PARTE PRIMA PROBABILITA

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2 i PARTE PRIMA PROBABILITA CAPITOLO I - Gli assiomi della probabilità 1.1 Introduzione pag Definizione assiomatica di probabilità Logica degli eventi Campo di Borel Assiomi della probabilità Probabilità condizionata Eventi indipendenti Formula di Bayes Problemi risolti CAPITOLO II - Variabili aleatorie 2.1 Definizioni Funzione di distribuzione Densità di probabilità Momenti di variabili aleatorie Distribuzioni notevoli in Probabilità e Statistica Distribuzione uniforme Distribuzione normale Distribuzione Gamma Distribuzione esponenziale Distribuzione di Maxwell Distribuzione t-student

3 ii Distribuzione Chi-quadrato Distribuzione F di Fisher Distribuzione binomiale Distribuzione di Poisson Distribuzione geometrica e ipergeometrica Distribuzione Beta Distribuzione di Weibull Problemi risolti CAPITOLO III - Variabili aleatorie multidimensionali 3.1 Coppie di variabili aleatorie Momenti congiunti Coppie di v.a. indipendenti Coppie di v.a. discrete Caso di n variabili aleatorie Trasformate delle densità di probabilità Funzione caratteristica Funzione generatrice dei momenti Problemi risolti CAPITOLO IV - Trasformazioni di variabili aleatorie 4.1 Generalità Funzioni di una variabile casuale Calcolo della funzione di distribuzione Calcolo diretto della densità Trasformazioni invertibili Momenti di Y (ω) = g[x(ω)] Trasformazioni lineari Funzioni di due o più variabili casuali Trasformazioni n-dimensionali Problemi risolti

4 iii CAPITOLO V - Processi stocastici 5.1 Definizioni Momenti Processi indipendenti Processi senza memoria Processi stazionari Esempi notevoli Processi di Markov Catene di Markov Matrice di transizione Classificazione degli stati Probabilità invarianti *********************************************** PARTE SECONDA STATISTICA CAPITOLO VI - Statistica descrittiva 6.1 Introduzione Distribuzioni di frequenze Indici di tendenza centrale e di dispersione Medie, moda, mediana, quantili Indici di dispersione Stem-and-leaf e box-plot Distribuzioni congiunte di frequenze Regressione lineare Regressione multipla Regressione non lineare

5 iv 6.8 Problemi risolti CAPITOLO VII - Distribuzioni campionarie 7.1 Modelli statistici Teoria dei campioni Distribuzione campionaria delle medie Campionamento con ripetizione Campionamento senza ripetizione Distribuzione campionaria delle varianze Campionamento con ripetizione Campionamento senza ripetizione Distribuzione campionaria delle frequenze Problemi risolti CAPITOLO VIII - Stime di parametri 8.1 Stima puntuale Stima puntuale di medie e varianze Stima di massima verosimiglianza Metodo dei momenti Stima per intervalli Intervalli di confidenza per la media Popolazione con varianza nota Popolazione con varianza sconosciuta Intervalli di confidenza per la varianza Problemi risolti CAPITOLO IX - Test parametrici di ipotesi statistiche 9.1 Principi generali di un test statistico Test parametrici Test di Neyman-Pearson tra ipotesi semplici Test parametrici con ipotesi composte

6 v Test sul valor medio per il modello normale Modello Normale-1: popolazione con varianza nota Modello Normale generale: varianza sconosciuta Popolazione con distribuzione non Normale Test sulla varianza Test di Fisher per il rapporto tra varianze Test di incorrelazione Ipotesi H 0 e H 1 composte Test del rapporto di verosimiglianza Problemi risolti CAPITOLO X - Test non parametrici 10.1 Test sulla legge di distribuzione Test di Kolmogorov-Smirnov Test Chi-quadrato Test di omogeneità Test dei segni Test dei ranghi Test di Smirnov Test Chi-quadrato di omogeneità per più campioni Test di indipendenza Test Chi-quadrato di indipendenza Test di Spearman Test sulla casualità di un campione Test di correlazione seriale Run test BIBLIOGRAFIA APPENDICE Tavole delle distribuzioni Normale standard

7 vi t-student Poisson Chi-quadrato Fisher Kolmogorov-Smirnov

8 vii

9 GLI ASSIOMI DELLA PROBABILITA 1.1 Introduzione Nel Calcolo delle Probabilità si elaborano modelli matematici per la valutazione rigorosa del concetto primitivo di probabilità che un esperimento casuale si concretizzi in un determinato evento. Ma cos è la probabilità di un evento? Ne esistono almeno quattro definizioni principali, da cui si originano altrettante teorie matematiche, elaborate dalla seconda metà del XXVII secolo fino ai giorni nostri. Esse sono: 1) Definizione classica: la probabilità P (A) di un evento A è il rapporto tra il numero N A dei casi favorevoli e il numero N dei casi possibili: P (A) = N A /N. E questa una definizione aprioristica, nel senso che P (A) è definita senza far ricorso ad alcuna effettiva prova sperimentale. La sua applicabilità è limitata allo studio di quel fenomeni casuali in cui si può assumere che il numero N dei casi possibili sia finito, e che questi siano tutti, a priori, egualmente probabili. 2) Definizione frequentista, ovvero basata sul concetto, particolarmente familiare ai fisici, di frequenza relativa di un evento: se un esperimento è ripetuto n volte, e l evento A si presenta n A volte, allora la sua probabilità è il limite della frequenza relativa: P (A) = lim n n A/n quando il numero delle prove tende ad infinito. Questa definizione implica l ipotesi preliminare che le prove ripetute si svolgano in condizioni identiche, il che, al pari della definizione classica, ne restringe l applicabilità a una classe piuttosto ristretta di fenomeni casuali. 3) Definizione soggettivista, come misura di un opinione personale: la probabilità di un evento è il grado di fiducia che si ha nel verificarsi di esso. Per esempio: 1

