La parabola fa parte, con l ellisse e con l iperbole, di una famiglia di importantissime curve chiamate CONICHE.
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- Marco Ferrero
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1 5 LA PARABOLA NEL PIANO CARTESIANO Cosa si intende per paraola? La definizione di paraola può essere posta in più modi, assai diversi l uno dall altro, che si dimostrano esser fra loro equivalenti Noi sceglieremo, come la maggior parte dei liri di testo, la definizione seguente DEFINIZIONE DI PARABOLA Si dice paraola il luogo dei punti del piano, aventi la proprietà di essere equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa d detta direttrice Una paraola ha evidentemente (NOTA) un asse di simmetria (la perpendicolare alla direttrice passante per il fuoco, tratteggiata e indicata con a nella figura) Il punto medio V del segmento di perpendicolare FW condotto dal fuoco alla direttrice appartiene alla paraola e ne è detto il vertice La paraola fa parte, con l ellisse e con l iperole, di una famiglia di importantissime curve chiamate CONICHE NOTA Che la perpendicolare alla direttrice passante per il fuoco sia asse di simmetria per la curva precedentemente definita, è del tutto intuitivo: tuttavia, è anche facilmente dimostraile coi en noti teoremi della Geometria euclidea Facciamo vedere che se un punto P appartiene alla curva, allora vi apparterrà senz altro anche il simmetrico di P rispetto alla retta a Infatti, con riferimento alla figura: sia P un punto appartenente alla paraola; sia P' il simmetrico di P rispetto alla retta a; indichiamo con L la proiezione di P' su d E immediato osservare che i due triangoli PKF, P'KF sono uguali per il Criterio e dedurne che P 'F = PF ; è poi P'L = PH in quanto distanze di due rette parallele essendo allora P F= PH, perché P appartiene alla paraola, sarà pure P'F = P'L, quindi anche P' apparterrà alla paraola, come volevasi dimostrare LA PARABOLA NEL PIANO CARTESIANO Supponiamo dapprima, per semplicità, che l asse della paraola coincida con l asse, e il vertice con l origine Il fuoco F avrà allora coordinate (, k) e la direttrice avrà equazione = k La costante k potrà essere positiva o negativa; nella figura, l aiamo supposta positiva P(, ) fuoco F(, k) direttrice d : =k PF = PH PH = (P, ) + ( dist d ) ( ) + ( k) = + k k + k = k = + k + k = ossia = a, se poniamo a = k k
2 Fin qui, aiamo dimostrato che l equazione della paraola di fuoco è Viceversa, = a, con 5 F(, k ) e direttrice d: = k a = k (e dunque, inversamente, fissata ad aritrio una costante non nulla a, l equazione k = ) = a rappresenterà sempre una paraola: infatti, se si prova a scrivere l equazione della paraola di fuoco F, e direttrice d: =, si trova proprio = a L essenziale del discorso può essere riassunto nel quadro seguente L equazione = a rappresenta una paraola con vertice nell origine, asse coincidente con l asse, fuoco F(,k ) con k = e direttrice d : = La quantità fornisce la distanza orientata vertice-fuoco (se è positiva, il fuoco sta sopra il vertice, se negativa sotto) Se ora andiamo a disegnare la funzione = a per diversi valori di a, a = a = a = / a = / a = a = potremo osservare che con a >, la paraola ha la concavità rivolta verso l alto ; con a <, la paraola ha concavità rivolta verso il asso Ciò è perfettamente coerente col fatto che k, ordinata del fuoco, essendo uguale a /( a), ha lo stesso segno di a: poiché ora la paraola gira intorno al fuoco, con a>, k> la concavità sarà verso l alto, con a<, k< la concavità sarà verso il asso Inoltre: Il numero a viene spesso chiamato il parametro della paraola E davvero fondamentale ricordare che la quantità fornisce la distanza orientata vertice-fuoco quanto più a è grande, tanto più la paraola è rapida nel suo impennarsi (verso l alto o verso il asso), mentre se a è piccolo avremo, invece, una paraola che si impenna lentamente e ha una curvatura più dolce Per questo, la costante a è detta apertura della paraola
