Intervalli di confidenza

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1 Itrvalli di cofidza Probabilità tatistica I - a.a. 04/05 - Itrvalli di cofidza Calcolata la stima utual di u aramtro icogito, è ossibil associar a tal stima ua valutazio dll rror commsso? Esist u itrvallo ch coti il vro valor dl aramtro icogito co alta robabilità? Esmio: s 50 votati su 000 hao risosto sì ad u qusito rfrdario, è ossibil dir, co lvata robabilità, ch la rctual di votati ch ha risosto sì al qusito rfrdario è 5% ± %? L itrvallo (50%, 54%, o 5% ± % è dtto itrvallo di cofidza. Il livllo di cofidza (i gr dotato co - è la robabilità ch il valor vro dl aramtro dlla oolazio cada ll itrvallo. I gr corrisod al 0%, 5% o % rtato i livlli di cofidza usati soo 90%, 95% o 99%. Probabilità tatistica I - a.a. 04/05 - Itrvalli di cofidza

2 Esmio : U rsosabil di ricrch di mrcato vuol stimar il umro mdio di ai di scuola frqutati dai rsidti di ua crta città. lzioa rtato 90 uità a caso trova ch ua stima utual di tal umro mdio è 8.4 ai. ado ch la dviazio camioaria (ossia la rcisio dlla stima è.8 dtrmiar u itrvallo di cofidza al 95%. µ N(0, µ P = 0.95 P.96 µ.96 = ±.96 = 8.4 ± 0.37 = 90 ( 8.08, 8.77 Probabilità tatistica I - a.a. 04/05 - Itrvalli di cofidza 3 oolazio co variaza ota ( dov z è la mdia camioari a di u camio casual di taglia r la mdia dlla oolazio è dato da : / Mdia camioar ia: variaza ota z P /, u itrvallo di cofidza di cofficit ( Z < z = co Z N( 0,. / µ z / stratto da ua Esrcizio: i vuol stabilir s il cofficit di combustio di u rollt solido usato r otziar u sistma di fuga r u quiaggio aro è 50 cm al scodo. La dviazio stadard di tal cofficit di combustio è ari a cm/s. E stato slzioato u camio casual di taglia 5 si è trovato ch la mdia camioaria è 5.3 cm/s. Costruir u itrvallo di cofidza dl 95% r la mdia dlla oolazio iotizzado ch la oolazio sia gaussiaa. Esrcizio: Nll srcizio rcdt stabilir la taglia dl camio casual da strarr s si dsidra ch la mdia camioaria diffrisca dalla mdia dlla oolazio r mo di.5 cm/s co u cofficit di cofidza dl 95%. Probabilità tatistica I - a.a. 04/05 - Itrvalli di cofidza 4

3 è la mdia camioaria di u camio casual di taglia ormal co variaza icogita mdia dlla oolazio t /, co T T studt co gradi, è dato da : µ t dov è la dviazio stadard camioaria, camioi soo : 9,8 8,8 8,5 7,5 Mdia camioar ia: variaza icogita 7,6 5,4 6,7 5,4 di librtà -. t /, /, P T stratto da u itrvallo di cofidza di cofficit 5,8 9,5 4,,7 3,6,9,9,4 itrvallo di cofidza al 95% r la mdia dlla oolazio. ( < t,4 0, /,,4 ua oolazio ( = Esrcizio : U articolo l gioral Matrials Egirig (989 dscriv i risultati i assuma ch i camioi rovgao da ua oolazio ormal.dtrmiar u 7,9 r la di u tst di adsio su 0 camioi di uacrta lga. I cofficiti di fallimtodi 0 Probabilità tatistica I - a.a. 04/05 - Itrvalli di cofidza ,7 0, 5,8,4 5,4,4 4,,4 3,6,9,9,9,4,7,4 3,6 8,8 4, 7,5 5,4 5,4 5,4 9,5 5,8,7 6,7,9 7,6,4 8,5 0, 9,5 7,9 9,8 Aalisi di dati co Excl 7,5 0,575 3,65 6,75 Altro Mdia 3,57 Error stadard 0,88 Mdiaa 3,5 Moda,4 Dviazio stadard 3,7099 Variaza camioaria 3,768 Curtosi -0,8968 Asimmtria 0,0699 Itrvallo,3 Miimo 7,5 Massimo 9,8 omma 7,4 Cotggio 0 Più grad(7 5,4 Più iccolo(7,4 Livllo di cofidza(95,0%,73305 Probabilità tatistica I - a.a. 04/05 - Itrvalli di cofidza 6

