativa : La probabilità P(A) di u eveto A è il prezzo che u idividuo ritiee equo pagare per ricevere 1 se l eveto si verifica e 0 se l eveto o si verifica. Le probabilità degli eveti devoo essere attribuite i modo che o sia possibile otteere co u isieme di scommesse ua vicita certa o ua perdita certa (pricipio di coereza o equità). La coereza implica le solite regole della probabilità. Calcolo combiatorio Ho quidi affermato che, dalla defiizioe classica di probabilità come rapporto fra il umero di casi favorevoli ed il umero di casi possibili, e segue che è importate saper cotare i casi i questioe, quidi per alcue situazioi tipiche, come fare questo coteggio ce lo dice il calcolo combiatorio. Ioltre le dimostrazioi delle formule presetate o state fatte i modo formale (rimadado al libro di testo), per cocetrarsi solo sulla compresioe dei termii tramite defiizioi ed esempi, però ho presetato u pricipio che serve per ricavare le formule, pricipio che è utile ache i geerale Pricipio del prodotto di possibilità. Ho quidi dato le defiizioi di permutazioi, disposizioi e combiazioi sia semplici che co ripetizioe, osservado che: Nei problemi di coteggio la difficoltà spesso sarà el capire quale di questi modelli si applica meglio. Acora più atteti bisoga essere quado si tratta di calcolare le probabilità come casi favorevoli, quali casi soo equiprobabili?! casi possibili Alla fie della lezioe ho riassuto i uo schema quato detto relativamete al coteggio. Ifie ho cosegato le dispese relative a ciò che ho spiegato e che avrei spiegato el successivo icotro, assegado alcui esercizi per casa. 4 Ho evideziato questo aspetto sottolieado il fatto che la probabilità del verificarsi di u eveto o è propria dell eveto e eppure ierete alla sua atura ma apputo come da defiizioe operativa data di seguito. 8

10 Modelli probabilistici Probabilità codizioata e idipedeza (27 /01/ I ora durata) Obiettivi della lezioe Cooscere il fodametale cocetto di probabilità codizioata. Cooscere la legge delle probabilità totali. Cooscere la formula di Bayes. Cooscere il fodametale cocetto idipedeza. Saper calcolare la probabilità dell eveto itersezioe di eveti. Probabilità codizioata Ho iiziato la lezioe chiededo se avevao dei dubbi e delle domade su ciò che avevamo visto ella lezioe precedete e sugli esercizi dati per casa. Le risposta è stata el complesso affermativa, cioè che avevao capito abbastaza, i particolare u paio di studeti mi hao detto che grazie alle dispese e ache agli esempi/esercizi visti i classe e preseti su quest ultima soo riusciti a capire bee e a svolgere alcui degli esercizi proposti per casa. Ho cosegato loro le soluzioi ed ho corretto l esercizio che sembravao più ostico, chiededo a uo studete, che aveva svolto gli esercizi i questioe, di uscire alla lavaga e provarlo a fare isieme. Dopo la correzioe dell esercizio ho iiziato a spiegare, ribadedo che abbiamo visto, ache ell esercizio corretto, che la scelta dei valori che assume la probabilità su certi eveti dipede dalla ostra valutazioe, ifatti la ostra valutazioe può cambiare se si aggiugoo uove iformazioi, itroducedo, attraverso u esempio di vita quotidiaa, il cocetto di probabilità codizioata dadoe poi la defiizioe, e successivamete i teoremi di: Legge delle probabilità totali e Bayes, osservado che: Calcolare la probabilità di u eveto dato B è come cambiare spazio campioario, cioè da Ω ci si restrige a B. Fissato B, la fuzioe P(. B), cioè quella che all eveto A associa il umero P(A B) è ua probabilità su Ω (purché P(B)>0, altrimeti o è defiita). Alle volte è più facile calcolare le probabilità codizioate che o codizioate, ed è i questi casi che la legge delle probabilità totali risulta utile. La formula di Bayes serve per rovesciare le probabilità codizioate. Idipedeza A questo puto ho itrodotto il cocetto di idipedeza, dicedo che per redere coto di quato la coosceza di uove iformazioi modifica le ostre valutazioi della probabilità abbiamo itrodotto la probabilità codizioata: se voglio la probabilità di u eveto A, ma so che si è verificato B allora aziché P(A) cosidererò P(A B). Alle volte però può succedere che la uova iformazioe o cambi la valutazioe della probabilità, ad esempio sapere che oggi la massima temperatura o supererà i 28 o mi dovrebbe dire ulla sull esito del lacio di u dado che volessimo laciare! Ho dato quidi la defiizioe di eveti idipedeti, facedo le segueti osservazioi: La defiizioe va bee ache el caso P(A) = 0 oppure P(B) = 0. Se però P(A) > 0 e P(B) > 0 P A B P A P B A = P B, cioè la defiizioe è giusta : A allora è equivalete a: ( ) = ( ) e ( ) ( ) e B (che abbiao probabilità positiva) soo idipedeti se e solo se sapere che uo si è verificato o modifica la probabilità dell altro. 9

11 Se coosciamo P ( A), P( B) e P ( A B) allora per decidere se A e B soo idipedeti bisoga verificare l equazioe della defiizioe. Altre volte ivece si ritiee a priori che due eveti soo idipedeti e si usa l equazioe della defiizioe per calcolare la probabilità dell itersezioe. No è sempre evidete se due eveti siao o o siao idipedeti. La defiizioe di idipedeza vista vale per coppie di isiemi, ma si può estedere a famiglie di eveti di cui ho dato defiizioe. Quidi prima di itrodurre u uovo argometo, ho riassuto i uo schema quato detto ed ho assegato alcui esercizi per casa, ioltre abbiamo dato loro ua decia di miuti affiché potessero sia riposarsi/rilassarsi che chiarirsi le idee su quato spiegato. Variabili aleatorie discrete e loro distribuzioi (27/01/ II ora) Obiettivi della lezioe Cooscere il cocetto di variabile aleatoria (discreta). Cooscere il cocetto di legge o distribuzioe di ua variabile aleatoria. Cooscere il problema delle prove ripetute: processo di Beroulli. Ricooscere e saper utilizzare le tipiche distribuzioi di probabilità: beruolliaa, biomiale, geometrica. Variabile aleatoria Al rietro dalla breve pausa, ho itrodotto il cocetto di variabile aleatoria (v.a.), dicedo che ua v.a. è quatità che può assumere diversi valori (cioè è variabile), i dipedeza dal caso (aleatoria), osservado che: dato ω Ω, X(ω) è uivocamete determiato poiché X è ua fuzioe. Nella roulette ogi ω {0, 1,, 36} ha probabilità 1/37 di uscire, ed è chiaro che ci iteresserà qual è la probabilità di vicere qualcosa, cioè se X è la variabile vicita, ci iteressa la probabilità che 0 P ω Ω : X ω > 0, probabilità dell isieme degli ( ) X > : ( ) elemeti di Ω tali che X di ω è maggiore di zero. La probabilità è defiita su Ω, ecco perché abbiamo dovuto scrivere così! I realtà ella pratica spesso ci si dimetica di Ω e si usa ua otazioe più succita: ( X = a) = ( ω Ω : X ( ω) = a), ( X > b) = ( ω Ω : X ( ω) > b), ( X ( a, b ) = ω Ω : X ( ω) ( a, b duque gli ω o compaioo, restao sottoitesi, ( X I ) sottoisieme di Ω, quello degli ω tali che X(ω) I. ( ), dove I R è u eveto, cioè u Se tutti e soli gli elemeti di A vegoo madati i I da X, allora A è l eveto ( X I ) = A. ( X I ) coicide co l isieme X -1 (I) delle cotroimmagii di I tramite X. 10

