La probabilitaá CAPITOLO 1. Obiettivi MATEMATICA E REALTAÁ. definire e calcolare un valore di probabilitaá

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "La probabilitaá CAPITOLO 1. Obiettivi MATEMATICA E REALTAÁ. definire e calcolare un valore di probabilitaá"

Transcript

1 CAPITOLO La probabiitaá Obiettivi definire e cacoare un vaore di probabiitaá appicare i teoremi su cacoo dee probabiitaá : ± probabiitaá contraria ± probabiitaá totae ± probabiitaá composta comprendere i concetto di variabie aeatoria discreta MATEMATICA E REALTAÁ I probemi reai che siamo chiamati a risovere ci portano in moti casi a trovare un risutato ben definito; se, per esempio, una concessionaria ci dice che i costo de'auto che ci piace, scontata de'8%, eá di E 000, sappiamo trovare i costo di istino C de'auto risovendo una sempice equazione: C 8 C ˆ 000 da cui C ˆ In tutti questi casi si para di probemi di tipo deterministico. Ma a vita moderna ci pone sempre piuá spesso di fronte a situazioni in cui eá impossibie sapere quae sia i risutato di un probema. Per esempio, se vogiamo investire una somma ne mercato azionario, non soo non possiamo sapere a priori quae sia i titoo che daraá i rendimento migiore, ma potremmo anche rischiare di perdere de denaro; nei giochi come a Rouette o i Lotto, non possiamo sapere su quae numero conviene puntare; nee eezioni nessuno ha a certezza di vincere, si possono soo fare dei sondaggi pre-eettorai per avere dee indicazioni (ma quante vote e previsioni sono state camorosamente smentite?); nee produzioni aziendai, infine, si eseguono dei controi a campione sui pezzi prodotti, senza peroá avere a certezza che ne'intera produzione non ci siano pezzi difettosi. In tutti questi casi siamo di fronte a modei di tipo non deterministico nei quai e decisioni che prendiamo e e risposte che diamo si basano da una parte sua quantitaá e quaitaá dee informazioni in nostro possesso (e in questi casi 'indagine statistica ci aiuta motissimo), da'atra sue reai possibiitaá che hanno acuni fatti di accadere; in atre paroe siamo in grado di dare dee risposte ai probemi soo in termini di probabiitaáesprimendo con una Tema - Cap. : LA PROBABILITA Á 75

2 vautazione numerica quanto grande sia a possibiitaá che una certa situazione si verifichi. Per esempio, ne gioco Win for ife qua eá a possibiitaá di azzeccare 0 numeri su 0 e anche i numerone? Conviene giocare a questo gioco? La risposta, come a soito, eá a termine de capitoo.. IL CONCETTO DI PROBABILITA Á Per comprendere i significato che dobbiamo attribuire aa paroa probabiitaá, dobbiamo prima imparare i significato di acuni termini. Chiamiamo esperimento aeatorio ogni fenomeno de mondo reae ae cui manifestazioni puoá essere associata una situazione di incertezza. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 67 L'ESPERIMENTO ALEATORIO Sono per esempio esperimenti aeatori: i ancio di un dado 'estrazione dei numeri dea Rouette, dea tomboa o de Lotto una interrogazione nea quae a sceta deo studente avviene per sorteggio un sondaggio a sperimentazione di un nuovo farmaco 'immissione su mercato di un nuovo prodotto. Un esperimento aeatorio puoá avere diversi risutati, tutti peroá ne'ambito di un certo insieme; se giochiamo aa Rouette, sappiamo che ad ogni giro dea ruota puoá uscire un numero compreso fra 0 e 6 e che i numero, se non eá o zero, puoá essere pari o dispari oppure rosso o nero; non eá quindi possibie che 'esito di questo esperimento aeatorio sia i numero 8 o che i numero uscito sia giao. L'insieme dei possibii risutati di un esperimento aeatorio si dice spazio campionario e viene di soito indicato con. LO SPAZIO CAMPIONARIO Per esempio: ne ancio di un dado, o spazio campionario eá dato da'insieme ˆ f,,,, 5, 6g ne ancio di una moneta, o spazio campionario eá 'insieme ˆ ft, Cg dove T sta per Testa e C sta per Croce ne'estrazione di una paina da un'urna che ne contiene di giae (G), rosse (R) e bu (B), o spazio campionario eá 'insieme ˆ fg, R, Bg ne gioco dea tomboa, o spazio campionario eá 'insieme dei numeri naturai da a 90 ne'estrazione deo studente in una interrogazione di matematica, o spazio campionario eá 'insieme degi studenti dea casse. Quaunque evento aeatorio ha sempre un soo risutato che puoá confermare o meno e previsioni; per esempio, se anciamo un dado e, prima de ancio, facciamo 'affermazione «esce un numero pari» possono capitare due cose: 'esecuzione de'esperimento aeatorio eá favorevoe a quanto affermato se i dado presenta a faccia con i numeri,, o 6, eá sfavorevoe se a faccia eá quea dei numeri,, Tema - Cap. : LA PROBABILITA Á

3 Ad ogni esperimento aeatorio si puoá quindi associare, prima de'esecuzione de'esperimento, una proposizione aperta i cui dominio eá o spazio campionario di que'esperimento. Se infatti indichiamo con x 'esito de'esperimento, a frase «esce un numero pari» eá equivaente aa proposizione aperta «x eá un numero pari». Diamo aora questa definizione. Chiamiamo evento aeatorio una proposizione aperta reativa ad un esperimento aeatorio, i cui insieme di veritaá eá un sottoinsieme deo spazio campionario. In particoare si para di evento eementare se 'insieme di veritaá dea proposizione coincide con uno soo degi eementi deo spazio campionario. L'EENTO ALEATORIO Sono per esempio eventi aeatori: ne'estrazione di un numero dea tomboa: «esce un numero pari», «esce un numero minore di 0», «esce i 5»; quest'utimo eá poi un evento eementare ne'estrazione di una carta da un mazzo di carte da gioco: «esce una carta di quadri», «esce una figura»; gi eventi «esce i re di cuori», «esce i di picche» sono, in particoare, eventi eementari. Ne seguito, indicheremo un evento aeatorio con una ettera maiuscoa de'afabeto e, vista a corrispondenza fra un evento ed i suo insieme di veritaá, rappresenteremo con a stessa ettera anche tae insieme; ne ancio di un dado scriveremo per esempio A : «esce un numero pari» e A rappresenteraá anche 'insieme di veritaá f,, 6g. ra tutti i possibii eventi di un esperimento aeatorio ce ne sono due di tipo particoare: n 'evento che ha come insieme di veritaá 'intero spazio campionario e che, poicheâ si verifica sempre, viene detto evento certo n 'evento che ha come insieme di veritaá un insieme vuoto e che, visto che non si verifica mai, viene detto evento impossibie. Per esempio, ne ancio di un dado: sono eventi certi: «esce un numero intero minore di 7», «esce un numero positivo» sono eventi impossibii: «esce i numero 8», «esce un numero di due cifre». ogiamo adesso vedere come sia possibie vautare a possibiitaá che un evento aeatorio ha di reaizzarsi; a questo scopo: chiamiamo probabiitaá di un evento E un numero che esprime una stima dea possibiitaá che esso si verifichi. Le paroe chiave dea probabiitaá: esperimento aeatorio spazio campionario evento aeatorio LA DEINIZIONE DI PROBABILITAÁ La vautazione di questa stima puoá essere fatta in diversi modi, ciascuno associato ae diverse tipoogie di esperimenti aeatori. Nei prossimi paragrafi ci occuperemo di quegi esperimenti che sono in genere associati ae estrazioni come, per esempio, a Rouette, a tomboa, i Lotto, i ancio dei dadi; soo verso a fine de'unitaá ci occuperemo di atri tipi di esperimenti egati maggiormente aa frequenza con cui gi eventi si verificano (come per esempio 'efficacia di un particoare farmaco nea cura di una maattia o a possibiitaá che un certo individuo sia ancora in vita a'etaá di 80 anni); concuderemo infine con quegi esperimenti nei quai eá i soggetto che, con e informazioni che possiede e con a propria percezione dea situazione, esprime una stima personae. Tema - Cap. : LA PROBABILITA Á 77

4 . LA DEINIZIONE CLASSICA Per vautare in modo corretto a probabiitaá di un evento si devono tenere presenti acune considerazioni che riguardano sostanziamente e condizioni nee quai viene eseguito 'esperimento. Per esempio, ne'esperimento aeatorio che consiste ne'estrazione dei numeri dea Tomboa, occorre essere a conoscenza dea composizione de'urna (cioeâ quanti e quai numeri contiene), occorre che i dischetti siano tutti uguai ne oro aspetto fisico (a parte i numero impresso), occorre che i dischetti vengano ben mescoati prima di ogni estrazione, occorre che chi esegue 'estrazione non possa vedere i contenuto de'urna. Tutte queste ipotesi portano ad introdurre un modeo secondo i quae ogni numero dea tomboa ha e stesse possibiitaá di essere estratto di un atro; pareremo aora di equiprobabiitaá ne'estrazione. Se un evento eementare ha a stessa possibiitaá di accadere di un atro, diremo che gi eventi sono equiprobabii. Ad esempio, anche 'estrazione di carte da un mazzo da gioco regoare eá un modeo di equiprobabiitaá, cosõá come i ancio di un dado o di una moneta non truccati, o come quaunque fenomeno che abbia a che fare con estrazioni di tipo casuae. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 68 In quest'ottica si concepisce a probabiitaá di un evento come i rapporto fra i numero f dei casi ad esso favorevoi ed i numero n degi eventi eementari deo spazio campionario, ne'ipotesi che questo sia un insieme finito. Si pone cioeá p E ˆ f n CosõÁ, per esempio, diremo che: ne'estrazione de primo numero di una tomboa a probabiitaá che esca un numero di una soa cifra eá 9 90 ˆ percheâ ci sono 9 dischetti che hanno un 0 numero di una soa cifra su un numero compessivo di 90; ne ancio di un dado a probabiitaá che esca 5 eá percheâ uno soo eá i caso 6 favorevoe a'evento sui 6 possibii, a probabiitaá che esca un numero minore di eá 6 ˆ percheâ sono i casi favorevoi a'evento (puoá uscire sia che che ) sui 6 possibii; a probabiitaá che esca 5 su una ruota particoare nee estrazioni de otto eá percheâ vi eá un caso favorevoe a'evento sui 90 numeri totai. 90 Poiche f eá un numero naturae che eá sempre minore o uguae a n, a probabiitaá di un evento E eá un numero reae compreso fra 0 e ; si ha cioeá che 0 p E In particoare, 'evento impossibie ha probabiitaá 0 (i numero dei casi favorevoi eá 0); 'evento certo ha probabiitaá (i numero dei casi favorevoi eá n). Per esempio, a probabiitaá che ne'estrazione di un numero dea tomboa esca 9 eá zero; 'evento «esce 9» eá un evento impossibie. La probabiitaá che, neo stesso esperimento, esca un numero compreso tra e 90 eá e tae evento eá certo. 78 Tema - Cap. : LA PROBABILITA Á

