1. PROBABILITA'. CONCETTI FONDAMENTALI. Gli eventi reali possono essere generalmente associati ad una di due categorie principali:

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1 . PROBABILITA'. CONCETTI FONDAMENTALI Gli vnti ali pssn ss gnalnt assciati ad una di du catgi pincipali: - vnti ch pssn ss plicati (cn ciò iplicand cndizini iptitiv, idntich), - vnti cnsidati unici, ai (nlla scala di tpi cnsidata). C spi dlla pia catgia di vnti pssia nzina l'uscita di un nu alla ultt, il guast di un cpnnt ccanic duant dll pv in cndizini cntllat, ipducibili. C spi dlla scnda catgia di vnti pssia nzina la psizin ch avà all'aiv un dat cavall in una csa, il guast di un sista ccanic duant la sua issin (p s., la ttua dl cabi di un'aut duant una csa), l'vntualità di un tt in una data gin in un intvall di tp dtinat. S la pbabilità di un dat vnt è una quantità cn cui isua il gad di fiducia, cnfidnza, sulla sua iuscita, basandci sull nst cnscnz in un dtinat nt, du dfinizini distint di ssa ptann quindi ss fulat, a scnda dll'appatnnza all'una d all'alta dll catgi spa citat. Csì, in appt agli vnti dlla pia catgia, av la dfinizin "fquntista" p la qual, dat un vnt X, la pbabilità, P(X), dl su avvasi in una cta pva è data dal appt t il nu di vnti favvli (ciè cispndnti all'vnt X) d il nu di tutti gli vnti pssibili, assund cndizini idntich in ciascuna pva (c succd, ad spi, cn l gicat alla ultt). P quant iguada invc la scnda catgia di vnti, av la dfinizin "sggttivista" scnd la qual, dat un vnt X, la pbabilità, P(X), dl su avvasi in una cta pva cispnd ad una valutazin quantitativa psnal ( quindi sggttiva) dl su avvasi (c la psizin in classifica di un cavall all cs su cui scttia). Si suppn ch qusta valutazin sddisfi cunqu i citi di autcnsistnza cpatibilità cn l alt infazini dispnibili.

2 .. Pbabilità di vnti Evnti cngiunti Il isultat cngiunt, intszin, di du gnici vnti X Y è indicat cn la ntazin X I Y (X AND Y). La pbabilità di qusta intszin, P(X I Y), è nalnt dntata P(XY). Intducnd il cnctt di pbabilità cndizinata P(X Y), ciè, la pbabilità dll'vnt X dat Y, si può sciv la lazin P (X I Y) P(XY) PX U)P(Y) (.) L'stnsin ad vnti ultipli è idiata. P spi, nl cas di t vnti X, Y Z, si ha P (X I Y I Z) P(XYZ) P(X YZ)P(Y Z)P(Z). (.) S, lt ad X, intducia il su cplnt X (NOT X), ciè l'vnt ch X nn abbia lug, qusti du vnti si scludn a vicnda la pbabilità di vificasi cntpanant si annulla, ciè P (XX) P(X X)P(X) 0. (.3) Evnti disgiunti Cnsidia a il isultat di du vnti disgiunti X Y. Chia qust vnt l'unin di X d Y l dnt cn XUY (X OR Y). La pbabilità di qusta unin, P(XUY), è nalnt dntata P(X+Y). Si può sciv la sgunt spssin: P(X+Y) P(X) + P(Y) P(XY), (.4) dv P(XY) cispnd alla alla pbabilità dll'vnt cngiunt (intszin) di X Y. Anch in qust cas l'stnsin ad vnti ultipli è idiata. P spi, nl cas di t vnti X, Y Z, isulta P(XUYUZ) P(X+Y+Z) P(X) + P(Y) + P(Z) P(XY) P(XZ) P(YZ) + P(XYZ) (.5) In lazin agli vnti X X (NOT X) la pbabilità dl l isultat disgiunt è P (X + X) P(X) + P(X). (.3)