10 2 ASSIOMI DELLA PROBABILITA la probabilità che in un processo giudiziario l imputato sia giudicato colpevole è una misura della nostra conoscenza dei fatti e della nostra abilità deduttiva. Tale definizione si formalizza adottando lo schema tipico delle scommesse regolate da condizioni di equità: la probabilità dell evento è misurata dal prezzo che un individuo ritiene equo pagare per ricevere 1 se l evento si realizza, e 0 se non si verifica. 4) Definizione assiomatica, la cui formalizzazione matematica (che è quella che seguiremo) risale ad A. N. Kolmogorov (1933). Essa consiste nell introdurre un opportuno insieme di assiomi, verificando a posteriori il significato fisico e la validità della teoria matematica cosí precisata. 1.2 Definizione assiomatica di probabilità Oggetto della teoria matematica sviluppata nel Calcolo delle Probabilità è un generico esperimento casuale, la cui singola esecuzione è chiamata prova dell esperimento. Il risultato (o esito) della prova si indica con ω. L insieme di tutti i possibili esiti costituisce lo spazio campione Ω associato all esperimento casuale. Un evento A relativo al medesimo esperimento è un certo insieme di risultati ω, ovvero un sottoinsieme dello spazio campione Ω. Se un risultato ω A, si dice che esso realizza l evento A. Se l insieme A Ω è costituito da un solo elemento ω, allora quest ultimo prende il nome di evento elementare; altrimenti A è un evento composto Logica degli eventi Le definizioni che seguono riguardano operazioni sugli eventi, e si possono formalmente rappresentare come indicato nello schema riassuntivo di Fig.1.1. Dati due eventi A, B Ω, si dice che A implica B se è A B. I due eventi sono incompatibili se non esiste alcun risultato ω che realizzi sia A che B, ovvero se è A B =, dove è l insieme vuoto. Al contrario, se A e B non sono incompatibili, l insieme non vuoto (A B) è costituito da tutti i risultati ω che realizzano sia A che B. L insieme (A B) indica invece la realizzazione dell evento A, oppure dell evento B, oppure di entrambi. Se non si realizza un evento A, allora si realizza il suo complementare in A = Ω \ A in Ω, negazione dell evento A. Ne segue subito che Ω è l evento certo e è l evento impossibile.

11 1.2 Definizione assiomatica di probabilità 3 Figura Campo di Borel Gli eventi A i, i = 1, 2,... relativi ad un determinato esperimento casuale sono sottoinsiemi dello spazio campione Ω, sui quali effettuiamo operazioni di unione, intersezione, differenza come indicato in Fig.1. Al fine di attribuire a ciascun evento una misura di probabilità, si richiede a tali eventi di soddisfare il seguente requisito fondamentale: qualunque operazione su di essi deve essere a sua volta un evento definito in Ω. Questa proprietà si formalizza dicendo che gli eventi devono costituire un campo C, ovvero una classe additiva di insiemi A i, non vuota e chiusa rispetto alla negazione e all unione. Se esiste un insieme numerabile 1 di infiniti eventi A i, questi devono formare un campo di Borel (o σ-algebra) cosí definito: Definizione 1. Un campo di Borel B è la classe costituita da una infinità numerabile 1 Ricordiamo che un insieme di infiniti elementi è numerabile se esiste una corrispondenza unoa-uno tra gli elementi dell insieme e tutti gli interi positivi. Ad esempio: l insieme IR dei numeri reali non è numerabile; l insieme {1, 2, 3,..} è numerabile.

12 4 ASSIOMI DELLA PROBABILITA di insiemi A i Ω, tale che: 1) A i B A i = Ω\A i B 2) A i B A i B; A i B i=1 i=1 3) B; Ω B. Dunque, un campo di Borel è caratterizzato dalla proprietà che qualsiasi operazione sugli insiemi che lo formano dà luogo ad un insieme nello stesso campo, anche se gli insiemi sono una infinità numerabile. Esempio 1.1: lancio di un dado Consideriamo come singola prova di un esperimento casuale il classico esempio del lancio di un dado, che ha come risultati (eventi) possibili ω l uscita di un numero intero, compreso tra 1 e 6. Lo spazio campione è Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ovvero è costituito da un numero finito di elementi ω, cui si attribuisce il significato di eventi elementari. Essi formano un insieme di eventi necessari e a due a due incompatibili, poiché {i} {j} = per ogni i j = 1,.., 6. Ma esistono molti altri eventi in questo esperimento casuale: ad esempio, l uscita di un numero pari, che è costituita dall evento E = {2, 4, 6} composto dai tre eventi elementari che lo realizzano; oppure l uscita di un numero basso definita dall evento E = {1, 2}; ecc. Inoltre: l intersezione {2, 4, 6} {1, 2}, che coincide con l evento elementare {2}, indica l evento: uscita di un numero pari e basso. L evento: {1, 3, 5} {5, 6} indica l uscita di un numero dispari, oppure di un numero maggiore di 4, oppure di un numero dispari e maggiore di 4 (ovvero dell intersezione dei due eventi, costituita dall evento elementare {5}). Il complementare dell insieme A = {1, 2, 3, 5} composto dai numeri primi minori di 7, ovvero l evento Ω\A = {4, 6}, indica l uscita di un numero che non sia primo (negazione di A). Tutti i possibili eventi si presentano in questo esperimento come sottoinsiemi di Ω, ed è facile verificare che il loro numero complessivo è la somma delle combinazioni di classe k di sei elementi: ( ) 6 6 = 2 6 = 64, k k=0 compresi l insieme vuoto (per k = 0) e l insieme Ω (per k = 6). Essi costituiscono un campo C, perchè soddisfano tutte le condizioni di additività sopra precisate. Se però siamo interessati solo ad alcuni eventi relativi a questo esperimento, è preferibile definire una diversa classe additiva, che costituisca un campo C contenente il minor numero possibile di eventi, compresi quelli che interessano. Si può costruire questo campo C con successive operazioni di unione e negazione che, a partire dagli insiemi dati, coinvolgano tutti gli eventi che via via si aggiungono. Ad esempio, se

