Prodotto realizzato con il contributo della Regione Toscana nell'ambito dell'azione regionale di sistema. Laboratori del Sapere Scientifico

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1 Prodotto realizzato con il contributo della Regione Toscana nell'ambito dell'azione regionale di sistema Laboratori del Sapere Scientifico

2 DALLA REALTÀ AL MODELLO GEOMETRICO Un approccio operativo all introduzione consapevole della geometria solida a partire dall osservazione dell aula fino alla scoperta dei poliedri regolari Prof.ssa Silvia Ripoli Scuola sec. di 1 grado «N. Pisano» Marina di Pisa Classe III A.S. 2015/2016

3 Collocazione del percorso effettuato nel curricolo verticale Negli ambiti SPAZIO E FIGURE e RELAZIONI, MISURE, DATI E PREVISIONI il percorso si colloca nello sviluppo dei seguenti traguardi: L alunno assume un atteggiamento positivo nei confronti della matematica e comprende che gli elementi geometrici possono essere utilizzati per modellizzare la realtà. L alunno riconosce, descrive e rappresenta forme complesse che si trovano in natura o che sono state create dall uomo. L alunno analizza una situazione e la traduce in modello geometrico. L alunno sostiene le proprie convinzioni portando esempi adeguati e argomentando attraverso concatenazioni di affermazioni.

4 Obiettivi essenziali di apprendimento Cogliere relazioni fra gli enti fondamentali della geometria, posti sul piano e nello spazio. Individuare e descrivere figure e costruzioni geometriche. Usare in modo consapevole la terminologia specifica. Rappresentare oggetti e figure tridimensionali tramite disegni sul piano utilizzando in modo appropriato opportuni strumenti. Vedere mentalmente oggetti tridimensionali a partire da rappresentazioni bidimensionali. Conoscere definizioni e proprietà ed esprimere verbalmente in modo corretto i ragionamenti e le argomentazioni. Classificare solidi geometrici.

5 Elementi salienti dell approccio metodologico Il percorso è sviluppato con un metodo operativo secondo la sequenza: 1. Esplorazione di una situazione ed esplicitazione delle idee spontanee individuali. 2. Confronto collettivo e individuazione di un problema condiviso. 3. Concettualizzazione e modellizzazione. 4. Verbalizzazione scritta. Ruolo dell insegnante L insegnante organizza i materiali e i gruppi di lavoro; stimola e guida la riflessione e la discussione; guida la concettualizzazione, la verbalizzazione scritta e il riepilogo; fornisce termini condivisi e/o convenzionali se necessario; propone attività di rinforzo e verifica l apprendimento sia in itinere sia a conclusione del percorso.

6 Materiali, apparecchi e strumenti impiegati Il percorso prevede l uso di materiali facilmente reperibili: Modelli di poligoni in cartoncino o in plastica a incastro (triangoli equilateri; quadrati; esagoni regolari; pentagoni regolari; rettangoli di dimensioni medie comprese tra 10 e 15cm). Cartoncini. Strumenti da disegno tecnico (riga; squadre; goniometro; matite e gomma) Forbici. Nastro adesivo. Set di modelli tridimensionali (plastica; legno; cartoncino; ) di solidi di forme varie (solidi convessi e concavi di forme varie: poliedri, solidi di rotazione, solidi non appartenenti ai primi due gruppi) Matite colorate o pennarelli. Quaderno personale.

7 Ambienti in cui è stato sviluppato il percorso AULA ORDINARIA AULA DI SCIENZE E MATEMATICA

8 Tempo impiegato Messa a punto preliminare nel Gruppo LSS: 2 incontri Progettazione specifica e dettagliata nella classe: 6 ore + 2 incontri di confronto nel gruppo LSS Tempo-scuola di sviluppo del percorso: 15 ore Documentazione: 15 ore

9 Sviluppo del percorso Acquisizione della terminologia di base 1 Attività Esplorazione ed esplicitazione delle idee spontanee 2 Attività Confronto e individuazione di un problema condiviso 3-4 Attività Concettualizzazione/modellizzazione e verbalizzazione Classificazione dei solidi 5 Attività Esplorazione ed esplicitazione delle idee spontanee 6 Attività Confronto e individuazione di un problema condiviso 7 Attività Concettualizzazione/modellizzazione e verbalizzazione Scoperta dei poliedri regolari 8-9 Attività Esplorazione ed esplicitazione delle idee spontanee Attività Confronto e individuazione di un problema condiviso Attività Concettualizzazione/modellizzazione e verbalizzazione