3 EQUAZIONE DI UNA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL ASSE, E VERTICE V(, ) E giunto il momento di aandonare l ipotesi che il vertice della nostra paraola coincida con l origine: vogliamo infatti porci in condizioni più generali Il vertice della paraola potrà ora stare in una posizione qualsiasi: indichiamolo con V(, ) Continueremo però ancora a supporre che l asse della paraola sia parallelo all asse (e quindi la direttrice, che è perpendicolare all asse, sia parallela all asse ) Possiamo ricavare l equazione della nostra paraola ponendoci inizialmente in un riferimento cartesiano ausiliario, nel quale il vertice della paraola coincida con l origine, per poi ritornare al riferimento cartesiano iniziale Passiamo dunque al nuovo riferimento cartesiano XVY, avente l origine in V, e traslato rispetto al sistema di riferimento originario O Nel riferimento XVY, la paraola avrà equazione della forma Y = ax, dove a=, k =, essendo k l ordinata del fuoco nel nuovo riferimento k (k è la misura con segno del segmento orientato vertice-fuoco VF) Ma le equazioni del camiamento di riferimento sono X = Y = { 5 per cui, ritornando al vecchio riferimento O, l equazione Y = ax diventerà = a ( ) Pertanto EQUAZIONE DI UNA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL ASSE NOTO IL VERTICE = ) (, ) a( Se sviluppiamo i calcoli, otterremo = a( ) = a a + a = a a + a + c = a + + c Aiamo così scoperto che è l equazione della paraola con asse parallelo all asse e vertice Il segmento orientato vertice-fuoco (VF) ha misura relativa EQUAZIONE GENERALE DI UNA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL ASSE Una paraola con asse parallelo all asse ha equazione della forma dove la quantità = a + + c ( a,, c, a ) fornisce la misura relativa del segmento orientato vertice-fuoco VF
4 55 Occupiamoci ora del viceversa: data un equazione della forma = a + + c, dove a,, c sono tre costanti reali ( a ), siamo sicuri che essa rappresenti sempre una paraola? Per rispondere, andiamo a vedere se è sempre possiile passare dalla forma = a + + c alla forma = a ( ), che individueree la paraola con asse parallelo all asse e vertice (, ) c c = a + + c; = a + + ; a ; a a = a a c c c = a ; a ; a + ; a a = + a = + a Δ c a + = + OSSIA a, ac Δ = a con = = = a Possiamo allora trarre la conclusione seguente L equazione = a + + c, qualunque sia il valore della terna di coefficienti reali a,, c ( a ), rappresenta sempre una paraola con asse parallelo all asse Δ Il vertice di tale paraola ha coordinate =, =, si ha cioè V Δ, a a Con a>, la paraola ha la concavità rivolta verso l alto ; e con a<, ha la concavità rivolta verso il asso Il numero a è detto il parametro della paraola Quanto più il valore assoluto di a è grande, tanto più la paraola è rapida nel suo impennarsi (verso l alto o verso il asso), mentre se il valore assoluto di a è piccolo avremo, invece, una paraola che si impenna lentamente e ha una curvatura più dolce Per questo, il numero a è detto apertura della paraola E il fuoco della paraola, che coordinate avrà? E quale sarà l equazione della direttrice? Per rispondere, è sufficiente ricordare il ruolo che il parametro a ricopre in tutto questo discorso: a = k, ovvero k =, con k = misura con segno del segmento orientato vertice-fuoco Δ Δ Δ Sarà allora F = V + = + = ; d : = V = = +Δ RIASSUMENDO: DALL EQUAZIONE DI UNA PARABOLA ALLE COORDINATE DI VERTICE E FUOCO E ALLE EQUAZIONI DI ASSE E DIRETTRICE Nella paraola di equazione = a + + c, si ha Le ordinate che compaiono in tali formule possono essere ricostruite senza fatica a partire dalla sola ascissa del vertice V = a Infatti, poiché V sta sulla paraola, si ha suito V = av + V + c e asterà poi tenere presente che l ordinata F del fuoco e l ordinata costante d di tutti i punti della direttrice possono essere ricavate dall ordinata V del vertice, addizionandole e rispettivamente sottraendole la quantità misura relativa del segmento orientato = vertice-fuoco = VF = WV V, Δ ; F, Δ ; d: +Δ a = a Ovviamente, essendo l asse parallelo all asse, l ascissa del vertice e quella del fuoco coincidono anche con l ascissa costante di tutti i punti dell asse di simmetria della paraola: F = V = ; asse: = a a
