Teoria delle decisioni in condizione di certezza e rischio

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1 Teoria delle deciioni in condizione di certezza e richio Appunti di Fioravante PATRONE Deciori (razionali) interagenti verione del 16 giugno 2010 Indice 1 Deciioni in condizioni di certezza 2 2 Deciioni in condizioni di richio 17 3 Eercizi e complementi Una contraddizione reale o apparente? Aicurazione e contratto aicurativo Avverione al richio e varianza Bibliografia 30 Finalità degli appunti Introdurre i modelli tandard della teoria delle deciioni, ia in condizioni di certezza che in condizioni di richio. Vengono preentati ia i modelli formali (anche e non vengono fornite le dimotrazioni dei principali riultati, per le quali i rinvia ai teti pecializzati), che le motivazioni ed aunzioni retrotanti. Viene dedicato un poco di pazio anche ad alcune difficoltà che incontrano queti modelli. Infine, viene illutrato un modello che coglie gli elementi eenziali di un contratto aicurativo.

2 Teoria delle deciioni: certezza e richio c Fioravante Patrone 2 1 Deciioni in condizioni di certezza La teoria dei giochi tratta ituazioni nelle quali ono coinvolti più deciori. Prima di coniderare la teoria dei giochi, è bene, fore, dare un primo guardo agli elementi di bae della teoria delle deciioni. Che è il cao di un ingolo deciore. Sono coniderati tre cai fondamentali: deciioni in condizioni di certezza deciioni in condizioni di richio deciioni in condizioni di incertezza Dicuteremo innanzitutto le deciioni in condizioni di certezza; poi, dicuteremo le deciioni in condizioni di richio, mentre eviteremo quai per intero la trattazione delle deciioni in condizioni di incertezza. Per quello che concerne il cao delle deciioni in condizioni di certezza è utile tenere a mente come modello bae, per eempio, il cao in cui i abbia da cegliere un frutto da un dato ceto che contiene mele, arance, pere, ecc. Coì, i ha da cegliere un frutto dal ceto. Quale i ha intenzione di cegliere? E più importante: da dove vengono i principali dati che i uano per fare la celta? Ci ono tre determinanti fondamentali: le alternative diponibili i propri guti (le preferenze) il criterio di celta Per quello che concerne il criterio, la quetione è: date le preferenze e le alternative, coa i fa con quete? La ripota è ovvia: i ceglie tra le alternative diponibili quella (o quelle) che i preferice maggiormente. Si noti che i tre ingredienti non ono completamente indipendenti. Sono legati inieme. Quando parliamo di preferenze, abbiamo naturalmente l idea di quello che faremo con quete preferenze. È ovvio che le preferenze iano legate all inieme delle alternative diponibili. Il modello tandard delle deciioni in condizioni di certezza è dato dalla coppia: (X, ર), dove X è olo un inieme non vuoto e ર è una relazione u X. Faremo di olito qualche aunzione u (X, ર), che raccogliamo nella tabella 1. Sulla initra c è il nome della proprietà, ulla detra viene critto il ignificato inteo (l interpretazione) della proprietà. Fiiamo la terminologia matematica:

3 Teoria delle deciioni: certezza e richio c Fioravante Patrone 3 X è un inieme l inieme delle alternative diponibili ર, una relazione u X le preferenze del deciore ર è rifleiva neun erio ignificato ર è tranitiva condizione di coerenza: aunzione eenziale ulla razionalità del deciore ર è totale il deciore può empre eprimere le ue preferenze ripetto a qualiai coppia di alternative Tabella 1: Nomi delle proprietà ed interpretazione Definizione 1 Una relazione ર u X i dice eere un preordine e è rifleiva e tranitiva. Si dice eere un preordine totale e è un preordine ed è anche totale. Diciamo che una relazione ર definita u X è: rifleiva, e: x X, x ર x tranitiva, e: x, y, z X, x ર y e y ર z implica x ર z totale, e: x, y X, x ર y o y ર x Si noti che molto peo, pecialmente ui teti critti dagli economiti, invece della parola totale, i troverà la parola completo. Un oervazione: e una relazione è totale, allora è rifleiva, come i può facilmente vedere. Alcune oervazioni ull interpretazione delle proprietà. Per come viene intea la rifleività, non c è un importante interpretazione. Si tenga in coniderazione che, chiaramente, ર è un certo tipo di relazione d ordine. E, come è ben noto (ma vi torneremo opra dopo, con i dettagli) i può uare un punto di vita debole o tretto. La celta tra queti è in generale olo una quetione di guto. Se i preferice uare l approccio debole (come tiamo facendo ora, poiché uiamo il imbolo ર invece di ), allora i è moralmente obbligati ad aumere che la relazione ia rifleiva. Se, al contrario, i preferice lavorare con, allora non i richiederà la rifleività. Si noti che il econdo è il punto di vita adottato in una coppia di libri come Fihburn (1970) o Krep (1988), che ono delle fonti eccellenti per tudiare la teoria delle deciioni. Per quanto riguarda l interpretazione della proprietà totale, è importante anzitutto avere chiara in mente la ditinzione tra l indifferenza da un lato e l impoibilità di fare paragoni dall altro lato. L aunzione totale non eclude, naturalmente, l indifferenza. Non c è ragione che obblighi un deciore ad avere preferenze trette tra una coppia di alternative: in riferimento al notro eempio, il deciore può eere indifferente tra una mela ed una pera. Ma non ammetteremo che il deciore ia incapace di confrontare una coppia di alternative. Si noti che queta è un aunzione forte, e in alcuni