13 1.2 Definizione assiomatica di probabilità 5 siamo interessati all evento: uscita di un numero pari, il campo C da considerare è composto dai quattro insiemi: C :, {2, 4, 6}, {1, 3, 5}, Ω che costituiscono rispettivamente: la negazione {1, 3, 5} dell evento numero pari ; l unione Ω degli eventi pari e dispari, e la negazione dell evento unione Ω. C è un campo, perché qualsiasi operazione sugli insiemi che lo compongono dà luogo a un insieme anch esso contenuto in C. Al contrario, la classe: C :, {2, 4, 6}, {1, 3, 5}, {1, 2}, Ω non è un campo, perché {2, 4, 6} {1, 2} = {1, 2, 4, 6} C. Esempio 1.2: misura di una grandezza Il valore teorico di una generica grandezza fisica è espresso da un numero reale, e in tal senso alla sua misura sperimentale associamo uno spazio campione Ω costituito dall asse reale (o da un suo intervallo, se siamo in grado di precisarlo a priori). Per definire una classe additiva di eventi che sia compatibile con l esperimento della misurazione, suddividiamo l asse reale in intervalli di ampiezza assegnata (ad esempio: gli intervalli aperti a sinistra e chiusi a destra, di ampiezza unitaria e aventi per centro tutti i numeri interi), in modo che qualsiasi risultato della misurazione possa appartenere ad uno di tali intervalli. Quindi, con operazioni successive di unione e negazione, aggiungiamo altrettanti insiemi agli intervalli inizialmente considerati. Il limite a cui tende la classe degli eventi cosí definiti è il campo di Borel B associato alla misura sperimentale che effettuiamo. Si può dimostrare che tale campo di Borel si genera anche a partire da tutti gli intervalli (, x 1 ] con x 1 reale qualsiasi; esso contiene anche tutti gli intervalli [x 1, x 2 ], (x 1, x 2 ), i punti x = x 1 e l infinità numerabile delle loro unioni e intersezioni Assiomi della probabilità Siamo ora in grado di attribuire una misura di probabilità a ciascun evento A i la cui collezione, come si è appena visto, forma nel caso più generale un campo di Borel B. Definizione 2. La probabilità è un funzionale P : B [0, 1] che verifica i seguenti assiomi: I. P (Ω) = 1 II. i j, A i Aj = P (A i A j ) = P (A i ) + P (A j ). La formulazione matematica del modello probabilistico è cosí completa: essa consiste nell insieme (Ω, B, P ) chiamato spazio di probabilità, e permette di assegnare un

14 6 ASSIOMI DELLA PROBABILITA numero reale non negativo P (A i ) che chiamiamo probabilità di A i, agli eventi che formano un campo di Borel B, costituito da sottoinsiemi di uno spazio campione Ω associato all esperimento casuale. L assioma I attribuisce probabilità 1 all evento certo Ω, senza tuttavia escludere a priori che esistano altri eventi, diversi da Ω, con probabilità 1. Se è teoricamente possibile un evento A Ω tale che P (A) = 1, si dice che questo evento è quasi certo. L assioma II esprime la proprietà additiva del funzionale P tra due eventi fra loro incompatibili. Tale proprietà si generalizza subito a un insieme finito o infinito di eventi a due a due incompatibili, con una delle due relazioni seguenti: ( n ) II n ) i j, A i A j = P A i = P (A i ) i=1 i=1 ( ) rii ) i j, A i A j = P ni=1a i = P (A i ) i=1 l ultima delle quali esprime la additività infinita, o σ-additività, dell insieme {A i, i = 1, 2,...} di eventi a due a due incompatibili. Dagli assiomi I), II) della probabilità si deducono svariate proprietà di P. Le più significative sono le seguenti: C1. P (A i ) = 1 P (A i ) C2. P ( ) = 0 C3. A i A j : P (A i ) P (A j ) C4. A i B : 0 P (A i ) 1 C5. A i A j : P (A i A j ) = P (A i ) + P (A j ) P (A i A j ). La proprietà C1 si dimostra considerando che per l assioma I si ha P (Ω) = P (A i A i ) = 1, e poichè A i e il suo complementare sono incompatibili, si ricava per l assioma II: P (A i ) + P (A i ) = 1. La C2 si deduce dalla C1 perchè l insieme vuoto è il complementare di Ω e quindi P ( ) = 1 P (Ω) = 0. La C3 afferma che P è un funzionale crescente di B in [0, 1], e si dimostra applicando l assioma II agli eventi (incompatibili) A i e (A j \A i ). Si trova: P (A j ) = P (A i (A j \A i )) = P (A i ) + P (A j \A i ) e poiche l insieme (A j \A i ) non è vuoto per ipotesi, risulta P (A j \A i ) 0. La C4 si prova osservando che se A i Ω non è vuoto, è anche = Ω A i e per la C3 valgono entrambe le diseguaglianze: P (A i ) P ( ) = 0 e P (A i ) P (Ω) = 1.

15 1.2 Definizione assiomatica di probabilità 7 A i A j A i A j A i A j Figura 1.2 La C5 è la generalizzazione dell assioma II per eventi non incompatibili, e si dimostra come segue. Consideriamo l evento A i A j = A i (A i A j ) che si può esprimere (v. Fig. 1.2) mediante l unione dei due eventi incompatibili A i e (A i A j ). Per l assioma II si ha allora P (A i A j ) = P (A i ) + P (A i A j ). Ma anche A j è esprimibile con l unione: (A i A j ) (A i A j ) di due eventi incompatibili, e per esso l assioma II fornisce: P (A j ) = P (A i A j ) + P (A i A j ). Eliminando P (A i A j ) dalle due precedenti eguaglianze, si ricava la C5. Esempio 1.3: eventi elementari equiprobabili Si è visto (Esempio 1.1) che nel lancio di un dado sei eventi elementari, a due a due incompatibili, costituiscono lo spazio campione Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Per gli assiomi I e II si ha subito: P (Ω) = P ({1} {2}... {6}) = i P {i} = 1 e se ammettiamo che ciascun evento elementare abbia uguale probabilità di realizzarsi (ovvero se operiamo con un dado non truccato ), la probabilità di ciascuno vale: i = 1,.., 6 : P (i) = 1/6. Sempre per l assioma II, l evento composto: esce un numero pari ha probabilità P (2, 4, 6) = P (2) + P (4) + P (6) = 1/2 mentre l uscita di un numero che non sia primo ha probabilità P (4, 6) = P (4) + P (6) = 2/6 = 1/3. Se si effettua per due volte il lancio dello stesso dado non truccato, gli eventi elementari sono 6 2 = 36, e la probabilità che esca due volte lo stesso numero vale P (11, 22, 33, 44, 55, 66) = i P (ii) = 6/36 = 1/6.