5 ESEMPI. Cacoiamo a probabiitaá che abbiamo di ottenere testa ne ancio di una moneta. L'evento eá E: «viene testa», o spazio campionario eá ˆfT, Cg, dunque n ˆ. Possiamo ritenere che a possibiitaá di ottenere testa sia uguae a quea di ottenere croce, cioeá che gi eventi eementari siano uguamente possibii; infatti se a moneta non eá truccata non esiste un eemento che ci faccia pensare i contrario. L'evento E: «viene testa» ha un soo caso favorevoe, quindi f ˆ. La probabiitaá di questo evento eá dunque: p E ˆ f n ˆ Spesso a probabiitaá di un evento si esprime in termini percentuai; ne nostro caso, essendo ˆ 0,5, abbiamo una probabiitaá de 50%.. Un sacchetto contiene 5 confetti, di cui sono a cioccoato e ae mandore. Quae probabiitaá abbiamo di estrarre, a primo tentativo, un confetto a cioccoato? Se i confetto estratto eá proprio a cioccoato e o mangiamo, quae probabiitaá abbiamo di estrarne successivamente ancora uno a cioccoato? Indicando con C, C, C ed M, M rispettivamente i tre confetti a cioccoato e i due ae mandore, o spazio campionario eá ˆfC, C, C, M, M g, quindi n ˆ 5; inotre possiamo supporre tutti i casi eguamente possibii. L'evento E: «estraiamo un confetto a cioccoato» ha tre casi favorevoi percheâ questo eá i numero dei confetti a cioccoato, quindi f ˆ. Aora a probabiitaá di questo evento eá p E ˆ f n ˆ ˆ 0,6 pari a 60% in termini percentuai 5 Supponendo di aver davvero toto da sacchetto un confetto a cioccoato, o spazio campionario diventa ˆfC, C, M, M g, quindi n ˆ. L'evento eá ancora o stesso E: «estraiamo un confetto a cioccoato», ma questa vota i casi favorevoi sono percheâ ci sono ancora due confetti a cioccoato ne sacchetto, quindi: p E ˆ f n ˆ ˆ ˆ 0,5 pari a 50% in termini percentuai. Un mazzo di carte da poker eá formato da carte: per ogni seme abbiamo 'asso, e carte da sette a dieci, i fante, a donna e i re. Cacoiamo a probabiitaá che estraendo una carta, questa sia: a. un asso b. una figura Supposto poi che in questa estrazione sia uscito i sette di cuori, cacoiamo di nuovo e precedenti probabiitaá per una seconda estrazione. a. I casi favorevoi a'evento sono, percheâ un mazzo di carte da poker contiene assi, dunque p E ˆ f n ˆ ˆ ˆ 0,5 pari a,5% in termini percentuai 8 b. Le figure sono in totae, quindi p E ˆ ˆ pari a 7,5%. 8 Per rispondere aa terza domanda osserviamo che, dopo 'estrazione de sette di cuori, i mazzo ha carte mentre i casi favorevoi agi eventi a. e b. non sono cambiati; quindi: a. p E ˆ pari a,90% b. p E ˆ pari a 8,7% Tema - Cap. : LA PROBABILITA Á 79

6 . Cacoiamo a probabiitaá che, ne'estrazione dei numeri de Lotto, i primo estratto sua ruota di enezia sia compreso tra 0 e 9, estremi incusi. I casi possibii sono 90 percheâ tanti sono i numeri che sono contenuti ne'urna e tutti sono uguamente possibii. I casi favorevoi a'evento E: «i numero estratto eá compreso fra 0 e 9, estremi incusi» sono 0, infatti sono 0 i numeri compresi fra quei considerati, quindi p E ˆ f n ˆ 0 90 ˆ ˆ 0, pari a circa % in termini percentuai 9 ERIICA DI COMPRENSIONE. Due eventi eementari si dicono equiprobabii se: hanno o stesso vaore di probabiitaá hanno a stessa possibiitaá di verificarsi 'esperimento viene condotto senza infuenze da'esterno.. Una scatoa contiene 8 paine rosse, bianche e 6 giae indistinguibii fra oro. La probabiitaá che estraendone una questa sia giaa eá uguae a: 6 un atro vaore non specificato.. Si estrae una carta da un mazzo di 5 e si vede che eá un re di cuori; se a carta non viene rimessa ne mazzo, a probabiitaá che ad una seconda estrazione venga una carta di cuori eá: un atro vaore non specificato.. I TEOREMI SULLA PROBABILITA Á. L'evento contrario e 'evento unione Quando gi eventi sono piuá compessi di quei che abbiamo visto nei precedenti esempi, a vautazione di un vaore di probabiitaá non eá spesso immediata. Consideriamo, per esempio, un'urna che contiene paine bianche, nere e rosse; quando si para di "urna" si intende un contenitore da quae si possono estrarre degi oggetti senza poteri vedere prima de'estrazione. Come si puoá vautare a probabiitaá che estraendo successivamente due paine queste siano di due coori diversi? Una prima difficotaá sta ne'anaizzare che cosa vuo dire "di due coori diversi" percheâ questo evento eá composto da tre eventi distinti: e due paine possono essere una bianca e una nera, una bianca e una rossa, una rossa e una nera. Una vota stabiito i significato de'evento, sappiamo come vautare a probabiitaá di estrazione di ciascuna paina, ma non sappiamo poi come operare con i vaori di probabiitaá trovati per ottenere queo cercato. Per risovere questo probema dobbiamo fare due cose: capire che reazione c'eá fra gi eventi composti e quei eementari che i compongono dare dee regoe per determinare i vaori di probabiitaá degi eventi composti. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag Tema - Cap. : LA PROBABILITA Á

7 I teorema dea probabiitaá contraria Per affrontare a prima questione dobbiamo rifettere su significato di un evento da punto di vista insiemistico. Consideriamo aora di nuovo 'esperimento aeatorio de'estrazione di una paina da'urna descritta sopra e gi eventi ad essa reativi definiti dagi enunciati aperti «esce una paina nera» e «esce una paina che non eá nera». Possiamo ritenere che questi due eventi siano uno a negazione de'atro e considerare che, da punto di vista insiemistico, se E eá 'insieme di veritaá de'uno, i suo compementare E eá 'insieme di veritaá de'atro (figura ). EÁ aora evidente che e probabiitaá pe di un evento E e quea p E de suo compementare sono egati daa reazione pe p E ˆ. Infatti, se n eá i numero dei casi possibii e f eá i numero dei casi favorevoi a'evento E, i numero dei casi favorevoi a'evento E eá n f, quindi p E ˆ n f n ˆ f n ˆ pe. Questa reazione eá espressa da seguente teorema. igura Teorema dea probabiitaá contraria. Se p eá a probabiitaá di un evento E, aora a probabiitaá de'evento contrario E eá p E ˆ p. Per esempio, ne'esperimento aeatorio di estrazione di una carta da un mazzo di 5: dato 'evento E : «esce una carta di cuori» dove pe ˆ 5 ˆ, aora E : «non esce una carta di cuori» ed eá p E ˆ ˆ dato 'evento E : «esce una donna» dove pe ˆ 5 ˆ, aora E : «non esce una donna» ed eá p E ˆ ˆ L'evento unione e i teorema dea probabiitaá totae Estraiamo una paina daa stessa urna e consideriamo adesso 'evento E : «esce una paina rossa o nera» che possiamo considerare come una combinazione dei due eventi A : «esce una paina rossa», B : «esce una paina nera». Possiamo ritenere che 'evento E sia verificato se si verifica ameno uno dei due eventi A ed B percheâ nea proposizione che esprime 'evento E abbiamo usato i connettivo "o"; 'insieme dei casi favorevoi ad E eá quindi 'unione dei due insiemi di veritaá di A edib. Diciamo aora che E eá 'evento unione di A e B e scriviamo E ˆ A [ B Per cacoare i vaore di probabiitaá associato a'evento E dobbiamo tenere presenti due possibii situazioni. n I due insiemi A e B sono disgiunti (si para in questo caso di eventi incompatibii) Per cacoare a probabiitaá di E possiamo ragionare in questo modo (figura ): se f eá i numero dei casi favorevoi a'evento A e f eá i numero dei casi favorevoi a B, i numero dei casi favorevoi ad A [ B eá f f ; dunque, se n eá i numero dei casi possibii: igura pe ˆ f f ˆ f n n f n ˆ pa pb Tema - Cap. : LA PROBABILITA Á 8

8 Per esempio, ne'estrazione di una carta da un mazzo di 5, 'evento E : «esce una donna oppure un re» eá formato dai due eventi disgiunti A : «esce una donna» e B : «esce un re», e poicheâ p A ˆ 5 ˆ e anche pb ˆ, si ha subito che: pe ˆ ˆ n I due insiemi A e B non sono disgiunti (si dice che i due eventi sono compatibii) Se 'intersezione fra i due insiemi non eá vuota, e supponiamo che in essa vi siano k eementi, i numero dei casi favorevoi a'evento E eá dato da'espressione (figura ) f k {z } eementi di A B f k {z } eementi di B A {z} k ˆ f f k eementi di A \ B Quindi pe ˆ f f k ˆ f n n f n k n ˆ pa pb pa\ B Per esempio, considerando sempre 'esempio de'estrazione di una carta da un mazzo, 'evento E : «esce una donna oppure una carta di un seme rosso» eá formato dai due eventi A : «esce una donna» B : «esce una carta di un seme rosso». Questi due eventi sono compatibii e a oro intersezione eá formata da due eementi (figura ). Tenendo presente che pa ˆ 5 ˆ e pb ˆ 6 5 ˆ, si ha quindi che: pe ˆ 5 ˆ 7 In definitiva, e osservazioni che abbiamo fatto si possono riassumere ne seguente teorema. igura igura Teorema (dea probabiitaá totae). Dati due eventi A e B deo stesso spazio campionario, sihache pa[ B ˆ pa pb pa\ B E' evidente che se i due eventi sono incompatibii pa\ B ˆ 0 e quindi in questo enunciato ritroviamo che pa[ B ˆ pa pb. ESEMPI. Consideriamo 'evento E: «i primo estratto sua ruota di Miano eá», reativo a'estrazione de otto. L'evento contrario eá aora E: «non esce i numero». Poiche p E ˆ 90, p E ˆ 90 ˆ 89 ˆ 0,98 cioeá circa i 99%. 90. Gi aunni che frequentano a casse I B di una scuoa sono 0; di questi 0 giocano a cacio, 8 a tennis e ad entrambi. Se 'insegnante di educazione fisica, prima di conoscere gi sport praticati da ognuno degi aunni, ne chiama uno a caso, che probabiitaá ha che questo ragazzo sia in grado di praticare ameno una dee due attivitaá considerate? Siano A : «'aunno chiamato gioca a cacio» e B : «'aunno chiamato gioca a tennis» 8 Tema - Cap. : LA PROBABILITA Á