3 . VALUTAZIONE PROBABILISTICA DEI COMPONENTI Un sista è una stuttua fata da un più cpnnti, d unità, lnti (gnalnt sggtti a ipaazin, in cas di guast). Qui ci liit a cnsida tali cpnnti. I cnctti pincipali ch si ttann, c qulli lativi alla affidabilità alla dispnibilità, pssn ss tuttavia anch stsi ad inti sisti ( sttsisti). Distingu dappia ta du tipi di cpnnti: qulli ch pan su ichista qulli ch pan di cntinu. Cpnnti ch pan su ichista P quant iguada i cpnnti ch pan su ichista, pt dfini la pbabilità ch all' l -sia ichista il cpnnt sia in pazin (vnt X l). La pbabilità ch il cpnnt sia in pazin a ciascuna di L ichist saà data dall'quazin P(X X... X L ) P(X L X X... X L- ) P(X X... X L- ) P(X L X X... X L- ) P(X L- X X... X L- )... P(X X )P(X ) (.4) Cpnnti ch pan di cntinu P quant iguada i cpnnti ch pan di cntinu, indichia cn F(t) la pbabilità (cuulativa) ch il tp dl l pi guast sia infi d gual al tp t di cntinua pazin. Ovviant, è 0 F(t). La cispndnt funzin di distibuzin dll pbabilità (p.d.f.) f(t) saà data dall'quazin df(t) f (t) ( t > 0) (.5) dt La quantità f(t)dt cispnd alla pbabilità ch il pi guast avvnga ta t t+dt.

4 Intducia a il tp di alla ttua (MTTF, p "an ti t failu"), ciè il tp di ch il cpnnt ha funzinat pia dlla ttua. Ess saà dat dall'spssin MTTF tf (t)dt. (.6) Affidabilità di cpnnti La pbabilità ch nll'intvall (0,t) nn avvngan guasti, nl sns ch duant qust tp il cpnnti pi nalnt, è chiaata "affidabilità" (ingl.: liability) d è dntata cn R(t). Ottnia facilnt R(t) F(t) f (t)dt. (.7) t Chiaant, R(t) 0 p t. Dall'spssin (.7) vdia ch F(t) cispnd al cplnt dll'affidabilità, ciè a [ F(t)]. Qusta quantità è chiaata "inaffidabilità" (ingl.: unliability) d è dntata R (t). Piché è dr(t) dt f (t), (.8) dalla (.6) ttnia ch il tp di al guast è dat dall'spssin MTTF R (t)dt. (.9) La funzin di distibuzin dlla pbabilità di pi guast f(t) lativa ad un cpnnt è nalnt spssa dal pdtt f(t) λ(t)r(t), (.0) dv λ(t) vin dfinit il tass di guast istantan, gnalnt cnsciut c "tass di ischi" (ingl.: hazad at). La quantità f(t)dt ha il significat di una pbabilità cndizinata. Infatti, ssa cispnd alla

5 pbabilità ch tal cpnnt sia sggtt a guast nl tp dt dp av funzinat nalnt fin al tp t. Piché è f (t) dr(t), si ha dt λ(t) f (t) R(t) dr(t) (.) R(t) dt quindi l lazini R(t) t λ( t)dt (.) f(t) λ(t) t λ( t)dt. (.3) L'quazin (.) è chiaata l'quazin fndantal dll'affidabilità, data la sua iptanza ni casi patici. Infatti, l'infazin di dati statistici sull'affidabilità di cpnnti è gnalnt data attavs i vali di λ(t). Il cptant nl tp di λ(t) sgu gnalnt la csiddtta "cuva a vasca da bagn" (bath tub cuv) (v. figua ), caattizzata ciè da t pidi: un pi pid cn λ(t) all'inizi lativant gand quindi dcscnt spnnzialnt p la pgssiva liinazin di tutt l unità diftts; un scnd pid, più n lung, cn λ(t) lativant cstant, chiaat pid di vita util; un tz pid, chiaat pid di invcchiant, duant il qual λ(t) aunta apidant cn il tp a sguit di pcssi di dgadazin. In patica, i cpnnti sn usati sl duant il pid di vita util, ciè dp pv iniziali pia dll'inizi di pcssi di dgadazin. Pichè in qust pid il val λ può ss cnsidat cstant, l'spssin dll'affidabilità può ss splificata isulta R(t) λt. (.4) Cispndntnt, anch l'spssin dl tp di al guast (MTTF) si splifica. Ricdand la (.9), si può sciv MTTF R (t)dt /λ. (.5)