16 8 ASSIOMI DELLA PROBABILITA Questo esempio esprime il seguente risultato di carattere generale: Se lo spazio campione consiste di un numero finito N di eventi elementari equiprobabili, la probabilità di un evento A i composto da N A eventi elementari vale P (A i ) = N A /N (1.1) e coincide con la definizione classica di probabilità, citata nella Introduzione. Esempio 1.4 Nel lancio di una moneta, i possibili eventi elementari sono soltanto due: T = {esce testa } e C = {esce croce }. Lo spazio campione associato ad una singola prova è Ω = {T C}; se la moneta è lanciata due volte si ha Ω = {T T, T C, CT, CC} e per n prove ripetute Ω è formato da 2 n eventi elementari equiprobabili, con probabilità 1/2 n. Sulla base del risultato espresso dalla (1.1), si verifica subito che nei lanci ripetuti della moneta si ha: P {C nel secondo di due lanci } = 1/2 P {C nei primi due di tre lanci } = 1/4 P {T in due qualsiasi di quattro lanci } = 3/8 P {T per la prima volta all n-esimo lancio } = 1/2 n. Esempio 1.5: distribuzione uniforme in [0, T ] Estendiamo al caso continuo il risultato dell Esempio 1.3. Supponiamo che lo spazio campione sia l intervallo [0, T ] IR e che gli eventi A i relativi ad un esperimento casuale siano una infinità numerabile di intervalli in [0, T ]. Supponiamo inoltre che si richieda di assegnare uguali probabilità ad eventi definiti da intervalli di uguale ampiezza. Questa ipotesi implica la definizione di una distribuzione uniforme di probabilità in [0, T ], e determina univocamente P (A i ). Infatti, se pensiamo di suddividere Ω in n intervalli I di eguale ampiezza T/n e senza elementi comuni, per l assioma II la loro probabilità vale P (I) = 1/n. Un evento A definito dalla unione di k intervalli I ha probabilità P (A) = k n = kt nt = L(A) L(Ω), uguale al rapporto tra le ampiezze L(A), L(Ω) degli intervalli A ed Ω. In particolare, se Ω è l intervallo unitario, P (A) coincide con la misura di Lebesgue di A. E poiché la misura di Lebesgue è una funzione continua degli intervalli, se ne deduce il seguente risultato.

17 1.3 Probabilità condizionata 9 In una distribuzione uniforme di probabilità nell intervallo [O, T ], la probabilità del generico evento A i di ampiezza L(A i ) vale: P (A i ) = L(A i) T. Ne segue, tra l altro, che ogni punto t di Ω ha probabilità nulla: P (t) = 0, t [0, T ] poiché t è un insieme di misura nulla. 1.3 Probabilità condizionata Assegnato un evento A j B con probabilità non nulla, la probabilità di un altro evento A i B, condizionata da A j si indica con P (A i A j ) e vale: P (A i A j ) = P (A i A j ) P (A j ). (1.2) Essa indica la probabilità che che si realizzi A i sapendo che A j si è verificato; oppure: la probabilità di A i in una prova valida solo se si verifica anche A j. Le probabilità condizionate soddisfano tutte le proprietà che discendono dagli assiomi I, II. In particolare: Se A i A j, allora A i A j = A i e quindi: A i A j = P (A i A j ) = P (A i )/P (A j ) > P (A i ). Se A i A j, allora A i A j = A j e quindi: A i A j = P (A i A j ) = 1. Se A i e A j sono incompatibili, allora A i A j = e quindi: La definizione (1.2) si può anche scrivere: A i A j = = P (A i A j ) = 0. P(A i A j ) = P(A j )P(A i A j ) (1.3) e si estende al caso di n eventi A 1,.., A n B nella forma seguente P(A 1 A 2... A n ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 ) P(A n A 1 A 2 A n 1 ) (1.4) che esprime la legge delle probabilità composte, molto utile in svariate applicazioni, come mostra l esempio che segue.

18 10 ASSIOMI DELLA PROBABILITA Esempio 1.6: estrazione senza reimbussolamento Da un urna contenente 6 palline bianche e 4 nere si estrae una pallina per volta, senza reintrodurla nell urna. Indichiamo con B i l evento: esce una pallina bianca alla i-esima estrazione e con N i l estrazione di una pallina nera. L evento: escono due palline bianche nelle prime due estrazioni è rappresentato dalla intersezione {B 1 B 2 }, e la sua probabilità vale, per la (1.3): P (B 1 B 2 ) = P (B 1 )P (B 2 B 1 ). Ora, P (B 1 ) vale 6/10, perché nella prima estrazione Ω è costituito da 10 elementi: 6 palline bianche e 4 nere. La probabilità condizionata P (B 2 B 1 ) vale 5/9, perchè nella seconda estrazione se è verificato l evento B 1 lo spazio campione consiste di 5 palline bianche e 4 nere. Si ricava pertanto: P (B 1 B 2 ) = 1/3. In modo analogo si ha che P (N 1 N 2 ) = P (N 1 )P (N 2 N 1 ) = (4/10) (3/9) = 4/30. Se l esperimento consiste nell estrazione successiva di 3 palline, la probabilità che queste siano tutte bianche vale, per la (1.4): P (B 1 B 2 B 3 ) = P (B 1 )P (B 2 B 1 )P (B 3 B 1 B 2 ) dove la probabilità P (B 3 B 1 B 2 ) si calcola supponendo che si sia verificato l evento condizionante {B 1 B 2 }. Lo spazio campione per questa probabilità condizionata è allora costituito da 4 palline bianche e 4 nere, per cui P (B 3 B 1 B 2 ) = 1/2 e quindi: P (B 1 B 2 B 3 ) = (1/3) (1/2) = 1/6. La probabilità dell estrazione di tre palline nere è invece: P (N 1 N 2 N 3 ) = P (N 1 )P (N 2 N 1 )P (N 3 N 1 N 2 ) = = Eventi indipendenti Due eventi A i, A j si dicono statisticamente indipendenti se e solo se: P (A i A j ) = P (A i )P (A j ). (1.5) Tale definizione esprime il concetto intuitivo di indipendenza di un evento da un altro, nel senso che il verificarsi di A i non influisce sulla probabilità del verificarsi di A j, ovvero non la condiziona. Infatti, per la definizione (1.2) di probabilità condizionata, si ha che se vale la (1.5) risulta: P (A i A j ) = P (A i )P (A j )/P (A j ) = P (A i ).