9 Cacoare a probabiitaá che uno quasiasi fra gi studenti sappia praticare ameno uno fra i due sport significa cacoare a probabiitaá de- igura 5 'evento unione E ˆ A [ B : «'aunno chiamato gioca a cacio o a tennis». La situazione eá rappresentata da diagramma di Euero-enn di figura 5; daa sua osservazione deduciamo che p A ˆ0 0 ragazzi su 0 giocano a cacio 0 p B ˆ 8 8 ragazzi su 0 giocano a tennis 0 p A \ B ˆ ragazzi su 0 giocano sia a cacio che a tennis 0 quindi p A [ B ˆ ˆ 0 ˆ 7 ˆ 0,6, cioeá una probabiitaá pari a circa i 6,7%. 5. Su 00 pezzi prodotti da una macchina, 0 sono stati controati da tecnico A e 6 da tecnico B; fra i pezzi controati, sono passati attraverso i controo di entrambi i tecnici. Qua eá a probabiitaá che, scegiendo un pezzo a caso fra i 00, questo sia stato controato? Dobbiamo cacoare a probabiitaá de'evento E: «i pezzo eá stato controato da A o da B»; possiamo ragionare cosõá(riferisciti aa figura 6 in cui eá 'insieme dei 00 pezzi prodotti): A ha controato i pezzo con probabiitaá 0 00 ˆ, B ha controato i pezzo con probabiitaá 6 00 ˆ, entrambi o hanno controato con probabiitaá 0 5. Aora p E ˆ ˆ, pari a %. 00. In un controo dimensionae effettuato su un campione di 000 astre di amiera di dimensioni prefissate, si eá rievato che 0 presentano aterazioni dea arghezza, dea unghezza e 6 di entrambe. Se si scegie a caso una dee astre de campione, qua eá a probabiitaá che essa presenti un difetto? Possiamo schematizzare a situazione rappresentando gi eventi come in figura 7; da questa rappresentazione deduciamo che astre presentano aterazioni soo dea arghezza e 8 soo dea unghezza. La probabiitaá che, sceta una astra, questa sia difettosa eá data da igura 6 igura 7 p A [ B ˆp A p B p A \ B ˆ ˆ ˆ 0,08 una probabiitaá quindi de,8%. ERIICA DI COMPRENSIONE. Sono dati due eventi A e B incompatibii di uno stesso esperimento aeatorio; si puoá dire che: a. se si verifica A non si verifica B Tema - Cap. : LA PROBABILITA Á 8

10 b. se si verifica A, si puoá verificare anche B c. A [ B si verifica soo se non si verificano neâ A neâ B d. gi eventi A e B sono incompatibii.. Reativamente ad uno stesso esperimento aeatorio, un evento A ha probabiitaá 7 di verificarsi, un evento B ha probabiitaá e i due eventi sono incompatibii; a probabiitaá de'evento A [ B eá uguae a: Reativamente ad uno stesso esprimento aeatorio, un evento A ha probabiitaá di verificarsi, un evento 5 B ha probabiitaá 5 e i due eventi sono compatibii; a probabiitaá de'evento A [ B eá uguae a: non si puoá determinare.. La probabiitaá condizionata e 'evento intersezione Abbiamo piuá vote sottoineato 'importanza che ha avere i maggior numero di informazioni possibii per poter prendere decisioni consapevoi e motivate. Anche ne campo dea probabiitaá ci si puoá chiedere se avere dee indicazioni in piuá modifica i vaore di probabiitaá di un evento. Per comprendere queo che puoá accadere consideriamo due esperimenti aeatori diversi e vediamo che cosa succede aa probabiitaá di uno stesso evento quando si hanno dee informazioni aggiuntive sua oro conduzione. I esempio Estraiamo una carta da un mazzo di 5 e consideriamo 'evento A : «esce una figura». Poiche in un mazzo di 5 carte ci sono figure, si puoá subito concudere che pa ˆ 5 ˆ. Supponiamo adesso che quacuno abbia visto 'esito de'esperimento prima che questo ci venga comunicato e che questa persona ci dica che eá uscita una carta di fiori; vautiamo a probabiitaá p de'evento A con questa nuova indicazione: p A ˆ percheâ ci sono figure su carte di fiori In questo caso pa ˆ p A e 'informazione aggiuntiva non ha modificato a probabiitaá de'evento. Possiamo quindi dire che, se chiamiamo B 'evento «esce una carta di fiori», i sapere che si eá verificato B non modifica a probabiitaá di A, vae a dire che A non dipende da B. II esempio Consideriamo adesso un'urna che contiene 0 paine rosse e 0 paine nere tutte uguai per forma, dimensione e peso in modo da non potere distinguere una da'atra; di quee rosse si sa che 5 sono di vetro e che e atre 5 sono di 8 Tema - Cap. : LA PROBABILITA Á

11 pastica, mentre di quee nere sono di vetro e 8 sono di pastica. Sia A 'evento «a paina estratta eá di vetro»; abbiamo subito che: pa ˆ 5 ˆ 7 percheâ ci sono 7 paine di vetro sue 0 totai 0 0 Supponiamo adesso che quacuno abbia visto a paina estratta e che ci comunichi che eá rossa; vautiamo a probabiitaá p de'evento A con questa nuova informazione: p A ˆ 5 0 ˆ percheâ ci sono 5 paine di vetro sue 0 che sono rosse Questa vota a probabiitaá de'evento A si eá modificata. Aora, se chiamiamo B 'evento «a paina estratta eá rossa», i sapere che si eá verificato B modifica a probabiitaá di A, vae a dire che A dipende da B. Diamo aora questa definizione. Considerati due eventi A e B di un medesimo esperimento aeatorio, si dice probabiitaá condizionata di A rispetto a B, e si indica con i simboo pajb, a probabiitaá che si verifichi A supposto di sapere che si eá verificato B. PROBABILITAÁ CONDIZIONATA, EENTI DIPENDENTI E INDIPENDENTI La probabiitaá condizionata eá quindi quea che negi esempi abbiamo indicato con p e, come abbiamo visto si possono presentare i seguenti casi: pajb ˆ pa cioeá sapere che si eá verificato B non infuenza a probabiitaá di A (primo esempio); si dice aora che i due eventi A e B sono indipendenti pajb 6ˆ pa cioeá sapere che si eá verificato B modifica a probabiitaá di A (secondo esempio); si dice aora che i due eventi A e B sono dipendenti. Possiamo quindi affermare che gi eventi A e B de primo esempio sono indipendenti, mentre quei de secondo esempio sono dipendenti. L'evento intersezione e i teorema dea probabiitaá composta Riprendiamo i due esperimenti aeatori precedenti e continuiamo con e nostre considerazioni. I esempio Ne'esperimento di estrazione di una carta da un mazzo da 5 carte, consideriamo 'evento E : «esce una figura di fiori» ed interpretiamoo come 'intersezione di atri due eventi: A : «esce una figura» B : «esce una carta di fiori» cioeá E ˆ A \ B (figura 8). autiamo e probabiitaá di ciascuno di questi eventi; sappiamo che A e B sono indipendenti (cioeá pajb ˆ pa ), quindi vautare a probabiitaá di A senza avere informazioni su B oppure sapendo che si eá verificato, non infuenza a probabiitaá di questo evento. Otteniamo quindi che: pe ˆ pa\ B ˆ 5 pa ˆ pajb ˆ 5 ˆ pb ˆ 5 ˆ igura 8 Tema - Cap. : LA PROBABILITA Á 85

12 e poicheâ 5 ˆ possiamo dire che fra e tre probabiitaá, ameno in questo caso, sussiste a reazione pa\ B ˆ pajb pb. II esempio Ne'esperimento di estrazione di una paina da'urna (ricordiamo che e paine sono 0, dee quai 5 sono rosse di vetro, 5 sono rosse di pastica, sono nere di vetro, 8 sono nere di pastica), consideriamo 'evento E : «a paina estratta eá rossa e di vetro»; anche questo evento puoá essere visto come 'intersezione di atri due eventi: A : «a paina eá di vetro» B : «a paina eá rossa» Sappiamo che gi eventi A e B sono dipendenti e che quindi pajb 6ˆ pa ; vediamo se, anche in questo caso, a probabiitaá de'evento AjB ha una quache reazione con gi eventi E ˆ A \ B e B; cacoiamo e tre probabiitaá: pe ˆ pa\ B ˆ 5 0 ˆ pajb ˆ pb ˆ 0 0 ˆ e poicheâ ˆ, anche in questo caso si ha che pa\ B ˆ pajb pb. I risutato a cui siamo giunti in questi due esempi vae in generae; si puoá cioeá affermare che: IL CALCOLO DI UNA PROBABILITAÁ CONDIZIONATA p A \ B ˆp AjB p B o anche p AjB ˆp A \ B p B (negi approfondimenti che seguono puoi vedere a dimostrazione di questa reazione a cui seconda forma vae se B non eá 'evento impossibie). Questi due modi di scrivere a stessa reazione ci permettono di trovare una probabiitaá condizionata in dipendenza dea probabiitaá de'evento intersezione (seconda formua) oppure a probabiitaá de'evento intersezione in funzione di una probabiitaá condizionata (prima formua). La prima formua esprime i cosiddetto teorema dea probabiitaá composta che possiamo cosõá enunciare: Essendo poi pb\ A ˆ pa\ B si ottiene anche che pa\ B ˆ pbja pa nea quae sostanziamente A e B si sono scambiati i ruoi. Dunque, tenendo presente che se due eventi sono indipendenti si ha che pajb ˆ pa, dea probabiitaá de'evento intersezione di due eventi A e B possiamo dire che: Teorema (dea probabiitaá composta). Dati gi eventi A e B di un medesimo esperimento aeatorio, a probabiitaá de'evento A \ B eá uguae a prodotto dea probabiitaá di uno dei due eventi per a probabiitaá condizionata de'atro, supposto che i primo si sia verificato. pa\ B ˆ pa pb pa\ B ˆ pajb pb 86 Tema - Cap. : LA PROBABILITA Á se gi eventi A e B sono indipendenti se gi eventi sono dipendenti

13 APPROONDIMENTI LA DIMOSTRAZIONE DELLA ORMULA Supponiamo che o spazio campionario de'esperimento aeatorio considerato sia formato da n eementi (numero dei casi possibii), che sia k i numero dei casi favorevoi a'evento B e h i numero dei casi favorevoi a'evento A supposto che si sia verificato B; h rappresenta quindi i numero dei casi favorevoi a A \ B (figura 9). autiamo adesso e varie probabiitaá: k pb ˆ n h pajb ˆ k h pa\ B ˆ n percheâ k eá i numero dei casi favorevoi rispetto agi n possibii percheâ se sappiamo che si eá verificato B, o spazio campionario di A eá queo reativo a B percheâ h eá i numero dei casi favorevoi a'evento intersezione sugi n possibii. ra queste tre frazioni sussiste a reazione pa\ B h n ˆ h k k n cioeá igura 9 ˆ pajb pb o anche se p B 6ˆ 0 pajb ˆ pa\ B pb ESEMPI. Si ancia una moneta e contemporaneamente si estrae una paina da un'urna che ne contiene rosse, bianche e 5 nere e si vuoe vautare a probabiitaá de'evento E : «esce Testa e viene estratta una paina rossa». L'evento E eá 'intersezione dei due eventi eementari: A : «esce Testa» B : «esce una paina rossa» e si ha che: pa ˆ pb ˆ 0 ˆ 5 Inotre i due eventi sono indipendenti percheâ sapere che da ancio dea moneta eá uscito Testa non modifica a probabiitaá di B, quindi pe ˆ pa pb ˆ 5 ˆ 0.. Daa stessa urna de'esercizio precedente si estraggono successivamente due paine e si vuoe vautare a probabiitaá de'evento E : «escono due paine bianche» nei seguenti casi: a. a paina estratta viene rimessa ne'urna prima di procedere aa seconda estrazione b. a paina non viene rimessa ne'urna. E eá 'intersezione dei due eventi: A : «aa prima estrazione esce una paina bianca» B : «aa seconda estrazione esce una paina bianca» Aa prima estrazione 'urna eá competa e quindi a probabiitaá de'evento A eá ; a probabiitaá de'evento B dipende da fatto che a paina estratta venga o meno rimessa ne'urna. Distinguiamo aora i 0 due casi come richiesto da probema. Tema - Cap. : LA PROBABILITA Á 87