6 λ(t) Fig.. Cuva a vasca da bagn λ(t) t Dispnibilità di cpnnti L'affidabilità R(t) di un cpnnt dà la pbabilità ch ss nn abbia subit vnti di guast fin al tp t si applica sia ad lnti nn ipaabili ch ad lnti ipaabili. Intducia a il cnctt di "dispnibilità" (ingl.: availability) ch si applica ad un cpnnt ch, ssnd ipaabil, può tlla cndizini di stat di guast. In qusti casi la dispnibilità cispnd alla pbabilità ch tal cpnnt sia in pazin ad un dat istant t vin dntat c A(t). Il su cplnt, A(t) A(t) vin chiaat "indispnibilità" (ingl.: unavailability). Ovviant è R(t) A(t), dv l'quazin R (t) A(t) val p cpnnti nn ipaabili. Cnsidia il cas di un sista fat da un singl cpnnt dfinia il tass µ(t) di ipaazin istantan, csì c λ(t) è stat dfinit c tass di guast istantan, tass di ischi). S il tass di ipaazin istantan è cstant, ciò significa assu ch i tpi di ipaazin (da nn cnfndsi cn i tpi in cui inizia la ipaazin) sn distibuiti in d casual (ingl.: and). Abbia già vist c in appt al val cstant λ il tp di al guast MTTF è dat da

7 / λ. In d dl tutt analg, in appt al val cstant µ, il tp di alla ipaazin MTTR (slitant << MTTR ) è dat da /µ. La sa MTTF+MTTR cispnd al tp di ta du guasti (MTBF, p l'ingl.: an ti btwn failus). Avnd assunt pcssi di ipaazin casuali cn un tass istantan µ, si tva facilnt ch la distibuzin di tpi di ipaazin sgu una lgg spnnzial, ciè µ xp[ µ (t t)], dv t appsnta il tp dl guast a pati dal qual la ipaazin ha lug. A tpi asinttici, cn vali cstanti di l µ, la dispnibilità è data dal appt ta MTTF (/λ) MTBF ( /λ + /µ), ciè / λ µ A ( ). (.6) / λ + / µ λ + µ

8 . DISTRIBUZIONI STATISTICHE E STIME DI PARAMETRI Dsciv bvnt nl sguit alcun distibuzini statistich di intss in lazin agli vnti di guast di cpnnti d alcuni citi cn cui i paati ch dfiniscn qust distibuzini pssn ss valutati a pati da dati statistici.. Distibuzini statistich Distibuzin binial Qusta distibuzin vin usata p lnti caattizzati da du pssibili stati [vnt X/vnt X (NOT X), UP/DOWN, succss/insuccss] in cui il nu ttal di pv (L) è cnsciut. P spi, si può applica ai cpnnti panti a ichista. Si pat dall'vidnt quazin L [P(X) + P(X)]. (.) Il gnic tin a sinista isulta P(n) L P(X) n L! n!(l n)! n L n n L n (.) P(X) P(X) P(X) appsnta la pbabilità ch in n (di un ttal di L) pv il isultat sia un insuccss (vnt X ). Val di di n: n np(n) LP(X). (.3) L n 0 Vaianza di n: σ L n 0 ( n n) P(n) LP(X)P(X). (.4) Pbabilità cuulativa, su L pv, di nu di vnt di guast x :