12 A questo puto abbiamo fatto torare i gioco la probabilità, osservado quato segue: Pɶ I = P X I. la legge di ua v.a. è ua probabilità ( ) ( ) A voler essere pigoli P ɶ agisce sugli itervalli di R e oi abbiamo parlato solo di probabilità su spazi campioari discreti i effetti la trattazioe delle probabilità su R porta a delle complicazioi matematiche che esulao da questa breve trattazioe (ecco perché abbiamo saltato i casi cotiui e le v.a. cotiue). Ho, quidi, itrodotto la prova di Beroulli, e la v.a. beroulliaa di parametro p, facedo otare che o è ecessario che i risultati dell esperimeto siao solo di due tipi, ma che per i ostri scopi o iteressi possiamo idetificare due isiemi di risultati, A e B, e chiamare i risultati i A successo e quelli i B (= A c ) isuccesso. Ho dato ache la defiizioe del processo di Beroulli, el caso i cui ripetiamo più volte u esperimeto di Beroulli, osservado che: legate a u processo di Beroulli ci soo delle domade abbastaza aturali: 1. Quati successi otteiamo i prove? (Ad esempio, quate teste el lacio di ua moeta). 2. Quato dobbiamo aspettare per vedere u successo? (Ad esempio, per vicere alla roulette). La risposta i etrambi i casi è data da ua v.a. Ho defiito, pertato, le v.a. biomiale e geometrica, e le rispettive distribuzioi di probabilità, osservado che: X B 1, p = B p. a. Se = 1 riotteiamo ua v.a. beroulliaa, cioè ( ) ( ) b. Ua biomiale può essere vista come la somma di v.a. beroulliae idipedeti e di parametro p. c. L ipotesi di idipedeza è fodametale (cioè il fatto che l esito di ua prova o iflueza le altre), perché, ad esempio, se scegliessimo X 1 = X 2 = = X allora potremmo avere solo oppure 0 successi. d. Eveti rari possoo accadere! Quado si verifica u eveto raro, è però possibile che il ostro modello sia iadeguato (Paradosso della scimmia). Ifie ho assegato alcui esercizi per casa ed ho cosegato le dispese relative all argometo della successiva lezioe. Valore atteso (29/01/ I ora) Obiettivi della lezioe Defiire e calcolare il valor atteso di ua v.a. precisadoe il sigificato. Cooscere e saper applicare le proprietà del valor atteso Valore atteso La lezioe è iiziata co la alcui chiarimeti relativi alle otazioi, a cui o erao abituati, ifatti, i geerale, è emerso che durate la spiegazioe erao compresibili ma poi, a casa, quado hao riletto gli apputi e le dispese hao avuto alcue difficoltà a ritrovarsi, per il resto, comuque, la maggior parte di loro ha cofermato che avedo avuto la possibilità di fare ua pre-lettura a casa degli argometi dell icotro precedete soo stati giovati ella compresioe dei cocetti sia i classe che successivamete a casa, ifatti erao desiderosi di iiziare la uova lezioe e questo è stato evideziato dal fatto che avevao risolto quasi tutti gli esercizi proposti di cui ho cosegato le relative soluzioi ho corretto u esercizio di cui mi hao chiesto spiegazioe, riguardate il teorema di Bayes. Quidi ho iiziato a spiegare, ribadedo che abbiamo visto che se diamo ua macchia da scrivere ad ua scimmia e la lasciamo fare questa prima o poi scriverà qualsiasi libro che scegliamo. 11

13 Naturalmete ci aspettiamo che per fare ciò ci metta abbastaza tempo: è aturale chiedersi quato tempo ci mette la scimmia prima di riuscire? o meglio quati tetativi deve fare? I questo modo ho itrodotto il cocetto di valore atteso, di cui poi ho dato la defiizioe facedo alcue cosiderazioi, i particolare relativa alla otazioe: Gli x soo i valori che X può assumere, perciò se X assume u umero fiito di valori, è ua somma fiita; o cofodiamo f X ( x ) co la somma precedete, ifatti f X ( x ) = 1 ( { x1, x2, } ), metre i x f X ( x ) P X compaioo ache gli x. E(X) (se esiste) è u umero reale (o è ua quatità aleatoria!) perché Se X assume solo u umero fiito di valori: {x 1, x 2,, x } ed oguo co probabilità 1, allora E ( ) 1 1 X = x = x il valore atteso è la media aritmetica dei valori assuti. = 1 = 1 Questo è u caso particolare di E(X): ( ) ( ) ( ) =, dove x è il valore assuto e X x f x E X = 1 f x è la probabilità di assumerlo ( peso di x ). Quidi E(X) può essere visto come media X pesata dei valori assuti dove pesao di più i valori più probabili. E(X) può essere diverso da tutti gli x (ad esempio la media aritmetica di umeri può essere diversa da ciascuo), quidi E(X) o è il valore più probabile di X semmai è il valore attoro a cui X è cetrata (ricordado loro la media aritmetica vista i Fisica: teoria degli errori e statistica descrittiva ). Ifie ho assegato alcui esercizi per casa ed ho cosegato le dispese relative all argometo della successiva lezioe. 12

14 Probabilità e giochi (03/02// I ora) Obiettivi della lezioe Cooscere e saper calcolare le quote e i guadagi probabili dei giochi. Cooscere e saper determiare l esito di u gioco equo/iiquo. Saper trasformare il gioco da equo a iiquo e viceversa. Cooscere il sigificato di La legge dei gradi umeri. Calcolo di probabilità ei giochi: lotto, superealotto, dadi, roulette La lezioe è iiziata co molto etusiasmo visto l argometo, ifatti è stata molto più scorrevole delle precedeti. Gli esercizi proposti, di cui ho cosegato loro le relative soluzioi, erao stati svolti completamete grazie ache alla docete accogliete che ha fatto ua lezioe di ripasso i cui ha chiarito alcui dubbi svolgedo alcui esercizi, rimasti i sospeso, isieme ai ragazzi. Quidi abbiamo calcolato tutti isieme le probabilità dell eveto: il giocatore vice al gioco del : lotto, superealotto, dadi, roulette, dopo ua breve descrizioe di ogi gioco, el caso degli ultimi due ho forito loro ua paio di brochure (regole specifiche: Roulette Americaa, Dadi, Blac Jac, ) che avevo preso al Casiò. Quote e guadago probabile A questo puto ho itrodotto i cocetti di: quote e guadago probabile, perché il giocatore di solito o parla i termii probabilità, preferisce parlare di quote, cioè il rapporto tra i casi sfavorevoli e quelli favorevoli, calcolado questi casi e quidi le quote per il giocatore relativamete ai giochi sotto aalisi: lotto, superealotto, dadi, roulette; facedo osservare quato segue: se le quote cotro u eveto soo a 1, sigifica che se si vicesse la scommessa u giusto payoff (profitto = somma spettate al vicitore di ua scommessa o gioco d azzardo) dovrebbe essere per ogi 1 scommesso; aturalmete i payoff el casiò/lotto o soo i accordo co le giuste quote, ifatti esse soo sempre miori: Dadi il baco paga alla pari 1 a 1. Roulette paga il sigolo umero 35 cotro 1. Lotto per l ambo paga 250 cotro 1. Superealotto esistoo le quote? No esistoo delle vere quote fissate a priori Nei giochi è molto importate il valore atteso di v.a.: speraza matematica guadago probabile del giocatore. Giuste quote dovrebbero dare il giusto payoff i u gioco equo. Tutti i giochi del casiò e tutti i giochi/lotterie soo ieretemete iiqui e parziali ei cofroti del giocatore. Questo dà al casiò e ai gestori dei giochi/lotterie il loro vataggio, cioè il modo di fare soldi a lugo termie a causa della legge dei gradi umeri. Nella roulette il vataggio è dato dai 2 settori verdi 0 e 00. Alcue volte i giocatori hao cercato di elimiare il vataggio del casiò cercado di otteere iformazioi addizioali sul gioco icremetado così la loro probabilità di vicere: sistemi/strategie di gioco. 13