5 ESEMPI SVOLTI ) E data la paraola di equazione = 8 Disegna la curva, poi determina: le coordinate del vertice e del fuoco; l equazione dell asse e della direttrice Quanto vale il parametro di questa paraola? Quanto vale l apertura? 56 Quando si deve disegnare una paraola, conviene innanzitutto calcolare la quantità, a che esprime: l ascissa del vertice, l ascissa del fuoco e l ascissa costante di tutti i punti dell asse di simmetria Nel nostro caso, è = =+ a Dunque potremo disegnare per prima cosa, tratteggiato, l asse di simmetria =+, che ci sarà molto utile in quanto, nel disegnare poi la paraola, dopo aver ) dato a un valore, ) calcolato il corrispondente valore di, ) e segnato sul foglio il punto corrispondente, potremo, senza altri calcoli, posizionare immediatamente un altro punto: il simmetrico del precedente, rispetto all asse Per fare un esempio, con riferimento alla figura qui a fianco, dopo aver segnato il punto (, 8), 8 potremo suito segnare anche il punto Ora, per quanto riguarda l ordinata del vertice, la cui ascissa è V = =, essa potrà essere calcolata: a tramite la formula Δ ( ) ( 8) + 6 V = = = = =9 oppure, più semplicemente e senza isogno di ricordare formule, sostituendo l ascissa nota nell equazione della paraola: = 8= 8=9 V Per l ordinata del fuoco, e l ordinata costante di tutti i punti della direttrice, di può procedere con le formule note oppure ricordare soltanto che la distanza orientata vertice-fuoco è = = e, addizionando poi sottraendo questa quantità all ordinata del vertice, si ottengono rispettivamente l ordinata del fuoco e l ordinata che caratterizza la direttrice Dunque: 5 F = V + = 9 + = direttrice : = V =9 = 7 Il parametro di questa paraola vale a = L apertura vale a = = = Come spiegato qui a sinistra, una volta determinata una coppia (, ) e quindi disegnato un punto, se ne può suito segnare un altro ossia il simmetrico, rispetto all asse tratteggiato, del punto individuato prima Ciò permette di risparmiare, pressappoco, la metà dei calcoli
6 57 ) Scrivi l eq della paraola, con asse parallelo all asse, passante per i punti A(,); B(,5); C(, 7) L equazione generale di una paraola con asse parallelo all asse è = a + + c Ci sono parametri da determinare, dunque: ma aiamo appunto condizioni, le condizioni di appartenenza dei punti A(,) = a ( ) + ( ) + c = a + c a + c= B(,5) 5 = a + + c 5 = a+ + c a+ + c= 5 7 C(, 7) a c 7 6a c = + + = + + 6a+ + c=7 () () = ; = () = () a + + c = 5; a + c = () () 5a = 5; a= () 6a+ + c= 7; 6a+ c= () + c= ; c= 5 La paraola che ci interessa è perciò la = ) Scrivere l eq della paraola, con asse parallelo all asse, che ha per vertice V(,) e passa per P(,) Determinare successivamente: il fuoco; l equazione dell asse e della direttrice; il parametro; l apertura L equazione di una paraola di cui sia noto il vertice si può scrivere con la formula = a ( ) che nel nostro caso diventa = a( ) Determineremo il valore del parametro a imponendo l appartenenza del punto P(,) e quindi scrivendo = a( ) ; = 9 a; a = L equazione è perciò ; ; ; ; = = = + = + + = + + Ora, per quanto riguarda il fuoco è F = V = ; F = V + = + = + = = 9 La direttrice ha equazione d: = V ; = ; = ; = + ; = L asse ha equazione = quindi = ; il parametro è F a = ; l apertura è ) Scrivere l equazione della paraola di vertice V(,) e direttrice d: = METODO ALGEBRICO = a ( ) quindi = a ( ) ; = a( ) ; = a + La direttrice ha equazione: ( ) +Δ + a a = = = = da cui = ; a = Equazione della paraola: = ( ) ; = + = + a = = METODO GEOMETRICO (più efficace!) Dalla figura si vede che il fuoco (che giace sull asse, a una distanza dal vertice uguale a quella che il vertice ha dalla direttrice) deve aver coordinate (,) Ma la paraola che ha per fuoco F(,) e per direttrice d: = non è altro che il luogo dei punti P(, ) equidistanti dal fuoco e dalla direttrice: quindi PF = PH ; ( ) + ( ) = + ( ) + ( ) = ( + ) = + + = + ; = +