4 Teoria delle deciioni: certezza e richio c Fioravante Patrone 4 cai è evidentemente violata. Tuttavia, in molti cai non è una retrizione troppo evera, e poiché ci permette di lavorare in un modo molto più emplice, è conueto aumerla. Chiaramente, ogniqualvolta i modellizza una ituazione di deciione, va tetato il realimo (o ragionevolezza) di queta aunzione (come di qualiai altra). La condizione chiave è la tranitività. È un ingrediente fondamentale per la razionalità come viene di olito intea dagli economiti. Il cuore della teoria dei giochi è l analii delle interazioni tra deciori razionali. Coì, la tranitività arà aunta in quello che faremo. Chiaramente c è uno pazio (intereante!) per modellizzare le ituazioni in cui i deciori non oddifano l aunzione di tranitività. Ma il modello di bae l aume. Sarà fornito, più tardi, un eempio ( money pump ) per motrare coa può uccedere in aenza di tranitività. Un avvertimento: non dimenticare che la terminologia matematica nel regno delle relazioni di tipo d ordine non è completamente uniforme. Coì, i poono trovare dicrepanze tra libri differenti: i dovrà empre dare uno guardo alle definizioni, per evitare equivoci. Per concludere, il modello centrale per le deciioni in condizioni di certezza è formalmente dato da una coppia (X, ર). Dove X è un inieme non vuoto e ર è un preordine totale u X. Abbiamo appena dicuo il realimo di quete aunzioni. Non olo è valido il principio generale che un modello matematico non è in grado di riprodurre tutti i dettagli di una ituazione reale, ma ci ono di certo ituazioni che ono importanti e nelle quali queti modelli non funzionano. Per eempio, il problema di prendere deciioni otto la preione del tempo, o quando è importante il ruolo delle emozioni, non i adattano bene a queto modello di bae. Una delle ragioni dell inucceo di queto modello potrebbe eere dovuta al fatto che le deciioni vengono pree in itanti diveri. Come emplice eempio, aumiamo che i voglia verificare e un deciore è razionale, cioè, e le ue preferenze ono tranitive. Si prenderanno degli x, y, z, e gli i chiederà: preferici x a y? Preferici y a z? Aumiamo che entrambe le ripote iano poitive. Allora, gli i chieda e preferice x a z. Se la ripota è negativa, i può etichettare queto deciore come non razionale. In tutto queto lo carto temporale non dovrebbe eere importante. Ma del tempo (fore molto piccolo) è tracoro tra la prima domanda e l ultima: un effetto di queto è che il deciore è cambiato. Egli non è eattamente lo teo, dalla prima all ultima domanda. Naturalmente, ci ono alcuni cai in cui quete preferenze ono veramente epree in itanti di tempo ignificativamente differenti. Coì, poiamo vedere le violazioni della tranitività che ono

5 Teoria delle deciioni: certezza e richio c Fioravante Patrone 5 dovute all effetto che nel frattempo il deciore è cambiato. Chiaramente, c è dell area grigia tra i cai in cui un po di tempo è tracoro e i cai in cui le tre domande ono formulate in un periodo di tempo molto breve: in tale periodo di tempo intermedio, non è facile attribuire le intranitività alla irrazionalità del deciore o al fatto che il deciore, nel frattempo, è cambiato. Queta faccenda della durata del tempo è ben lontana dall eere uno cherzo. Dopo tutto, una ragione di interee per queta teoria giace ull abilità di predire le deciioni (o nel uggerire deciioni appropriate) che il deciore dovrà aumere in futuro, fore non coì vicino. C è una poibile oluzione formale a queto problema del tempo. Aggiungere una dimenione di tempo all inieme X delle alternative. Cioè, coniderare Y = X T. Con queto trucco fore i può recuperare la tranitività. Si noti, inoltre, che in qualche cao queto non è affatto un trucco: il periodo di tempo delle deciioni può eere eenziale. Si peni oltanto alle deciioni finanziarie o di invetimento. Dall altro lato, compare il olito problema di equilibrio nella modellizzazione: i può recuperare la tranitività ma a coto di un modello formale più complicato, un modello col quale è più difficile lavorare. Un altra ragione per la violazione della tranitività è dovuta alla impreciata pecificazione delle alternative, o dei confini tra divere alternative. Si conideri un eempio molto tupido. Si auma che x ia un pezzo di cioccolato. Si conideri allora x ottenuto togliendo da x una piccola quantità di cioccolato, diciamo, un microgrammo. Poiché è difficile per un deciore coprire la differenza tra x e x, poiamo certamente aumere che egli arà indifferente tra x e x. Ma chiaramente queta ituazione può eere iterata, ottenendo x. E coì via. Dopo un numero ufficientemente grande di volte, la differenza tra il pezzo originale di cioccolata e l ultimo arà chiaramente percepita, e e il deciore è un amante del cioccolato, preferirà trettamente x all n-eimo pezzo. Queta è, ovviamente, una violazione della tranitività. Perché x x, x x,..., x (n 1) x (n) dovrebbe implicare x x (n). Un ultima ragione per la violazione della tranitività che qui arà citata è dovuta a problemi cognitivi. Per capire ciò, i provi a penare ad una mela. Cioè, i provi ad ottenere una rappreentazione mentale di una mela. Come la i rappreenta, come viene decritta nella mente? È facile verificare che le rappreentazioni che diveri deciori hanno della tea mela ono differenti. Queto non arebbe un problema. Il punto intereante è che la rappreentazione di una mela che un deciore ha oggi può eere divera dalla rappreentazione che ha domani. Si noti che da ciò può derivare un cambio delle preferenze che non ha nulla a che vedere con i cambiamenti di guto (dovuti a del tempo tracoro, per eempio): la variabile rilevante qui è la rappreentazione mentale dello teo identico oggetto. Si tenga in