10 Acquisizione della terminologia di base Esplorazione ed esplicitazione delle idee spontanee 1 attività. Si chiede di osservare l aula e descriverne le caratteristiche principali utilizzando il più possibile i termini geometrici, altrimenti usando il linguaggio comune. Ciascun alunno scrive la propria descrizione sul quaderno personale

11 Acquisizione della terminologia di base Confronto collettivo ed individuazione di un problema condiviso 2 attività. Le descrizioni effettuate sono lette e confrontate. Emerge il problema: disporre di una terminologia appropriata per «parlare di figure geometriche tridimesionali>>

12 Acquisizione della terminologia di base Confronto collettivo ed individuazione di un problema condiviso Dal quaderno La nostra aula ha una forma rettangolare. Ha una porta rettangolare[ ] Dal quaderno La nostra aula ha una forma cubica[ ] perché dopo averla misurata con i passi ogni lato è risultato uguale. Dal quaderno Ho un problema, vorrei dire che la mia aula è formata da angoli retti ma non riesco a specificare quanti sono a causa delle troppe pareti. Dal quaderno La mia aula è un rettangolo perché ha due a due i lati congruenti.[ ] La mia aula ha una lunghezza, una larghezza e una profondità, quindi è tridimensionale.

13 Acquisizione della terminologia di base Confronto collettivo ed individuazione di un problema condiviso Dal quaderno La nostra aula ha una forma rettangolare. Ha una porta rettangolare[ ] si usa lo stesso termine per figure solide e piane Dal quaderno La nostra aula ha una forma cubica[ ] perché dopo averla misurata con i passi ogni lato è risultato uguale. rettangolo tridimensionale? Certamente cubica? Misurata a passi anche in verticale? lato o spigolo? Dal quaderno La mia aula è un rettangolo perché ha due a due i lati congruenti.[ ] La mia aula ha una lunghezza, una larghezza e una profondità, quindi è tridimensionale.

14 Acquisizione della terminologia di base Confronto collettivo ed individuazione di un problema condiviso Dal quaderno Ho un problema, vorrei dire che la mia aula è formata da angoli retti ma non riesco a specificare quanti sono a causa delle troppe pareti. angoli retti o diedri con sezione normale di 90?

15 Acquisizione della terminologia di base Concettualizzazione/modellizzazione e verbalizzazione scritta 3 attività. L insegnante introduce i termini e il loro significato e guida la verbalizzazione sul quaderno personale. Per la rappresentazione con il disegno si propone una «assonometria intuitiva». VERTICE SPIGOLO FACCIA ANGOLOIDE ANGOLO DIEDRO

16 Acquisizione della terminologia di base Concettualizzazione/modellizzazione e verbalizzazione scritta Costruzione del modello di angoloide. Due piegature del foglio determinano tre angoli Le facce di un angoloide sono angoli (al minimo 3)

17 Acquisizione della terminologia di base Concettualizzazione/modellizzazione e verbalizzazione scritta 4 attività. Costruzione di un modello di angolo diedro. Acquisizione del significato dell ampiezza di un angolo diedro. Misura dell ampiezza di un angolo diedro. Ciascun alunno costruisce il proprio modello di angolo diedro; ne individua tre piani secanti.

18 Acquisizione della terminologia di base Concettualizzazione/modellizzazione e verbalizzazione scritta Costruzione del modello di angolo diedro.

19 Acquisizione della terminologia di base Concettualizzazione/modellizzazione e verbalizzazione scritta DIEDRO CONVESSO Il modello di angolo diedro. DIEDRO CONCAVO SPIGOLO DEL DIEDRO FACCIA DEL DIEDRO

20 Acquisizione della terminologia di base Concettualizzazione/modellizzazione e verbalizzazione scritta I piani secanti un angolo diedro. MODELLI PER PIANI SECANTI INCISIONI MODELLO PER DIEDRO

21 Acquisizione della terminologia di base Concettualizzazione/modellizzazione e verbalizzazione scritta I piani secanti un angolo diedro.

