Università dell Aquila - Ingegneria Prova Scritta di Fisica Generale I - 03/07/2015 Nome Cognome N. Matricola CFU

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1 Università dell Aquila - Ingegneria Prova Scritta di Fisica Generale I - 03/07/2015 Nome Cognome N. Matricola CFU Tempo a disposizione (tre esercizi) 2 ore e 30 1 esercizio (esonero) 1 ora Problema 1 Una massa M = 75 kg è sospesa ad una parete, con inclinazione θ = 60 o rispetto alla direzione orizzontale, tramite una corda elastica di costante di richiamo elastico = 1000 N/m. Il coefficiente di attrito statico tra la massa e la parete vale µ s = 0.5, mentre quello dinamico vale µ d = Vi è un ampio intervallo di valori di allungamenti della corda elastica per cui si ha equilibrio statico. Determinare: a) per quale valore dell allungamento della corda elastica la massa è in equilibrio e l attrito è nullo (1 punti); il minimo ed il massimo allungamento per cui la massa è in equilibrio (2 punti); c) il punto più basso raggiunto nel caso la massa venga rilasciata con velocità nulla dalla posizione di riposo della corda elastica (allungamento nullo) al termine della prima semi-oscillazione lungo il piano inclinato (4 punti); d) il lavoro fatto dalla forza di attrito durante la prima semi-oscillazione discendente e la potenza media dissipata (3 punti). Problema 2 Un argano è schematizzabile come una ruota con due gole che ruota senza attrito sul suo asse. Un carico di massa m c = 100 kg è collegato, tramite una fune inestensibile, al raggio interno R 1 = 40 cm dell argano di momento di inerzia I = 10 kgm 2. Sulla gola esterna, di raggio R 2 = 80 cm dell argano agisce attraverso un altra fune una forza F = 500 N (orizzontale). Supponendo di poter trascurare la massa dei due cavi e che gli stessi abbiano moto senza strisciamento lungo le gole, calcolare: a) la accelerazione (4 punti); la tensione che agisce sulla fune verticale (2 punti); c) la potenza media sviluppata dalla forza se il carico viene sollevato di h = 3 m (4 punti). Problema 3 Una macchina, irreversibile, lavora tra T 1 = 20 o C e T 2 = 300 o C, ed ha un rendimento che è 1/4 della macchina reversibile operante tra le stesse temperature. La macchina compie un ciclo in un tempo t 1 = 2 s. La potenza termica dissipata nella sorgente più fredda vale P 1 = 1100 W. Determinare: a) la potenza meccanica sviluppata ( 5 punti); la variazione di entropia dell universo in una giornata di funzionamento continuo (5 punti).

2 Problema 4 Una nuvola sferica di raggio 2R = 6 m carica ha una densità di carica ρ = C/m 3 uniforme a distanza dal centro tra 0 ed R e diventa di segno opposto ρ, ma sempre uniforme tra R e 2R. Determinare a) la carica Q 2 tra R e 2R (2 punti); il campo elettrico in 4R (1 punto); c) a che distanza dal centro (escludendo il centro e l infinito) il campo è nullo (3 punti); d) La differenza di potenziale tra il bordo della nuvola (2R) ed la regione di transizione (R) (4 punti).

3 SOLUZIONI Problema 1 a) La forza di attrito è nulla quando la componente della forza peso lungo il piano inclinato è bilanciato dalla forza di richiamo elastico: l Mg sin θ = 0 Mg sin θ l = La forza di attrito ha il valore massimo pari a: = 0.64 m f max = µ s Mg cos θ = 184 N Se è diretta verso l alto come la forza di richiamo elastico: l u + f max Mg sin θ = 0 l u = Mg sin θ f max = 0.45 m Mentre se è diretta verso il basso come la forza peso: l d f max Mg sin θ = 0 l d = Mg sin θ + f max = 0.82 m c) Posto lo zero dell energia potenziale gravitazionale nella posizione di riposo della corda elastica: la somma della energia potenziale elastica, energia potenziale gravitazionale iniziale è nulla. Questa energia nulla deve essere pari alla energia potenziale elastica, energia potenziale gravitazionale più l energia dissipata per attrito nel punto più basso. Nel punto a quota minima h l allungamento della corda elastica è l max : Quindi: h = l max sin θ 0 = 1 2 l2 max + Mgh + µ d Mg cos θ l max 1 2 l2 max Mg l max sin θ + µ d Mg cos θ l max = 0 l max = 2Mg sin θ µ d cos θ = 0.94 m Quindi la quota minima risulta: d) h = l max sin θ = 0.82 m

