Esercitazione 4: Calcolo e relazioni tra le principali funzioni biometriche delle tavole. Misure di sintesi. Viviana Amati

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1 Esercitazione 4: Calcolo e relazioni tra le principali funzioni biometriche delle tavole. Misure di sintesi. Viviana Amati 13/05/2009

2 Le funzioni biometriche della tavola di mortalità Nell esercitazione precedente sono state definite le probabilità di morte q x, i decessi d x e i sopravviventi l x all età x, dall età 0 all età ω 1. In Figura 1 sono rappresentate le curve che rappresentano queste funzioni biometriche. Ogni ordinata tracciata in corrispondenza della rispettiva età, individua sulla curva l entità del fenomeno (sopravviventi, decessi e mortalità) a quella particolare età. Le curve proposte sono state tracciate in base alla tavola di mortalità della provincia di Milano del 1992 e dunque si riferiscono ad una situazione di bassa mortalità. Se consideriamo gli andamenti si osserva che: - le probabilità di morte sono più elevate nelle primissime età, dopdichè diminuiscono e tornano a risalire sempre più rapidamente nelle età più avanzate. - Per quanto riguarda il numero di decessi si osserva, in maniera più manifesta l elevata mortalità nelle primissime età. Poi si nota un picco intorno agli 80 anni e un lento declino, dovuto non tanto al calo della mortalità, quanto al contingente ridotto della popolazione con più di 80 anni - La curva relativa ai sopravviventi mostra un costante declino all aumentare dell età, ma tale diminuzione diventa sempre più rapida a partire dai 60 anni. Altre funzioni biometriche Oltre a queste quantità, la tavola di mortalità può contenere anche altre funzioni biometriche che arricchiscono le informazioni inerenti al processo di eliminazione. Queste quantità sono: a) Le probabilità di sopravvivenza (p x ). Sono il complemento a 1 delle probabilità di morte, ed esprimono la probabilità che un individuo, arrivato al compleanno x, ha di sopravvivere al compleanno x + 1. E possibile definire i sopravviventi all età x anche attraverso le probabilità di sopravvivenza. Infatti: l x+1 = l 0 p 0 p 1 p 2... p x 1 }{{} l x p x = l x p x = l x (1 q x ) b) Gli anni vissuti tra il compleanno x e il compleanno x + 1 (L x ). La determinazione di tale valore dipende da: 1. il numero l x+1 dei sopravviventi al compleanno x + 1, ognuno dei quali ha vissuto un anno; 2. il numero complessivo degli anni vissuti tra i compleanni x e x + 1 da parte dei d x soggetti che sono deceduti in età x. Quest ultimo dato si ottiene supponendo che ognuno di essi abbia vissuto in media per una certa frazione di anno k x. In generale si pone k x = 1/2, cioè si ipotizza che tutti coloro che sono morti tra due compleanni hanno vissuto in media metà anno. Questa ipotesi non è però realistica nel caso dell età della prima infanzia (in particolare nel primo anno di vita) e nelle età molto anziane (oltre i 90 anni). Infatti i morti nel primo anno di vita si addensano nei primi giorni, settimane o mesi e pertanto essi vivono in 1

3 (a) Probabilità di morte (b) Decessi (c) Sopravviventi Figura 1: Curve delle funzioni biometriche 2