7 CASI PARTICOLARI di = a + + c c = : = a + 58 In questo caso (termine noto nullo) è certamente verificata la condizione di appartenenza dell origine, che ha coordinate (,), alla curva; pertanto la paraola passa per l origine In generale, è utile tener presente che una qualsivoglia curva algerica ( = curva la cui equazione si può portare sotto la forma: polinomio nelle variaili, uguagliato a zero) passa per l origine, se e solo se la sua equazione manca del termine noto = : = a + c In questo caso, si ha V = = e quindi a il vertice della paraola sta sull asse delle ; l asse delle coincide con l asse di simmetria della paraola Quest ultimo fatto si comprende ancor meglio se si pensa che, poiché manca il termine in e sopravvivono solo il termine in e il termine noto, se si muta in, la corrispondente rimane la medesima; insomma, a valori opposti di corrisponde lo stesso valore di (, f( ) = f( ) : si dice che la funzione è pari ) Ma ciò comporta appunto che la paraola presenti una simmetria rispetto all asse verticale = c= : = a Come aiamo già visto e come si deduce dal fatto che qui sono verificati contemporaneamente entrami i casi particolari esaminati in precedenza, la paraola ha il vertice nell origine c = : = a + = : = a + c = c= : = a la paraola passa per l'origine la paraola è simmetrica rispetto all'asse la paraola ha il vertice nell'origine PARABOLA CON ASSE DI SIMMETRIA PARALLELO ALL ASSE Se si pensa ad una paraola con asse di simmetria parallelo all asse delle, i ruoli di e di sono scamiati ma il discorso rimane ovviamente il medesimo Pertanto, confrontando le due situazioni:
8 59 PARABOLA RUOTATA Se venisse richiesto di determinare l equazione della paraola avente per fuoco il punto F(,) e per direttrice le retta r: = 5 ( 5 = ), asteree considerare il generico punto P(, ) del piano cartesiano e porre la condizione che le due distanze di P dal punto F e dalla retta r siano uguali PF = PH 5 ( ) + ( ) = = = = = Questo è solo un esempio: si potree dimostrare, in generale, che l equazione di una paraola comunque disposta nel piano cartesiano si può sempre scrivere sotto la forma a + + c + d + e + f = e inoltre che, in questa equazione, risulta sempre c=!!! ESEMPI SVOLTI 5) Scrivere l equazione della paraola che ha per direttrice l asse, per asse l asse e che passa per A (,) = a + c ( ha per asse l ' asse, quindi = ) +Δ direttrice di equazione = : = ; passaggio per (,) : = a + c; = a + c +Δ= + c = ; c = c = ; ac = a + c = a = Il sistema ha una sola soluzione: Dunque la paraola cercata ha equazione = + c = 6) Una paraola con l asse parallelo all asse ha per fuoco il punto F(,) e che passa per A (,8) Qual è la sua equazione? Paraola con asse parallelo all asse : equazione a = + + c e fuoco Δ, a Dunque: Δ = a + c=8a =8a =8a = = 8a c= ; a c= = c ( passaggio per P) c= 8 ( 8 ) + ac= a a + a=8a 6± ± 6 + =8 a; 6 + a+ = ; 6 a = ; a 6, = = = 6 6 a = 6 a = = = c = c = = + + = + 6 Ci sono perciò paraole che risolvono il prolema : e