19 1.4 Eventi indipendenti 11 e dunque la conoscenza del verificarsi di A j non modifica la valutazione della probabilità dell evento A i da esso statisticamente indipendente. Si noti bene che il concetto di indipendenza è del tutto differente da quello di incompatibilità. In effetti, due eventi incompatibili (per i quali si ha A i A j = ) sono strettamente dipendenti statisticamente, poichè il verificarsi dell uno esclude il verificarsi dell altro. Per la proprietà C2 del 1.2.3, la probabilità della loro intersezione è nulla: P (A i A j ) = 0 e di conseguenza, per confronto con la (1.5), due eventi incompatibili possono essere anche statisticamente indipendenti solo nel caso banale in cui almeno uno di essi abbia probabilità nulla, ovvero sia quasi impossibile. Se due eventi con probabilità non nulla sono statisticamente indipendenti, la legge delle probabilità totali espressa dalla proprietà C5 del si modifica nella relazione seguente: P (A i A j ) = P (A i ) + P (A j ) P (A i )P (A j ). La definizione di indipendenza si estende al caso di un insieme finito o infinito di eventi A i, i quali si dicono statisticamente indipendenti se e solo se, per qualunque sottoinsieme {A 1,..., A n } di n eventi, si verifica la condizione: P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 ) P (A n ). (1.6) Ciò significa, in particolare, che tre eventi A, B, C sono statisticamente indipendenti se lo sono a due a due, e se inoltre: Esempio 1.7 P (A B C) = P (A)P (B)P (C). Nel lancio di un dado non truccato, si considerino gli eventi: A = {esce un numero minore di 3} e B = {esce un numero pari}. Questi due eventi sono statisticamente indipendenti. Infatti, le loro probabilità valgono: P (A) = P (1, 2) = 1/3; P (B) = P (2, 4, 6) = 1/2 e la probabilità della loro intersezione vale: P {(1, 2) (2, 4, 6)} = P (2) = 1/6 P (A)P (B). Come verifica, si può osservare che la probabilità dell evento A condizionata da B coincide con la sua probabilità non condizionata: P {(1, 2) (2, 4, 6)} = P {(1, 2) (2, 4, 6)} P (2, 4, 6) = 1/6 = 1/3 P (1, 2) 1/2 Nel lancio ripetuto di una moneta (cfr. l Esempio 1.4) in cui lo spazio campione è Ω = {T T, T C, CT, CC}, si considerino gli eventi composti: A 1 = {T T, T C}, A 2 =

20 12 ASSIOMI DELLA PROBABILITA {T C, CT } e A 3 = {T T, CT }, ciascuno con probabilità 1/2. I tre eventi non sono statisticamente indipendenti, anche se lo sono a due a due. Infatti: ma si ha anche: P (A 1 A 2 ) = P {T C} = 1/4 = P (A 1 )P (A 2 ) P (A 1 A 3 ) = P {T T } = 1/4 = P (A 1 )P (A 3 ) P (A 2 A 3 ) = P {CT } = 1/4 = P (A 2 )P (A 3 ), P (A 1 A 2 A 3 ) = P ( ) = 0 P (A 1 )P (A 2 )P (A 3 ) e dunque non è verificata la condizione (1.6) per n = 3. Esempio 1.8: componenti in serie e in parallelo Si abbia un generico sistema (ad es. una macchina, un dispositivo di controllo, un circuito, una rete di comunicazione tra centri abitati, ecc.) costituito da n componenti con funzionamento statisticamente indipendente, che sono operativi ciascuno con probabilità P i, i = 1,..., n. Il collegamento è in serie se tutti i componenti devono essere operativi perché lo sia il sistema; è in parallelo se è sufficiente il funzionamento di un solo componente per rendere operativo il sistema. Indichiamo con A i l evento: è operativo l i-esimo componente e con B l evento: il sistema è operativo. L intersezione degli eventi A i, i = 1,..., n indica l evento: tutti i componenti sono operativi, e l intersezione delle loro negazioni A i = Ω\A i è l evento: nessun componente è operativo. Poichè A i sono indipendenti, le loro probabilità soddisfano la (1.6), per cui nel collegamento in serie si ha subito: n P (B) = P (A 1 A 2.. A n ) = P (A 1 )P (A 2 )..P (A n ) = P i. i=1 Nel collegamento in parallelo, P (B) è invece eguale alla probabilità che almeno un componente sia operativo, e perció vale n P (B) = 1 P (A 1 A 2.. A n ) = 1 (1 P i ). i=1 1.5 Formula di Bayes Si abbia una sequenza finita o numerabile di eventi A i B Ω con probabilità non nulle, e soddisfacente alle seguenti ipotesi:

21 1.5 Formula di Bayes 13 1) i j : A i A j = 2) i=1 A i = Ω. La prima condizione stabilisce che gli eventi devono essere a due a due incompatibili; la seconda impone che il loro insieme sia esaustivo, ossia tale che in ogni prova dell esperimento casuale si realizza uno e uno solo tra gli eventi A i (v. Fig. 1.3). A2 A 1 E A3 A 4 A5 Figura 1.3 Definito un arbitrario evento E Ω con probabilità non nulla, è chiaro per le ipotesi fatte che se si verifica E, deve anche essersi verificato almeno uno degli eventi A i, che in tal senso si possono considerare come possibili cause dell evento E che è stato registrato. La probabilità condizionata P (A i E), detta probabilità a posteriori, è quella che attribuiamo ad A i sapendo che si è verificato E, ed è legata alla probabilità a priori P (A i ) dalla seguente formula di Bayes: P (A i E) = P (A i)p (E A i ). (1.7) P (A j )P (E A j ) j Essa mostra che la conoscenza del verificarsi di E modifica la probabilità che a priori siamo portati ad attribuire all evento A i. Per dimostrare la (1.7), si osservi che ricorrendo due volte alla definizione di probabilità condizionata, si ha anzitutto: P (A i E) = P (A i E) P (E) = P (E A i) P (E) Inoltre, per l ipotesi 2) e tenendo conto che E Ω, si può scrivere: E = E Ω = E ( j = P (A i)p (E A i ). (1.8) P (E) A j ) = (E A j ). j