9 x P (n x) P(n). (.5) n 0 Distibuzin di Pissn Si ttin dalla distibuzin binial lativa ad un nu lt gand di pv idntich p ciascuna dll quali la pbabilità di insuccss P(X ) è lt piccla. P L P(X) 0 si ttin facilnt P(n) µ µ n! n, (.6) dv µ qui appsnta il nu di di insuccssi (isulta anch gual alla vaianza) Distibuzin Elanghiana E' la distibuzin cntinua ttnuta da qulla di Pissn pnnd il nu cplssiv dgli insuccssi µλt, avnd assunt λ cstant. Risulta P(n, t) λt n! ( λt) n. (.7) Pbabilità ch l'n'si guast avvnga in ta t t+dt, ssndsi già vificati (n-) guasti: f n (t)dt λp(n n λt λ( λt), t)dt (n )! dt (.8) Pnnd n si ttin la distibuzin di pi guast. Scivnd f(t) in lug di f (t) si ha: f(t) λ λt (.9) ch cincid cn la distibuzin spnnzial.

10 Distibuzin gaa E' una distibuzin usata p appsnta situazini in cui il cpnnt cnsidat è sggtt ad vnti iptitivi, c shck tici, fnni di fatica, cc. In qust cas la pbabilità di guast dipnd dal nu di vnti vificatisi. Essa è data dall'spssin n λ( λt) f (t) Γ(n) λt dt (λ>0; n>0) (.0) dv n può anch nn ss un int. S n è int, ssnd in qust cas Γ ( n) n!, si ttin di nuv la distibuzin Elangiana. Distibuzin lgnal Si cnsidi la distibuzin nal (Gaussiana) di una quantità t: y(t) (t t) / σ π σ (.) dv t σ sn il val di la vaianza di x, ispttivant. Pnia a nlla (.0) lnt, il su val di (spss c lnβ) la sua vaianza α in lug di t, t σ, ispttivant. Si ttà la csiddtta distibuzin lgnal: f(x) [ln( t / β)] / α π αt (.) dv la psnza dl cficint /t nl b a dsta dipnd dal fatt ch si è antnut l'agnt t, piuttst ch lnt, ciè la distibuzin è stata ltiplicata p dln t dt. t Val di di t: t β α / (.3) Vaianza di t:

11 α (xp α ) σ β. (.4) La distibuzin lgnal ha ilvanza p quantità ch si assu av sp vali psitivi Distibuzin di Wibull.Qusta distibuzin è usata p dsciv gnun di t pid dfiniti in lazin alla cuva a "vasca da bagn" incntata pcdntnt. Essa si psnta nlla fa: f(t) λ (t)t / β λ( t) (.5) dv t β λ αβ d α è un paat di scala. S β<, la funzin λ(t) psnta un andant dcscnt (pid inizial). S β, alla λα si ha la distibuzin spnnzial (pid util). S β> la funzin λ(t) psnta un andant cscnt (andant final di invcchiant).. Stia di paati Dati i tpi di guast ttnuti spintalnt lativi ad un capin di J cpnnti idntici ( da J isu lativ all stss cpnnt), si pn di dtina la distibuzin dl tp di guast p cpnnti di qust tip. Dsciv nl sguitt tdi lagant usati a qust scp: il td di nti, il td dlla assia vsiiglianza, il td dlla assia ntpia. Mtd di nti Dati i tpi di guast ttnuti da J cpnnti, il td di nti cnsist nl valuta dappia il l val di la vaianza, usand l spssini