6 Teoria delle deciioni: certezza e richio c Fioravante Patrone 6 coniderazione che una mela, il concetto di una mela, è un oggetto molto complicato: coì, di olito fiiamo la notra attenzione olo u alcuni dei dettagli. La coneguenza è che la notra rappreentazione mentale di una mela può eere divera in diveri itanti di tempo, a econda dei dettagli ui quali focalizziamo l attenzione in quel momento. Queto tipo di problemi può eere evidenziato perimentalmente, ed è coì rilevante che Kahneman e Tverky hanno viluppato una parte di teoria u ciò (effetti di framing ). Queto tipo di dicuione ull aunzione della razionalità poono eere trovati in modo molto più eteo nei già citati teti di Fihburn (1970), Krep (1988) e Krep (1990). Ricapitolando, il modello formale di bae per le deciioni in condizioni di certezza arà dato da una coppia (X, ર), dove ર è un preordine totale u X. È un modello che è ragionevolmente emplice ed allo teo tempo è in grado di trattare ituazioni abbatanza intereanti, anche e ci ono di certo dei cai ai quali non può eere applicato. Inoltre, come empre è il cao di un modello formale, non tutti i dettagli poono eere in eo incorporati. Ma l equilibrio totale è buono. Il modello funziona. Concludiamo queta parte introduttiva fornendo l eempio del money pump. Eempio 1 (Money pump). Queto eempio fornice un epediente che i può utilizzare e i incontra un deciore con preferenze non tranitive, da fruttare a proprio vantaggio... Più eriamente, è un eempio che motra il perché la teoria delle deciioni dia coì tanta importanza alla tranitività delle preferenze, perché identifica preoché la razionalità a queta proprietà. Il deciore ha preferenze u R X. X = {x 1, x 2, x 3 }, dove x 1 è una mela, x 2 è un arancia, e x 3 è una pera. Gli elementi di R rappreentano delle quantità di denaro. Le preferenze ono: (0, x 1 ) (0, x 2 ) (0, x 2 ) (0, x 3 ) (0, x 3 ) (0, x 1 ) Per quanto riguarda il denaro, le preferenze ono tandard : più denaro è meglio. Si è anche aunto che le preferenze ono continue nel eno che (0, x k ) (0, x j ) ( λ k, x k ) (0, x j ) per tutti i k, j {x 1, x 2, x 3 }, e per λ k abbatanza piccolo. Si noti che l aunzione fatta ulle preferenze motra un ciclo tretto, che è più forte della emplice non tranitività: la ragione per fare ciò è di afferrare più velocemente gli apetti eenziali. La quetione è la eguente: e i è coì fortunati di incontrare un deciore con tali preferenze, prima di tutto, ci i accerti di poedere una mela,

7 Teoria delle deciioni: certezza e richio c Fioravante Patrone 7 un arancia e una pera (e non i aveero, le i comprino, per quanto cotoe iano!). Dopo di che, fategli un regalo. Dategli un arancia. A queto punto, gli i può dire: Guarda, io ho una mela. Mentre tu hai un arancia. Poo darti la mela, purché tu mi dia indietro l arancia, inieme ad una piccola quantità di denaro. In bae alle preferenze del deciore, ci arà un qualche piccolo ammontare di denaro per il quale egli deidererà fare lo cambio. Naturalmente, immediatamente dopo i può ricominciare: Ehi, io ho una pera.... E coì via. Con queta money pump voi diventate ricchi, alle pee del deciore. Alcuni viluppi formali del modello È noto che, dato ર u X, i può definire la relazione duale. La definizione è la eguente: x y : y ર x Data ર, i può definire una coppia di relazioni più intereanti (in realtà, entrambe ono già tate uate nella dicuione informale del modello di bae): x y : x ર y e y ર x x y : x ર y e (y ર x) Il imbolo è l uuale imbolo per la negazione di una relazione. La prima relazione opra viene detta relazione di indifferenza, mentre la econda è la relazione di preferenza tretta (chiaramente, queta è la terminologia uata nell interpretazione tandard del modello). Naturalmente, poiamo anche coniderare x y, definita come y x. Queti nuovi imboli, quete nuove relazioni, ono utili per lavorare in modo più agevole, più nello, con i notri oggetti fondamentali. Naturalmente, ciò che è ignificativo ono le proprietà formali di quete relazioni. Ma vi torneremo un po più tardi. C è prima un importante oervazione deve eere fatta. Cominciamo con ર. Da queta abbiamo cotruito ia che. È poibile eguire la trada invera? Per eempio, partire con e poi provare a ricotruire ર? La ripota a ciò è chiaramente no. La conocenza di quali alternative iano indifferenti per un deciore non è ufficiente per dire quali iano le ue preferenze. Dall altro lato, uona ragionevole avere la poibilità di ricotruire ર da. Dopo tutto, c è una forte analogia con un cao ben noto: la relazione e > ui reali. Sappiamo molto bene che è olo una quetione di guto lavorare con o con >. La differenza è emplicemente dovuta al fatto che incorpora anche l uguaglianza. Ma queta può eere tolta da per ottenere > (o, a rovecio, la poiamo aggiungere a >