4 cofficit dov χ P è la variaza camioaria di u camio casual di taglia /, Var iaza camioar ia: o. gaussiaa ( P ( χ < χ ( χ < χ = co χ chi quadro co gradi di librtà -. /, r la variaza dlla oolazio è dato da :, /,, = χ /, (- (- stratto da ua oolazio ormal co variaza icogita, u itrvallo di cofidza di Esrcizio: i suoga ch lo sssor dl filamto di ua lamadia sia ua carattristica critica. Pr cotrollar il rocsso di ralizzazio vgoo riodicamt samiati lotti di 0 filamti aa ralizzati r ciascu lotto vgoo misurati gli sssori di filamti. i assuma ossrvata la sgut ralizzazio:,05,07, 0,9 0,98,07,,0 0,98 0,99,0,,05 0,99 0,94,05 0,99, 0,97, rlativa ad u camio casual ormal. i dtrmii u itrvallo fiduciario di cofficit 0,95 r la mdia la dviazio stadard dl camio. Probabilità tatistica I - a.a. 04/05 - Itrvalli di cofidza , 0,97 0,9 0,98 0,98 0,98,07 0,99, 0,99,0 0,99 0,98,0 0,99,0,0,05,,05,05,05 0,99,07 0,94,07,05, 0,99,,, 0,97,,, Aalisi di dati co Excl 7,5 0,575 3,65 6,75 Altro Mdia,0335 Error stadard 0,04054 Mdiaa,035 Moda,05 Dviazio stadard 0,0685 Variaza camioaria 0,00395 Curtosi -,039 Asimmtria -0,03437 Itrvallo 0, Miimo 0,9 Massimo, omma 0,67 Cotggio 0 Livllo di cofidza(95,0% 0,0945 Probabilità tatistica I - a.a. 04/05 - Itrvalli di cofidza 8

5 ˆ è la da ua oolazio di u crto tio, u itrvallo di cofidza di cofficit ( dov z roorzio di ossrvazioi i u camio casual di taglia r la / roorzio vra è dato da : ˆ z / P Pr ctual camioar ia ( ˆ ˆ ( ˆ ˆ ˆ z ( Z < z = co Z N (0,. / / stratto Esrcizio: I u camio casual di 85 albri motori di automobili, 0 hao la surfici i uscita iù ruvida dll scifich richist. i costruisca u itrvallo di cofidza al 95% r la rctual di motori difttosi. Quato dv ssr largo il camio s si dsidra ch la rctual stimata diffrisca da qulla vra r mo di 0.05 co u cofficit di cofidza ari al 95%? Probabilità tatistica I - a.a. 04/05 - Itrvalli di cofidza 9.. ia Assuzioi ia buzio simil alla variabil alatoria L variabili ia,, la mdia dl camio Poichè E( di taglia ( torma dl limit ctral Du camioi casuali buzio simil alla variabil alatoria u camio casualstratto dalla oolazio u camio casualstratto dalla soo ididti. camioaria dl camio di. = µ µ V ( Z = N( µ, N( µ,. taglia = µ µ N(0, oolazio co distri -, la quatità la mdia camioaria Probabilità tatistica I - a.a. 04/05 - Itrvalli di cofidza 0 co distri -

