Capitolo 3 CARATTERIZZAZIONE MECCANICA DELLE FIBRE

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1 Capitoo 3 CARATTERIZZAZIONE MECCANICA DELLE FIBRE

2 3.1 LA TEORIA DI WEIBULL I comportameto meccaico dee fibre di giestra e di juta è stato caratterizzato mediate o studio dea resisteza a trazioe dee fibre stesse, adottado u metodo di cacoo statistico de vaore di resisteza media basato sua teoria dei difetti di Weibu [25]. Tae metodo coduce aa costruzioe, i u diagramma ogaritmico, di u iterpoazioe ieare decrescete deo sforzo medio di rottura dea fibra i esame i fuzioe dea sua ughezza ( retta di avoro ). I cocetto fodametae su cui si basa i modeo proposto da Weibu è ifueza dea preseza di difetti distribuiti casuamete ugo a fibra. Co aumetare dea ughezza a probabiità di trovare dei difetti sarà maggiore e quidi miore sarà a resisteza a trazioe dee fibre. Lo sviuppo di questo cocetto ha origiato u modeo aaogico a catea che rappreseta ua geerica fibra fragie come ua catea di aei a resisteza diversa posti i serie ed idetifica a probabiità di rottura dea catea co ua fuzioe di distribuzioe cumuativa, idicata co P (), defiita come a probabiità di rottura di u aeo per uo sforzo miore o uguae a. I coseguete modeo matematico cosete di esprimere a probabiità di rottura de itera catea. La catea si spezza quado cede uo dei suoi eemeti; a probabiità composta di o rottura dea catea è uguae aa probabiità di simutaeo o cedimeto di tutti gi aei: = [ P] 1 P 1, (3.1) dove P() è a fuzioe di distribuzioe cumuativa di u sigoo aeo dea catea, ovvero a probabiità che aeo abbia ua resisteza a trazioe iferiore a. Questa fuzioe può ache essere scritta ea forma: di cosegueza a (3.1) diveta: β = e P 1 ; (3.2) β = [ P] = e 1 P 1, (3.3) da cui si ottiee ua forma moto sempice per a resisteza dea catea: β = e P 1. (3.4) 58

3 La β() deve soddisfare a soa codizioe di essere ua fuzioe positiva, o decrescete e ua per u vaore mi o ecessariamete uguae a zero. La fuzioe piú sempice che soddisfa tae codizioe ha a seguete espressioe: β mi =. (3.5) max dove mi e max idetificao rispettivamete i miimo ed i massimo vaore dea resisteza a trazioe metre è u parametro. Sostituedo a (3.5) ea (3.4) si ricava: mi max P = 1 e (3.6) i cui è i umero di aei ideai dea catea. L equazioe (3.6) descrive a fuzioe di distribuzioe di Weibu a tre parametri (, max, mi ). Essa è de tutto empirica e a sua vaidità cosiste uicamete ea capacità di modeare i dati sperimetai. Si può osservare che a fuzioe P () tede a zero quado mi, metre per = max o è ecessariamete uguae a 1, poiché possoo esistere fibre dotate di resisteza a trazioe superiore a max. La probabiità (3.6) di resisteza di fibre fragii come quee vegetai può essere approssimata da ua fuzioe di distribuzioe di Weibu a due parametri, otteuta poedo mi = ed = /, dove: = ughezza dea fibra = ughezza de sigoo aeo ideae di catea Posto iotre = max 1/, si ottiee a seguete espressioe per a fuzioe P (): P = 1 e (3.7) I due parametri e dea (3.7) possoo essere ricavati agevomete dai dati sperimetai, come si vedrà ee tabee dei prossimi paragrafi. A tae scopo occorre passare ai ogaritmi aturai per etrambi i membri dea (3.7): [ 1 P ] = ; (3.8) eaborado uteriormete a (3.8) si perviee ifie aa forma ieare: 59

4 f 1, = 1 = (3.9) P ( P ) La forma (3.9) cosete di vautare i parametri e tramite ua regressioe ieare dei vaori sperimetai dea fuzioe f(p,) a primo membro e di trovati i corrispodeza dea ughezza prefissata di fibra: sarà i coefficiete agoare dea retta iterpoate, metre si ricaverà facimete da itercetta ( ) Cacoo dea resisteza media a rottura Derivado equazioe rispetto a si ottiee: P = 1 e (3.7) dp = 1 e d (3.1) La resisteza media a rottura per trazioe di u moofiameto schematizzato da ua catea composta da aei vae: dp = d d ; (3.11) sostituedo equazioe (3.1) a secodo membro de equazioe (3.11) si ha = 1 e d ; (3.12) operado a sostituzioe = t e sempificado, si ottiee t = e dt. (3.13) Poedo 1/ = ϑ 1, si può scrivere a resisteza media come ϑ ϑ t t 1 = e dt ϑ 1. (3.14) 6

5 A secodo membro dea (3.14) si può idetificare a fuzioe gamma competa Γ(ϑ), tabuata i etteratura [App.C]: si ricava perciò espressioe: o, aterativamete: ϑ ( ) ϑ 1 t = t e Γ ϑ dt ; (3.15) = Γ( ϑ) ϑ 1. (3.16) + 1 = Γ 1 (3.17) co a quae, ua vota otteuti i parametri e tramite a regressioe ieare (3.9), è possibie cacoare a resisteza media a rottura associata aa ughezza dea fibra cosiderata. I vaore di risuta fuzioe di ; ua vautazioe di massima dea dipedeza fuzioae da che coseta estrapoazioe a di fuori de campo sperimetae è otteibie mediate u secodo iveo di regressioe ieare, esprimedo equazioe (3.17) i forma ogaritmica og = og + og + og Γ, (3.18) per cui ua vota ota a cosiddetta retta di avoro ovvero a retta ( og ) og = og, (3.19) iterpoate i vaori di og cacoati dai dati sperimetai i corrispodeza di ameo tre ughezze di fibra prefissate (defiite Gauge egths ), è possibie ricavare graficamete i vaor medio di resisteza tesie ughezza dea fibra. i corrispodeza di quauque I utima aaisi, iterpoazioe ieare di 3 o 4 puti sperimetai origiati ciascuo a mote da ua prima regressioe ieare tradurrà a caratterizzazioe meccaica dea fibra e forirà a retta di avoro, che cosetirà ad es. e Cap.5 di vautare a resisteza tesie media i corrispodeza dea ughezza critica dea fibra sperimetamete iaccessibie per ua misurazioe diretta ricavata ee prove di adesioe fibra-matrice. 61