14 a. La composizione de'urna aa seconda estrazione eá competa quindi pb ˆ 0 e i fatto di conoscere 'esito dea prima estrazione non infuenza questa probabiitaá; i due eventi sono quindi indipendenti e si ha che pe ˆ pa pb ˆ 0 0 ˆ 9 00 b. La composizione de'urna aa seconda estrazione eá cambiata percheâ adesso ci sono 9 paine; a probabiitaá de'evento B questa vota dipende da'esito de'evento A percheâ: se A si eá verificato ne'urna ci sono paine bianche e quindi pb ˆ 9 se A non si eá verificato ne'urna ci sono ancora paine bianche e quindi pb ˆ 9 ˆ. I due eventi sono quindi dipendenti e percioá pe ˆ pa pbja ; inotre, visto che ci interessa soo i caso in cui a prima paina estratta eá bianca (atrimenti 'evento E non si verifica), possiamo considerare che pbja ˆ 9 e percioá: pe ˆ 0 9 ˆ 5. In una popoazione animae si sa che a probabiitaá che un animae che ha ora anni sia ancora in vita fra 5 eá de'87%; tae probabiitaá scende a 6% per un animae che ha 0 anni. ogiamo sapere qua eá a probabiitaá che entrambi gi animai siano in vita fra 5 anni e che ameno uno di essi sia in vita fra 5 anni, ne'ipotesi in cui gi eventi siano indipendenti. Consideriamo gi eventi A: «'animae di anni saraá in vita fra 5» B: «'animae di 0 anni saraá in vita fra 5». La probabiitaá che fra 5 anni siano in vita entrambi eá data da'intersezione dei due eventi, che per ipotesi sono indipendenti; per i teorema dea probabiitaá composta si ha che p A \ B ˆp A p B ˆ0,87 0,6 ˆ 0,59 cioeá una probabiitaá di circa i 5%. La probabiitaá che ameno uno di essi sia vivo fra 5 anni eá invece 'unione fra i due eventi A e B; osserviamo peroá che essi sono compatibii percheâ i verificarsi de'uno non escude i verificarsi de'atro in quanto fra 5 anni potrebbe essere vivo i primo e non i secondo, i secondo e non i primo, ma anche tutti e due. La probabiitaá di questo evento eá dunque data da p A [ B ˆp A p B p A \ B ˆ0,87 0,6 0,59 ˆ 0,9506 cioeá una probabiitaá di circa i 95%.. Un dado viene truccato in modo che i numeri dispari abbiano una probabiitaá di uscire maggiore di quea dei numeri pari e in particoare ciascun numero pari ha probabiitaá mentre ciascun numero dispari 9 ha probabiitaá. Se si ancia i dado tre vote, cacoiamo a probabiitaá dei seguenti eventi: 9 A : «escono tre numeri dispari» B : «escono due numeri pari e un numero dispari». Osserviamo innanzi tutto che i tre anci sono eventi indipendenti percheâ sapere che cosa eá uscito ad uno di essi non modifica a probabiitaá degi atri; inotre a probabiitaá che esca un numero pari eá pp ˆ 9 ˆ percheâ ci sono tre numeri pari e anaogamente a probabiitaá cheescaunnumero dispari eá pd ˆ 9 ˆ. 88 Tema - Cap. : LA PROBABILITA Á

15 Per cacoare facimente i vaori di probabiitaá richiesti ci possiamo servire di un diagramma ad abero ne quae, a partire da nodo iniziae, rappresentiamo i successivi anci con e reative probabiitaá indicate sui rami (figura 0). La verifica de'evento A si ottiene percorrendo 'abero in modo da incontrare a ettera D per tre vote; a corrispondente probabiitaá si cacoa appicando i teorema dea probabiitaá composta e motipicando i vaori di probabiitaá incontrati: pa ˆ ˆ 8 7 igura 0 La verifica de'evento B si ottiene percorrendo 'abero in modo da incontrare due ettere P e una ettera D; i possibii percorsi sono dunque i seguenti: PPD PDP DPP ciascuno rispettivamente con probabiitaá L'evento B eá 'unione di questi eventi e a sua probabiiaá si ottiene sommando e tre probabiitaá: pb ˆ ˆ 9 L'utiizzo dei diagrammi ad abero per a vautazione di probabiitaá composte eá utie in tutti quei casi che uno stesso esperimento aeatorio viene ripetuto piuá vote; a costruzione de'abero consente di determinare facimente quaunque probabiitaá. Per esempio, se vogiamo vautare anche a probabitaá de'evento C : «escono ne'ordine un numero dispari, un numero dispari e un numero pari», basta percorrere i ramo DDP e motipicare e reative probabiitaá: pc ˆ ˆ 7 5. Su di un tavoo sono disposte due urne U e U che contengono rispettivamente 5 paine bianche e 0 nere a prima, 8 paine bianche e 0 nere a seconda. Le urne vengono mescoate e una persona bendata estrae da un'urna a caso una paina. ogiamo cacoare a probabiitaá che a paina sia bianca. Consideriamo i seguenti eventi: A : «a paina eá estratta da U» A : «a paina eá estratta da U» B : «a paina eá bianca». Possiamo considerare equiprobabii i due eventi A e A e quindi dire che p A ˆp A ˆ. Per determinare a probabiitaá de'evento B dobbiamo considerare che a paina potrebbe essere stata estratta da U oppure da U ; dobbiamo quindi considerare e seguenti probabiitaá condizionate: p BjA ˆ 5 5 ˆ p BjA ˆ 8 8 ˆ 9 Aora p B ˆp BjA p A p BjA p A ˆ 9 ˆ 7 8. Tema - Cap. : LA PROBABILITA Á 89

16 APPROONDIMENTI LA PROBABILITAÁ E IL CALCOLO COMBINATORIO I cacoo combinatorio si occupa di studiare in quanti modi si possono disporre un certo numero di oggetti presi da un gruppo. Se per esempio vogiamo sapere quante cinquine si possono fare ne gioco dea Tomboa, ci chiediamo in quanti modi si possono scegiere 5 numeri diversi su 90, indipendentemente da'ordine con cui compaiono; se vogiamo sapere quante coppie di ettere dobbiamo predisporre per comporre e iniziai de nome e de cognome di una persona, ci chiediamo in quanti modi si possono disporre due ettere de'afabeto tenendo presente che questa vota eá importante 'ordine in cui e ettere compaiono e che eá possibie anche a oro ripetizione. Affronterai in modo competo o studio de cacoo combinatorio negi anni futuri; per ora diamo e indicazioni soo sua parte che ci interessa reativamente a cacoo dee probabiitaá. Quando nea sceta degi oggetti di un gruppo non interessa 'ordine con cui essi vengono disposti si para di combinazioni; in particoare definiamo combinazione sempice di n oggetti di casse k, e si indica con i simboo C n,k, ogni raggruppamento di k oggetti diversi sceti fra n disponibii, indipendentemente da'ordine in cui essi vengono presi. Per esempio, acune combinazioni diverse di casse 5 dee ettere de'afabeto itaiano sono e seguenti: C,5 : a, p, m, f, e g, h, i,, m t, b, v, e, d Rappresentano invece a stessa combinazione i seguenti gruppi (sono formati dae stesse ettere disposte in ordine diverso): b, c, g, h, u c, h, b, u, g b, h, u, g, c Si dimostra che i numero di combinazioni sempici di n oggetti casse k eá dato daa formua C n,k ˆ n n n ::::: n k k! dove 'espressione k! (eggi k fattoriae) rappresenta i prodotto di k fattori descrescenti a partire da k : k! ˆ k k k :::::::::::: Per esempio: 5! ˆ 5 ˆ 0 8! ˆ ˆ 0 0 La formua per i cacoo di C n,k si rappresenta per comoditaá con i simboo n che si egge "n su k"; osserviamo poi che 'espressione a numeratore eá i prodotto di k fattori descrescenti a partire da n. Per k esempio: 6 fattori decrescenti a partire da C,6 ˆ z } { ˆ ˆ fattori decrescenti a partire da 8 C8, ˆ 8 z } { ˆ ˆ 56 n Una formua comoda per i cacoo di eá anche a seguente: k Per esempio: 9 ˆ 9!! 5! ˆ 6 6 ˆ 6!!! ˆ 0 n n! ˆ k k! n k! Saper cacoare i numero dee combinazioni sempici eá utie ne cacoo dee probabiitaá per determinare sia i numero dei casi possibii che queo dei casi favorevoi a un evento. 90 Tema - Cap. : LA PROBABILITA Á

17 I esempio Da un'urna che contiene 0 paine bianche, 8 rosse e nere (in totae 0 paine), se ne estraggono contemporaneamente ; si vuoe conoscere a probabiitaá che siano entrambe rosse. Occorre cacoare: i numero dei casi possibii come combinazioni di 0 oggetti di casse : C 0, ˆ 0 ˆ 0!! 8! ˆ 5 i numero dei casi favorevoi come combinazioni di 8 oggetti (tante sono e paine rosse) di casse : C 8, ˆ 8 ˆ 8!! 6! ˆ 8 La probabiitaá cercata vae dunque 8 5 0,06. II esempio In una otteria si sono vendute tre serie di bigietti, contrassegnati rispettivamente con e ettere A, B, C. Una prima seezione ha portato ad individuare 0 bigietti dea serie A, 0 bigietti dea serie B e50 bigietti dea serie C. Tutti i bigietti seezionati vinceranno dei premi ma, per assegnari in ordine di importanza, si deve procedere ad una nuova estrazione. ogiamo determinare a probabiitaá che i primi due bigietti estratti siano dea stessa serie. L'evento E di cui dobbiamo determinare a probabiitaá eá 'unione dei tre eventi incompatibii: E : «i bigietti sono entrambi di serie A» E : «i bigietti sono entrambi di serie B» E : «i bigietti sono entrambi di serie C» Tenendo presente che a prima seezione ha individuato 00 bigietti in totae, cacoiamo a probabiitaá di ciascuno di essi: p E ˆ C0, ˆ 0 00 : ˆ 6 C 00, 65 p E ˆ C0, ˆ 0 00 : ˆ C 00, 0 p E ˆ C50, ˆ : ˆ 9 C 00, 98 Per i teorema dea probabiitaá totae, a probabiitaá de'evento unione eá dato daa somma dee tre probabiitaá trovate; si ha quindi: p E ˆ ˆ 0, III esempio In un otto di biscotti, di 50 confezioni in scatoe rigide, si trovano 5 scatoe che sono esteriormente uguai ae atre ma che, per errore dea macchina confezionatrice, sono vuote. ogiamo cacoare a probabiitaá che, estraendone 6 a caso, fra queste ve ne siano: a. vuote; b. vuote; c. nessuna vuota. Tema - Cap. : LA PROBABILITA Á 9