8 Teoria delle deciioni: certezza e richio c Fioravante Patrone 8 per ottenere ). Allo teo modo, i può immaginare che da ર i poa ottrarre per ottenere (o la trada invera). Queto arà realmente il cao, ma prima di venire alla (facile) quetione formale, vale fore fare un oervazione, che potrebbe aiutarci per una migliore comprenione del ignificato degli apetti formali. Il proceo che abbiamo uato per definire e, partendo da ર, può eere replicato per qualiai relazione ρ u X. Coì, poiamo ottenere la relazione duale σ, la relazione di indifferenza ι e la relazione tretta ˆρ. E potremmo penare di tornare indietro da ˆρ a ρ. Naturalmente, in queto cao generale non ci ono affatto garanzie che ciò ia poibile (e dal punto di vita dell interpretazione è dubbio che ia ignificativo). Tutto ciò per mettere in evidenza il fatto che in quello che faremo è eenziale il fatto che il notro ર è un preordine totale. O, con una propettiva più ampia, quella è una relazione di tipo d ordine. Coì, dato un preordine totale ર, coa poiamo dire delle nuove relazioni introdotte e delle loro relazioni reciproche? Prima di tutto, è chiaramente ancora un preordine totale. E che il uo duale è l originale ર. Per, è facile verificare che è una relazione di equivalenza (rifleiva, immetrica e tranitiva). Si noti che la rifleività e la tranitività ono una coneguenza della rifleività e della tranitività di ર, mentre la immetria per è una coneguenza della immetria trutturale della ua definizione. Il punto cruciale è comunque la relazione. Quali ono le ue proprietà eenziali? La ripota è nel eguente: Teorema 1 Dato (X, ર), con ર preordine totale, la relazione, definita come opra, è: aimmetrica ( x, y X tale che x y e y x) negativamente tranitiva ( x, y, z X : (x y (x z o z y)) Si noti che ha proprietà aggiuntive, che aranno indicate dopo. Ma quete due ono cruciali, come i può vedere dal eguente: Teorema 2 Dato (X, ), con aimmetrica e negativamente tranitiva, allora la relazione ર, definita come egue: è un preordine totale. x ર y : (y x) Queti due teoremi, aieme alla eguente propoizione (che è epota in modo vago: il lettore è invitato a formularla in modo precio), evidenziano il fatto che lavorare con ર o con è emplicemente una quetione di guto. In realtà, come detto, i teti già menzionati di Fihburn and Krep uano come relazione di bae.

9 Teoria delle deciioni: certezza e richio c Fioravante Patrone 9 Propoizione 1 Dato (X, ર), i definice, e poi da i definice ર come i è fatto nel teorema opra. Allora, l ultima relazione coincide con l originale ર. E imilmente e i parte con. Formalizziamo due utili riultati (il primo, in realtà, è già tato menzionato). Teorema 3 Dato (X, ર), con ર preordine totale, allora la relazione è una relazione d equivalenza. Teorema 4 Dato (X, ર), con ર preordine totale, allora la relazione è: irrifleiva ( x X t.c. x x) tranitiva aciclica ( n N, x 1,..., x n X : (x 1 x 2,..., x n 1 x n ) (x 1 = x n ) x, y, z, w X : [(w x, x y, y z) (w y e x z)] Si noti che l ultima proprietà è importante, perché dice che il comportamento delle relazioni e è piuttoto imile al comportamento di > e =, coì poiamo maneggiare con queti imboli con ragionevole tranquillità. Tutte le dimotrazioni di queti teoremi e propoizioni ono laciate al lettore come eercizio. Vicevera, c è un eercizio che merita attenzione, poiché la ua comprenione può aiutare nell eere più informati ul tipo degli oggetti matematici che abbiamo introdotto. Definizione 2 Definiamo u R 2 le eguenti relazioni: (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) : (x 1 > x 2 ) e (y 1 > y 2 ) (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) : [(x 2, y 2 ) (x 1, y 1 )] (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) : (x 1 x 2 ) e (y 1 y 2 ) Si noti che è definita da nello teo modo in cui ર era tata definita da. Eercizio 1 Si provi che: 1) è aimmetrica e tranitiva 2) non è tranitiva 3) è divera da

10 Teoria delle deciioni: certezza e richio c Fioravante Patrone 10 Funzioni d utilità Dato (X, ર), dove ર è un preordine totale, i può fare la eguente: Domanda. Si può trovare una funzione f : X R, t.c.: x ર y f(x) f(x)? Fore, il primo commento dovrebbe eere: perché tale domanda? Perché peniamo che ci debba eere una poibile ripota poitiva? La ragione per perarlo viene dal eguente fatto. Data f : X R, i può definire: x ર f y : f(x) f(x) È immediato verificare che x ર f è un preordine totale u X. Un piccolo commento a parte: queta cotruzione motra che ci ono molti preordini che poono eere definiti u un inieme X: i prenda una qualiai f, e queta fornirà un preordine totale (queto riponde ad una delle domande che un lettore intelligente avrebbe dovuto pori, come anche la eguente: queti preordini, definiti per mezzo di divere funzioni f ono diveri?). Tornando alla notra quetione, l oervazione fatta opra dà buone poibilità che la domanda ollevata ia enata. Coì, diamo la eguente: Definizione 3 Dato (X, ર), dove ર è un preordine totale, una funzione f : X R t.c.: x ર y f(x) f(x) i dice eere una funzione d utilità per ર. Prima di provare a ripondere alla domanda ollevata opra, è importante fare una piccola paua, olo per notare che l ordine che abbiamo eguito è eattamente oppoto in riferimento allo viluppo torico. Siamo partiti con delle preferenze u X, e tiamo cercando una funzione d utilità per rappreentarle. Storicamente, il primo oggetto di interee furono la utilità, la cui entrata in cena può eere attribuita all utilitarimo, viluppato da Bentham (ed altri). Le preferenze vennero molto dopo, il che non è orprendente, poiché ono oggetti matematici atratti più ofiticati. L interee per le preferenze, oppote alle funzioni d utilità, deve eere attribuito alle difficoltà di miurare le utilità che un deciore (tipicamente, un conumatore) aegna ai differenti oggetti della celta. Ripota (alla domanda). La ripota è ovviamente ì e X è un inieme finito. Perché? Perché è facile fornire un algoritmo che cotruice eplicitamente una funzione d utilità. Si auma che X = {x 1,..., x n }. Cominciamo da x 1 e definiamo f(x 1 ) = 0. Allora, i prenda x 2. Se x 2 x 1, allora definiamo