15 Giochi equi e iiqui A questo puto ho parlato del cocetto di equità ei giochi, cosiderado la v.a. che rappreseta le vicite di u idividuo i u gioco: X = guadago del giocatore (positivo, egativo o ullo), cioè la somma di ogi vicita, perdita ed evetuali tasse/quote per giocare. Il liguaggio dei giocatori usato qui sembra frivolo, ma il modello descritto ha u ampia applicazioe: l acquisto di u qualsiasi tipo di assicurazioe è u gioco dove si vice quado oi (o gli eredi) riscuotiamo, e le perdite soo i premi pagati. Dopo aver dato la defiizioe di gioco equo, ed aver calcolato il guadago probabile ei giochi sotto aalisi, abbiamo fatto le segueti cosiderazioi: Dal puto di vista della speraza (itesa come guadago probabile) il gioco dei dadi è migliore del gioco della roulette. Ha seso giocare al lotto e superealatto solo se si giocao piccole quatità di dearo, co la quasi certezza di perdere ma co la remota speraza di vicere grosse cifre. L emozioe di u sogo milioario giustifica ua piccola cifra giocata, e quasi certamete persa I termii di quote, u pagameto co le vere quote corrispode a u gioco equo. Il Casiò ha successo perché i giochi soo sempre sfavorevoli al giocatore, e ho dato loro la brochure del Casiò: Il gioco d azzardo, i cui il Casiò avverte il cliete/giocatore che il gioco può divetare ua dipedeza e quidi u problema, iiziado co queste parole è u gioco come tutti gli altri. E si gioca per vicere, o perché si ama il brivido della sfida. Poiché è u divertimeto, ha il suo prezzo. E ua volta si vice, u altra si perde. È ormale. Nel campo del gioco d azzardo, poi, o esistoo leggi che permettoo di prevedere i risultato del gioco stesso. Sistemi/strategia di gioco Ho, quidi, itrodotto i sistemi/strategie di gioco. Ci siamo posti il seguete problema: esiste strategia di gioco che permette di trasformare gioco sfavorevole i uo favorevole? La possibile risposta, dopo la presetazioe di u esempio pratico, è che occorre disporre di u capitale illimitato, cioè che siao permesse putate illimitate, cocludedo che: o è possibile trasformare u gioco sfavorevole i uo favorevole se o si dispoe di u capitale illimitato ( problema della rovia del giocatore co capitale limitato). Legge dei gradi umeri e giochi A questo puto ho itrodotto La Legge dei gradi umeri: essa afferma semplicemete che, tate più prove usiamo per calcolare la stima, tato più questa sarà vicia, probabilmete, alla probabilità reale dell'eveto A. Abbiamo visto la Legge dei gradi umeri el caso del gioco dei dadi: sia X = guadago del giocatore ad ogi ua giocata co posta di 1 ; E X = ; sappiamo che ( ) assumiamo che il giocatore cotiui a giocare X i guadago al gioco i-esimo; ogi v.a. X i X ed è ragioevole assumerle idipedeti; E S = perdita; S = guadago dopo giocate ( ) ( ) all'aumetare del umero delle giocate la perdita attesa cresce seza limite; usado la legge dei gradi umeri si può dire di più: La perdita media dopo molte giocate è circa di 1,5 cetesimi, lo stesso che ci saremmo aspettati dopo ua solo giocata, questa è 14

16 ua otizia realmete molto deprimete per il giocatore, ifatti per ogi umero egativo più grade di 0,0142 da esempio 0,13 si ha 0,13 S < S ( 0,13) < (*) se il giocatore gioca abbastaza a lugo il suo guadago diveterà probabilmete sempre più egativo perchè a destra di (*) diveterà sempre più grade la sua perdita sarà sempre più grade seza limite cresce; ua piccola perdita media si traduce i u eorme perdita quado il umero di giocate è grade, co probabilità molto vicia a 1, cioè certa; L errore/fallacia del giocatore E importate o leggere ella Legge dei gradi umeri cose che essa o dice, ifatti i giocatori spesso el desiderio di vicere mal iterpretao la Legge dei gradi umeri: dopo u periodo sfortuato, di tetativi i u gioco, si dice che il prossimo tetativo/giocata è più favorevole perché la Leggi dei gradi umeri garatisce evetualmete u cambio di fortua. L argometazioe è sbagliata poiché ad esempio ogi lacio dei dadi è idipedete dai precedeti laci, ifatti i dadi o ricordao che cosa è accaduto precedetemete e o cercao di pareggiare il puteggio. Qual è la base dell errore/fallacia del giocatore? La Legge dei gradi umeri dice che, a lugo termie, la media i geerale si avviciao alla speraza matematica, cioè il valore atteso (guadago probabile del giocatore). Quidi è vero che o si può perdere sempre, cioè prima o poi si vice, ma o si sa quado, certamete o si sa se la prossima (idipedeza), per cui si ha la certezza che la perdita aumeta (rovia del giocatore). Assicurazioi e giochi Ho fatto vedere come le assicurazioi calcolao il premio auo di ua assicurazioe sulla vita, sottolieado come il risultato reda il gioco sfavorevole per il cliete. Approfodimeto Ifie ho fatto u breve approfodimeto riguardate la Legge dei gradi umeri. La Legge dei gradi umeri detta pure legge empirica del caso ovvero teorema di Beroulli Il problema è divetato storico ed è coosciuto come il Paradosso di Sa Pietroburgo poiché proprio i quella città vee formulato per la prima volta. Il primo paradosso ecoomico risale al tempo di Pietro il Grade. 15

17 Verifica dell appredimeto La verifica dell appredimeto è stata effettuata co la sommiistrazioe di ua prova costituita da 20 domade a risposta multipla (tre opzioi). Tempo cocesso u ora scolastica. La prova è stata affrotata co serietà. Gli studeti hao icotrato le difficoltà maggiori elle domade 10, 13, 15, 19, ache per gli aspetti formali di scritture per loro iusuali. Il livello di sufficieza è stato cocordato i dodici risposte esatte. I risultati espressi i percetuale soo stati: 20% sotto la sufficieza; 40% sufficieti; 25% discreti; 15% buoi. Quidi la prova ha avuto u risultato mediamete discreto. La docete accogliete ha teuto coto della valutazioe espressa come prova orale, di ciò gli studeti erao stati preavvertiti. Coclusioi e aalisi critica dell esperieza L esperieza di questo tirociio è stata, per me, molto positiva. I ragazzi si soo dimostrati atteti e dispoibili al cofroto e il rapporto istaurato co gli studeti elle varie classi è stato cootato da ua estrema cordialità el rispetto dei reciproci ruoli. Ciò grazia ache all abitudie a questo tipo di rapporto co i loro doceti. Ache co questi ultimi la collaborazioe è stato ottima facedomi setire u loro collega a tutti gli effetti. Ripesado al mio iterveto attivo se dovessi ripetere questa esperieza i ua mia futura classe dedicherei maggior tempo alle v.a. e alle loro distribuzioi, questo o vuol dire che il tempo dedicato all iterveto o è stato sufficiete, ma dedicherei più tempo ad alcui cocetti fodametale del Calcolo delle Probabilità i prospettiva di ua maggior compresioe degli argometi successivi di Statistica. 16

18 Appedici Appedice A Dispese Impariamo a cotare Probabilità di eveti Se laciamo u dado o sappiamo a priori che umero uscirà, però sappiamo che i casi possibili soo 6 ( esce 1, esce 2,..) e i macaza di altre iformazioi, cioè suppoedo che il dado o sia truccato, stimiamo che oguo di questi casi abbia probabilità uguale a quella degli altri, perciò pari a 1/6. Allo stesso modo se laciamo ua moeta i casi possibili soo due (testa, croce), ciascuo co probabilità 1/2. Questi soo esempi di esperimeti casuali o aleatori, cioè esperimeti di cui o si coosce l esito, che dipede dal caso ( aleatorio sigifica casuale e deriva dal latio alea che sigifica dado... ricordate Cesare quado diceva: Alea iacta est?). Vediamo altri esempi di esperimeti aleatori. Esempi 1. Estrarre ua pallia da u ura che cotiee 90 pallie umerate da 1 a 90 (estrazioe del lotto). 2. Nel gioco del poer, l esperimeto: che carte ho i ua mao dopo che il mazziere ha distribuito? 3. Laciare ua moeta fiché o esce testa e cotare quati laci soo stati ecessari (ua se è uscita al primo, due se o è uscita al prima ma al secodo si, ) 4. accedere ua lampadia e croometrare il tempo ecessario affiché si bruci. I tutti questi casi o è oto l esito, ma sappiamo quali soo i casi possibili (e impareremo a calcolare la probabilità di ciascuo di essi): i 1. ho 90 casi possibili; i 2. i casi possibili soo tutte le estrazioi di 5 carte da u mazzo da poer; i 3. i casi possibili soo tutti gli iteri positivi (duque u isieme umerabile); i 4. i casi possibili soo tutti i reali positivi. Defiizioe I possibili eveti di u esperimeto aleatorio soo detti eveti elemetari (ω). L isieme di tutti gli eveti elemetari è detto spazio campioario (Ω). Se lo spazio campioario è u isieme fiito o umerabile, è detto discreto, se è più umeroso è detto cotiuo (ad esempio se cotiee u itervallo della retta reale). I realtà spesso si vuole calcolare la probabilità o solo dei sigoli eveti elemetari (che soo gli elemeti ω dell isieme Ω), ma ache sottoisiemi di Ω (A Ω), che chiamiamo eveti. Esempi Nell esempio 2. l eveto fra le cique carte che ho i mao c è l asso di picche, oppure ho u poer servito. Nell esempio 3. l eveto servoo più di 5 laci. Nell esempio 4. l eveto la lampadia ha ua durata fra le 1000 e le 2000 ore. Tratteremo solo il caso i cui lo spazio Ω è discreto, perché il caso cotiuo preseta difficoltà i cui o etreremo. 17