22 Acquisizione della terminologia di base Concettualizzazione/modellizzazione e verbalizzazione scritta La sezione normale e l ampiezza dell angolo diedro. Convenzionalmente si identifica il piano ortogonale allo spigolo del diedro per determinare l ampiezza del diedro stesso tramite la sezione normale.

23 Classificazione dei solidi Esplorazione ed esplicitazione delle idee spontanee 5 attività. Si chiede di osservare individualmente un gruppo di solidi. Si chiede di riflettere se i solidi geometrici debbano stare tutti insieme o essere raggruppati e come.

24 Classificazione dei solidi Confronto collettivo ed individuazione di un problema condiviso 6 attività. Si apre la discussione. Gli alunni si alternano nel proporre i raggruppamenti. Si chiede di esplicitare il criterio seguito. Emerge il problema: ampliare la terminologia per «esplicitare i criteri di classificazione usati e nominare alcuni solidi>>

25 Classificazione dei solidi Concettualizzazione/modellizzazione e verbalizzazione scritta 7 attività. L insegnante introduce i termini non conosciuti e guida, secondo le proposte degli alunni, la verbalizzazione sul quaderno personale. CUBI

26 Classificazione dei solidi Verbalizzazione scritta 7 attività. Esempi di proposte di definizioni operative date dagli alunni Dal quaderno Solidi rotondi: per noi sono quelli che hanno almeno una superficie rotonda avvolta. (es. sfera; uovo; cono). Poliedri: per noi sono quelli delimitati da facce poligonali; presentano diedri e angoloidi. Prismi: per noi sono poliedri con due facce parallele poligonali congruenti connesse da facce rettangolari. DEFINIZIONI FORMALI CLASSIFICAZIONE ORDINARIA Piramidi: per noi sono poliedri con una faccia poligonale e, in corrispondenza dei suoi lati, con facce triangolari con il vertice in comune (vertice della piramide).

27 Classificazione dei solidi Verbalizzazione scritta Dal quaderno 7 attività. Classificazione operativa proposta dagli alunni SOLIDI SOLIDI ROTONDI POLIEDRI CONCAVI PRISMI CUBI POLIEDRI CONVESSI PIRAMIDI PIRAMIDE con 4 facce a forma di triangoli equilateri POLIEDRI OBLIQUI

28 Classificazione dei solidi Concettualizzazione/modellizzazione 7 attività. Dalla definizione operativa alla definizione formale: un esempio. Dal quaderno Prismi: per noi sono poliedri con due facce parallele poligonali congruenti connesse da facce rettangolari. DEFINIZIONE FORMALE Prisma: poliedro delimitato da due poligoni congruenti, posti su piani paralleli e con i lati corrispondenti rispettivamente paralleli, e da tanti parallelogrammi quanti sono i lati dei due poligoni.

29 Classificazione dei solidi Concettualizzazione/modellizzazione SOLIDI Indica un dubbio degli alunni SOLIDI ROTONDI POLIEDRI CONCAVI PRISMI CUBI POLIEDRI CONVESSI POLIEDRI OBLIQUI PIRAMIDI PIRAMIDE con 4 facce a forma di triangoli equilateri Le definizioni convenzionali non prevedono una sub-categoria di poliedri obliqui, ad esempio il gruppo PRISMI include sia i retti che gli obliqui.

30 Scoperta dei poliedri regolari Esplorazione 8 attività. Si dispone di una serie di modelli in cartoncino di poligoni (rettangoli; quadrati; triangoli equilateri; pentagoni ed esagoni regolari). Si chiede di prendere due cartoncini e con essi rappresentare una parte dell aula.

31 Scoperta dei poliedri regolari Esplorazione e confronto collettivo 8 attività. Si chiede di prendere due cartoncini e con essi rappresentare una parte dell aula. Con due cartoncini è possibile rappresentare un angolo diedro formato da due pareti o da una parete con il soffitto o il pavimento. (Sono scelti rettangoli come modelli di pareti)

32 Scoperta dei poliedri regolari Esplorazione e confronto collettivo 9 attività. Si chiede di prendere tre cartoncini e con essi rappresentare una parte dell aula. Con tre cartoncini è possibile rappresentare due angoli diedri consecutivi (tre pareti consecutive una all altra) un angoloide (due pareti consecutive e il soffitto o il pavimento)

