dizionari alberi bilanciati

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1 dizionari alberi bilanciati

2 dizionari ADT che supportano le seguenti operazioni membership anche detta search insert delete o remove le liste e i BST sono dizionari maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 2

3 dizionari/2 tutte le implementazioni finora considerate hanno almeno un operazione di costo lineare w.c.t. (worst case time, tempo nel caso peggiore) in molti casi un costo lineare è giudicato inaccettabile strutture più efficienti? alberi bilanciati tavole hash maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 3

4 introduzione al bilanciamento nozione intuitiva di bilanciamento tutti i rami di un albero hanno approssimativamente la stessa lunghezza ciascun nodo interno ha molti figli caso ideale per un albero k-ario ciascun nodo ha 0 o k figli la lunghezza di due rami qualsiasi differisce di al più una unità maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 4

5 bilanciamento perfetto un albero binario 63 perfettamente bilanciato di n nodi ha altezza lg 2 n se ogni nodo ha 0 o 2 figli n f = n i +1 n f = # foglie n i = # nodi interni n = n f + n i le foglie sono circa il 50% dei nodi +2 foglie -1 foglia + 1 nodo interno maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 5

6 bilanciamento perfetto/2 facilmente generalizzabile ad alberi di arità k n f = k 1) n + 1 n ( i f = ( k 1) n + k 1 costo di ricerca/inserimento/eliminazione O(log n) ripetuti inserimenti/eliminazioni possono distruggere il bilanciamento degrado delle prestazioni maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 6

7 bilanciamento in altezza un albero è bilanciato in altezza se le altezze dei sottoalberi sinistro e destro di ogni nodo differiscono di al più un unità gli alberi bilanciati in altezza sono detti alberi AVL da Adel son-vel skii & Landis, primi proponenti maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 7

8 fattore di bilanciamento fattore di bilanciamento (FDB): altezza sottoalbero dx altezza sottoalbero sx in un albero bilanciato in altezza FDB 1, per ogni nodo maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 8

9 alberi AVL? maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 9

10 alberi di Fibonacci alberi AVL col minimo numero di nodi (fissata l altezza) h F h AVL h maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 10

11 alberi di Fibonacci/2 alberi di Fibonacci alberi bilanciati di altezza i col minimo numero di nodi AVL i+2 AVL i AVL i+1 Relazioni AVL i +2 = AVL i + AVL i F i +2 = F i + F i +1 AVL i = F i +2 1 maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 11

12 alberi di Fibonacci/3 un albero di Fibonacci ha tutti i fattori di bilanciamento dei nodi interni pari a ± 1 è l albero bilanciato più vicino alla condizione di non bilanciamento un albero di Fibonacci con n nodi ha altezza < 1.44 lg(n +2) dimostrato da Adel son-vel skii & Landis un AVL di n nodi ha altezza Θ(lg n) maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 12

13 inserimento in AVL 1. inserire nuovo nodo come in un BST classico il nuovo nodo diviene una foglia 2. ricalcolare i fattori di bilanciamento che sono mutati in seguito all inserimento solo nel ramo interessato all inserimento (gli altri fattori non possono mutare), dal basso verso l alto 3. se nel ramo appare un fattore di bilanciamento pari a ±2 occorre ribilanciare tramite rotazioni maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 13

14 rotazioni negli AVL casi possibili DD: inserimento nel sottoalbero destro di un figlio destro (del nodo che si sbilancia) SD: inserimento nel sottoalbero sinistro di un figlio destro (del nodo che si sbilancia) DS: inserimento nel sottoalbero destro di un figlio sinistro (del nodo che si sbilancia) SS: inserimento nel sottoalbero sinistro di un figlio sinistro (del nodo che si sbilancia) maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 14

15 rotazione semplice (caso DD) gli antenati di P non sono interessati all inserimento perché in seguito alla rotazione recuperano il loro fattore di bilanciamento precedente maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 15

16 rotazione doppia (caso SD) P P P P h h 0 Q h 0 R h -1 h+1 Q h -1 h +1 h-1 h Q h h R +2 0 Q h-1 h h P -1 h h-1 h 0 h Q gli antenati di P non sono interessati all inserimento maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 16

17 rappresentazione nodo class AvlNode { Comparable element; AvlNode left; AvlNode right; int height; AvlNode(Comparable el) { this(el, null, null); } AvlNode(Comparable el, AvlNode lt,avlnode rt) { element = el; left = lt; right = rt; height = 0; } } maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 17

18 algoritmo inserimento /1 AvlNode insert(comparable x, AvlNode t) { if(t == null) t = new AvlNode(x, null, null); else if(x.compareto(t.element) < 0) { t.left = insert(x, t.left); if(height(t.left) - height(t.right) == 2) if(x.compareto(t.left.element) < 0) t = rotatewithleftchild(t); // SS else t = doublewithleftchild(t); // DS } else maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 18

19 algoritmo inserimento /2 else if(x.compareto(t.element) > 0) { t.right = insert(x, t.right); if(height(t.right) - height(t.left) == 2) if(x.compareto(t.right.element) > 0) t = rotatewithrightchild(t); // DD else t = doublewithrightchild(t); // SD } else ; // Duplicate; do nothing t.height=max(height(t.left),height(t.right))+1; return t; } restituisce la nuova radice maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 19

20 rotazione semplice (SS) AvlNode rotatewithleftchild(avlnode k2) { AvlNode k1 = k2.left; k2.left = k1.right; k1.right = k2; k2.height = max(height(k2.left), height(k2.right)) + 1; k1.height = max(height(k1.left), k2.height ) + 1; return k1; } maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 20

21 rotazione doppia (SD) AvlNode doublewithrightchild(avlnode k1){ k1.right=rotatewithleftchild(k1.right); return rotatewithrightchild(k1); } maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 21

22 inserimento negli AVL/costo passo 1: proporzionale all altezza dell albero Θ(lg n) passo 2: proporzionale all altezza dell albero Θ(lg n) passo 3: O(lg n) in totale: Θ(lg n) maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 22

23 cancellazione negli AVL 1. cancellare nodo come in un BST classico 2. ricalcolare i fattori di bilanciamento che sono mutati in seguito alla cancellazione solo nel ramo interessato all inserimento (gli altri fattori non possono mutare), dal basso verso l alto 3. per ogni nodo con fattore di bilanciamento pari a ±2 occorre operare una rotazione semplice o doppia O(lg n) rotazioni nel caso peggiore maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 23

24 rotazione semplice eliminazione foglia da sottoalbero sinistro di P il figlio destro ha FDB +1; a), b) e c) il figlio destro ha FDB 0; d), e) ed f) maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 24

25 rotazione doppia eliminazione foglia da sottoalbero sinistro di P FDB(Q) = 1 e FDB(R)= 1; g), h) ed i) rotazione R-Q (P resta a +2, R e Q vanno a +1) e rotazione P-R maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 25

26 rotazione doppia/2 eliminazione foglia da sottoalbero sinistro di P FDB(Q) = -1, FDB(R)=+1, j), k) ed l) rotazione R-Q (P resta a +2, R va a +2 e Q va a 0) e rotazione P-R maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 26

27 cancellazione negli AVL/costo nel caso peggiore occorre effettuare rotazioni (semplici o doppie) lungo tutto il ramo passo 1: proporzionale all altezza dell albero Θ(lg n) passo 2: proporzionale all altezza dell albero Θ(lg n) passo 3: Θ(lg n) Θ(1) in totale: Θ(lg n) maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 27

28 cancellazione negli AVL/esempio animazione tratta dal sito Web maggio 2002 ASD Alberi bilanciati 28