11 Teoria delle deciioni: certezza e richio c Fioravante Patrone 11 f(x 2 ) = 0. Se x 2 x 1, allora definiamo f(x 2 ) = 1, e e x 1 x 2, allora definiamo f(x 2 ) = 1. Si conideri poi x 3. Se x 3 è trettamente preferito a tutti i precedenti elementi, definiamo f(x 3 ) = 2, e imilmente e è il peggiore. In cao di indifferenza con uno precedente, il valore aegnato a f(x 3 ) coinciderà con il valore aegnato all elemento indifferente. Se x 3 i colloca trettamente tra i due elementi precedenti, definiamo f(x 3 ) come il valor medio di f(x 1 ) e f(x 2 ). La cotruzione procede allo teo modo per i rimanenti elementi di X. Oerviamo olo che, dato x k, e ci ono un elemento trettamente preferito ad x k ed un elemento trettamente peggiore, i devono individuare gli elementi di X che ono più vicini (nel eno di preordine) ad x k, e poi definire f(x) come il valore medio dei valori aegnati a queti elementi più vicini ad x k. La ripota continua ad eere poitiva nel cao in cui X ia numerabile. Si prenda olo X = {x 1,..., x n,...} e i ui la tea procedura. Ci ono abbatanza numeri reali per oddifare la procedura che richiede di prendere, e neceario, i valori medi. La ripota è molto meno ovvia nel cao generale. È facile prevedere che le proprietà di continuità avranno un qualche ruolo, poiché altrimenti uando iniemi non numerabili i poono facilmente fornire eempi particolarmente elvaggi. In generale, non ci ono garanzie che i poa trovare una funzione d utilità che rappreenti un preordine. In realtà, c è un eempio ben noto, che coinvolge un tipo di preferenze di un certo interee: il coiddetto ordine leicografico. Si conideri u R 2, la eguente Definizione 4 (x 1, x 2 ) > L (y 1, y 2 ) : [(x 1 > y 1 ) o (x 1 = y 1 e x 2 > y 2 )] Nella eguente figura gli elementi (x 1, x 2 ) di R 2 che oddifano la relazione (x 1, x 2 ) > L (y 1, y 2 ) appartengono all area tratteggiata, più la parte calcata della linea verticale (il punto (y 1, y 2 ) è ecluo).

12 Teoria delle deciioni: certezza e richio c Fioravante Patrone 12 ae 2 (ˆx 1, ˆx 2 ) (y 1, y 2 ) c ( x 1, x 2 ) ae 1 Dato > L, poiamo introdurre L, definito come: (x 1, x 2 ) L (y 1, y 2 ) : [(x 1, x 2 ) > L (y 1, y 2 ) o (x 1, x 2 ) = (y 1, y 2 )] L ordine leicografico L è un ordine totale u R 2. Si può motrare che non ci ono funzioni d utilità f : R 2 R che rappreentano L, cioè, tali che f(x) f(y) x L y. Non daremo una dimotrazione completa di queto fatto, anche e torneremo ancora u queto eempio. Ci ono condizioni che garanticono la rappreentabilità di un preordine totale? Si. C è una condizione che i riferice agli ordini totali, ma è facile vedere che può eere adattata per trattare con i preordini. Teorema 5 Sia dato (X, ર), con ર ordine totale u X. C è una f : X R che rappreenta ર e e olo e eite un W X, numerabile e order dene in X Un riferimento per una dimotrazione di queto teorema è Fihburn (1970). Il ignificato di order dene è dato dalla eguente Definizione 5 Dato (X, ર), con ર ordine totale u X, W X i dice eere order dene in X e x, y X W t.c. x y, z W t.c. x z y

13 Teoria delle deciioni: certezza e richio c Fioravante Patrone 13 Naturalmente, un eempio famoo di un ottoinieme order dene è dato da Q, vito come ottoinieme di R, con l uuale ordine u R. Se crediamo in queto teorema, è facile motrare che L non può eere rappreentato da una funzione a valori reali. Aumiamo il contrario. Allora, grazie al teorema, c è W R 2, numerabile e order dene. Coì, la proiezione di W ull ae orizzontale, proj 1 W, è numerabile. Coì, c è qualche numero reale x t.c. x proj 1 W. Poi, i prenda ( x, x), ( x, y) con y > x. Coì, ( x, x), ( x, y) X W e ( x, y) > L ( x, x). Ma, chiaramente, non c è un punto di W che ta tra loro, ripetto all ordinamento L. Solo alcune parole ul fatto che il teorema tratta ordini invece di preordini. Dato ર, preordine totale, poiamo introdurre che è, come già notato, una relazione d equivalenza. Quindi, poiamo coniderare lo pazio quoziente X/, che è l inieme delle clai d equivalenza con riferimento a queta relazione d equivalenza. Allora, poiamo definire [ર] u X/ nel eguente modo: [x] ર [y] : x ર y Chiaramente, i deve verificare che la definizione non dipenda dagli elementi rappreentativi celti nelle clai d equivalenza. Ma queto è immediato. Il riultato finale arà che [ર] è un ordine totale u X/. Naturalmente, la ragione per cui queta procedura funziona è dovuta al fatto che un preordine permette le indifferenze, mentre un ordine no (detto altrimenti: l indifferenza per un ordine coincide con l uguaglianza). Con l uo dello pazio quoziente abbiamo ottenuto che gli elementi indifferenti collaano in un elemento ingolo (la clae d equivalenza). Unicità della funzione d utilità Dato (X, ર), i auma che ci ia una f : X R che lo rappreenta. È unica? La ripota è no. Chiaramente, 2f, f + 1, rappreentano lo teo preordine. Inoltre, data qualiai φ : R R trettamente crecente, φ f rappreenta ancora ર. Si può dimotrare il eguente: Teorema 6 Sia dato (X, ર), con ર preordine totale u X. Allora f, g : X R rappreentano ર e e olo e c è una φ : f(x) g(x), trettamente crecente, urgettiva e tale che g = φ f. Proprietà di continuità Quando ર può eere rappreentata con una funzione a valori reali continua? Queta è un importante quetione e X è non numerabile (in particolare, quando X = R, o X = R n ).