22 14 ASSIOMI DELLA PROBABILITA Ma per l ipotesi 1) anche gli eventi (E A j ) ed (E A k ), con j k, sono incompatibili a due a due. Quindi per l assioma II si ha: P (E) = P (E A j ) = P (E A j ) = P (A j )P (E A j ) (1.9) j j j che, sostituita nella (1.8), prova la (1.7). La (1.9) è detta Formula delle probabilità totali, ed è assai utile in molte applicazioni perchè permette di valutare la probabilità dell evento E se è nota la sua probabilità condizionata dalla sequenza degli eventi A i di cui si conoscono le probabilità a priori. Esempio 1.9: Controllo statistico della qualità Al montaggio di 200 apparecchiature uguali contribuiscono tre tecnici con abilità differenti. Il primo tecnico monta 50 apparecchiature, che al collaudo risultano perfette nel 90% dei casi; il secondo ne monta 85, perfette all 80%, e il terzo ne monta 65, perfette nel 70% dei casi. Si vuole determinare la probabilità che un apparecchio di buona qualità, scelto a caso, sia stato montato del terzo tecnico. Indichiamo con E l evento rappresentato dalla buona qualità del montaggio, e con A 1, A 2, A 3 il montaggio effettuato da ciascuno dei tre tecnici. I tre eventi A i sono esaustivi (la loro unione è lo spazio campione dei 200 apparecchi montati) ed incompatibili (il montaggio da parte di un tecnico esclude quello di un altro). Le probabilità a priori di questi tre eventi sono note: P (A 1 ) = = 0.25, P (A 2) = = 0.425, P (A 3) = = La probabilità dell evento E nella ipotesi che l apparecchio scelto sia stato montato dal primo tecnico, è la probabilità condizionata: P (E A 1 ) = 0.90 che è nota dal collaudo; e cosí pure risulta: P (E A 2 ) = 0.80, P (E A 3 ) = La probabilità da determinare è quella relativa al montaggio effettuato dal terzo tecnico, sapendo che è stata scelta una apparecchiatura perfetta. Essa si ricava applicando la (1.7) e vale: P (A 3 E) = P (A 3 )P (E A 3 ) P (A 1 )P (E A 1 ) + P (A 2 )P (E A 2 ) + P (A 3 )P (E A 3 ) = Esempio 1.10: trasmissione di un segnale binario In un sistema di comunicazione digitale, un segnale binario X è trasmesso nella forma 0 oppure 1, con probabilità di trasmissione di ciascuna delle due forme che indichiamo rispettivamente con P (X 0 ) e P (X 1 ). La trasmissione è affetta da disturbi aleatori (rumore), per cui esiste una probabilità non nulla che il segnale ricevuto, che indichiamo con Y, sia diverso da quello emesso X (v. Fig. 1.4).

23 1.5 Formula di Bayes 15 Canale simmetrico Figura 1.4 Supponiamo dapprima che i due eventi (esaustivi) X 0 = {X = 0} e X 1 = {X = 1} si realizzino con probabilità P (X 0 ) = 0.4 e P (X 1 ) = 0.6; e inoltre che la probabilità di errore nella trasmissione del segnale 0 sia uguale alla probabilità di errore nella trasmissione del segnale 1, e valga P = Si vuole determinare le probabilità di ricevere 1 e di ricevere 0. Indichiamo con Y 0 ed Y 1 la ricezione del segnale nelle forme 0 ed 1. Se il segnale trasmesso è 0 esso ha, per ipotesi, probabilità P di essere distorto in 1. Quindi P (Y 1 X 0 ) = P = Se invece il segnale trasmesso è 1, ha probabilità (1 P ) di essere ricevuto inalterato: P (Y 1 X 1 ) = Applicando la (1.9) si ricava pertanto P (Y 1 ) = P (Y 1 X 0 )P (X 0 ) + P (Y 1 X 1 )P (X 1 ) = = La probabilià di ricezione del segnale nella forma 0 si calcola invece come segue: P (Y 0 ) = P (Y 0 X 0 )P (X 0 ) + P (Y 0 X 1 )P (X 1 ) = = 0.45 o meglio, se già si conosce P (Y 1 ), come probabilità della negazione dell evento Y 1 : Canale non simmetrico P (Y 0 ) = P (Ω) P (Y 1 ) = Supponiamo ora che la probabilità di trasmissione del segnale in forma non distorta vari a seconda della forma del segnale trasmesso, e precisamente: P (X 0 non distorto) = 0.8, P (X 1 non distorto) = 0.9 essendo P (X 0 ) = 1/3. Si vuole determinare la probabilità P (E) che il segnale ricevuto sia errato. Essa si calcola applicando ancora la (1.9) e vale: P (E) = P (Y 0 X 1 )P (X 1 ) + P (Y 1 X 0 )P (X 0 ) = = 0.13.

24 16 ASSIOMI DELLA PROBABILITA 1.6 Problemi risolti 1.1. Da un mazzo di 52 carte se ne sceglie una a caso. Quanto vale la probabilità di estrarre una figura o una carta di fiori? E quella di estrarre una figura e un fiori? Soluzione. L evento {estrazione di una figura} non influisce sulla probabilità dell evento {estrazione di un fiori}, per cui essi sono statisticamente indipendenti. Ne segue: P {figura fiori} = P {figura} + P {fiori} P {figura fiori}= = P {figura fiori} = P {figura} IP{fiori} = = Se A e C sono eventi incompatibili con B, allora P (A B C) = P (A C). Vero o falso? Risposta: Vero, perché: P (A B C) = A C B P [(A B) C] P (C) = P (A C) P (C) = P (A C) Nel lancio ripetuto di due dadi non truccati, la somma dei risultati è un numero pari. Quanto vale la probabilità di aver totalizzato 8? Risposta: La probabilità che la somma sia 8 è P {8} = P {(6 + 2) (5 + 3) (4 + 4) (3 + 5) (2 + 6)} = Sapendo che è uscito un numero pari, si ha invece P {8 pari} = P {8 pari} P {pari} = P {8} 0.5 = Gli eventi A 1, A 2 sono incompatibili, esaustivi e con uguale probabilità. Se un terzo evento C Ω ha probabilità condizionate P (C A 1 ) = P (C A 2 ) = 0.5, allora P (A 1 C) = 1/4. Vero o falso?