6 ia buzio simil alla variabil alatoria camio casual stratto alatoria mdia camioaria dl camio cit dov z, siao ( Diffrz mdi cami oar i : variaz ot N( µ,. ot. ia z r la / P u camio casual stratto dalla oolazio co dalla oolazio i assuma la mdia di taglia diffrza dll mdi N( µ, sia camioaria dl camio di µ µ µ µ risulta ( Z < z = co Z N( 0,., co distribuzio simil alla variabil ididt da ch l variaz taglia.u itrvallo di cofidza di coffi - z / Probabilità tatistica I - a.a. 04/05 - Itrvalli di cofidza distri - / / Esrcizio: Ua ditta roduc du diffrti tii di lamadi ch vgoo sottoost a u tst. U camio di 35 lamadi dlla I sci ha fuzioato r 408 or i mdia mtr u camio di 45 lamadi dlla II sci ha fuzioato r 396 or i mdia. i costruisca u itrvallo di cofidza al 95% r la diffrza dll mdi sado ch l risttiv variaz dll du oolazioi (ormali soo 5 0 or. u la.. ia Assuzioi ia alla variabil alatoria alla variabil alatoria L variabili ia,, la di taglia. si combiao l variaz camioari la variabil alatoria Poichè E( u camio casual stratto dalla oolazio u camio casual stratto soo ididti. mdia camioaria dl camio di N( µ,, = = µ µ V ( =, la quatità ( µ µ Z = N (0, ( = ( icogita. N( µ,, = icogita. taglia dalla oolazio, si otti uo stimator di co distribuzio simil co distribuzio simil la mdia camioaria dl camio - ( µ µ T = ha distribuzio T - tudt co gradi di librtà Probabilità tatistica I - a.a. 04/05 - Itrvalli di cofidza

7 Diffrz mdi cami oar i : variaz i cogi t uguali ia simil alla variabilalatoria casual stratto dalla oolazio co distribuzio simil alla variabilalatoria N( µ,. o.u itrvallodi µ µ risulta dovt, /, studt co i assuma risttivamt la mdia la variaza camioaria dl camiodi taglia risttivamt la mdia la variaza camioaria dl camio di taglia t /, cofidza di cofficit u camio casualstratto dalla oolazioco distribuzio - gradi ( < t P T = N( µ, sia /, di librtà = ( [( ( ] ididt da µ µ, ch la variaza sia icogita. ia - r la diffrza dll mdi t u camio, co T variabilalatoria di T - Probabilità tatistica I - a.a. 04/05 - Itrvalli di cofidza 3 /, Esrcizio: i stao aalizzado du catalizzatori r dtrmiar com ifluzao il rodotto mdio di u rocsso chimico. Il rimo catalizzator è qullo i uso, ma ach il scodo otrbb ssr imigato, sorattutto rché è iù coomico, scialmt s o modifica il rodotto mdio dl rocsso i sam. Vi ffttuato u tst i risultati soo I cataliz. II cataliz. 9,5 94,8 9,8 95,39 9,79 89,07 94,7 89, 89,9 90, , 97,9 97,04 9,07 9,75 C è ua diffrza sigificativa? I catalizzator II Catalizzator Mdia 9,3 Error stadard 0,85406 Mdiaa 9,645 Moda #N/D Dviazio stadard,455 Variaza camioaria 5, Curtosi -,5064 Asimmtria 0,08059 Itrvallo 6,3 Miimo 89,07 Massimo 95,39 omma 737,04 Cotggio 8 Livllo di cofidza(95,0%,0945 Mdia 8,89774 Error stadard,0444 Mdiaa 9,9 Moda #N/D Dviazio stadard 3,69094 Variaza camioaria 004,35 Curtosi 7,8093 Asimmtria -,788 Itrvallo 93,40806 Miimo 3,78944 Massimo 97,9 omma 655,89 Cotggio 8 Livllo di cofidza(95,0% 6,4947 Probabilità tatistica I - a.a. 04/05 - Itrvalli di cofidza 4