9 6 7) Scrivere l equazione della paraola, con l asse parallelo all asse, che passa per i due punti (,) e (,) ed è tangente alla retta di equazione = Equazione generale a c : = + + (,) : ; PASSAGGIO PER = a + + c = a + c (, ) : ; 9 PASSAGGIO PER = a + + c = a + + c Condizione di tangenza : facendo il sistema fra la paraola e la retta, questo sistema dovrà avere una sola soluzione = a + + c = Scriviamo l ' equazione risolvente del sistema : a + + c = Questa equazione di grado avrà una sola soluzione se, e soltanto se, Δ= a c a c = ; = Δ= c + = CONDIZIONE DI TANGENZA ( ) ( c ) () () + = 8a+ = ; a+ = ; = a a + c = () a + a + c = ; c = a 9a+ + c= () ( a ) ( a+ ) = a a = ; 6a+ a = ; 6a 6a= ; a a= a a = ; a= non accettaile ( con a =, non si avree una paraola!) a = = a = = Pertanto la paraola che risolve il prolema è la = c= a= = 8) Scrivere l equazione della paraola, con l asse parallelo all asse, tangente alla retta = + e altresì tangente, nell origine, alla retta = = + + Equazione generale : a c = a + ( aiamo già tenuto conto del fatto che c = Passaggio per l ' origine (,): c = Condizione di tangenza con la retta = : facendo il sistema fra la paraola e la retta, questo sistema dovrà avere una sola soluzione ) = Scriviamo l ' equazione risolvente del sistema : a + = ; a + ( + ) = Δ= + a = + = = CONDIZIONE DI TANGENZA
10 6 Condizione di tangenza con la retta = + : facendo il sistema fra la paraola e la retta, questo sistema dovrà avere una sola soluzione = a ( aiamo già tenuto conto del fatto che =) = + Scriviamo l ' equazione risolvente delsistema: a = + a = Δ = + = a = CONDIZIONE DI TANGENZA aiamo utilizzato, per comodità, il Δ / anzichè il Δ; è chiaro che Δ= se e solo se Δ/= a = c = = ; pertanto la paraola che risolve il prolema è la = 9) Determinare le equazioni delle due rette tangenti alla paraola = 6, condotte dal punto A(, 7) Scriviamo l equazione della generica retta passante per A(, 7) : + 7 = m( ) Poniamo a sistema la retta con la paraola; il sistema ottenuto avrà un equazione risolvente di grado; noi in questa equazione risolvente porremo la condizione Δ = = = m( ) 6+ 7 = m( ) + = mm m+ + m= + m + + m = ( ) ( ) ( m) ( m) ( m)( m ) ( m+ )( m ) = m= m= Δ= + + = + + = Le due tangenti cercate sono perciò le rette t : + 7= ( ); + 7= + ; =6 t : + 7= ( ); + 7= ; = ) Determinare l equazione della retta tangente alla paraola dell esercizio precedente, nel suo punto di ascissa L' ordinata del punto è = 6 = ( ) ( ) 6= + 6= Il punto è (,) Generica retta per (,): = m( + ); = m + m Sistema con la paraola : = 6 { = m+ m Equazione risolvente : 6= m + m; m 6 m = ; ( + m) ( 6+ m) = Condizione di tangenza Δ= : ( + m) + (6+ m) = ; + m + m + + 8m = m + m+ 5 = m+ 5 = m=5 Com era geometricamente prevediile (dato che in questo caso il punto apparteneva alla curva) si è trovata UNA SOLA retta tangente: quella di equazione =5
11 6 ) La paraola di equazione = + 6 determina, con l asse delle, una regione limitata chiusa Quanto misura il lato del quadrato inscritto in tale regione? Consideriamo una retta r parallela all asse, di equazione = k Vogliamo determinare il parametro k in modo che, dette A e B le intersezioni di r con la paraola, e dette C e D le proiezioni di B e A rispettivamente sull asse, il rettangolo ABCD aia i lati tutti uguali fra loro = + 6 = k + 6 = k + 6 k = ± ( 6k ) ± + + k ± 5 + k, = = = 5+ k + 5+ k A, k B, k + 5+ k 5+ k AB = = = 5 + k AD = k k 5 5 5, + k = k + k = k k k = = ± + 5 = La soluzione che ci interessa è evidentemente solo quella negativa: k = 9 che corrisponde alla retta = 9 e al quadrato di lato k = 9 = 9 Il valore di k positivo corrisponderee al quadrato nella seconda figura, che non è però quello richiesto dal prolema IN ALTERNATIVA, si saree potuta assumere come incognita la misura ( > ) di uno qualsiasi dei due segmenti uguali ED = CF =α La risoluzione saree stata allora ( +α ) ( α ) D, ; E, = +α + +α 6= 9 6α+α +α6 = α 5α A AD 5 ; DE 5 =α α = α +α = α+ α= α L equazione risolvente è α 5α = 5α che può essere ricondotta, ad esempio, al sistema misto α α α 5 ( 5 α α=± α ) ± 9 7± 9 α α= α α α= + α α= Tenuto conto che deve essere anche α>, si vede che l unica soluzione accettaile è α= 7 9 la quale poi porta alla stessa misura, per il lato del quadrato, trovata con l altro (più comodo) metodo
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