4 Il modulo del lavoro fatto dalla forza di attrito è pari a: W a = µ d Mg cos θ l max = 156 J Il tempo, detto pseudo periodo, che impiega il sistema a fare una mezza oscillazione vale: M τ = π = 0.86 s Quindi la potenza media dissipata vale: P = W a τ = 181 W Problema 2 a) Le due equazioni che rappresentano il moto dell argano e del carico sono: Essendo αr 1 = a, dalla prima: Quindi sommandola all altra equazione: Di conseguenza: F R 2 T R 1 = Iα T m c g = m c a F R 2 T = I a R 1 R1 2 F R 2 m c g = (m c + I )a R 1 R1 2 a = F R 2/R 1 m c g m c + I/R 2 1 = m/s 2 T = m c (g + a) = 992 N c) Il moto della massa m c è uniformemente accelerato e il tempo di salita vale: h = 1 2 at2 s Il lavoro fatto è pari a: t s = 2h/a = 7 s W = F h R 2 R 1 = 3000 J

5 La potenza media: P m = W t s = 430 W Problema 3 a) Il rendimento vale (esprimendo le temperature in ): η = 1 4 (1 T 1 T 2 ) = Il calore ceduto alla sorgente fredda in un ciclo vale: Q 1 = P 1 t 1 = 2.2 kj Quindi essendo: Q 1 + Q 2 Q 2 = η Quindi: Q 2 = Q 1 η 1 = 2.51 kj W = Q 1 + Q 2 = 306 J P = W t 1 = 153 W In un giorno il numero di cicli è: n = t 1 = La variazione di entropia vale: S = Q 1n T 1 Q 2n T 2 = J/ Problema 4 a) La carica totale tra R e 2R vale: Q 2 = ρ 4 3 π[(2r)3 R 3 ] = 7.9 µc

6 La carica tra 0 ed R vale: Q 1 = ρ 4 3 πr3 = 1.1 µc Quindi la carica totale tra 0 e 2R vale: Q = Q 1 + Q 2 = 6.8 µc Quindi per il teorema di Gauss il campo elettrico all esterno della distribuzione (r > 2R) vale: E r (r) = Q 4πε o r 2 Quindi per r = 4R: E(4R) = 424 V/m Cioè punta verso l interno. c) Il campo è nullo nella sfera di raggio r x all interno della regione con carica negativa per cui la carica Q 2 = ρ 4 3 π[(r x) 3 R 3 ] è eguale ed opposta a: Q 2 = Q 1 d) Dal teorema di Gauss per R r 2R: ρ 4 3 π[(r x) 3 R 3 ] = ρ 4 3 πr3 r 3 x = 2R 3 r x = R 3 2 = 3.8 m 4πr 2 E r = Q 1 4πρ r R r 2 dr ε o = Q 1 4/3πρ(r 3 R 3 ) ε o La d.d.p. vale: E r = Q 1 + 4/3πρR 3 4πε o r 2 ρr 3ε o V = 2R R V = Q 1 + Q 1 4πε o E r dr = Q 1 + 4/3πρR 3 4πε o 2R R dr r ρ 2R rdr 2 3ε o R [ 1 ] 2R ρ [ ] r 2 2R r R 6ε = Q 1 o R 4πε o R ρr2 2ε o = 1695 V

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