12 J t t j (.6) J j σ J J j (t j t) (.7) dv t j appsnta il tp di guast dl cpnnt j'si. Una vlta ch t σ sn dati, assi alla cuva di distibuzin apppiata (spnnzial, gaa, cc.), i paati ch la caattizzan (nalnt nn ccdnti il nu di du, c abbia vist ni paagafi pcdnti) pssn quindi ss stiati attavs l lazini ch li lgan al val di d alla vaianza. Mtd dlla assia vsiiglianza Il td dlla assia vsiiglianza (ingl.: axiu liklihd thd) cnsist nl dtina qui paati ch assiizzan la funzin di vsiiglianza J,t,...,t J θ, θ,..., θm ) f (t j θ, θ,..., θ M ) j L (t (.8) dv θ, θ,..., θm appsntan i paati i cui vali si vglin stia, nt f (t j θ, θ,..., θm ) appsnta la funzin di ~ distibuzin sclta p i tpi di guast isuati t j. Piché i vali θ ch assiizzan la funzin L sn gli stssi ch assiizzan il su lgait, p dtinali è pfibil cnsida la quantità lnl. Qust significa p ln L θ 0 (,,...,M) (.9) La sluzin di qusta quazin cnsnt di ttn l sti la stia dlla l vaianza isulta ~ θ. Inlt, ~ ln L θ σ (,,...,M) (.0)

13 Mtd dlla assia ntpia L'ida di usa la tia dll'infazin p pdi la distibuzin di un insi di vnti lntai distibuiti in fa and ha igin dalla cnsidazin ch qusti, p il fatt stss di ss and, tndn a psntasi nl aggi disdin pssibil (nt i vincli assgnati), sicché la cnscnza lativa ad un qualsiasi di ssi isulta ss assiant "infativa". Ptant, l l distibuzin può ss ttnuta assiizzand qusta "infatività". P spila nuicant si è fatt ics al cnctt di ntpia utilizzat p la distibuzin dll vlcità di un gas cntnut in un cipint ad una tpatua fissata. C nt, in qust cas l vlcità dll lcl dl gas si distibuiscn in d tal ch il nu di icstati, cnfiguazini nll spazi dll fasi, in cndizini di quilibi tdinaic, sia assi, il ch cispnd all cndizini di assi disdin dl gas stss. In appt a qust, si può di ch in qust cas la cnscnza dll cdinat spaziali d ngtich di una lcla è assiant "infativa". L'ntpia dl sista è dfinita c Sln kw, dv k è la cstant di Bltzann W il nu di cnfiguazini pssibili. Sfuttand qusta analgia, è stata dfinita l'ntpia dll'infazin, data dall'spssin S I Pi ln Pi, (.) ln i dv la sa è stsa a tutti i pssibili vnti dv P i appsnta la pbabilità ch accada l'vnt i'si. Essa va intsa c pbabilità cndizinata, ciè P i P(X i Y), dv Y appsnta l'infazin a pii assgnata (sti di dati, vincli, cc.). La funzin S I può ss vista c la isua dll'infazin ancant, cispndnt al nu di dand (in tini di bits, ciè si/n, v/fals) ch sabb ncssai p idntifica cn ctzza l'ccnza di un vnt (p s., il isultat di una isua). Dat un nu di pssibili vnti, si può dista ch l'ntpia S I isulta assia s ssi sn ugualnt distibuiti. Dll'infazin tica spintal ch scluda alcun pssibilità natualnt la idubb. S cnsidia il cas liit ppst, di un insi di vnti nn and, ciè pdtinati, l'infazin cntnuta dalla ilvazin (in qust cas, vifica) di un di ssi sabb vviant nulla, il l accad ssnd cnsciut in patnza. P splifica, cnsidia un sista fat da un sl cpnnt, sggtt ad una pbabilità di guast π. L'ntpia dl sista saà S I Pi ln Pi ln i ln Pi ln P i i