18 Dobbiamo innanzi tutto determinare quanti sono i possibii modi di estrarre 6 scatoe da un gruppo di 50; poicheâ 'ordine di estrazione non conta e non ci possono essere scatoe che compaiono due o piuá vote, si tratta di determinare e combinazioni sempici di 50 eementi a gruppi di 6: C 50,6 ˆ 50 ˆ ! ˆ Lo spazio campionario eá costituito quindi da eementi. Per determinare e probabiitaá richieste, dobbiamo individuare i numero dei casi favorevoi agi eventi considerati. a. Poiche e confezioni estratte sono 6, 'evento prevede che ce ne siano vuote e piene; i numero di casi favorevoi eá quindi i prodotto dee combinazioni sempici di 5 eementi (tanti quante sono compessivamente e scatoe vuote) a gruppi di, con e combinazioni sempici di 5 eementi (tanti quante sono compessivamente e scatoe piene) a gruppi di : C 5, C 5, ˆ 5 5 ˆ 5! 5! ˆ La probabiitaá de'evento eá aora ˆ 0,097:::::, cioeá circa de 9,% b. L'evento prevede che ci siano scatoe vuote e quindi piene. Procedendo come ne caso precedente, i numero dei casi favorevoi a'evento eá dato da C 5, C 5, ˆ 5 5 ˆ 5 5 ˆ 900!! Quindi a probabiitaá di questo evento eá 900 ˆ 0,00899:::::, cioeá circa deo 0,89% c. Nessuna scatoa vuota significa che tutte e 6 scatoe sono piene; i numero dei casi favorevoi a'evento eá aora C 5,6 ˆ ˆ ˆ ! quindi a probabiitaá de'evento eá ˆ 0,556:::::, cioeá circa de 5% ERIICA DI COMPRENSIONE. Determina i vaore di veritaá dee seguenti proposizioni: a. due eventi sono indipendenti se sapere che uno dei due si eá verificato non infuenza a probabiitaá de'atro b. due eventi sono dipendenti se i verificarsi de'uno impica i verificarsi de'atro c. se due eventi sono compatibii sono anche dipendenti d. se due eventi sono indipendenti aora sono anche incompatibii e. se due eventi sono indipendenti a probabiitaá condizionata de primo rispetto a secondo eá uguae aa probabiitaá de primo. 9 Tema - Cap. : LA PROBABILITA Á

19 . Si estrae una paina da un'urna che ne contiene 0 numerate da a 0; considerati gi eventi A : «esce un numero dispari» e B : «esce un numero minore di 8», si puoá dire che: a. pajb ˆ pbja b. pbja ˆ pa c. pajb ˆ pa d. A e B sono eventi dipendenti.. LE ALTRE DEINIZIONI DI PROBABILITA Á I modeo cassico di probabiitaá si adatta bene a tutti quegi esperimenti aeatori nei quai eá possibie vautare i numero dei casi favorevoi rispetto a queo dei casi possibii, ma non eá di nessuna utiitaá se si deve cacoare a probabiitaá di successo di un farmaco su una maattia oppure che a squadra de cuore vinca o scudetto; questo percheâ i casi che si possono presentare, e cioeá ha successo / non ha successo e vince / non vince, non hanno a stessa possibiitaá di verificarsi, non sono cioeá equiprobabii. In questi casi occorre vautare a probabiitaá in modo diverso a seconda dea tipoogia de'esperimento; in particoare si deve tener conto de fatto che un esperimento si possa ripetere un numero moto grande di vote oppure sia irripetibie: 'efficacia di un farmaco si puoá testare su moti pazienti, un campionato di cacio eá unico e irripetibie. ediamo dunque come definire a probabiitaá in questi casi. I modeo statistico o frequentista Questo modeo si adatta a tutti quegi esperimenti aeatori che possono essere ripetuti un numero moto grande di vote. Consideriamo, per esempio, un tiratore sceto e chiediamoci quae sia a probabiitaá che abbia di centrare i bersagio con un soo tiro; queo che possiamo fare eá osservare i comportamento de tiratore in numerose prove e attribuire un vaore aa probabiitaá richiesta cacoando i rapporto fra i numero di repiche de'esperimento che hanno dato esito favorevoe e queo dee prove fatte. Se i tiratore, su 000 prove, avesse centrato i bersagio per 800 vote e se si ritenesse sufficientemente grande i numero di prove effettuate, potremmo dire che ha una probabiitaá di centrare i bersagio pari a ˆ 5. In generae diciamo che: reativamente ad un esperimento aeatorio A, che puoá essere osservato mote vote, a probabiitaá di un evento E eá i vaore a cui tende i rapporto tra i numero di prove che hanno avuto esito favorevoe ad E ed i numero totae di prove fatte (tutte ae stesse condizioni) quando queste tendono ad essere un numero moto grande. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 665 LA PROBABILITAÁ STATISTICA Ad esempio, supponiamo di prendere un comune dado da gioco di pastica rigida e di riuscire ad inserire a suo interno, attaccato aa faccia in corrispondenza de numero 6, un piccoo peso di ferro. EÁ evidente che i dado non eá piuá «regoare», ne senso che ad ogni ancio, e sue facce non hanno piuá a stessa probabiitaá di presentarsi. Per determinare aora e nuove probabiitaá dovremo effettuare un grande numero di anci e vedere quante vote si presenta Tema - Cap. : LA PROBABILITA Á 9

20 ciascuna faccia; ciascuna probabiitaá eá quindi determinabie come imite, a crescere de numero dee prove, de rapporto fra a frequenza degi esiti favorevoi ed i numero dee prove stesse. Anche in questo caso si verifica che a probabiitaá p eá un numero reae compreso tra 0 e, estremi incusi. Occorre sottoineare che, con questa concezione, a probabiitaá di un evento non puoá essere cacoata a priori, ma viene determinata soo dopo aver effettuato dee osservazioni sperimentai e che essa non ha significato separatamente da tai prove; inotre ha senso parare di probabiitaá soo a'interno di una certa popoazione: se, ad esempio, si eá vautata, sua base di osservazioni ripetute, una probabiitaá de 0% di sopravvivenza fino a 80 anni degi esseri umani che vivono in Europa, questa probabiitaá puoá non essere a stessa per e popoazioni de'africa, de'asia o di un'atra zona dea Terra. In ogni caso si verifica che i modeo frequentista approssima queo cassico nee situazioni in cui, potendo dare anche una vautazione in senso cassico, si puoá effettuare un numero moto grande di prove. Se, per esempio, anciamo una moneta motissime vote, si verifica che i numero di quee in cui esce Testa si avvicina a numero dee vote in cui esce Croce; inotre a vicinanza eá tanto maggiore quanto piuá grande eá i numero di anci effettuati (vedi a questo proposito 'esercitazione di informatica). Questo significa che, per questo tipo di esperimenti aeatori, a probabiitaá statistica approssima quea cassica. Questa constatazione va sotto i nome di egge empirica de caso o egge dei grandi numeri: i eá un'unica imitazione aa ibertaá di scommessa de'individuo, che risponin un grande numero di prove, ripetute ae stesse condizioni, a probabiitaá a posteriori di un evento, cioeá a sua frequenza reativa, tende ad essere uguae aa sua probabiitaá teorica. I modeo soggettivista Ne i modeo cassico, neâ i modeo statistico sono peroá in grado di dare vautazioni di probabiitaá su esperimenti aeatori che ci coinvogono direttamente o che non possono essere ripetuti sempre ae stesse condizioni: per esempio non possiamo determinare quae sia a probabiitaá che i cavao su cui abbiamo puntato vinceraá nea prossima corsa percheâ ogni corsa eá diversa da un'atra e non possiamo fare confronti, oppure stabiire chi vinceraá fra i quattro giocatori di una partita di poker percheâ ogni partita eá diversa da un'atra e anche a fortuna gioca un ruoo importante; inotre non ha senso parare di rapporto fra casi favorevoi e casi possibii percheâ questo significherebbe dire che ogni cavao ha esattamente e stesse possibiitaá di vincere di un atro, cosõá come ogni giocatore dea partita di poker. La probabiitaá diventa in questo caso una misura dea fiducia che noi riponiamo ne fatto che si verifichi o meno un certo evento; tae fiducia si puoá misurare in termini di somma di denaro che i soggetto che sta vautando a probabiitaá eá disposto a versare in anticipo per poter ricevere una quota maggiore se 'evento si verifica. In atri termini: LA PROBABILITAÁ SOGGETTIA a probabiitaá di un evento E eá rappresentata da rapporto fra i prezzo P che un individuo ritiene giusto pagare e a somma S che ha diritto ad avere in cambio se 'evento si verifica, perdendo P se 'evento non si verifica: p E ˆP S 9 Tema - Cap. : LA PROBABILITA Á

Insiemi e funzioni CAPITOLO 1 1. GLI INSIEMI CON DERIVE. Come creare un insieme

Insiemi e funzioni CAPITOLO 1 1. GLI INSIEMI CON DERIVE. Come creare un insieme CAPITOLO 1 Insiemi e funzioni 1. GLI INSIEMI CON DERIVE Come creare un insieme I modo piuá sempice per creare un insieme con Derive eá queo di eencare i suoi eementi racchiudendoi a'interno di una coppia

Dettagli

La logica. Obiettivi MATEMATICA E REALTAÁ. riconoscere proposizioni e individuarne il valore di veritaá

La logica. Obiettivi MATEMATICA E REALTAÁ. riconoscere proposizioni e individuarne il valore di veritaá La ogica Obiettivi riconoscere proposizioni e individuarne i vaore di veritaá operare con e proposizioni e riconoscere equivaenze ogiche stabiire a correttezza di un ragionamento ogico operare con i predicati

Dettagli

Risoluzione di travature reticolari iperstatiche col metodo delle forze. Complemento alla lezione 43/50: Il metodo delle forze II

Risoluzione di travature reticolari iperstatiche col metodo delle forze. Complemento alla lezione 43/50: Il metodo delle forze II Risouzione di travature reticoari iperstatiche co metodo dee forze ompemento aa ezione 3/50: I metodo dee forze II sercizio. er a travatura reticoare sotto riportata, determinare gi sforzo nee aste che

Dettagli

Il rimborso dei prestiti

Il rimborso dei prestiti I rimborso dei prestiti Obiettivi individuare e caratteristiche dei diversi tipi di rimborso saper stendere un piano di ammortamento saper cacoare a rata di un ammortamento comprendere e caratteristiche

Dettagli

OTTAVIO SERRA. Consentirà anche di collegarci ai temi di informatica e di sperimentare sul campo questioni relative alla propagazione degli errori.

OTTAVIO SERRA. Consentirà anche di collegarci ai temi di informatica e di sperimentare sul campo questioni relative alla propagazione degli errori. OTTAVIO SERRA GEOMETRIA PROBABILITA INFORMATICA Reazione tenuta nea Saa consiiare de Comune di Diamante i 7 giugno 000 Ne ambito de Convegno su L insegnamento dea matematica:quae, Perché, Come Organizzato

Dettagli

(concetto classico di probabilità)

(concetto classico di probabilità) Probabilità matematica (concetto classico di probabilità) Teoria ed esempi Introduzione Il calcolo delle probabilità è la parte della matematica che si occupa di prevedere, sulla base di regole e leggi

Dettagli

Contenuti. Espresso 1 8. Espresso 2 23. Prefazione 4. Indice delle attività 6. Materiale fotocopiabile 37. Soluzioni 91

Contenuti. Espresso 1 8. Espresso 2 23. Prefazione 4. Indice delle attività 6. Materiale fotocopiabile 37. Soluzioni 91 Contenuti Prefazione 4 Indice dee attività 6 Espresso 1 8 Espresso 2 23 Materiae fotocopiabie 37 Souzioni 91 3 Prefazione Le attività presentate in questo voume offrono agi insegnanti nuovi spunti per

Dettagli

Per far risolvere un'equazione a Derive basta scriverne il testo nella finestra di Algebra e poi usare il comando

Per far risolvere un'equazione a Derive basta scriverne il testo nella finestra di Algebra e poi usare il comando CAPITOLO Le equazioni. LE EQUAZIONI CON DERIVE Per far risovere un'equazione a Derive basta scriverne i testo nea finestra di Agebra e poi usare i comando Risovi/Espressione oppure usare 'icona corrispondente.