33 Scoperta dei poliedri regolari Individuazione di un problema condiviso 10 attività. Si chiede di prendere quattro cartoncini e con essi rappresentare un angoloide tipico dell aula 1 ANGOLOIDE Con quattro cartoncini rettangolari non si forma un angoloide ma due. Emerge il problema: usare quattro cartoncini di forme non rettangolari. 2 ANGOLOIDE 1 ANGOLOIDE 2 ANGOLOIDE

34 Scoperta dei poliedri regolari Individuazione di un problema condiviso 11 attività. C è un caso in cui con quattro cartoncini congruenti si forma un angoloide? Con quattro cartoncini congruenti a forma di triangolo equilatero si forma un angoloide. Emerge il problema: È possibile prevedere il numero di facce poligonali di un angoloide in relazione alla loro forma?

35 Scoperta dei poliedri regolari Concettualizzazione/modellizzazione. 12 attività. Si dispone di un set di modelli di poligoni* in cartoncino o in plastica a incastro A) Si chiede di costruire un modello di angoloide con facce a forma di quadrati. B) Si chiede di costruire un modello di angoloide con facce a forma di triangoli equilateri. C) Si chiede di costruire un modello di angoloide con facce a forma di pentagoni regolari. D) Si chiede di costruire un modello di angoloide con facce a forma di esagoni regolari. (continua ) *[Nota dell autore] Per comodità operativa si fa riferimento a facce poligonali ma si ricorda che l angoloide ha per facce angoli.

36 Scoperta dei poliedri regolari Concettualizzazione/modellizzazione. ( continua) 12 attività. In ciascun caso (A-D) si chiede di indicare quante facce sono state usate per costruire l angoloide e se è possibile costruire un angoloide con un numero maggiore e minore di facce rispetto a quelle usate. E) Si chiede di argomentare se ha senso costruire un angoloide con facce a forma di ettagoni, ottagoni, etc?

37 Scoperta dei poliedri regolari Concettualizzazione/modellizzazione e verbalizzazione scritta 13 attività. Riepilogo: con un modello articolabile per angoloidi con facce poligonali l insegnante guida il riepilogo e la verbalizzazione scritta.

38 Scoperta dei poliedri regolari Concettualizzazione/modellizzazione. 13 attività. Uso del un modello articolabile per angoloidi con facce poligonali 3 quadrati 4 quadrati «ricoprono il piano»

39 Scoperta dei poliedri regolari Concettualizzazione/modellizzazione e verbalizzazione scritta 13 attività. Uso del un modello articolabile per angoloidi con facce poligonali 3 triangoli equilateri 5 triangoli equilateri 4 triangoli equilateri 6 triangoli equilateri «ricoprono il piano»

40 Scoperta dei poliedri regolari Concettualizzazione/modellizzazione e verbalizzazione scritta 13 attività. Uso del un modello articolabile per angoloidi con facce poligonali 3 pentagoni regolari 3 esagoni regolari «ricoprono il piano»

41 Scoperta dei poliedri regolari Concettualizzazione/modellizzazione e verbalizzazione scritta 13 attività. Compilazione guidata della tabella poligono Si forma un N di facce angoloide? dell angoloide quadrato SI 3 triangolo equilatero triangolo equilatero triangolo equilatero pentagono regolare esagono regolare SI 3 SI 4 SI 5 SI 3 NO /

42 Scoperta dei poliedri regolari Concettualizzazione/modellizzazione e verbalizzazione scritta Introduzione del significato di poliedro regolare. Possibili stimoli per la riflessione degli alunni: un confronto tra poligoni regolari e «poliedri regolari». Qual è il significato di poligono regolare? Quali caratteristiche hanno i poligoni regolari? Quanti sono i tipi di poligoni regolari? Possiamo immaginare un poliedro regolare? Quali caratteristiche dovrebbe avere un poliedro regolare? E possibile un esempio? Quanti tipi di poliedri regolari potremmo immaginare?