19 Defiizioe Sia Ω uo spazio campioario discreto. Ogi suo sottoisieme A è detto eveto. Perciò tutti gli eveti possibili (attezioe! Elemetari e o) soo elemeti dell isieme delle parti di Ω, P(Ω) (l isieme che ha per elemeti i sottoisiemi di Ω). Duque u ruolo importate avrao i sottoisiemi di Ω: vediamo come certi sottoisiemi abbiao specifici sigificati dal puto di vista degli eveti (co la loro rappresetazioe grafica attraverso i diagrammi di Eulero-Ve): Ω eveto certo (sicuramete si verifica uo degli eveti ω Ω). (vuoto) eveto impossibile (o si verifica essu elemeto di φ!). A Ω si verifica A (cioè ω A). A c (complemetare da A) o si verifica A. A B si verifica A o B (o etrambi). A B si verificao A e B (simultaeamete). Se A B= allora A e B soo icompatibili (o possoo verificarsi cotemporaeamete). Se B A allora B implica A (se si verifica B, si verifica ache A). Prima di passare alla probabilità degli eveti è utile richiamare le proprietà delle operazioi (,, c ) sugli isiemi. Proposizioe Se A, B, C soo sottoisiemi di Ω, allora: A = A = A A Ω= A A Ω= Ω A A c = A A c =Ω (A c ) c =A A A=A A A=A prop. di idempoteza A B=B A A B=B A prop. commutativa A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C prop. associativa A (B C)=(A B) (A C) A (B C)=(A B) (A C) prop. distributiva A (A B)=A A (A B)=A prop. assorbimeto (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c leggi di De Morga Probabilità di eveti La probabilità di u eveto è u umero reale dell itervallo [0,1], che esprime, misura, quato riteiamo probabile il verificarsi di quell eveto. Ad esempio, se laciamo ua moeta, stimiamo che la probabilità che esca testa sia 0.5 = 1/2 (el liguaggio comue si usa dirlo i percetuale: la probabilità del 50%, cioè probabilità p = probabilità 100 p%). Il calcolo delle probabilità è la braca della matematica che ci dice come si calcolao le probabilità di eveti complessi (el caso discreto si tratta degli eveti i geerale), cooscedo già la probabilità di altri eveti più semplici (el caso, discreto, spesso gli eveti elemetari). Ci soo due questioi: 1. come cooscere le probabilità degli eveti più semplici? 2. co quali regole si passa dalla probabilità di alcui eveti a quella di altri? Che proprietà deve avere cioè la probabilità che assego agli eveti? Vediamo prima di rispodere alla secoda domada. Facciamo alcue cosiderazioi: 18

20 la probabilità di Ω deve essere pari a 1, cioè P(Ω) = 1; la probabilità dell isieme vuoto,, deve essere zero, cioè P( ) = 0; se coosciamo la probabilità di A, P(A), possiamo ricavare quella di A c : P(A c ) = 1 P(A); se A e B soo disgiuti, A B=, cooscedo P(A) e P(B), ricaviamo P(A B) = P(A) + P(B); e così possiamo adare avati Il matematico russo Kolmogorov studiò egli ai 30 le proprietà delle probabilità, scopredo che da pochi assiomi 5 si potevao ricavare tutte le altre proprietà. Questi assiomi veero scelti per defiire le probabilità, el seso che ogi fuzioe che abbia le proprietà euciate dagli assiomi viee detta probabilità (che poi serve per misurare la probabilità di eveti i casi cocreti, è u altro problema!) Defiizioe (assiomatica di probabilità) Sia Ω uo spazio campioario discreto. Si chiama probabilità su Ω ua qualsiasi fuzioe P: P(Ω) [0,1], co le segueti proprietà: (i) P(Ω) = 1; (ii) se {A } ℵ è ua successioe di eveti a due a due disgiuti (cioè A i A j = co i j) allora P A = P ( A ) (addittività umerabile). = 1 = 1 La coppia (Ω, P) si chiama spazio di probabilità (discreto). Attezioe! La probabilità è ua fuzioe. Gli eveti soo isiemi e se e può fare uioe, itersezioe, complemetare, La probabilità di u eveto è u umero reale (fra 0 e 1), duque le probabilità di eveti si possoo sommare, sottrarre, Proposizioe (proprietà delle probabilità) Sia P ua probabilità su Ω. Allora: (i) P( )=0; (ii) P(A c ) = 1 P(A); (iii) se A 1,, A soo eveti a due a due disgiuti (cioè A i A j = co i j), allora P A A A = P A + P A + + P A (addittività fiita); ( 1 2 ) ( 1) ( 2 ) ( ) (iv) P ( A B) = P( A) + P ( B) P( A B) qualsiasi siao A e B. Esercizio Suppoiamo che u cosumatore, etrato i u supermercato, abbia: probabilità pari a 0.7 di acquistare il prodotto a; probabilità pari a 0.2 di o acquistare il prodotto b; probabilità pari a 0.1 di o acquistare é il prodotto a é il prodotto b. Qual è la probabilità che acquisti sia a che b? Risposta Sia A l eveto {acquista a}, B l eveto {acquista b}. Allora P(A)=0.7, P(B c )=0.2, P(A c B c )=0.1, e chiediamo P(A B)=? 5 Gli assiomi della matematica soo proprietà che o si dimostrao, ma si assumoo vere, da essi si fao discedere tutte le altre tramite dimostrazioi (esempio assiomi della geometria euclidea). 19

8. Quale pesa di più?

8. Quale pesa di più? 8. Quale pesa di più? Negli ultimi ai hao suscitato particolare iteresse alcui problemi sulla pesatura di moete o di pallie. Il primo problema di questo tipo sembra proposto da Tartaglia el 1556. Da allora

Dettagli

IL CALCOLO COMBINATORIO

IL CALCOLO COMBINATORIO IL CALCOLO COMBINATORIO Calcolo combiatorio è il termie che deota tradizioalmete la braca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordiare secodo date regole gli elemeti di u isieme fiito

Dettagli

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DI UN GRUPPO DI OSSERVAZIONI O DI ESPERIMENTI, SI PERVIENE A CERTE CONCLUSIONI, LA CUI VALIDITA PER UN COLLETTIVO Più AMPIO E ESPRESSA

Dettagli

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Defiire lo strumeto matematico ce cosete di studiare la cresceza e la decresceza di ua fuzioe Si comicia col defiire cosa vuol dire ce ua fuzioe è crescete. Defiizioe:

Dettagli

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE Esercizi di Fodameti di Iformatica 1 EQUAZIONI ALLE RICORRENZE 1.1. Metodo di ufoldig 1.1.1. Richiami di teoria Il metodo detto di ufoldig utilizza lo sviluppo dell equazioe alle ricorreze fio ad u certo

Dettagli

Metodi statistici per l'analisi dei dati

Metodi statistici per l'analisi dei dati Metodi statistici per l aalisi dei dati due Motivazioi Obbiettivo: Cofrotare due diverse codizioi (ache defiiti ) per cui soo stati codotti gli esperimeti. Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due Esempio

Dettagli

CONCETTI BASE DI STATISTICA

CONCETTI BASE DI STATISTICA CONCETTI BASE DI STATISTICA DEFINIZIONI Probabilità U umero reale compreso tra 0 e, associato a u eveto casuale. Esso può essere correlato co la frequeza relativa o col grado di credibilità co cui u eveto

Dettagli

Sintassi dello studio di funzione

Sintassi dello studio di funzione Sitassi dello studio di fuzioe Lavoriamo a perfezioare quato sapete siora. D ora iazi pretederò che i risultati che otteete li SCRIVIATE i forma corretta dal puto di vista grammaticale. N( x) Data la fuzioe:

Dettagli

Soluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M

Soluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M Matematica per la uova maturità scietifica A. Berardo M. Pedoe 6 Questioario Quesito Se a e b soo umeri positivi assegati quale è la loro media aritmetica? Quale la media geometrica? Quale delle due è

Dettagli

Il confronto tra DUE campioni indipendenti

Il confronto tra DUE campioni indipendenti Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Cofroto tra due medie I questi casi siamo iteressati a cofrotare il valore medio di due camioi i cui i le osservazioi i u camioe soo

Dettagli

Capitolo 8 Le funzioni e le successioni

Capitolo 8 Le funzioni e le successioni Capitolo 8 Le fuzioi e le successioi Prof. A. Fasao Fuzioe, domiio e codomiio Defiizioe Si chiama fuzioe o applicazioe dall isieme A all isieme B ua relazioe che fa corrispodere ad ogi elemeto di A u solo

Dettagli

SERIE NUMERICHE. (Cosimo De Mitri) 1. Definizione, esempi e primi risultati... pag. 1. 2. Criteri per serie a termini positivi... pag.