14 Teoria delle deciioni: certezza e richio c Fioravante Patrone 14 Se non poiamo garantirci qualche proprietà di continuità, il comportamento di f potrebbe eere etremamente elvaggio (anche le funzioni continue poono eere abbatanza elvagge!). Coì, otto quali condizioni f può eere prea come continua? È facile trovare le condizioni necearie. Aumiamo che X ia uno pazio topologico, con una topologia τ. Si prenda f : X R, continua e che rappreenti ર, un preordine totale u X. Si prenda x X. Si conideri {x X : f(x) f( x)} (analogamente, {x X : f(x) f( x)}, ma concentreremo la notra attenzione ul primo). Si noti che {x X : f(x) f( x)} = f 1 ([f( x), + [), coì deve eere un ottoinieme chiuo di X, eendo l immagine invera, tramite una funzione continua di un ottoinieme chiuo di R. Dall altro lato: {x X : f(x) f( x)} = {x X : x ર x}. Coì, otteniamo come condizione necearia che per ogni x X, gli iniemi {x X : x ર x} e {x X : x x} devono eere ottoiniemi chiui di X. Si può vedere che, purché X ia uno pazio topologico ragionevole, quete condizioni ono anche ufficienti per la rappreentabilità tramite una funzione continua. Se X è uno pazio topologico che oddifa il econdo aioma di numerabilità, allora la condizione diventa ufficiente. Si ricordi che l eere 2-numerabile ignifica che c è una bae numerabile di iniemi aperti per la topologia τ di X. Eempi tipici ono i ottoiniemi X di R n. Un modello più ricco Abbiamo coniderato (X, ર) come modello per le deciioni in condizioni di certezza. Ma queto modello può eere compoto, una procedura che è utile nei cai in cui il problema di deciione non ia emplice come il problema di cegliere un frutto da un ceto. Di olito, uccede che il deciore ha la poibilità di cegliere tra divere azioni, ognuna delle quali ha una coneguenza. Solitamente, le coneguenze di differenti azioni ono divere (ma queto non è neceariamente vero e, inoltre, è ineenziale per la notra dicuione). Allora, e i guarda al problema di deciione in tale modo, lo i può formalizzare uando la terna (X, E, h). Dove X è un inieme (interpretazione: l inieme delle azioni), E è un altro inieme (interpretazione: l inieme delle coneguenze) ed h : X E è una mappa (interpretazione ovvia: mappa le azioni nelle coneguenze). Queto modo di decrivere il problema di deciione arà utile per le deciioni in condizioni di incertezza/richio. Ma è anche intereante per il cao di certezza. Ciò che è rilevante per il deciore è la coneguenza che ottiene, come riultato dell azione che prende. Coì, è naturale aumere il eguente quadro di riferimento.

15 Teoria delle deciioni: certezza e richio c Fioravante Patrone 15 Abbiamo (E, ), dove è un preordine totale u E. Il modello completo è (X, E, h, ). Uando h, poiamo ricotruire una relazione u X, definendo emplicemente: x ર y : h(x) h(y) È immediato motrare che, e è un preordine totale u E, allora ર è un preordine totale u X. Coì, la formulazione mediante (X, E, h, ), che è più decrittiva, ha più dettagli di (X, ર), può eere collaata in quet ultimo. Quale è l aunzione chiave che permette queta riduzione? È il fatto che la coa rilevante pe il deciore è olo la coneguenza della ua azione. Non viene laciato alcun pazio per la celta di un azione invece di un altra perché, ad eempio, un azione è più difficile dell altra, e al deciore piacciono le difficoltà. Non è neppure permea una valutazione etetica delle azioni. Tutte quete ituazioni non ono coniderate nella teoria di bae. È per queta ragione che poiamo lavorare con il modello ridotto (X, ર). Ci ono, comunque, ancora due oervazioni che devono eere fatte ul modello ampliato. È tato introdotto, prima, (X, E, h) e, poi, il itema di preferenze u E. Si noti che la terna (X, E, h) è indipendente da quale ia il deciore (che è rappreentato tramite le ue preferenze). In particolare, la mappa h è indipendente dal deciore; vicevera, diveri deciori poono ben avere preferenze differenti 1 e 2 ullo teo inieme S delle coneguenze. In tale cao abbiamo due (fore ditinti) modelli ridotti (X, ર 1 ) e (X, ર 2 ). La differenza può eere fatta rialire unicamente alle divere preferenze. Queta oervazione è in pecial modo importante per la teoria dei giochi, poiché queta teoria tratta preciamente con ituazioni nelle quali ono coinvolti diveri deciori (tipicamente, con preferenze divere ull inieme degli eiti finali). Nella teoria dei giochi, un ambiente imile a (X, E, h), cioè, enza preferenze, è chiamato game form, per ditinguerlo da un gioco, dove ono pree in coniderazione le preferenze dei deciori. Seconda oervazione: non crediate che l idea di coneguenza ia un idea emplice. L identificazione di coa ia una coneguenza non è per nulla emplice. Quando i conidera di mangiare un frutto, quale è la vera coneguenza nel quale i è intereati? Il piacere di mangiarlo, il uo guto? O le calorie che vi fornice? O i conidera che mangiare frutta regolarmente ia un abitudine alutare? Ecc... Abbatanza peo, quando i coniderano le coneguenze, è facile entrare in una pecie di regreione (fore, molto lunga, e non infinita ). Non focalizzeremo la notra attenzione u queto. Ma uno deve eere conapevole del fatto che, a econda di come viene decritto il problema, coa i conidera come coneguenza delle notre azioni può eere