Dettagli

Test sul calcolo della probabilità

Test sul calcolo della probabilità Test sul calcolo della probabilità 2 Test sul calcolo della probabilità Test sul calcolo della probabilità. La probabilità p di un evento E, quando si indica con E il suo complementare, è : a) 0 se E è

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2009/2010. C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico.

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2009/2010. C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico. Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2009/2010 C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico Probabilità Ines Campa e Marco Longhi Probabilità e Statistica - Esercitazioni

Dettagli

PIANO DI LAVORO. docente: Lancellotti Canio. classe: 5^ A IGEA. disciplina: ECONOMIA AZIENDALE. consegnato in data: 11 dicembre 2012

PIANO DI LAVORO. docente: Lancellotti Canio. classe: 5^ A IGEA. disciplina: ECONOMIA AZIENDALE. consegnato in data: 11 dicembre 2012 ISTITUTO OMNICOMPRENSIVO STATALE DI SAN DANIELE DEL FRIULI Istituto Statae d Istruzione Superiore Vincenzo Manzini di San Daniee de Friui Piazza IV Novembre 33038 SAN DANIELE DEL FRIULI (prov. di Udine)

Dettagli

Somma logica di eventi

Somma logica di eventi Somma logica di eventi Da un urna contenente 24 palline numerate si estrae una pallina. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) esce un numero divisibile per 5 o superiore a 20, b) esce un numero

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007 Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2006/2007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile

Dettagli

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo Statistica 1 Esercitazioni Dott. 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore 15-17 mercoledì ore 15-17 e-mail: luigi.augugliaro@unipa.it

Dettagli

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo Statistica 1 Esercitazioni Dott. 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore 15-17 mercoledì ore 15-17 e-mail: luigi.augugliaro@unipa.it

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità Calcolo delle Probabilità Il calcolo delle probabilità studia i modelli matematici delle cosidette situazioni di incertezza. Molte situazioni concrete sono caratterizzate a priori da incertezza su quello

Dettagli

5. Limiti di funzione.

5. Limiti di funzione. Istituzioni di Matematiche - Appunti per e ezioni - Anno Accademico / 6 5. Limiti di funzione. 5.. Funzioni imitate. Una funzione y = f(x) definita in un intervao [ a b] imitata superiormente in tae intervao

Dettagli

k n Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio (di Paolo Urbani maggio 2011)

k n Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio (di Paolo Urbani maggio 2011) b) (vedi grafo di lato) 7 0 9 0 0 0 ( E ) + + 0, ) Calcolare, riguardo al gioco del totocalcio, la probabilità dei seguenti eventi utilizzando il calcolo combinatorio a) E : fare b) E : fare 0 c) E : fare

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Il calcolo delle probabilità ha avuto origine nel Seicento in riferimento a questioni legate al gioco d azzardo e alle scommesse. Oggi trova tante applicazioni in ambiti anche

Dettagli

Probabilità e statistica

Probabilità e statistica Indice generale.probabilità ed eventi aleatori....come si può definire una probabilità....eventi equiprobabili....eventi indipendenti, eventi dipendenti....eventi incompatibili....eventi compatibili....probabilità

Dettagli

Introduzione alla spettroscopia. Spettroscopia infrarossa e spettrometria di massa

Introduzione alla spettroscopia. Spettroscopia infrarossa e spettrometria di massa 12 12 Introduzione aa spettroscopia. Spettroscopia infrarossa e spettrometria di massa Neo studiare a chimica organica, abbiamo finora dato per scontato che, quando si isoa da una reazione un composto

Dettagli

Elementi di calcolo delle probabilità

Elementi di calcolo delle probabilità Elementi di calcolo delle probabilità Definizione di probabilità A) Qui davanti a me ho un urna contenente 2 palline bianche e 998 nere. Mi metto una benda sugli occhi, scuoto ripetutamente l urna ed estraggo

Dettagli

ALLEGATO SUB B) ALLA DELIBERAZIONE G.C. N. 64 DEL 11.07.20ll SCHEDE DI VALUTAZIONE DELLA PERFORMANCE INDIVIDUALE

ALLEGATO SUB B) ALLA DELIBERAZIONE G.C. N. 64 DEL 11.07.20ll SCHEDE DI VALUTAZIONE DELLA PERFORMANCE INDIVIDUALE ALLEGATO SUB B) ALLA DELIBERAZIONE G.C. N. 64 DEL 11.07.20 SCHEDE DI VALUTAZIONE DELLA PERFORMANCE INDIVIDUALE COMUNE DI SANTA LUCIA DI PIAVE VALUTAZIONE ANNO DIPENDENTE: CATEGORIA: B (amministrativo)

Dettagli

TEORIA DELLA PROBABILITÀ I

TEORIA DELLA PROBABILITÀ I TEORIA DELLA PROBABILITÀ I Dipartimento di Matematica ITIS V.Volterra San Donà di Piave Versione [2015-16] Indice 1 Probabilità 1 1.1 Introduzione............................................ 1 1.2 Eventi...............................................

Dettagli

Sistemi di gestione per la qualità UNI EN ISO 9001. (edizione 2015)

Sistemi di gestione per la qualità UNI EN ISO 9001. (edizione 2015) Sistemi di gestione per a quaità UNI EN ISO 9001 (edizione 2015) 1 4) CONTESTO DELL'ORGANIZZAZIONE 4.1 Comprendere 'organizzazione e i suo contesto L'organizzazione deve determinare i fattori esterni ed

Dettagli

Introduzione alla probabilità

Introduzione alla probabilità Introduzione alla probabilità CAPITOLO TEORIA Il dilemma di Monty Hall In un popolare show televisivo americano il presentatore mostra al concorrente tre porte chiuse. Dietro a una di esse si cela il premio

Dettagli

Modello probabilistico di un esperimento aleatorio. Psicometria 1 - Lezione 6 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott.

Modello probabilistico di un esperimento aleatorio. Psicometria 1 - Lezione 6 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott. Modello probabilistico di un esperimento aleatorio Psicometria 1 - Lezione 6 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott. Corrado Caudek 1 Un esperimento è il processo attraverso il quale un osservazione

Dettagli

Guida all uso 3283. Cenni su questo manuale. Indice. Guida generale. Indicazione dell ora. Cronometro MO1106-IA

Guida all uso 3283. Cenni su questo manuale. Indice. Guida generale. Indicazione dell ora. Cronometro MO1106-IA MO1106-IA Guida a uso 3283 Cenni su questo manuae (Luce) A seconda de modeo di oroogio, a visuaizzazione de testo appare sotto forma di caratteri scuri su sfondo chiaro o sotto forma di caratteri chiari

Dettagli

Atto costitutivo dell'associazione di volontariato

Atto costitutivo dell'associazione di volontariato Esente da imposte di boo e registro ex artt. 6-8 Legge 266/1991. Atto costitutivo de'associazione di voontariato ART. 1 - È costituita fra i suddetti comparenti 'associazione di voontariato costituita

Dettagli

VOLUME 2 CAPITOLO 5 MODULO D LE VENTI REGIONI ITALIANE. Alla fine del capitolo scrivi il significato di queste parole nuove: ... ... ... ... ... ...

VOLUME 2 CAPITOLO 5 MODULO D LE VENTI REGIONI ITALIANE. Alla fine del capitolo scrivi il significato di queste parole nuove: ... ... ... ... ... ... VOLUME 2 CAPITOLO 5 MODULO D LE VENTI REGIONI ITALIANE LA POPOLAZIONE 1. Paroe per capire Aa fine de capitoo scrivi i significato di queste paroe nuove: popoazione... uogo di provenienza... immigrato...

Dettagli

Giovani e NEET in Europa: primi risultati

Giovani e NEET in Europa: primi risultati Fondazione europea per i migioramento dee condizioni di vita e di avoro Giovani e NEET in Europa: primi risutati > Sintesi < Se i giovani non hanno sempre ragione, a società che i ignora e i emargina ha

Dettagli

Interazione tra forze verticali e longitudinali: effetti anti 5.5 aggiornato 19-11-2013

Interazione tra forze verticali e longitudinali: effetti anti 5.5 aggiornato 19-11-2013 Interazione tra forze verticai e ongitudinai: effetti anti 5.5 aggiornato 19-11-2013 Ne piano frontae si studia interazione tra forze verticai Fz e forze aterai Fy sviuppate a iveo de impronta a terra.

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006 Statistica Dai risultati di un esperimento si determinano alcune caratteristiche della popolazione Calcolo delle probabilità

Dettagli

Esercizi. Rappresentando le estrazioni con un grafo ad albero, calcolare la probabilità che:

Esercizi. Rappresentando le estrazioni con un grafo ad albero, calcolare la probabilità che: Esercizi Esercizio 4. Un urna contiene inizialmente 2 palline bianche e 4 palline rosse. Si effettuano due estrazioni con la seguente modalità: se alla prima estrazione esce una pallina bianca, la si rimette

Dettagli

Esercizi di Probabilità e Statistica

Esercizi di Probabilità e Statistica Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 19 marzo 2007 Spazi di probabilità finiti e uniformi Esercizio 1 Un urna contiene due palle nere e una rossa. Una seconda urna ne contiene una bianca

Dettagli

SICUREZZA ELETTRICA: LE NOVITÀ PER IL DATORE DI LAVORO SUGLI IMPIANTI E SULLE APPARECCHIATURE

SICUREZZA ELETTRICA: LE NOVITÀ PER IL DATORE DI LAVORO SUGLI IMPIANTI E SULLE APPARECCHIATURE Focus TU Articoo SICUREZZA ELETTRICA: LE NOVITÀ PER IL DATORE DI LAVORO SUGLI IMPIANTI E SULLE APPARECCHIATURE di Fausto Di Tosto, primo tecnoogo, Sezione Impianti e apparecchiature eettriche - ISPESL

Dettagli

STATISTICA Lezioni ed esercizi

STATISTICA Lezioni ed esercizi Università di Torino QUADERNI DIDATTICI del Dipartimento di Matematica MARIA GARETTO STATISTICA Lezioni ed esercizi Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 00/00 Quaderno # Novembre 00 M. Garetto - Statistica

Dettagli

Matematica Applicata. Probabilità e statistica

Matematica Applicata. Probabilità e statistica Matematica Applicata Probabilità e statistica Fenomeni casuali Fenomeni che si verificano in modi non prevedibili a priori 1. Lancio di una moneta: non sono in grado di prevedere con certezza se il risultato

Dettagli

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche Ancora sull indipendenza Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche A e B Ā e B Ā e B Sfruttiamo le leggi di De Morgan Leggi di De Morgan A B = Ā B A B = Ā B P (Ā B) = P (A B) = 1 P (A B) = 1 (P (A)

Dettagli

Esericizi di calcolo combinatorio

Esericizi di calcolo combinatorio Esericizi di calcolo combinatorio Alessandro De Gregorio Sapienza Università di Roma alessandrodegregorio@uniroma1it Problema (riepilogativo) La segretaria di un ufficio deve depositare 3 lettere in 5

Dettagli

La probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri

La probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri La probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri La definizione di probabilità che abbiamo finora considerato è anche nota come probabilità a priori poiché permette di prevedere l'esito di un evento

Dettagli

ESERCIZIO GUIDA p Tracciamo il grafico della curva di equazione y ˆ

ESERCIZIO GUIDA p Tracciamo il grafico della curva di equazione y ˆ LE CONICHE E LA RISOLUZIONE GRAFICA DI EQUAZIONI Rivedi a teoria La raresentazione grafica di articoari curve: e curve irrazionai Mediante o studio dee coniche ossiamo costruire in modo semice i grafico

Dettagli

Esercizi sul calcolo delle probabilità

Esercizi sul calcolo delle probabilità Esercizi sul calcolo delle probabilità Svolti e da svolgere (per MAR 13 marzo) Dati due eventi A e B dello spazio campionario Ω. Si sappia che P(A c )=0,3 P(B)=0,4 e P(A B c )=0,5 si determinino le probabilità

Dettagli

Caso e probabilità. Il caso. Il caso. Scommesse e probabilità Fenomeni aleatori Probabilità

Caso e probabilità. Il caso. Il caso. Scommesse e probabilità Fenomeni aleatori Probabilità Introduzione Il caso Il caso commesse e probabilità Il caso i chiama evento casuale quello che si verifica in una situazione in cui gli eventi possibili sono più d uno, ma non si sa a priori quale si verificherà.