SERIE NUMERICHE. (Cosimo De Mitri) 1. Definizione, esempi e primi risultati... pag. 1. 2. Criteri per serie a termini positivi... pag. SERIE NUMERICHE (Cosimo De Mitri. Defiizioe, esempi e primi risultati... pag.. Criteri per serie a termii positivi... pag. 4 3. Covergeza assoluta e criteri per serie a termii di sego qualsiasi... pag.

Dettagli

3.4 Tecniche per valutare uno stimatore

3.4 Tecniche per valutare uno stimatore 3.4 Teciche per valutare uo stimatore 3.4. Il liguaggio delle decisioi statistiche, stimatori corretti e stimatori cosisteti La teoria delle decisioi forisce u liguaggio appropriato per discutere sulla

Dettagli

Test non parametrici. sono uguali a quelle teoriche. (probabilità attesa), si calcola la. , cioè che le frequenze empiriche

Test non parametrici. sono uguali a quelle teoriche. (probabilità attesa), si calcola la. , cioè che le frequenze empiriche est o parametrici Il test di Studet per uo o per due campioi, il test F di Fisher per l'aalisi della variaza, la correlazioe, la regressioe, isieme ad altri test di statistica multivariata soo parte dei

Dettagli

Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI

Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI SUCCESSIONI DI FUNZIONI I cocetti di successioe e di serie possoo essere estesi i modo molto aturale al caso delle fuzioi DEFINIZIONE Sia E u sottoisieme di  e, per ogi

Dettagli

Supponiamo, ad esempio, di voler risolvere il seguente problema: in quanti modi quattro persone possono sedersi l una accanto all altra?

Supponiamo, ad esempio, di voler risolvere il seguente problema: in quanti modi quattro persone possono sedersi l una accanto all altra? CALCOLO COMBINATORIO 1.1 Necessità del calcolo combiatorio Accade spesso di dover risolvere problemi dall'appareza molto semplice, ma che richiedoo calcoli lughi e oiosi per riuscire a trovare delle coclusioi

Dettagli

I numeri complessi. Pagine tratte da Elementi della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa

I numeri complessi. Pagine tratte da Elementi della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa I umeri complessi Pagie tratte da Elemeti della teoria delle fuzioi olomorfe di ua variabile complessa di G. Vergara Caffarelli, P. Loreti, L. Giacomelli Dipartimeto di Metodi e Modelli Matematici per

Dettagli

Sommario lezioni di Probabilità versione abbreviata

Sommario lezioni di Probabilità versione abbreviata Sommario lezioi di Probabilità versioe abbreviata C. Frachetti April 28, 2006 1 Lo spazio di probabilità. 1.1 Prime defiizioi I possibili risultati di u esperimeto costituiscoo lo spazio dei campioi o

Dettagli

8) Sia Dato un mazzo di 40 carte. Supponiamo che esso sia mescolato in modo

8) Sia Dato un mazzo di 40 carte. Supponiamo che esso sia mescolato in modo ESERCIZI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÁ ) Qual e la probabilita che laciado dadi a facce o esca essu? Studiare il comportameto asitotico di tale probabilita per grade. ) I u sacchetto vi soo 0 pallie biache;

Dettagli

La sicurezza sul lavoro: obblighi e responsabilità

La sicurezza sul lavoro: obblighi e responsabilità La sicurezza sul lavoro: obblighi e resposabilità Il Testo uico sulla sicurezza, Dlgs 81/08 è il pilastro della ormativa sulla sicurezza sul lavoro. I sostaza il Dlgs disciplia tutte le attività di tutti

Dettagli

4. Metodo semiprobabilistico agli stati limite

4. Metodo semiprobabilistico agli stati limite 4. Metodo seiprobabilistico agli stati liite Tale etodo cosiste el verificare che le gradezze che ifluiscoo i seso positivo sulla, valutate i odo da avere ua piccolissia probabilità di o essere superate,

Dettagli

1 Metodo della massima verosimiglianza

1 Metodo della massima verosimiglianza Metodo della massima verosimigliaza Estraedo u campioe costituito da variabili casuali X i i.i.d. da ua popolazioe X co fuzioe di probabilità/desità f(x, θ), si costruisce la fuzioe di verosimigliaza che

Dettagli

Sistemi LTI descrivibile mediante SDE (Equazioni alle Differenze Standard)

Sistemi LTI descrivibile mediante SDE (Equazioni alle Differenze Standard) Sistemi LTI descrivibile mediate SDE (Equazioi alle Differeze Stadard) Nella classe dei sistemi LTI ua sottoclasse è quella dei sistemi defiiti da Equazioi Stadard alle Differeze Fiite (SDE), dette così

Dettagli

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CAPITOLO VII DERIVATE. (3) D ( x ) = 1 derivata di un monomio con a 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CAPITOLO VII DERIVATE. (3) D ( x ) = 1 derivata di un monomio con a 0 CAPITOLO VII DERIVATE. GENERALITÀ Defiizioe.) La derivata è u operatore che ad ua fuzioe f associa u altra fuzioe e che obbedisce alle segueti regole: () D a a a 0 0 0 derivata di u moomio D 6 D 0 D ()

Dettagli

Indagini sui coregoni del Lago Maggiore: Analisi sui pesci catturati nel 2010

Indagini sui coregoni del Lago Maggiore: Analisi sui pesci catturati nel 2010 Idagii sui coregoi del Lago Maggiore: Aalisi sui pesci catturati el 1 Rapporto commissioato dal Dipartimeto del territorio, Ufficio della caccia e della pesca, Via Stefao Frascii 17 51 Bellizoa Aprile

Dettagli

PENSIONI INPDAP COME SI CALCOLANO

PENSIONI INPDAP COME SI CALCOLANO Mii biblioteca de Il Giorale Ipdap per rederci coto e sapere di piu Mii biblioteca de Il Giorale Ipdap per rederci coto e sapere di piu PENSIONI INPDAP COME SI CALCOLANO I tre sistemi I cique pilastri

Dettagli

INTRODUZIONE ALLE SUCCESSIONI E SERIE: ALCUNI ESEMPI NOTEVOLI

INTRODUZIONE ALLE SUCCESSIONI E SERIE: ALCUNI ESEMPI NOTEVOLI INTRODUZIONE ALLE SUCCESSIONI E SERIE: ALCUNI ESEMPI NOTEVOLI Mirta Debbia LS A. F. Formiggii di Sassuolo (MO) - debbia.m@libero.it Maria Cecilia Zoboli - LS A. F. Formiggii di Sassuolo (MO) - cherubii8@libero.it

Dettagli

1. MODELLO DINAMICO AD UN GRADO DI LIBERTÀ. 1 Alcune definizioni preliminari

1. MODELLO DINAMICO AD UN GRADO DI LIBERTÀ. 1 Alcune definizioni preliminari . MODELLO DINAMICO AD UN GRADO DI LIBERTÀ Alcue defiizioi prelimiari I sistemi vibrati possoo essere lieari o o lieari: el primo caso vale il pricipio di sovrapposizioe degli effetti el secodo o. I geerale

Dettagli

LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE

LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE Lezioi di Matematia per

Dettagli

Appunti di Statistica Matematica Inferenza Statistica Multivariata Anno Accademico 2014/15

Appunti di Statistica Matematica Inferenza Statistica Multivariata Anno Accademico 2014/15 Apputi di Statistica Matematica Ifereza Statistica Multivariata Ao Accademico 014/15 November 19, 014 1 Campioi e modelli statistici Siao Ω, A, P uo spazio di probabilità e X = X 1,..., X u vettore aleatorio