16 Teoria delle deciioni: certezza e richio c Fioravante Patrone 16 molto differente.

17 Teoria delle deciioni: certezza e richio c Fioravante Patrone 17 2 Deciioni in condizioni di richio Coa ignifica deciioni in condizioni di incertezza, o in condizioni di richio? La mia azione potrebbe decidere e comprare o no una data quantità di titoli azionari ad un dato prezzo. Quali ono le coneguenze della mia azione? Abbiamo vito che le coneguenze potrebbero non eere coì facili da definire. In queto eempio, poiamo coniderare come coneguenza una molto emplice: il prezzo dei titoli azionari domani (alle 10 di mattina). Queta è una tipica deciione in condizioni di incertezza. Un eempio di deciione in condizione di richio può eere il eguente. Si ta giocando alla roulette. Si commettono 1000 euro ul numero 23. Non i conoce la coneguenza di tale azione. Ma i conoce che, con qualche probabilità ben definita, i perderanno i 1000 euro oppure i guadagnano euro. La differenza tra queto eempio e il precedente, è che nel econdo i conocono le probabilità aegnate alle coneguenze della propria azione (tiamo coniderando una roulette non truccata!). Coì, i a che c è una probabilità di 36/37 che i perdano i 1000 euro, e una probabilità di 1/37 che i guadagnino i euro (il gioco è leggermente favorevole per voi, dovuto alla preenza dello 0 nella roulette). Quete probabilità poono eere coniderate come icure. Mentre il cao dei titoli azionari è un tipico cao di incertezza, dove i poono avere al maimo opinioni, time, delle probabilità (e, inoltre, la votra valutazione della probabilità può eere divera da quella di un altro deciore). Non tratteremo, in queti brevi appunti, di deciioni in condizioni di incertezza, ma ci concentreremo olo ulle deciioni in condizioni di richio. Fiiamo il quadro per le deciioni in condizioni di richio. È utile uare il modello più ricco che abbiamo introdotto, cioè, parliamo di azioni e coneguenze. Poiamo dire che la coneguenza di una azione x X, è una ditribuzione di probabilità h(x) Δ(E) (dove Δ(E) non è nient altro che l inieme della ditribuzione di probabilità u E). Dato ciò, quale arà la deciione? Quale azione ceglierà il deciore? Se devo cegliere tra x e y, conidererò le coneguenze h(x), h(y) Δ(E). Coì, il punto rilevante è: quali ono le mie preferenze u (gli elementi di) l inieme Δ(E)? Avendo detto che, abbandoneremo la terminologia ulle azioni e coneguenze, e ci focalizzeremo ul problema fondamentale che affrontiamo. Abbiamo un inieme X, e iamo intereati nelle preferenze ર u Δ(X). Si noti che, e X è un inieme finito, non c è problema nel coniderare l inieme Δ(X) di tutte le probabilità u X. Ma, e X è un qualche inieme

18 Teoria delle deciioni: certezza e richio c Fioravante Patrone 18 tipo [0, 1], ci ono dei dettagli che devono eere fiati. Coa è una probabilità u [0, 1]? È una miura con maa totale 1, ma i deve pecificare la σ-algebra ulla quale è definita la miura (in generale, non i può aumere che i poa aegnare una probabilità a qualiai ottoinieme di [0, 1]). Coì, nel cao generale, ci ono alcune complicazioni tecniche. Per evitarle, retringiamo l inieme delle ditribuzioni di probabilità che conideriamo. Poiamo guardare olo ad una ditribuzione di probabilità emplice u X. Definizione 6 Dato un inieme X, una probabilità emplice u X è una funzione p : X [0, 1] t.c. p(x) = 0 olo per un ottoinieme finito di X, che arà chiamato il upporto di p, e denotato con pt(p). Coì, l ambiente nel quale lavoreremo è il eguente. Abbiamo un inieme X, X =. Il ignificato inteo degli elementi di X è che ono le coneguenze finali. Allora, conideriamo P, l inieme delle probabilità emplici u X (ci riferiremo anche agli elementi di P come a lotterie). Cioè, P = {p : X [0, 1] t.c. pt(p) è finito, e t.c. x X p(x) = 1}. Si noti che x X p(x) = x pt(p) p(x) = 1, cioè, è eenzialmente una omma finita. Si potrebbe aumere una formulazione più emplice, che l inieme X ia eo teo un inieme finito. Facendo ciò, comunque, arebbe impoibile lavorare con alcuni tipi di problemi che abbiamo in mente (eenzialmente, ditribuzioni di probabilità u coneguenze monetarie). Ora, le preferenze. Il quadro è imile a quello delle deciioni in condizioni di certezza. Ma con una differenza eenziale. Ora, le preferenze ono u P, l inieme delle probabilità emplici u X. L inieme P non è un inieme qualiai (come era nel cao delle deciioni in condizioni di certezza), ma ha una truttura matematica peciale. E le aunzioni che faremo tengono in coniderazione queta peciale truttura. Dato un inieme X, P e una relazione ર u P, aumeremo Aunzione 1 ર è un preordine totale u P Si noti che, da un punto di vita interpretazionale, queta aunzione è più forte dell analoga fatta per le deciioni in condizioni di certezza. Perché tiamo trattando con oggetti più complicati. Per eempio, il notro deciore deve ora eere in grado di confrontare qualiai coppia di ditribuzione di probabilità (emplice) ulle coneguenze della ua azione, che è una richieta molto più forte del richiedere di eere in grado di confrontare qualiai coppia di coneguenze. Le eguenti aunzioni ono interamente nuove con riferimento al cao di deciioni in condizioni di certezza.