Dettagli

Quarta Lezione. Il prospettografo. Il vetro è dotato di una griglia che permette al pittore di riportare il punto traguardato su un foglio di carta.

Quarta Lezione. Il prospettografo. Il vetro è dotato di una griglia che permette al pittore di riportare il punto traguardato su un foglio di carta. Quarta Lezione I prospettografo La ezione inizia facendo e prime esperienze pratiche co prospettografo. I prospettografo è uno strumento di uso rinascimentae che aiuta a studiare a geometria dea proiezione

Dettagli

Probabilità discreta

Probabilità discreta Probabilità discreta Daniele A. Gewurz 1 Che probabilità c è che succeda...? Una delle applicazioni della combinatoria è nel calcolo di probabilità discrete. Quando abbiamo a che fare con un fenomeno che

Dettagli

Un mondo di vantaggi. Un offerta personalizzata. Là dove i Papi vanno in vacanza CREVALMAGAZINE SOCIOINCREVAL TECNOLOGIA PER IL CLIENTE

Un mondo di vantaggi. Un offerta personalizzata. Là dove i Papi vanno in vacanza CREVALMAGAZINE SOCIOINCREVAL TECNOLOGIA PER IL CLIENTE ECONOMIA CULTURA SOLIDARIETÀ TERRITORIO SPORT PLEIADI N 62 - Semestrae - Aprie 2013 CREVALMAGAZINE SOCIOINCREVAL Un mondo di vantaggi TECNOLOGIA PER IL CLIENTE Un offerta personaizzata CASTELLI ROMANI

Dettagli

I primi elementi. www.geogebra.org/cms/

I primi elementi. www.geogebra.org/cms/ CAPITOLO 1 I primi eementi 1. GEOGEBRA Geogebra eá un software di matematica dinamica prodotto da un gruppo diretto da Markus Hohenwarter in cui geometria e agebra condividono o stesso ambiente di avoro.

Dettagli

Stefano Falorsi. di seconda e quinta elementare rispettivamente di numerosità e N. I test somministrati alle

Stefano Falorsi. di seconda e quinta elementare rispettivamente di numerosità e N. I test somministrati alle Nota metooogica sua strategia i campionamento e sistema nazionae i vautazione ee competenze per e cassi secona e quinta e primo cico ea scuoa primaria Stefano Faorsi. Obiettivi I Sistema Nazionae i Vautazione

Dettagli

1 Probabilità. 1.1 Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio

1 Probabilità. 1.1 Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio Indice 1 Probabilità 1 1.1 Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio.. 1 1.2 Probabilità condizionata, indipendenza e teorema di Bayes.... 2 1 Probabilità 1.1 Primi esercizi di probabilità

Dettagli

Corso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo.

Corso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo. Corso di Matematica Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia Università degli Studi di Pisa Maria Luisa Chiofalo Scheda 18 Esercizi svolti sul calcolo delle probabilità I testi degli esercizi sono

Dettagli

La bonifica dei siti contaminati è un tema sul quale, da diversi anni, si confrontano soggetti

La bonifica dei siti contaminati è un tema sul quale, da diversi anni, si confrontano soggetti Tra i tanti, acque di fada e terre e rocce, MISE e Conferenza dei Servizi Bonifiche in siti produttivi: quai gi aspetti più critici? La bonifica dei siti contaminati è un tema su quae, da diversi anni,

Dettagli

FAX Canon B230C FAX Canon B210C. Suite FAX Canon Versione 3.10 Manuale per l utente

FAX Canon B230C FAX Canon B210C. Suite FAX Canon Versione 3.10 Manuale per l utente FAX Canon B230C FAX Canon B210C Suite FAX Canon Versione 3.10 Manuae per utente Copyright 1999 Canon, Inc. Tutti i diritti riservati. Non è consentito riprodurre i presente manuae in acuna forma, competa

Dettagli

Esercizi di Calcolo delle Probabilità (calcolo combinatorio)

Esercizi di Calcolo delle Probabilità (calcolo combinatorio) Esercizi di Calcolo delle Probabilità (calcolo combinatorio 1. Lanciamo due dadi regolari. Qual è la probabilità che la somma delle facce rivolte verso l alto sia pari a 7? 1/6 2. Due palline vengono estratte

Dettagli

Esercizi di Probabilità e Statistica

Esercizi di Probabilità e Statistica Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 9 giugno 006 Spazi di probabilità finiti e uniformi Esercizio Un urna contiene 6 palline rosse, 4 nere, 8 bianche. Si estrae una pallina; calcolare

Dettagli

Pilkington Optilam Pilkington Optiphon Linee guida per l utilizzo

Pilkington Optilam Pilkington Optiphon Linee guida per l utilizzo Pikington Optiam Pikington Optiphon Linee guida per utiizzo Pikington Optiam Pikington Optiphon Introduzione I vetro stratificato è prodotto assembando due o più astre di vetro foat con uno o più intercaari.

Dettagli

74 Quadro RF. Unico 2009 Società di capitali ed enti commerciali

74 Quadro RF. Unico 2009 Società di capitali ed enti commerciali 74 Per i beni mobii registrati, con costo ammortizzabie ai fini fiscai in un periodo non inferiore a dieci anni, a cui utiizzazione richieda un equipaggio di ameno sei persone, quaora siano concessi in

Dettagli

Isolamento termico. Gamma di prodotti basso emissivi Pilkington. Pilkington K Glass Pilkington Optitherm

Isolamento termico. Gamma di prodotti basso emissivi Pilkington. Pilkington K Glass Pilkington Optitherm Isoamento termico Gamma di prodotti basso emissivi Pikington Pikington K Gass Pikington Optitherm Pikington Optitherm S3 Introduzione a vetro basso emissivo I vetro è uno dei materiai da costruzione più

Dettagli

INFORMAZIONI GENERALI

INFORMAZIONI GENERALI INFORMAZIONI GENERALI SEDE Ergife Paace Hote Roma Via Aureia, 619-00165 ROMA Come raggiungere a sede IN AEREO: Da Aeroporto Internazionae Leonardo da Vinci di Fiumicino a km.25 taxi treno Fiumicino/Roma

Dettagli

RSU ELEZIONI DEL 3-4-5 MARZO 2015 BREVI NOTE SULLA CONTRATTAZIONE D ISTITUTO

RSU ELEZIONI DEL 3-4-5 MARZO 2015 BREVI NOTE SULLA CONTRATTAZIONE D ISTITUTO RSU ELEZIONI DEL 3-4-5 MARZO 2015 BREVI NOTE SULLA CONTRATTAZIONE D ISTITUTO RSU eezioni de 3-4-5 marzo 2015 3 Caendario e tempistica dee procedure eettorai e termine per e adesioni 13 gennaio 2015 annuncio

Dettagli

Costi del ciclo di vita (LCC) dei sistemi di pompaggio per le acque reflue

Costi del ciclo di vita (LCC) dei sistemi di pompaggio per le acque reflue WHITE PAPER Costi de cico di vita (LCC) dei sistemi di pompaggio per e acque refue Giugno 215. Costi de cico di vita (LCC) dei sistemi di pompaggio per e acque refue Questo white paper si prefigge o scopo

Dettagli

Cosa dobbiamo già conoscere?

Cosa dobbiamo già conoscere? Cosa dobbiamo già conoscere? Insiemistica (operazioni, diagrammi...). Insiemi finiti/numerabili/non numerabili. Perché la probabilità? In molti esperimenti l esito non è noto a priori tuttavia si sa dire

Dettagli

Ricerca Aviva sui comportamenti dei consumatori

Ricerca Aviva sui comportamenti dei consumatori Ricerca Aviva sui comportamenti dei consumatori Contenuto 1. Prefazione di Amanda Mackenzie OBE,Direttore Marketing e Comunicazione, Aviva pc. (p3) 2. Principai evidenze (p4) 3. CAS 2004 - uno sguardo

Dettagli

E LE M E N T I D I P R O B A B I L I T A

E LE M E N T I D I P R O B A B I L I T A L M T I D I P R O B A B I L I T A CI STORICI Il calcolo delle probabilità si è andato sviluppando piuttosto di recente, intorno al 500 e per lungo tempo solo come una branca della matematica Solo dal secolo

Dettagli

Le pensioni dal 1 gennaio 2014

Le pensioni dal 1 gennaio 2014 Argomento A cura deo Spi-Cgi de Emiia-Romagna n. 1 gennaio 2014 Le pensioni da 1 gennaio 2014 Perequazione automatica 2014 pensioni, assegni e indennità civii assistenziai importo aggiuntivo per anno 2013

Dettagli

Definizione Statico-Cinematica dei vincoli interni

Definizione Statico-Cinematica dei vincoli interni Definizione Statico-Cinematica dei vincoi interni Esempi deo schema strutturae di una struttura in cemento armato e di due strutture in acciaio in cui sono presenti dei vincoi interni cerniera. Vincoo

Dettagli

Isolamento termico. Gamma di prodotti basso emissivi Pilkington. Pilkington K Glass Pilkington Optitherm

Isolamento termico. Gamma di prodotti basso emissivi Pilkington. Pilkington K Glass Pilkington Optitherm Isoamento termico Gamma di prodotti basso emissivi Pikington Pikington K Gass Pikington Optitherm Pikington Optitherm S3 Introduzione a vetro basso emissivo I vetro è uno dei materiai da costruzione più

Dettagli

Provincia di Pistoia Economato, Provveditorato e Patrimonio Mobiliare

Provincia di Pistoia Economato, Provveditorato e Patrimonio Mobiliare Provincia di Pistoia Economato, Provveditorato e Patrimonio Mobiiare Convenzione fra 'Amministrazione provinciae di Pistoia e a PROD. 84 di Pistoia (PT) ai sensi de'art. 5 Legge 381191 e S. di puizia dei