14 Cnsidia a il cas di J cpnnti idntich (il ch iplica una cun funzin di distibuzin di guasti) sggtt a tst. I tpi di guast isultan t j (j,,...,j), da cui pssn ss icavati sti di vali di dll vaianz. S suddividia il tp in intvalli uguali d t ( t + t ), avnd pst t 0, dfinia cn P la pbabilità ch il cpnnt in sa si guasti nll'intvall d t, alla l'quazin (.) può ss scitta, a pat un cfficint cstant, SI P ln P. (.) Assund l'vvi vincl P (.3) d alti dl tip T (t )P T, (,,...,M) (.4) dv T T appsntan M funzini dat il l val di (di cui si cnscn dll sti), ispttivant, la funzin da assiizza, ch chia F, isultà P F ln P + (k )( P ) + k ( T (t )P T ) k M ( TM (t )P TM ) (.5) dv (k -), k,...,k M sn i ltiplicati di Lagang. Diffnziand isptt a P, si ttngn l quazini df dp ln P + k + k T (t ) k M T M (t ) 0 (,,...) (.6)

15 da cui si ttin k kt( t )... kmtm ( t ) P (,,...) (.7) da cui i vali di ltiplicati di Lagang k, k,...,k M si pssn ttn usand i vincli (.3) (.4). S in lug dll pbabilità disct P pnia f δ t, dv f è il val di dlla dnsità di pbabilità dl guast dl cpnnt nll'intvall δ t, faccia quindi tnd δ t a z, ttnia la dnsità (cntinua) di distibuzin f (t ) δt 0 k kt(t )... kmtm (t ) li f. (t 0) (.8) C dtt spa, i vali di ltiplicati di Lagang k, k,...,k M pssn ss ttnuti usand i vincli, ch in qust cas cispndann all quazini (.3) (.4), cn lasa sstituita dal cispndnt sgn di intgal. Pssia quindi sciv f (t)dt k kt(t )... kmtm (t ) dt (.9) k kt( t )... kmtm ( t ) T (t)f (t)dt T (t) dt (,,...,M) (.30) Da qust quazini si icava facilnt T dk dk dk d[xp( k ] T d[xp( k ] dk T f (t)dt T (,,...,M) (.3). Oa si dann du pssibilità, a scnda s la funzin di distibuzin spcifica lativa agli vnti cnsidati scnsciuta, il tip cui ssa appatin è nt dsidia dtina i paati ch la dfiniscn. Nl pi cas, l'infazin appsntata dall quantità _ n (gnalnt i nti t ) cnsntiann di dtina i vali k, k,...,k M ( quindi la lgg di distibuzin). Nl scnd cas, è ncssai T

16 spi la funzin data nlla fa data dalla (.8) quindi, usand la (.3), dtina i sui paati. A titl di illustazin, cnsidia una quantità di cui cnscia sl la stia dl su val di. Assuia ch qust val sia il tp dial guast (MTTFt ) di un cpnnt. In qust cas M pssia usa sl du vincli. I cispndnti ltiplicati di Lagang pssn ss ttnuti dall du quazini k kt dt k k (.3) k k kt t dt t. (.33) k k Risulta quindi k / k k ln(/ t). La funzin di distibuzin saà quindi, pnnd λ in lug di / t, f (t) λ λt (.34) ciè tvia ch la distibuzin spnnzial è qulla più pbabil in assnza di infazin supplnta. E' anch idiat vifica ch, s avssi sclt a pii la distibuzin spnnzial c qulla adatta agli vnti cnsidati, av tvat ch λ / t. S, lt alla stia dl val di t, avssi avut anch la stia dlla vaianza, a nssuna infazin sui nti di din supi nppu sul tip di cuva si dbba applica, av ttnut la bn nta distibuzin nal Gaussiana. S, lt al pi scnd nt, avssi avut agin di cd ch la distibuzin spnnzial è qulla più apppiata, sulla bas di una valutazin psnal fndata sull'spinza su casi siili pcdnti, l'infazin lativa alla vaianza nn dvbb ss cnsidata. Infatti, cn la distibuzin spnnzial, c abbia vist ni paagafi pcdnti, la vaianza è data dal quadat dl val di (in qust cas da t ). In qust cas, l'infazin sulla vaianza ptbb ss sai usata p vifica la validità dlla sclta dlla distibuzin spnnzial.