19 Teoria delle deciioni: certezza e richio c Fioravante Patrone 19 Aunzione 2 (condizione d Archimede) p, q, r P t.c. p q r, α, β ]0, 1[ t.c. αp + (1 α)r q βp + (1 β)r Aunzione 3 (indipendenza) p, q, r P t.c. p q, γ ]0, 1[, γp + (1 γ)r γq + (1 γ)r Un oervazione ulla notazione. Quale è il ignificato di una notazione del tipo αp + (1 α)r? Ea rappreenta una combinazione convea degli elementi di P, operazione che è ignificativa ulle probabilità emplici (i noti che un operazione imile non è poibile, in generale, nel conteto delle deciioni in condizioni di certezza. Coì, le aunzioni 2 e 3 ono in quel conteto, parlando generalmente, enza eno). Coa dire dell interpretazione delle aunzioni 2 e 3? Oerviamo che gli eempi più emplici di lotterie (cioè, elementi di P ) ono dati da miure concentrate, cioè p = δ {x} (il delta di Dirac, concentrato u x, che aegna probabilità 1 a x e 0 a qualiai altro elemento di X). È naturale identificare X con l inieme delle ditribuzioni di probabilità, coì che X può eere vito come un ottoinieme di P. Si noti che non è equivalente dire che i ottiene x con certezza o che i ottiene con probabilità 1. Ma per i notri copi non faremo tale ditinzione. Tornando all interpretazione delle aunzioni 2 e 3, ueremo quete miure concentrate in modo eteo. Coì, i prendano p = δ {x} e q = δ {y}. Nell aunzione 3 c è l ipotei che il deciore preferice trettamente p a q (che ignifica eenzialmente che i preferice x a y). Ora, veniamo ad un altro elemento di P, diciamo r = δ {z}. L idea dell aunzione 3 è che un deciore che preferice p a q è obbligato a preferire, ad eempio, di ottenere x con probabilità 1/3 e z con probabilità 2/3 piuttoto che ottenere y con probabilità 1/3 e z con probabilità 2/3. Per comprendere tale retrizione, i può immaginare di dover cegliere tra un congegno aleatorio che dà x con probabilità 1/3 e z con probabilità 2/3 piuttoto che un altro che dà y con probabilità 1/3 e z con probabilità 2/3. Ora, c è una probabilità di 2/3 che l eito finale arà lo teo, cioè z, e c è una probabilità di 1/3 che l eito finale arà x o y. Poiché il deciore preferice trettamente x a y, egli preferirà trettamente anche il primo congegno al econdo. Per chiarire di più le coe, e i preferice ricevere 1 euro invece di non ricevere nulla, allora i preferirà trettamente ricevere 1 euro con probabilità α > 0 al non ricevere nulla. Coa dire dell aunzione 2? Ci ono tre lotterie, p = δ {x}, q = δ {y}, r = δ {z}, che poono eere rappreentate u una linea come nella eguente figura:

20 Teoria delle deciioni: certezza e richio c Fioravante Patrone 20 r q α 1 > p α p + (1 α )r Allora, uno conidera αp + (1 α)r, che può eere critto anche come: r +α(p r). Si conideri di potare α da 0 a 1: uccede (in queta rappreentazione) che queta lotteria i pota da r a p. Coì, in queta rappreentazione, è naturale aumere che c è qualche α t.c. r + α (p r) giace alla detra di q. Queto è preciamente il ignificato della proprietà archimedea. Ea garantice che un riultato come queto, uggerito dalla figura opra, in realtà accade. Quando queto fatto potrebbe non accadere? Se foe tato il cao in cui qualche alternativa, qualche lotteria, non era paragonabile con le altre alternative. Cioè, era infinitamente peggiore (o migliore ) di ogni altra. In tale cao, fore non è poibile fare una combinazione convea delle lotterie capace di compenare l avvenimento dell inferno, cioè, un alternativa che è infinitamente peggiore paragonata ad ogni altra. Nella figura, i potrebbe immaginare che r ia pota a. Allora non c è una combinazione convea di r e p che il deciore conideri meglio di q. Siamo ora in grado di formulare il teorema di rappreentazione. Teorema 7 Sia dato P, l inieme delle ditribuzioni di probabilità emplici u un inieme X =, e una relazione ર u P. Allora, ર oddifa le aunzioni 1, 2 e 3 e e olo e eite u : X R t.c.: ( ) p ર q p(x)u(x) q(x)u(x) x pt(p) x pt(q) Inoltre, e u, v : X R oddifano (*), allora eitono a, b R, con a > 0, t.c. u = av + b. Aumiamo che X ia un inieme finito, cioè X = {x 1,..., x n }, allora poiamo identificare p P con p = (p 1,..., p n ) R n e imilmente per q. Coì, la condizione (*) diventa: n p k u(x k ) k=1 n q k u(x k ) Qual è il ignificato di una omma del tipo n k=1 p ku(x k )? Data p, una probabilità u X, poiamo vederla come il valore atteo della variabile cauale u : X R. k=1

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