Dettagli

IL CALCOLO DELLE PROBABILITA

IL CALCOLO DELLE PROBABILITA IL CALCOLO DELLE PROBABILITA 0. Origini Il concetto di probabilità sembra che fosse del tutto ignoto agli antichi malgrado si sia voluto trovare qualche cenno di ragionamento in cui esso è implicitamente

Dettagli

Teoria della probabilità Assiomi e teoremi

Teoria della probabilità Assiomi e teoremi Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Teoria della probabilità Assiomi e teoremi A.A. 2008-09 Alberto Perotti DELEN-DAUIN Esperimento casuale Esperimento

Dettagli

La solarità nelle varie zone italiane per il fotovoltaico

La solarità nelle varie zone italiane per il fotovoltaico Energia e Ambiente La soarità nee varie zone itaiane per i fotovotaico Modena 5 marzo 2008 Gianni Leanza Energia e Ambiente QUANTA ENERGIA ARRIVA DAL SOLE? Da Soe, si iberano enormi quantità di energia

Dettagli

Algebra 1. laboratorio e complementi MARZIA RE FRASCHINI - GABRIELLA GRAZZI

Algebra 1. laboratorio e complementi MARZIA RE FRASCHINI - GABRIELLA GRAZZI MARZIA RE FRASCHINI - GABRIELLA GRAZZI Agebra aboratorio e compementi ISBN 978-88-68-559-6 Edizione 4 5 6 7 8 9 0 00 0 0 0 04 Direzione Editoriae: Roberto Invernici Redazione: Domenico Gesmundo, Mario

Dettagli

Guida alla gestione d'impresa. Governare un'impresa

Guida alla gestione d'impresa. Governare un'impresa Guida aa gestione d'impresa Governare un'impresa Edizione 2010 Copyright 2010 Berardino & Partners S.r.. Via Morosini 19 10128 Torino Diritti di riproduzione, con quasiasi mezzo, concessi aa Camera di

Dettagli

Cenni sul calcolo combinatorio

Cenni sul calcolo combinatorio Cenni sul calcolo combinatorio Disposizioni semplici Le disposizioni semplici di n elementi distinti di classe k con kn sono tutti i gruppi di k elementi scelti fra gli n, che differiscono per almeno un

Dettagli

Esercizi di probabilità discreta

Esercizi di probabilità discreta Di seguito, potete trovare i testi (con risposta) degli esercizi svolti (o proposti) nel corso di esercitazioni dell insegnamento di Matematica applicata. 1 Esercizi di probabilità discreta Algebra degli

Dettagli

LA NUOVA REGOLAMENTAZIONE SUI LAVORI ELETTRICI SOTTO TENSIONE

LA NUOVA REGOLAMENTAZIONE SUI LAVORI ELETTRICI SOTTO TENSIONE LA NUOVA REGOLAMENTAZIONE SUI LAVORI ELETTRICI SOTTO TENSIONE di Fausto Di Tosto dipartimento Certificazione e Conformità dei Prodotti e Impianti INAIL, ex ISPESL Osservatorio a cura de Ufficio Reazioni

Dettagli

PROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado)

PROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado) L esito della prossima estrazione del lotto L esito del lancio di una moneta o di un dado Il sesso di un nascituro, così come il suo peso alla nascita o la sua altezza.. Il tempo di attesa ad uno sportello

Dettagli

Caso e probabilità. Il caso. Il caso. Scommesse e probabilità Fenomeni aleatori Probabilità Variabili aleatorie

Caso e probabilità. Il caso. Il caso. Scommesse e probabilità Fenomeni aleatori Probabilità Variabili aleatorie Introduzione Il caso Il caso commesse e probabilità Il caso i chiama evento casuale quello che si verifica in una situazione in cui gli eventi possibili sono più d uno, ma non si sa a priori quale si verificherà.

Dettagli

Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I)

Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I) Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I) 1. Si supponga di avere un urna con 15 palline di cui 5 rosse, 8 bianche e 2 nere. Immaginando di estrarre due palline con reimmissione, si dica con quale probabilità:

Dettagli

Personal Mastery Report

Personal Mastery Report Persona Mastery Report Profio base Esempio nome società Esempio dipartimento Esempio posizione avoro Mario Esempio 28 aprie 1 Report di Mario Esempio - 28 aprie 1 Indice 1 Persona Mastery Report 3 11 omprendere

Dettagli

PROBABILITA' E VARIABILI CASUALI

PROBABILITA' E VARIABILI CASUALI PROBABILITA' E VARIABILI CASUALI ESERCIZIO 1 Due giocatori estraggono due carte a caso da un mazzo di carte napoletane. Calcolare: 1) la probabilità che la prima carta sia una figura oppure una carta di

Dettagli

Elementi di modellazione e programmazione di contenuti digitali

Elementi di modellazione e programmazione di contenuti digitali Eementi di modeazione e programmazione di contenuti digitai Corso di Laurea Magistrae in Metodoogie informatiche per e discipine umanistiche Ing. Michea Paoucci Department of Systems and Informatics University

Dettagli

BLOCCO TEMATICO DI ESTIMO. Standard Internazionali di Valutazione (IVS) Market Comparison Approach (MCA) calcolo dei prezzi marginali

BLOCCO TEMATICO DI ESTIMO. Standard Internazionali di Valutazione (IVS) Market Comparison Approach (MCA) calcolo dei prezzi marginali BLOCCO TEMATICO DI ESTIMO Standard Internazionai di Vautazione (IVS) Market Comparison Approach (MCA) cacoo dei prezzi marginai Docente: geom. Antonio Eero CORSO PRATICANTI 205 I PREZZI MARGINALI I prezzo

Dettagli

Lexmark Print Management

Lexmark Print Management Lexmark Print Management Ottimizzate a stampa in rete e create un vantaggio informativo con una souzione di gestione dee stampe che potrete impementare in sede o attraverso coud. Riascio stampe sicuro

Dettagli

Capitolo 4 Probabilità

Capitolo 4 Probabilità Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 4 Probabilità Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Facoltà di Economia, Università di Ferrara Docenti: Dott.

Dettagli

Si ringrazia Giorgio Tosato per l aiuto fornito nella stesura finale e nella correzione dei testi.

Si ringrazia Giorgio Tosato per l aiuto fornito nella stesura finale e nella correzione dei testi. A09 4 Si ringrazia Giorgio Tosato per aiuto fornito nea stesura finae e nea correzione dei testi. Tecnoogia dei Materiai e Chimica Appicata Esercizi svoti ARACNE Copyright MMVIII ARACNE editrice S.r..

Dettagli

Calcolo combinatorio

Calcolo combinatorio Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2009/2010 C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico Calcolo combinatorio Ines Campa e Marco Longhi Probabilità e Statistica

Dettagli

Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita

Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita NOTA 1 Gli esercizi sono presi da compiti degli scorsi appelli, oppure da testi o dispense di colleghi. A questi ultimi

Dettagli

PIANO ANNUALE DEL CONSIGLIO DI CLASSE anno scolastico 2014-15

PIANO ANNUALE DEL CONSIGLIO DI CLASSE anno scolastico 2014-15 PIANO ANNUALE DEL CONSIGLIO DI CLASSE anno scoastico 2014-15 CORSO: DOCENTE COORDINATORE: DOCENTE SOSTEGNO: ASSISTENTE FISICA: 8 9 10 11 12 14 15 16 17 1. ORARIO DEFINITIVO DELLA CLASSE(in giao:orario

Dettagli

SEGMENTAZIONE DELLE IMMAGINI

SEGMENTAZIONE DELLE IMMAGINI EGMENTAZIONE DELLE IMMAGINI Introduzione Generamente una immagine contiene diversi oggetti presenti nea scena. Per esempio, in una cea robotizzata di assembaggio, i sistema di visione acuisisce automaticamente

Dettagli

Analisi dei Dati 12/13 Esercizi proposti 3 soluzioni

Analisi dei Dati 12/13 Esercizi proposti 3 soluzioni Analisi dei Dati 1/13 Esercizi proposti 3 soluzioni 0.1 Un urna contiene 6 palline rosse e 8 palline nere. Si estraggono simultaneamente due palline. Qual è la probabilità di estrarle entrambe rosse? (6

Dettagli

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 1 INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 1 INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ PROBABILITÀ - SCHEDA N. 1 INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ 1. Che cos è la probabilità? «La teoria delle probabilità non è altro che il tentativo del genere umano di comprendere l incertezza dell universo,

Dettagli

VOLUME 2 CAPITOLO 4 MODULO D LE VENTI REGIONI ITALIANE. Alla fine del capitolo scrivi il significato di queste parole nuove: ... ... ... ... ... ...

VOLUME 2 CAPITOLO 4 MODULO D LE VENTI REGIONI ITALIANE. Alla fine del capitolo scrivi il significato di queste parole nuove: ... ... ... ... ... ... VOLUME 2 CAPITOLO 4 MODULO D LE VENTI REGIONI ITALIANE I TRASPORTI 1. Paroe per capire Aa fine de capitoo scrivi i significato di queste paroe nuove: vie di comunicazione... mezzi di trasporto... autostrada...

Dettagli

VERBALE DI DELIBERAZIONE DEL CONSIGLIO PROVINCIALE N. 8258

VERBALE DI DELIBERAZIONE DEL CONSIGLIO PROVINCIALE N. 8258 PROVINCIA DI ASTI VERBALE DI DELIBERAZIONE DEL CONSIGLIO PROVINCIALE N. 8258 OGGETTO APPROVAZIONE REGOLAMENTO PROVINCIALE DEL VOLONTARIATO DI PROTEZIONE CIVILE 20/62 L anno duemiasei i giorno trenta de

Dettagli

IMPRESAPERTA IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

IMPRESAPERTA IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IMPRESAPERTA IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII Un modo migiore di avorare, attraverso un coinvogimento che iberi energie, capacità e potenziaità per a crescita dea motivazione, dea partecipazione e dea

Dettagli

STATISTICA E PROBABILITá

STATISTICA E PROBABILITá STATISTICA E PROBABILITá Statistica La statistica è una branca della matematica, che descrive un qualsiasi fenomeno basandosi sulla raccolta di informazioni, sottoforma di dati. Questi ultimi risultano

Dettagli

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k Pordenone Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica

Dettagli

CASSA DI PREVIDENZA INTEGRATIVA PER IL PERSONALE DELL ISTITUTO BANCARIO SAN PAOLO DI TORINO

CASSA DI PREVIDENZA INTEGRATIVA PER IL PERSONALE DELL ISTITUTO BANCARIO SAN PAOLO DI TORINO Newsetter n.7 - (1/2014) CASSA DI PREVIDENZA INTEGRATIVA PER IL PERSONALE DELL ISTITUTO BANCARIO SAN PAOLO DI TORINO presente numero dea newsetter dea Cassa iustra una rapida situazione de andamento de

Dettagli

6. I numeri reali e complessi ( R e C ). x2 = 2. 6.1 I numeri reali R.

6. I numeri reali e complessi ( R e C ). x2 = 2. 6.1 I numeri reali R. 6. I numeri reali e complessi ( R e C ). 6.1 I numeri reali R. Non tratteremo in modo molto approfondito gli ulteriori ampliamenti che dai numeri razionali ci portano a quelli reali, all insieme, e R d

Dettagli

ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO

ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO 1. Calcolare il numero degli anagrammi che possono essere formati con le lettere della parola Amore. [120] 2. Quante partite di poker diverse possono essere giocate da

Dettagli