25 1.6 Problemi risolti 17 Risposta: si ricava: Falso, perché P (A 1 ) = P (A 2 ) = 0.5 e se si applica la formula di Bayes P (A 1 C) = P (A 1 )P (C A 1 ) P (A 1 )P (C A 1 ) + P (A 2 )P (C A 2 ) = 0, ( ) = Se gli eventi A, B sono incompatibili, allora P (A) P (B). Vero o falso? Risposta: Vero, perché se sono incompatibili allora A B = Ω B da cui si deduce, per gli assiomi della probabilità, che P (A) P (B) L urna A contiene 2 palline bianche e 3 nere; l urna B ne contiene 4 bianche e 1 nera; l urna C ne contiene 3 bianche e 4 nere. Si sceglie a caso un urna, e si estrae una pallina bianca. Calcolare la probabilità che essa provenga dall urna C. Soluzione. Le probabilità di scegliere a caso una delle tre urne sono uguali: P (A) = P (B) = P (C) = 1/3. Indichiamo con E l evento {estrazione di una pallina bianca}. Le probabilità che essa sia estratta dall urna A, oppure B o C sono: P (E A) = 2/5; P (E B) = 4/5; P (E C) = 3/7 e la probabilità totale di estrarre una pallina bianca da una qualsiasi delle tre urne vale P (E) = 1 ( = 7) La probabilità di averla estratta dall urna C è data dalla formula di Bayes: P (C E) = P (C)P (E C) P (E) = (1/3)(3/7) 57/105 = Due ditte forniscono il medesimo prodotto. Se esso proviene dalla ditta A, la probabilità che si guasti prima dell istante t vale 1 e t ; se invece proviene dalla ditta B questa probabilità vale 1 e 2t. Il prodotto può essere acquistato con uguale probabilità da A o da B, e non è nota la ditta fornitrice. Tuttavia, è stato osservato che il prodotto si guasta in un intervallo di tempo 1 t 2. Determinare la probabilità che esso sia stato acquistato dalla ditta A. Soluzione. Indichiamo con E l evento: {guasto in 1 t 2} e con P (A) = P (B) = 0.5 le probabilità che il prodotto provenga da A o da B. La probabilità di guasto del prodotto A nell intervallo di tempo 1 t 2 vale P (E A) = 1 e 2 [1 e 1 ] = e 1 e 2 e quella del prodotto B nello stesso intervallo è P (E B) = 1 e 2 2 [1 e 2 1 ] = e 2 e 4.

26 18 ASSIOMI DELLA PROBABILITA La probabilità a posteriori P (A E) è data dalla formula di Bayes: P (A E) = = P (A)P (E A) P (A)P (E A) + P (B)P (E B) e 1 e 2 e 1 e 2 + e 2 e 4 = e2 (e 1) e Abbiamo sul tavolo 9 carte coperte: due di esse sono di cuori, tre di fiori e quattro di picche. Calcolare la probabilità che, scelte simultaneamente due carte a caso, siano di seme diverso. Soluzione. Indichiamo con {QQ}, {F F }, {P P } gli eventi: estrazione di due cuori, oppure due fiori, o due picche. Lo spazio campione Ω è costituito da ( 9 2) = 36 eventi possibili (numero di combinazioni di 9 elementi a 2 a 2). Tra essi, esistono: ( ) 2 = 1 evento {QQ}; 2 ( ) 3 = 3 eventi {F F }; 2 La probabilità di estrarre due carte dello stesso seme vale: ( ) 4 = 6 eventi {P P }. 2 P [{QQ} {F F } {P P }] = P {QQ} + P {F F } + P {P P } = = La probabilità di estrarre due carte di seme diverso è : P {seme diverso} = 1 P [{QQ} {F F } {P P }] = Una sorgente emette una sequenza di tre segnali binari equiprobabili nella forma 0 e 1. Sapendo che almeno due segnali sono stati emessi nella forma 1, calcolare la probabilità che sia stato emesso 0 nella prima emissione. Soluzione. Lo spazio campione contiene 2 3 = 8 eventi (= numero delle disposizioni con ripetizione di 2 elementi a 3 a 3). Questi sono: (000) (001) (011) (100) (010) (101) (110) (111) e la probabilità che sia stato emesso 1 almeno due volte vale P (E) P ( 1 per due o tre volte) = 4 8 = 0.5. La probabilità di emissione di un primo 0 condizionata da E vale: P (primo 0 E) = P [(primo 0 ) E] P (E) = 1/8 0.5 = 0.25.

27 1.6 Problemi risolti In un primo turno elettorale il polo A ha avuto il 45% dei voti, e il polo B ha vinto con il 55% dei suffragi. Si ripetono le elezioni con i medesimi votanti, e dagli exit-poll risulta che: 1) il 10% di colori che avevano votato A hanno spostato il voto su B; 2) il 20% dei vecchi elettori di B hanno votato A. Chi ha vinto (secondo gli exit-poll) il secondo turno? Soluzione. Definiamo i seguenti eventi e le loro probabilità: A 1 = {voto per A al primo turno} : P (A 1 ) = 0.45 B 1 = {voto per B al primo turno} : P (B 1 ) = 0.55 E = {voto cambiato} : P (E A 1 ) = 0.10, P (E B 1 ) = La probabilità che gli elettori abbiano votato A al secondo turno è P (A 2 ) = P (A 1 )[1 P (E A 1 )] + P (B 1 )P (E B 1 ) = = Poiché gli eventi A 2 e B 2 sono esaustivi, ha vinto A con il 51.5% avuto il 48.5%. contro B che ha Sul tavolo ci sono due mazzi di carte. Il mazzo A è completo ed ha 52 carte (ossia tredici per ognuno dei quattro semi). Dal mazzo B sono state tolte tutte le figure. Si estrae una carta a caso da uno dei due mazzi, ed è un asso. Qual è la probabilità che l asso sia stato estratto dal mazzo B? Soluzione. Le probabilità a priori di scegliere uno dei due mazzi sono uguali: P (A) = P (B) = 0.5. Se E è l evento estrazione di un asso, le probabilità di estrarlo da A o da B sono: P (E A) = 4 52 = 1 13, P (E B) = 4 40 = La probabilità a posteriori che l asso sia stato estratto dal mazzo B vale, per la formula di Bayes: P (B E) = P (B)P (E B) P (A)P (E A) + P (B)P (E B) = ( /13) = Si utilizza un prodotto fornito in percentuali uguali da due ditte A e B. E stato calcolato che, scelto a caso un esemplare difettoso, la probabilità che esso sia stato fornito dalla ditta A vale IP(A difettoso ) = Se la produzione del prodotto da parte della ditta A ha un difetto di qualità del 5%, qual è il difetto di qualità nella produzione della ditta B? Soluzione. Le probabilità a priori che la ditta fornitrice sia A oppure B sono uguali: P (A) = P (B) = 0.5. Se D è l evento: prodotto difettoso, si sa che P (D A) = Inoltre è stato calcolato che P (A D) = P (D B) = 0.25.

