Esercizi sull associazione di variabili categoriche

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1 Dipartimento di Fisica SMID a.a. 004/005 Esercizi sull associazione di variabili categoriche Prof. Maria Antonietta Penco tel //005

2 Esercizio Tra i 40 e 50 anni la probabilità che una donna abbia il cancro al seno è 0.8%. Se una donna ha un cancro al seno la probabilità che il mammogramma sia positivo è del 90%. Se non ha il cancro al seno c è comunque una probabilità del 7% che il mammogramma risulti positivo. a)una donna fa una mammografia e il risultato è positivo (negativo). Calcolare il valore predittivo positivo. b)una donna fa una mammografia e il risultato è negativo. Calcolare il valore predittivo negativo. c) Calcolare LR+ e LR-.

3 a) Consideriamo la seguente tabella: + - malati a b a+b sani c d c+d a+c b+d n=a+b+c+d P(+ m)=a/a+b sensibilità del test P(- m)= b/(a+b) errore falso negativo β sensibilità + β = β =- specificità P(- s)=d/c+d specificità del test P(+ s)=c/c+d errore falso positivo α specificità +α= α=- specificità

4 Supponiamo che la rilevazione precedente si riferisca a una popolazione di 0000 donne: 80 saranno malate e questa è la tabella in base alle probabilità date: + - malati sani a)valore predittivo positivo P(+m)=P(m) P(+ m)=0.8%. 90%=0.007 P(+s)=P(s) P(+ s)=99.%. 7%= P(m +)=7/766=

5 Il valore predittivo positivo vale Possiamo affermare che la donna risultata positiva ha una probabilità di circa il 9% di essere ammalata. Non è poi così grave! b)valore predittivo negativo P(-s)=P(s) P(- s)=99.%. 93%=0.96 P(-m)=P(m) P(- m)=0.8%. 0%= P(s -)=96/934=0.999 Il valore predittivo negativo vale Possiamo affermare che la donna risultata negativa ha una probabilità di circa il 99.9% di essere sana. Poiché il valore predittivo negativo è molto alto, possiamo affermare che l esame mammografico è un buon test di screening.

6 Test di screening è un test che tende soprattutto ad escludere la malattia a chi non l ha. Valore predittivo negativo alto. Test di conferma è un test che tende soprattutto ad avere pochi falsi positivi e quindi a diagnosticare la malattia a chi non l ha solo in pochi casi. Valore predittivo positivo alto.

7 c)lr+ (Likelihood Ratio positivo) P(+ m) è la verosimiglianza di m: L(m +) P(+ s) è la verosimiglianza di s: L(s +) Da cui LR+=L(m +) / L(s +)=sensibilità /(-specificità) Più il valore di LR+ è alto migliore è il test LR- (Likelihood Ratio negativo) P(- m) è la verosimiglianza di m L(m -) P(- s) è la verosimiglianza di s L(s -) Da cui LR-= L(m -) / L(s -) = (-sensibilità) /specificità Più il valore di LR- è basso migliore è il test

8 In definitiva per valutare la bontà di un test si deve osservare il rapporto: LR+/LR- Se il valore è maggiore di 50 il test è buono. Nel nostro caso : LR+/LR-=( )/( )=9

9 Esercizio Un campione di 54 soggetti sani è stato seguito per 5 anni per uno studio di validità del test da sforzo positivo (presenza di anomalie nel tratto ST dell ECG eseguito sotto sforzo)nel predire eventi cardiovascolari (CV). I risultati sono riportati nella tabella seguente CV si Sforzo + a - b totale a+b no c d c+d

10 a) Valutare la capacità predittiva positiva del test P(CV +). Essere positivi al test da sforzo è indice di possibili eventi CV entro 5 anni? Si seguono le due coorti fino alla fine dello studio. La tabella dei risultati è la seguente: Sforzo CV + - totale si 3 34 no

11 La frequenza relativa dei soggetti con evento CV fra quelli risultati positivi al test è: /35=0.5. La frequenza relativa dei soggetti con evento CV fra quelli risultati negativi al test è: 3/379=0.03. Questa differenza tra i due gruppi indica una associazione tra il risultato positivo e l occorrenza dell evento CV?

12 Supponiamo che non ci sia nessuna associazione: H 0 : P(m +)=P(m -) Si costruisce, in base all ipotesi nulla e stimando attraverso i dati osservati la probabilità P(CV), la seguente tabella: Sforzo CV si + 35 (34/54)= =5.05 totale 34 no = = Poiché il campione ha numerosità elevata si può fare un test considerando la variabile χ con grado di libertà.

13 Il valore critico della variabile a un livello di significatività del 5% è χ c =3.84 Il valore sperimentale risulta: con p<0.00 χ s =5.58 Si rifiuta l ipotesi nulla, la differenza osservata di eventi CV tra i soggetti risultati positivi e quelli risultati negativi è significativa per dire che la conoscenza della positività da sforzo implica una connessione con eventi CV.

14 Cerchiamo di stimare l intensità dell associazione tra evento CV e positività al test da sforzo. Sforzo CV + - totale si a b no c d a+c b+d n Studio prospettico Le due coorti di soggetti risultati positivi e negativi al test da sforzo vengono seguite nel tempo per verificare se l evento CV accade o non accade.

15 Confrontiamo la proporzione dei soggetti che presentano l evento CV fra i positivi con la proporzione dei soggetti che presentano l evento CV fra i negativi. Il rapporto tra queste due propozioni è il RISCHIO RELATIVO RR= [(a/(a+c) ]/ [(b/(b+d)]= [(ab+ad)/(ab+ac) ] Guardando i dati della tabella possiamo scrivere: RR=0.56/0.034=4.59 Il rischio di occorrenza dell evento CV è circa 5 volte più alto tra chi è risultato positivo al test da sforzo rispetto ai soggetti risultati negativi.

16 Il RR calcolato è una stima campionaria. Quanto vale l intervallo di confidenza (CL)per il RR? Passiamo dal rappresentare le frequenze di cella in termini di prodotto alla rappresentazione in termini di somma: Sia p =a/a+c e p =b/b+d lnrr=lnp -lnp e V(lnRR)=V(lnp )+V(lnp ) ) ( ) (ln c a a c p n q n p q p p V + = = = ) ( ) (ln d b b d n p q n q p p p V + = = =

17 In definitiva l intervallo sarà dato da : c d lnrr ± z α / a n + b n Cioè: ln 4.59 ±.96 + =.5 ±

18 Il limite inferiore è Il limite superiore è.8. Passando all esponenziale si ottiene: L intervallo[.36,8.84]ad un CL del 95%. Possiamo concludere che, ad un livello di confidenza del 95%, il rischio di avere un evento cardiovascolare fra i soggetti che risultano positivi al test da sforzo è da.36 a 8.84 volte maggiore del rischio fra i soggetti negativi al test da sforzo.

19 Studio retrospettivo Si considerano a+b soggetti ammalati (casi) e c+d soggetti sani (controlli) e si guardano i fattori di esposizione nei due gruppi. ODDS di esposizione fra i casi[(a/(a+b) ]/ [(b/(a+b)]=a/b di esposizione fra i controlli [(c/(c+d) ]/ [(d/(c+d)]=c/d ODDS RATIO OR=[(a/b)/(c/d)]=ad/bc Nel caso di eventi rari RR=OR. Il rischio relativo, cioè il rapporto tra la proporzione degli ammalati tra gli esposti e i non esposti, risulta: RR=[(ab+ad)/(ab+bd) ]~ad/bc in quanto ab risulta trascurabile rispetto agli altri termini.