Lez. 9 Moto armonico

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1 Lez. 9 Moto armonico Prof. 1 Dott., PhD Dipartimento Scienze Fisiche Università di Napoli Federico II Compl. Univ. Monte S.Angelo Via Cintia, I-80126, Napoli mettivier@na.infn.it

2 Un blocco, su una superficie orizzontale liscia, è collegato ad una molla. Se la molla è allungata o compressa di un piccolo tratto dalla posizione di equilibrio x = 0, essa eserciterà una forza sul blocco data da: F = -kx dove k è una costante positiva detta costante elastica della molla. Questa legge per le molle è nota come legge di Hooke. Il valore di k è una misura della rigidità della molla. Il segno negativo significa che la forza esercitata dalla molla è sempre diretta in verso opposto a quello dello spostamento dalla posizione di equilibrio. Per questo motivo essa è talvolta indicata col nome di forza di richiamo. 3 Lez. 6 - CONCETTO DI FORZA Una volta che il blocco è stato spostato a una certa posizione x max e quindi rilasciato libero, esso si muoverà da x max a + x max, passando attraverso lo zero, per poi tornare a x max. 4 Lez. 6 - CONCETTO DI FORZA 2

3 Il pendolo semplice è un altro sistema meccanico che si muove di moto periodico. Esso consiste di un punto materiale di massa m, sospeso a un filo leggero di lunghezza L, la cui estremità superiore è fissata. 5 Lez. 6 - CONCETTO DI FORZA Quando l oggetto è tirato lateralmente e rilasciato, esso oscilla intorno al punto più basso, che è la posizione di equilibrio. Il moto avviene in un piano verticale ed è determinato dalla forza di gravità. Le forze agenti sull oggetto sono la forza T, agente lungo il filo, e la forza di gravità mg. La componente tangenziale della forza di gravità, mgsenq, agisce sempre verso q = 0, opposta allo spostamento. Quindi la forza tangenziale è una forza di richiamo. 6 Lez. 6 - CONCETTO DI FORZA 3

4 7 Se studiamo il moto della componente di r lungo l asse x di un punto che si muove lungo una traiettoria circolare, otteniamo che: x(t) = r cos(wt+f) v(t) = -wr sen(wt+f) a(t) = -w 2 r cos(wt+f) 8 4

5 x(t) = A cos(wt+f) dove A, w, e f sono delle costanti. Per dare significato fisico a queste costanti, è conveniente predisporre una rappresentazione grafica del moto disegnando un grafico di x in funzione di t. Per prima cosa notiamo che A, detta ampiezza del moto, è semplicemente il valore massimo della posizione della particella nella direzione x sia positiva che negativa. La costante w si chiama frequenza angolare e ha unità di rad/s. La costante f, invece, rappresenta il valore dell angolo all istante iniziale e viene detta fase iniziale. 9 Il periodo T del moto è il tempo necessario alla particella per compiere un ciclo completo del suo moto. Cioè, i valori di x e v per la particella al tempo t sono uguali ai valori di x e v al tempo t+t. Possiamo correlare il periodo con la frequenza angolare usando la circostanza che la fase aumenta di 2p radianti nel tempo T: [w(t+t) + f] (wt+f) = 2p Semplificando questa espressione, vediamo che wt = 2p, ossia: T = 2p/w 10 5

6 L inverso del periodo si chiama frequenza f del moto. Mentre il periodo è l intervallo di tempo per una oscillazione, la frequenza rappresenta il numero di oscillazioni che la particella compie nell unità di tempo: f = 1/T = w/2p L unità di f sono i cicli per secondo, o hertz (Hz). Quindi w = 2pf = 2p/T

7 Moto Armonico Moto di una molla Moto di un pendolo w 2pf 2p T w k m w g L T 2p w T 2p m k T 2p L g 13 Quando un corpo è in movimento su una superficie scabra, o attraverso un mezzo viscoso quale l aria o l acqua, c è una resistenza al moto dovuta all interazione del corpo con ciò che lo circonda. Chiameremo una tale resistenza forza di attrito. 14 7

8 Se, per trascinare il bidone, si applica una forza orizzontale F verso destra il bidone può rimanere fermo se la forza è piccola. La forza che contrasta F e impedisce al bidone di muoversi agendo verso sinistra si chiama forza di attrito statico f s. Fino a quando il bidone non si muove, esso è descrivibile come particella in equilibrio e f s = F; quindi, se F aumenta, anche f s aumenta. Allo stesso modo, se F diminuisce anche f s diminuisce. Gli esperimenti mostrano che questa forza proviene dalla natura delle sue superfici. Se aumentiamo il modulo di F, il bidone alla fine comincerà a muoversi. Quando il bidone è sul punto di muoversi, f s è massimo. 15 Se F supera f s,max, il bidone si muove e accelera verso destra. Quando il bidone è in moto, la forza di attrito diventa minore di f s,max. Chiamiamo la forza d attrito per un oggetto in moto forza di attrito dinamico, f d. La forza netta F-f d nella direzione x, produce un accelerazione verso destra, secondo la legge di Newton. Se riduciamo l intensità della forza F fino a rendere F = f d, l accelerazione è zero, e il bidone si muove verso destra con velocità costante. Se la forza applicata viene rimossa, allora la forza di attrito agente verso sinistra fornisce un accelerazione nella direzione x e alla fine lo riporta in quiete. 16 8

9 Sperimentalmente si trova, con buona approssimazione, che tanto f s,max quanto f d per un oggetto su una superficie sono proporzionali alla forza normale esercitata dalla superficie sull oggetto; il modulo della forza d attrito statico fra due qualsiasi superfici a contatto può assumere valori dati da F s m s N dove la costante adimensionale m s è detta coefficiente di attrito statico e N è il modulo della forza normale. 17 L eguaglianza nell eq. sussiste quando il blocco è sul punto di iniziare a scivolare, cioè quando f s = f s,max =m s N. Questa situazione si chiama moto imminente. Il modulo della forza di attrito dinamico agente fra due superfici è F d = m d N dove m d è il coefficiente di attrito dinamico. La direzione della forza di attrito agente su un oggetto è opposta al moto. 18 9

10 19 Il seguente è un semplice metodo per misurare i coefficienti d attrito. Supponiamo che un blocco sia posto su una superficie scabra inclinata rispetto all orizzontale, come in fig. L angolo di inclinazione q può essere incrementato fino a quando il blocco inizia a muoversi. a) Qual è il coefficiente d attrito statico correlato all angolo critico q c per il quale il blocco inizia a muoversi.? b) Com è possibile misurare il coefficiente d attrito dinamico? 20 10

11 Una palla e un cubo sono collegati da un filo leggero attraverso una puleggia priva di attrito, come in fig. Il coefficiente d attrito dinamico tra il cubo e la superficie è 0,3. Determinare l accelerazione dei due oggetti e la tensione del filo