28 20 ASSIOMI DELLA PROBABILITA Dunque risolvendo rispetto alla probabilità richiesta: P (D B) = = 0.15 = 15% Tre macchine A, B, C producono, rispettivamente, il 60%, il 30% e il 10% del numero totale dei pezzi prodotti da una fabbrica. Le percentuali di produzione difettosa di queste macchine sono, rispettivamente, del 2%, 3% e 4%. Viene estratto a caso un pezzo che risulta difettoso. Determinare la probabilità che quel pezzo sia stato prodotto dalla macchina C. Soluzione. Le probabilità che i pezzi siano prodotti dalla macchina A, B oppure C sono: P (A) = 0.6, P (B) = 0.3, P (C) = 0.1. Se D è l evento: {pezzo difettoso}, si sa che P (D A) = 0.02, P (D B) = 0.03, P (D C) = 0.04 e dunque la probabilità totale che il pezzo sia difettoso vale P (D) = = Per la formula di Bayes la probabilità richiesta è P (C D) = P (C)P (D C) P (D) = = Un urna contiene 1 pallina nera (N) e 2 palline bianche (B). Si estrae casualmente una pallina dall urna e, dopo averne osservato il colore, la si rimette nell urna aggiungendo altre 2 palline del colore estratto e 3 palline del colore non estratto. Calcolare la probabilità che in 4 estrazioni successive, effettuate secondo la regola sopra stabilita, si ottenga la stringa (ordinata) BNNB. Soluzione. Indichiamo con B i, N i (i = 1,..., 4) gli eventi: {si ha una pallina Bianca (Nera) alla i-esima estrazione}. Dopo ogni estrazione cambia lo spazio campione, e se gli esiti delle prime tre estrazioni seguono la sequenza voluta: B 1 N 2 N 3 il numero delle palline presenti nell urna quando avviene la i-esima estrazione si modifica come segue: i Nere Bianche

29 1.6 Problemi risolti 21 Allora si ha P (B 1 ) = 2 3, P (N 2 B 1 ) = 4 8 = 1 2, P (N 3 N 2 B 1 ) = 6 13, P (B 4 N 3 N 2 B 1 ) = = 5 9 e di conseguenza la probabilità che si verifichi la sequenza BNNB vale: P (B 1 N 2 N 3 B 4 ) = = Un segnale binario X, emesso nella forma 1 con probabilità P (X 1 ) = 0, 75, è inviato su un canale di trasmissione non simmetrico nel quale la probabilità di errore nella trasmissione di X 1 vale p = 0, 08. Il segnale X è ricevuto nella forma Y = 1 con probabilità P (Y 1 ) = 0, 70. Calcolare: a) la probabilità P (Y 1 X 0 ) che il segnale 0 sia ricevuto nella forma 1 ; b) la probabilità totale di errore nella ricezione del segnale. Soluzione. a) La probabilità che X sia emesso nella forma 0 è P (X 0 ) = 1 P (X 1 ) = 0.25, e la probabilità di una trasmissione corretta del segnale 1 è P (Y 1 X 1 ) = = Per la formula delle probabilità totali, la probabilità (nota) che il segnale sia ricevuto nella forma 1 si può scrivere: P (Y 1 ) = 0.70 = P (X 0 )P (Y 1 X 0 ) + P (X 1 )P (Y 1 X 1 ) = 0.25P (Y 1 X 0 ) e risolvendo rispetto a P (Y 1 X 0 ): P (Y 1 X 0 ) = = b) La probabilità di errore nella ricezione del segnale risulta: P {errore} = P (X 0 )P (Y 1 X 0 ) + P (X 1 )P (Y 0 X 1 ) = = = Due urne contengono palline bianche e nere in proporzioni diverse. Siano p 1 e p 2 le probabilità di estrarre una pallina bianca rispettivamente dall urna U 1 e dall urna U 2. Luca vince se estraendo due palline almeno una è bianca. Egli può scegliere tra due modalità di estrazione: A) Sceglie a caso una delle due urne, estrae una pallina, la rimette nell urna da cui è stata estratta, quindi sceglie di nuovo a caso un urna ed estrae la seconda pallina.

30 22 ASSIOMI DELLA PROBABILITA B) Sceglie a caso una delle due urne, estrae una pallina, la rimette nell urna da cui è stata estratta, e sempre dalla stessa urna estrae una seconda pallina. Quale tra le due procedure è più conveniente per la vittoria di Luca? Soluzione. Indichiamo con U i la scelta di una delle due urne, con N i l evento: {pallina nera alla i-esima estrazione} e con E l evento {estrazione di almeno una pallina bianca}. Si ha anzitutto: IP(U i ) = 0.5 ; IP(E) = 1 IP(N 1 N 2 ). Con la procedura A le due estrazioni sono statisticamente indipendenti, con IP(N 1 ) = IP(N 2 ) : IP(N 1 N 2 ) = IP(N 1 )IP(N 2 ) = {IP(U 1 )IP(N 1 U 1 ) + IP(U 2 )IP(N 1 U 2 )} In tale ipotesi si ricava: {IP(U 1 )IP(N 2 U 1 ) + IP(U 2 )IP(N 2 U 2 )} = {0.5(1 p 1 ) + 0.5(1 p 2 )} 2. ( 1 p1 IP A (E) = p ) 2 2 = p 1 + p 2 (p 1 + p 2 ) Con la procedura B, la probabilità di estrarre due Nere dalla medesima urna vale: Quindi: e si ottiene: i = 1, 2 : IP(N 1 N 2 U i ) = IP(N 1 U i )IP(N 2 U i ) = (1 p i ) 2. IP(N 1 N 2 ) = IP(U 1 )IP(N 1 N 2 U 1 ) + IP(U 2 )IP(N 1 N 2 U 2 ) = 0.5(1 p 1 ) (1 p 2 ) 2 IP B (E) = 1 [ (1 p1 ) (1 p 2) 2 ] 2 = p 1 + p 2 p2 1 + p La differenza tra le due probabilità è IP A (E) IP B (E) = (p 1 + p 2 ) p2 1 + p2 2 2 = (p 1 p 2 ) 2 4 > 0 e quindi IP A (E) > IP B (E).

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