43 Scoperta dei poliedri regolari Concettualizzazione/modellizzazione e verbalizzazione scritta Introduzione del significato di poliedro regolare. Un possibile ragionamento per la ricerca di regolarità PROPOSTA CONTROESEMPIO Un poliedro regolare ha tutte le facce congruenti Un poliedro regolare ha le facce che sono poligoni regolari

44 Scoperta dei poliedri regolari Concettualizzazione/modellizzazione e verbalizzazione scritta Introduzione del significato di poliedro regolare. Un possibile ragionamento per la ricerca di regolarità PROPOSTA CONTROESEMPIO Un poliedro regolare ha tutte le facce congruenti e poligoni regolari Un poliedro regolare è convesso e ha tutte le facce congruenti e poligoni regolari

45 Scoperta dei poliedri regolari Concettualizzazione/modellizzazione e verbalizzazione scritta Introduzione del significato di poliedro regolare. Un poliedro si dice regolare se: a) È convesso. b) Tutte le facce sono poligoni regolari. c) Tutte le facce sono congruenti. d) In ogni vertice concorre lo stesso numero di facce, cioè gli angoloidi sono tutti congruenti.

46 13 attività. Compilazione guidata della tabella: dal modello di angoloide al poliedro regolare. poligono Scoperta dei poliedri regolari Concettualizzazione/modellizzazione e verbalizzazione scritta Si forma un angoloide? N di facce dell angoloide Poliedro regolare N di facce del poliedro quadrato SI 3 esaedro (cubo) 6 triangolo equilatero triangolo equilatero triangolo equilatero pentagono regolare esagono regolare SI 3 tetraedro 4 SI 4 ottaedro 8 SI 5 icoesaedro 20 SI 3 dodecaedro 12 NO / / /

47 Scoperta dei poliedri regolari Modellizzazione 14 attività. Gli alunni costruiscono i 5 poliedri regolari

48 SOLIDI ROTONDI Classificazione dei solidi Concettualizzazione/modellizzazione 7 attività. Risoluzione del dubbio PRISMI SOLIDI POLIEDRI CONVESSI PIRAMIDI PIRAMIDE con 4 facce a forma di triangoli Equilateri TETRAEDRO REGOLARE POLIEDRI CONCAVI CUBI POLIEDRI REGOLARI TETRAEDRI REGOLARI

49 PROSPETTIVE E AGGANCI INTERDISCIPLINARI Il tema dei poliedri regolari potrà essere ritrovato in vari ambiti disciplinari anche nel grado scolastico successivo (scuola secondaria di 2 grado) ad es.: storia ed epistemologia della matematica; chimica; geologia; arte.

50 PROSPETTIVE E AGGANCI INTERDISCIPLINARI Geometria molecolare SF6 - Ottaedro Arte Salvador Dalì Dodecaedro Cristallografia Cloruro di sodio (sale da cucina) Cubo Storia della matematica Euclide I cinque poliedri regolari Gioco Dadi Poliedri regolari E altro

51 Verifiche degli apprendimenti Nel percorso sono state svolte verifiche sia in itinere che sommative. Verifiche in itinere Controlli orali per verificare in itinere l acquisizione del linguaggio specifico e le abilità classificatorie. Controllo del quaderno per verificare il processo-apprendimento. Verifiche sommative Prova pratica e prova scritta per verificare l acquisizione del linguaggio specifico e le abilità di osservazione, modellizzazione con il disegno e di descrizione.

52 Verifiche degli apprendimenti Verifica pratica Consegnare a ciascun alunno un paio di modelli di poliedri in cartoncino, legno o plastica. Si chiede di rappresentare con il disegno il solido e di indicarne il nome e le sue caratteristiche geometriche. Dal quaderno: verifica pratica Piramide obliqua: una piramide è un poliedro che ha una base a forma poligonale (in questo caso è un triangolo equilatero), tutte le altre facce sono triangolari (in questo caso un triangolo isoscele e gli altri due sono triangoli rettangoli) e le unisce un punto in comune chiamato vertice.

53 Verifiche degli apprendimenti Verifica scritta: un quesito significativo <<Una stanza a forma di parallelepipedo rettangolo ha il pavimento lungo 7 m e largo 5 m è alta 4 m. Rappresenta con un disegno la stanza e descrivi le sue caratteristiche geometriche>> Dal quaderno: verifica scritta Questa stanza è un poliedro. E un parallelepipedo rettangolo costituito da 6 facce, 8 vertici e infine da 12 spigoli. Ha 8 angoloidi interni e 12 angoli diedri. Ha 12 spigoli paralleli e congruenti a coppie, quindi 6 * coppie di spigoli paralleli. Le facce del poliedro sono poligoni, in particolare rettangoli. *[Nota dell autore] Questo alunno non si è reso conto che gli spigoli possono essere suddivisi in tre quaterne di spigoli paralleli e congruenti e non in sei coppie. Ogni quaterna di spigoli paralleli individua una direzione.