Dettagli

L OFFERTA DI LAVORO 1

L OFFERTA DI LAVORO 1 L OFFERTA DI LAVORO 1 La famiglia come foritrice di risorse OFFERTA DI LAVORO Notazioe utile: T : dotazioe di tempo (ore totali) : ore dedicate al tempo libero l=t- : ore dedicate al lavoro : cosumo di

Dettagli

Motori maxon DC e maxon EC Le cose più importanti

Motori maxon DC e maxon EC Le cose più importanti Motori maxo DC e maxo EC Il motore come trasformatore di eergia Il motore elettrico trasforma la poteza elettrica P el (tesioe U e correte I) i poteza meccaica P mech (velocità e coppia M). Le perdite

Dettagli

Esame di Matematica 2 Mod.A (laurea in Matematica) prova di accertamento del 4 novembre 2005

Esame di Matematica 2 Mod.A (laurea in Matematica) prova di accertamento del 4 novembre 2005 Esame di Matematica 2 ModA (laurea i Matematica prova di accertameto del 4 ovembre 25 ESERCIZIO Si poga a 3 5 + 9 e b 2 4 6 + 6 ( (a Si determii d MCD(a, b e gli iteri m, Z tali che d ma + b co m < b ed

Dettagli

Dimostrazione della Formula per la determinazione del numero di divisori-test di primalità, di Giorgio Lamberti

Dimostrazione della Formula per la determinazione del numero di divisori-test di primalità, di Giorgio Lamberti Gorgo Lambert Pag. Dmostrazoe della Formula per la determazoe del umero d dvsor-test d prmaltà, d Gorgo Lambert Eugeo Amtrao aveva proposto l'dea d ua formula per calcolare l umero d dvsor d u umero, da

Dettagli

ESERCITAZIONE L adsorbimento su carbone attivo

ESERCITAZIONE L adsorbimento su carbone attivo ESERCITAZIONE adsorbimeto su carboe attivo ezioi di riferimeto: Processi basati sul trasferimeto di materia Adsorbimeto su carboi attivi Testi di riferimeto: Water treatmet priciples ad desi, WH Pricipi

Dettagli

1. L'INSIEME DEI NUMERI REALI

1. L'INSIEME DEI NUMERI REALI . L'INSIEME DEI NUMERI REALI. I pricipli isiemi di umeri Ripredimo i pricipli isiemi umerici N, l'isieme dei umeri turli 0; ; ; ; ;... L'ide ituitiv di umero turle è ssocit l prolem di cotre e ordire gli

Dettagli

ESERCIZI DI ANALISI I. Prof. Nicola Fusco 1. Determinare l insieme in cui sono definite le seguenti funzioni:

ESERCIZI DI ANALISI I. Prof. Nicola Fusco 1. Determinare l insieme in cui sono definite le seguenti funzioni: N. Fusco ESERCIZI DI ANALISI I Prof. Nicola Fusco Determiare l isieme i cui soo defiite le segueti fuzioi: ) log/ arctg π ) 4 ) log π 6 arcse ) ) tg log π + ) 4) 4 se se se tg 5) se cos tg 6) [ 6 + 8 π

Dettagli

MATEMATICA FINANZIARIA

MATEMATICA FINANZIARIA Capializzazioe semplice e composa MATEMATICA FINANZIARIA Immagiiamo di impiegare 4500 per ai i ua operazioe fiaziaria che frua u asso del, % auo. Quao avremo realizzao alla fie dell operazioe? I u coeso

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità Calcolo delle Probabilità Il calcolo delle probabilità studia i modelli matematici delle cosidette situazioni di incertezza. Molte situazioni concrete sono caratterizzate a priori da incertezza su quello

Dettagli

Metodi d integrazione di Montecarlo

Metodi d integrazione di Montecarlo Metodi d itegrzioe di Motecrlo Simulzioe l termie simulzioe ell su ccezioe scietific h u sigificto diverso dll ccezioe correte. Nell uso ordirio è sioimo si fizioe; ell uso scietifico è sioimo di imitzioe,

Dettagli

Stim e puntuali. Vocabolario. Cambiando campione casuale, cambia l istogramma e cambiano gli indici

Stim e puntuali. Vocabolario. Cambiando campione casuale, cambia l istogramma e cambiano gli indici Stm e putual Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - Stmator Vocabolaro Popolazoe: u seme d oggett sul quale s desdera avere Iformazo. Parametro: ua caratterstca umerca della popolazoe. E u Numero fssato,

Dettagli

l = 0, 1, 2, 3,,, n-1n m = 0, ±1,

l = 0, 1, 2, 3,,, n-1n m = 0, ±1, NUMERI QUANTICI Le autofuzioi soo caratterizzate da tre parametri chiamati NUMERI QUANTICI e soo completamete defiite dai loro valori: : umero quatico pricipale l : umero quatico secodario m : umero quatico

Dettagli

Verifica d Ipotesi. Se invece che chiederci quale è il valore di una media in una popolazione (stima. o falsa? o falsa?

Verifica d Ipotesi. Se invece che chiederci quale è il valore di una media in una popolazione (stima. o falsa? o falsa? Verifica d Iotesi Se ivece che chiederci quale è il valore ua mea i ua oolazioe (stima utuale Se ivece e itervallo che chiederci cofideza) quale è il avessimo valore u idea ua mea su quello i ua che oolazioe

Dettagli

Dall atomo di Bohr alla costante di struttura fine

Dall atomo di Bohr alla costante di struttura fine Dall atomo di Bohr alla ostate di struttura fie. INFORMAZIONI SPETTROSCOPICHE SUGLI ATOMI E be oto he ogi sostaza opportuamete eitata emette radiazioi elettromagetihe. Co uo spettrosopio, o strumeti aaloghi,

Dettagli

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA 006-007, lezione del 08.05.07 IDICE (lezione 08.05.07 PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI 3.1 Valore

Dettagli

USUFRUTTO. 5) Quali sono le spese a carico dell usufruttuario

USUFRUTTO. 5) Quali sono le spese a carico dell usufruttuario USUFRUTTO 1) Che cos è l sfrtto e come si pò costitire? L sfrtto è il diritto di godimeto ( ovvero di possesso) di bee altri a titolo gratito ; viee chiamato sfrttario chi esercita tale diritto, metre

Dettagli

Valutazione delle prestazioni termiche di sistemi con solai termoattivi in regime non stazionario

Valutazione delle prestazioni termiche di sistemi con solai termoattivi in regime non stazionario Valutazioe delle prestazioi termiche di sistemi co solai termoattivi i regime o stazioario MICHELE DE CARLI, Ph.D., Ricercatore, Dipartimeto di Fisica Tecica, Uiversità degli Studi di Padova, Padova, Italia.

Dettagli

Comportamento delle strutture in C.A. in Zona Sismica

Comportamento delle strutture in C.A. in Zona Sismica Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia i/161 Comportameto delle strutture i C.A. i Zoa Sismica Prof. Paolo Riva Dipartimeto di Progettazioe e ecologie Facoltà di Igegeria Uiversità di

Dettagli

Esercizi Le leggi dei gas. Lo stato gassoso

Esercizi Le leggi dei gas. Lo stato gassoso Esercizi Le lei dei as Lo stato assoso Ua certa quatità di as cloro, alla pressioe di,5 atm, occupa il volume di 0,58 litri. Calcola il volume occupato dal as se la pressioe viee portata a,0 atm e se la

Dettagli

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k Pordenone Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica

Dettagli

Introduzione alla probabilità

Introduzione alla probabilità Introduzione alla probabilità CAPITOLO TEORIA Il dilemma di Monty Hall In un popolare show televisivo americano il presentatore mostra al concorrente tre porte chiuse. Dietro a una di esse si cela il premio

Dettagli

Introduzione (1) Introduzione (2) Prodotti e servizi sono realizzati per mezzo di processi produttivi.

Introduzione (1) Introduzione (2) Prodotti e servizi sono realizzati per mezzo di processi produttivi. Iroduzioe () Ua defiizioe (geerale) del ermie qualià: qualià è l isieme delle caraerisiche di u eià (bee o servizio) che e deermiao la capacià di soddisfare le esigeze espresse ed implicie di chi la uilizza.