8 Raor ti tra var iaz cami oar i iaow Y w u. Allorail raorto DITRIBUZIONE DI FIHER Dfiizio du variabilialatoriididti co distribuziochi- quadrodi gradidi librtà W/w F = ha fuziodsitàdllasgutforma: Y/u w/ w u w ( w/ Γ x u ff ( x =, x > 0 ( u w/ w u Γ w x Γ u f si dicchla variabilalatoriaf ha distribuziodi Fischr co gradidilibrtàw u., w, u =, dov f, u, w P( F > f, u, w = f, u, w Probabilità tatistica I - a.a. 04/05 - Itrvalli di cofidza 5.. ia Poichè la variabil alatoria ( Assuzioi ia alla variabil alatoria alla variabil alatoria L variabili ia di taglia.,, la ha distribuzio F - u camio casual stratto dalla oolazio u camio casual stratto soo ididti. mdia camioaria dl camio di N( µ,, icogita. ( N( µ,, è chi - quadro co gradi di librtà ( F ( ( Fishr co gradi di librtà icogita taglia è chi - quadro co gradi di librtà /( = = /(, dalla oolazio. la mdia camioaria dl (, allora la variabil alatoria co distribuzio simil co distribuzio simil camio - la variabil alatoria Probabilità tatistica I - a.a. 04/05 - Itrvalli di cofidza 6

9 ia buzio camio casual stratto dalla oolazio co distribuzio simil alla alatoria la variaza camioaria dl camio di taglia di cofficit dov f P, simil alla siao icogit. ia ( F < f /,, /,,. Raor ti tra var iaz cami oar i N( µ,. ( u camio casual stratto dalla oolazioco distri - variabil alatoria r il = F i assuma la variaza camioaria dl camio di taglia raorto tra l variaz / f /,, P ( F < f /,, N( µ, sia ididt da f = f,.u itrvallo /,, /,, ch l variaz risulta di cofidza ha distribuzio di Fischr co gradi di librtà Probabilità tatistica I - a.a. 04/05 - Itrvalli di cofidza 7 u variabil Esrcizio: oo stat codott dll aalisi sulla quatità di calcio rst i u cmto stadard i u cmto drogato co iombo. I risultati hao mostrato ch livlli ridotti di calcio idicao ua dimiuzio dl mccaismo di idratazio l cmto. I tal caso bisogrbb itrvir co iizioi di acqua i vari uti dlla struttura di cmto. I 0 camioi di cmto stadard si è rgistrata ua rctual mdia di calcio ari al 90%, co dviazio stadard stimata dl 5%, mtr i 5 camioi di cmto trattato co iombo la rctual mdia di calcio è stata stimata ari al 87.0% co ua dviazio stadard stimata dl 4.0%. Assumdo ch la distribuzio di calcio l cmto stadard i qullo drogato sia ormal co stssa dviazio stadard, costruir u itrvallo di cofidza dl 95% r la diffrza dll mdi dll du oolazioi. Esrcizio: Ua comagia roduc motori r turbi. Ua dll orazioi cosist lla smrigliatura di ua articolar surfici ch trmia su u comot i lga al titaio. Possoo ssr imigat du diffrti rocdur r la smrigliatura i mdia ss roducoo lo stsso cofficit di rugosità dll surfici. L iggr rsosabil dl rogtto vuol slzioar la rocdura ch roduc mo variabilità lla rugosità dll surfici trattat. Pr qusto motivo valuta r camioi ottuti dal rimo rocsso la dviazio stadard dl cofficit di rugosità (5. mm fa lo stsso r 6 camioi ottuti dal scodo rocsso (4.7mm. Cosa uò ddurr l iggr? Probabilità tatistica I - a.a. 04/05 - Itrvalli di cofidza 8