54 Risultati ottenuti Risultati positivi Acquisizione e uso di un linguaggio specifico attraverso un ruolo attivo dell alunno. Rinforzo di abilità trasversali (specialmente in ambito logicoscientifico) di osservazione, descrizione, rappresentazione iconica, classificazione. Uso della documentazione (libri di testo etc) in modo attivo. Stimolo a porsi domande, problemi e ad argomentare. Commento ai risultati L introduzione e l acquisizione di termini nuovi propri della geometria dei solidi non è stato un puro esercizio mnemonico ma un esigenza condivisa dagli alunni per meglio descrivere situazioni o figure geometriche. Inoltre il testo non è usato come partenza ma come strumento per la ricerca di definizioni formali rispetto alle quali l alunno ha proposto definizioni operative. La procedura classificatoria ha assunto un significato più incisivo nell apprendimento perché è stata applicata a modelli concreti. La descrizione dei solidi e l uso di termini più appropriati ha sviluppato maggiori capacità analitiche anche in attività successive.

55 Risultati ottenuti Difficoltà Gli alunni hanno mostrato un iniziale difficoltà a ri-tornare a guardare la realtà in 3D avendo lavorato sulla geometria piana da qualche anno e si sono resi consapevoli della necessità di disporre di concetti e termini appropriati. La costruzione di modelli tridimensionali ha richiesto una certa abilità manuale. Strategie di superamento Per stimolare l osservazione e l argomentazione è importante che l insegnante lasci agli alunni del tempo per fare delle proposte. Inoltre, le proposte degli studenti non dovrebbero essere bloccate anche se non del tutto pertinenti o risolutive, piuttosto criticate costruttivamente ponendo altre domande. Inizialmente è importante lasciare usare il linguaggio comune in modo da far emergere la necessità di termini specifici.

56 Risultati ottenuti Oltre ad aver osservato una buona risposta in sede di verifica formale, negli alunni è stato riscontrato un generale atteggiamento positivo: si sono mostrati motivati, incuriositi, collaborativi. Inoltre, in molti alunni tale atteggiamento si è ripetuto spontaneamente nelle attività successive. Le attività che hanno previsto la costruzione di modelli in cartoncino sono state stimolanti e coinvolgenti e hanno facilitato lo sviluppo del modello concettuale.

57 Valutazione dell efficacia del percorso didattico sperimentato in ordine alle aspettative e alle motivazioni del Gruppo di ricerca LSS. Il percorso Dalla realtà al modello geometrico ha soddisfatto positivamente diversi degli obiettivi posti dal gruppo di ricerca-azione LSS; in particolare le attività didattiche svolte con gli alunni hanno sviluppato i seguenti obiettivi: Obiettivi del gruppo LSS Sviluppare i contenuti delle discipline con un approccio fenomenologico-induttivo di tipo laboratoriale e secondo metodi di problem posing e problem solving. Assumere la consapevolezza del valore formativo della matematica in situazioni problematiche (insegnare a ragionare, insegnare ad ascoltare e valutare le argomentazioni dei compagni; argomentare le proprie posizioni e difenderle). Riconoscere l importanza del ruolo dei fattori affettivi nell apprendimento della matematica (percepire nell errore la positività e non il fallimento). Sviluppare attività di geometria, ambito della matematica in cui il gruppo LSS ha individuato un nodo particolarmente critico nel percorso dell apprendimento nei tre ordini di scuola.

58 Valutazione dell efficacia del percorso didattico sperimentato in ordine alle aspettative e alle motivazioni del Gruppo di ricerca LSS. Per quanto riguarda i nodi concettuali, il percorso Dalla realtà al modello geometrico propone delle attività che ruotano intorno al concetto di classificazione, importante per la sua trasversalità nelle discipline logicoscientifiche. In questo percorso il concetto di classificazione è stato espresso attraverso i seguenti obiettivi specifici: Classificare figure geometriche. Individuare criteri di classificazione. Osservare e individuare analogie e differenze geometriche. Osservare e individuare proprietà varianti e invarianti. Rappresentare figure geometriche. Passare dal modello concreto al modello concettuale.