Dettagli

ALCUNI ELEMENTI DI TEORIA DELLA STIMA

ALCUNI ELEMENTI DI TEORIA DELLA STIMA ALCUNI ELEMENTI DI TEORIA DELLA STIMA Quado s vuole valutare u parametro θ ad esempo: meda, varaza, proporzoe, oeffete d regressoe leare, oeffete d orrelazoe leare, e) d ua popolazoe medate u ampoe asuale,

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Indici di Posizione. Gli indici si posizione sono misure sintetiche ( valori caratteristici ) che descrivono la tendenza centrale di un fenomeno

Indici di Posizione. Gli indici si posizione sono misure sintetiche ( valori caratteristici ) che descrivono la tendenza centrale di un fenomeno Idc d Poszoe Gl dc s poszoe soo msure stetche ( valor caratterstc ) che descrvoo la tedeza cetrale d u feomeo La tedeza cetrale è, prma approssmazoe, la modaltà della varable verso la quale cas tedoo a

Dettagli

Le operazioni fondamentali in N Basic Arithmetic Operations in N

Le operazioni fondamentali in N Basic Arithmetic Operations in N Operzioi fodetli i - 1 Le operzioi fodetli i Bsic Arithetic Opertios i I geerle u operzioe è u procedieto che due o più ueri, dti i u certo ordie e detti terii dell'operzioe, e ssoci u ltro, detto risultto

Dettagli

Interpolazione. Davide Manca Calcoli di Processo dell Ingegneria Chimica Politecnico di Milano

Interpolazione. Davide Manca Calcoli di Processo dell Ingegneria Chimica Politecnico di Milano L4 Iterpolazioe L4 Prologo Co iterpolazioe si itede il processo di idividuare ua fuzioe, spesso u poliomio, che passi per u isieme dato di puti: (x,y). y x L4 2 Fii dell iterpolazioe 1. Sostituire u isieme

Dettagli

Lo schema di Bernoulli (o delle prove indipendenti): un esempio di modello probabilistico applicabile a diversi contesti

Lo schema di Bernoulli (o delle prove indipendenti): un esempio di modello probabilistico applicabile a diversi contesti Lo schema di Bernoulli (o delle prove indipendenti): un esempio di modello probabilistico applicabile a diversi contesti Rita Giuliano (Pisa) 0. Introduzione. È ormai acquisizione comune il fatto che uno

Dettagli

SCHEDA DI PROGRAMMAZIONE DELLE ATTIVITA EDUCATIVE DIDATTICHE. Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco

SCHEDA DI PROGRAMMAZIONE DELLE ATTIVITA EDUCATIVE DIDATTICHE. Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco ANALISI DI SITUAZIONE - LIVELLO COGNITIVO La classe ha dimostrato fin dal primo momento grande attenzione e interesse verso gli

Dettagli

DOMINI DI CURVATURA DI SEZIONI IN C.A. IN PRESSOFLESSIONE DEVIATA. PARTE II: VALUTAZIONE SEMPLIFICATA

DOMINI DI CURVATURA DI SEZIONI IN C.A. IN PRESSOFLESSIONE DEVIATA. PARTE II: VALUTAZIONE SEMPLIFICATA Valutazioe e riduzioe della vulerailità sismia di ediii esisteti i.a. Roma, 9-0 maggio 00 DOMINI DI CURVATURA DI SEZIONI IN C.A. IN PRESSOFLESSIONE DEVIATA. PARTE II: VALUTAZIONE SEMPLIFICATA Di Ludovio

Dettagli

CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate

CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first course in probability

Dettagli

Logica fuzzy e calcolo delle probabilità: due facce della stessa medaglia?

Logica fuzzy e calcolo delle probabilità: due facce della stessa medaglia? Logica fuzzy e calcolo delle probabilità: due facce della stessa medaglia? Danilo Pelusi 1 Gianpiero Centorame 2 Sunto: Il seguente articolo illustra le possibili analogie e differenze tra il calcolo delle

Dettagli

FONDAMENTI DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE

FONDAMENTI DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE DISPENSE DI: FONDAMENTI DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE Testo di riferieto E. Fuaioli ed altri Meccaica applicata alle acchie vol. e - Ed. Patro BOZZA Idice. INTRODUZIONE ALLA MECCANICA APPLICATA

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

unoperatore@nellospaziodihilberth e sia z un numero complesso tale che z1-a,da==)rr_néh - 0 impli-chi l:= -1 (21-A) : R- n ==) Dn L- \

unoperatore@nellospaziodihilberth e sia z un numero complesso tale che z1-a,da==)rr_néh - 0 impli-chi l:= -1 (21-A) : R- n ==) Dn L- \ 3,6 56 3,6 TEOR I A SPETTRALE La teoria spettrale degli operatori lieari- eo spazio di Hilbert é f odata, coe per gi spazi f i-ito-dimes ioal j-, sula defiizioe di- risolvete di u operatole' Sia (A,DA)

Dettagli

Lezione 10. La Statistica Inferenziale

Lezione 10. La Statistica Inferenziale Lezione 10 La Statistica Inferenziale Filosofia della scienza Secondo Aristotele, vi sono due vie attraverso le quali riusciamo a formare le nostre conoscenze: (1) la deduzione (2) l induzione. Lezione

Dettagli

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i DISTRIBUZIONE di PROBABILITA Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che uò assumere i valori: ; ;, n al verificarsi degli eventi incomatibili e comlementari: E ; E ;..;

Dettagli

Esercizi di consolidamento di probabilità e calcolo combinatorio parte 1

Esercizi di consolidamento di probabilità e calcolo combinatorio parte 1 Esercizi di consolidamento di probabilità e calcolo combinatorio parte 1 1. Si lancia una moneta 2 volte: qual è la probabilità che esca TESTA 0 volte? 1 volta? 2 volte? 2. Si lancia una moneta 3 volte:

Dettagli

Analisi dei segnali nel dominio del tempo

Analisi dei segnali nel dominio del tempo Appui di Teoria dei Segali a.a. / Aalisi dei segali el domiio del empo L.Verdoliva I quesa prima pare del corso sudieremo come rappreseare i segali empo coiuo e discreo el domiio del empo e defiiremo le

Dettagli

ARGOMENTO: MISURA DELLA RESISTENZA ELETTRICA CON IL METODO VOLT-AMPEROMETRICO.

ARGOMENTO: MISURA DELLA RESISTENZA ELETTRICA CON IL METODO VOLT-AMPEROMETRICO. elazoe d laboratoro d Fsca corso M-Z Laboratoro d Fsca del Dpartmeto d Fsca e Astrooma dell Uverstà degl Stud d Cataa. Scala Stefaa. AGOMENTO: MSUA DELLA ESSTENZA ELETTCA CON L METODO OLT-AMPEOMETCO. NTODUZONE:

Dettagli

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2 Indice generale Modulo 1 Algebra 2 Capitolo 1 Scomposizione in fattori. Equazioni di grado superiore al primo 1.1 La scomposizione in fattori 2 1.2 Raccoglimento a fattor comune 3 1.3 Raccoglimenti successivi

Dettagli

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche Ancora sull indipendenza Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche A e B Ā e B Ā e B Sfruttiamo le leggi di De Morgan Leggi di De Morgan A B = Ā B A B = Ā B P (Ā B) = P (A B) = 1 P (A B) = 1 (P (A)

Dettagli

Cenni sul calcolo combinatorio

Cenni sul calcolo combinatorio Cenni sul calcolo combinatorio Disposizioni semplici Le disposizioni semplici di n elementi distinti di classe k con kn sono tutti i gruppi di k elementi scelti fra gli n, che differiscono per almeno un

Dettagli

I numeri relativi. Il calcolo letterale

I numeri relativi. Il calcolo letterale Indice Il numero unità I numeri relativi VIII Indice L insieme R Gli insiemi Z e Q Confronto di numeri relativi Le operazioni fondamentali in Z e Q 0 L addizione 0 La sottrazione La somma algebrica La

Dettagli

Tavola 1 - Popolazione italiana residente alle date dei censimenti generali, riportata ai confini attuali - Anni 1861-2001 (migliaia di unità)

Tavola 1 - Popolazione italiana residente alle date dei censimenti generali, riportata ai confini attuali - Anni 1861-2001 (migliaia di unità) 4 Quai eravamo, quai siamo, quai saremo Che cosa si impara el capiolo 4 er cooscere le caraerisiche e l evoluzioe della popolazioe ialiaa araverso u lugo arco di empo uilizziamo il asso di icremeo medio

Dettagli

Benvenuti in Ontario. Guida ai programmi e ai servizi per i nuovi arrivati in Ontario

Benvenuti in Ontario. Guida ai programmi e ai servizi per i nuovi arrivati in Ontario Beveuti i Otario Guida ai programmi e ai servizi per i uovi arrivati i Otario Idice Vivere i Otario........................................... 2 Come otteere l aiuto di cui avete bisogo.....................................

Dettagli

ESERCIZI. x + 3 x 2 1. a) y = 4x2 + 3x 2x + 2 ; b) y = 6x2 x 1. (x + 2) 2 c) y =

ESERCIZI. x + 3 x 2 1. a) y = 4x2 + 3x 2x + 2 ; b) y = 6x2 x 1. (x + 2) 2 c) y = ESERCIZI Testi (1) Un urna contiene 20 palline di cui 8 rosse 3 bianche e 9 nere; calcolare la probabilità che: (a) tutte e tre siano rosse; (b) tutte e tre bianche; (c) 2 rosse e una nera; (d) almeno

Dettagli

ATTIVATORE STABILIZZATO PER BOBINE DI SGANCIO A LANCIO DI CORRENTE.

ATTIVATORE STABILIZZATO PER BOBINE DI SGANCIO A LANCIO DI CORRENTE. Compatibilità totale con ogni apparato. Si usa con pulsanti normalmente chiusi. ella linea dei pulsanti c'è il 24Vcc. Insensibile alle interruzioni di rete. Insensibile agli sbalzi di tensione. Realizzazione

Dettagli

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:...

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:... Ministero della Pubblica Istruzione Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA Scuola Secondaria di II grado Classe Terza Tipo A Codici Scuola:..... Classe:.. Studente:.

Dettagli

Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado

Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado I quesiti dal N. 1 al N. 10 valgono 3 punti ciascuno 1. Angela è nata nel 1997,

Dettagli

I radicali 1. Claudio CANCELLI (www.claudiocancelli.it)

I radicali 1. Claudio CANCELLI (www.claudiocancelli.it) I rdicli Cludio CANCELLI (www.cludioccelli.it) Ed..0 www.cludioccelli.it Dec. 0 I rdicli INDICE DEI CONTENUTI. I RADICALI... INDICE DI RADICE PARI...4 INDICE DI RADICE DISPARI...5 RADICALI SIMILI...6 PROPRIETA

Dettagli

ORDINALI E NOMINALI LA PROBABILITÀ. Nell ambito della manifestazione di un fenomeno niente è certo, tutto è probabile.

ORDINALI E NOMINALI LA PROBABILITÀ. Nell ambito della manifestazione di un fenomeno niente è certo, tutto è probabile. ORDINALI E NOMINALI LA PROBABILITÀ Statistica5 23/10/13 Nell ambito della manifestazione di un fenomeno niente è certo, tutto è probabile. Se si afferma che un vitello di razza chianina pesa 780 kg a 18

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α?

Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α? QUESITO 1 Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α? Applicando il Teorema dei seni si può determinare il valore di senza indeterminazione, in quanto dalla

Dettagli

APPROFONDIMENTI SUI NUMERI

APPROFONDIMENTI SUI NUMERI APPROFONDIMENTI SUI NUMERI. Il sistem di umerzioe deimle Be presto, ll operzioe turle del otre, si è ggiut l esigez di «rppresetre» i umeri. I sistemi di umerzioe possiili soo molti; per or i limitimo

Dettagli

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è

Dettagli

3M Prodotti per la protezione al fuoco. Building & Commercial Services

3M Prodotti per la protezione al fuoco. Building & Commercial Services 3M Prodotti per la protezioe al fuoco Buildig & Commercial Services Idice Sviluppi e treds...4-5 3M e le soluzioi aticedio...6-7 Dispositivi di attraversameto...8-19 Giuti di costruzioe...20-21 Sistemi

Dettagli

8. Qual è la probabilità di estrarre da un mazzo di 40 carte napoletane una figura?

8. Qual è la probabilità di estrarre da un mazzo di 40 carte napoletane una figura? www.matematicamente.it Probabilità 1 Calcolo delle probabilità Cognome e nome: Classe Data 1. Quali affermazioni sono vere? A. Un evento impossibile ha probabilità 1 B. Un vento certo ha probabilità 0

Dettagli

Numeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali

Numeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali 1 Numeri naturali La successione di tutti i numeri del tipo: 0,1, 2, 3, 4,..., n,... forma l'insieme dei numeri naturali, che si indica con il simbolo N. Tale insieme si può disporre in maniera ordinata

Dettagli

SCUOLA PRIMARIA DI MONTE VIDON COMBATTE CLASSE V INS. VIRGILI MARIA LETIZIA

SCUOLA PRIMARIA DI MONTE VIDON COMBATTE CLASSE V INS. VIRGILI MARIA LETIZIA SCUOLA PRIMARIA DI MONTE VIDON COMBATTE CLASSE V INS. VIRGILI MARIA LETIZIA Regoli di Nepero Moltiplicazioni In tabella Moltiplicazione a gelosia Moltiplicazioni Con i numeri arabi Regoli di Genaille Moltiplicazione

Dettagli

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA 1. RICHIAMI SULLE PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI Ho mostrato in un altra dispensa come ricavare a partire dagli assiomi di

Dettagli

aleatoria; se è nota la sua densità di probabilità ad essa si può associare una valore medio statistico. La grandezza così definita: (III.1.

aleatoria; se è nota la sua densità di probabilità ad essa si può associare una valore medio statistico. La grandezza così definita: (III.1. Caitolo III VALORI MEDI. SAZIONARIEÀ ED ERGODICIÀ III. - Mdi tatitich dl rimo ordi. Sia f( ) ua fuzio cotiua i aoci al gal alatorio (, t ζ ) la uatità dfiita dalla y f[(, t ζ )]. Ea idividua, a ua volta,

Dettagli

Le soluzioni dei quesiti sono in fondo alla prova

Le soluzioni dei quesiti sono in fondo alla prova SCUOLA MEDIA STATALE GIULIANO DA SANGALLO Via Giuliano da Sangallo,11-Corso Duca di Genova,135-00121 Roma Tel/fax 06/5691345-e.mail:scuola.sangallo@libero.it SELEZIONE INTERNA PER LA MARATONA DI MATEMATICA

Dettagli

FACOLTA DI INGEGNERIA SCHEDA DIDATTICA N 1

FACOLTA DI INGEGNERIA SCHEDA DIDATTICA N 1 FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA PER L AMBIENTE ED IL TERRITORIO CORSO DI STATISTICA E CALCOLO DELLE PROBABILITA PROF. PASQUALE VERSACE SCHEDA DIDATTICA N ARGOMENTO: CALCOLO DELLE PROBABILITA

Dettagli

Lezioni di STATISTICA MATEMATICA A

Lezioni di STATISTICA MATEMATICA A Università di Modena e Reggio Emilia Facoltà di Ingegneria Lezioni di STATISTICA MATEMATICA A Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Corso di Laurea in Ingegneria dei Materiali - Anno Accademico 010/11

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

GLI ASSI CULTURALI. Allegato 1 - Gli assi culturali. Nota. rimessa all autonomia didattica del docente e alla programmazione collegiale del

GLI ASSI CULTURALI. Allegato 1 - Gli assi culturali. Nota. rimessa all autonomia didattica del docente e alla programmazione collegiale del GLI ASSI CULTURALI Nota rimessa all autonomia didattica del docente e alla programmazione collegiale del La normativa italiana dal 2007 13 L Asse dei linguaggi un adeguato utilizzo delle tecnologie dell

Dettagli

((e ita e itb )h(t)/it)dt. z k p(dz) + r n (t),

((e ita e itb )h(t)/it)dt. z k p(dz) + r n (t), SINTESI. Una classe importante di problemi probabilistici e statistici é quella della stima di caratteristiche relative ad un certo processo aleatorio. Esistono svariate tecniche di stima dei parametri

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI Le disequazioni fratte Le disequazioni di secondo grado I sistemi di disequazioni Alessandro Bocconi Indice 1 Le disequazioni non lineari 2 1.1 Introduzione.........................................

Dettagli

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Probabilità Probabilità Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Se tutti gli eventi fossero ugualmente possibili, la probabilità p(e)

Dettagli