4 media meno di metà anno. Il valore di k 0 viene solitamente determinato sulla base della distribuzione dei decessi nel primo periodo di vita corrispondente al periodo o alla generazione cui si riferisce la tavola. In generale si applica la seguente formula: L x = l x+1 + k x d x e poichè il valore di k x viene generalmente posto pari a 1 2 si ha: L x = l x d x = l x (l x l x+1 ) = l x + l x+1 2 c) La serie retrocumulata degli anni vissuti (T x ) che indica il numero totale di anni vissuti dai sopravviventi l x dal compleanno x fino alla completa estinzione della popolazione. Essa si ottiene come segue: T x = L x + L x L ω 1 d) La speranza di vita all età x (e x ) che rappresenta il numero medio di anni che restano da vivere ai sopravviventi all età x: e x = T x l x La speranza di vita alla nascita e 0 costituisce l indice della tavola maggiormente usato anche a fini comparativi, poichè esprime il numero medio di anni vissuti da una generazione di nati. Più in generale la speranza di vita è l indicatore sintetico del rischio di morte che più correttamente esprime la differenza fra livelli di mortalità. Essi dipendono sia dalle condizioni di mortalità sia dalle strutture per età. Quando le condizioni di vita sono pessime, si rilevano contemporaneamente un tasso grezzo di mortalità elevato ed una speranza di vita bassa. I progressi nella sopravvivenza si ripercuotono sia in un calo dei tassi di mortalità che in un aumento della speranza di vita; tuttavia con l invecchiamento della popolazione l incidenza della struttura per età ha ripreso importanza. Anche per la speranza di vita è possibile costruire un grafico che mostri il suo andamento all aumentare dell età. Come si osserva dalla Figura 2 la speranza di vita ha un andamento monotono decrescente. Nel caso della provincia di Milano si parte dai circa 74 anni di speranza di vita alla nascita e si giunge fino ai pochi mesi. 3

5 Figura 2: Grafico della speranza di vita Esercizio 1 Nel biennio una popolazione ha dato luogo ai seguenti flussi: Anno Nati vivi Anno decesso Anno nascita Morti in età Utilizzando questi dati, completare le prime tre righe della tavola di mortalità riferita allo stesso intervallo di tempo: x l x d x 1000 q x 1000 p x L x e x ,

6 Esercizio 2 La seguente tabella riporta, relativamente alla popolazione italiana, i valori della speranza di vita ad alcune eta, ricavati da sei tavole di mortalita per contemporanei. Sono tavole costruite utilizzando le probabilita di morte fra compleanni riferite ad un dato intervallo di tempo e pertanto riflettono le condizioni di mortalita del momento. Commentare la tabella e il seguente grafico. Esercizio 3 Dati i seguenti elementi: l40 = q40 = q41 = q42 = k40 = k41 = k42 = 0.5 e40 = 42 calcolare i valori (lx, Lx, ex, dx ) che caratterizzano la corrispondente tavola di mortalita per le eta 40,41 e 42. 5

7 La tavola di mortalità abbreviata Per motivi di sintesi o per mancanza di dati analitici di base si può costruire una tavola di mortalità abbreviata costruita, anzichè tra compleanni contigui, tra successivi intervalli di età pluriennali. In tali circostanze, le modalità di costruzione della tavola restano sostanzialmente identiche e le relazioni viste in precedenza richiedono solo alcuni adattamenti. Si indichi con: - a q x la probabilità di morte tra i compleanni x e x + a - a d x i decessi tra i compleanni x e x + a - l x i sopravviventi al compleanno x - a k x la frazione di intervallo compreso tra i compleanni x e x + a vissuta in media dai deceduti entro i limiti di età - a L x gli anni vissuti entro i compleanni x e x + a - T x la serie retrocumulata degli anni vissuti a partire dal compleanno x - e x la speranza di vita al compleanno x si avrà ad x = a q x l x l x+a = l x a d x al x = a l x+a + a k x a a d x e x = Tx l x Esercizio 4 Da una tavola di mortalità abbreviata si ricavano i seguenti valori: Si calcolino 5 q 40 e e 45. Esercizio 5 l 40 = T 45 = d 4 0 = 667 Completare la seguente tavola di mortalità abbreviata x a l x q x (permille) ad x a k x a L x T x e x

8 Impieghi della tavola di mortalità La disponibilità di una o più tavole di mortalità consente di approfondire la descrizione e l analisi del processo di eliminazione per morte e di disporre un modello teorico cui fare riferimento per prendere scelte di nartura operativa. Infatti l insieme delle informazioni contenute nella tavola consentono di misurare l evoluzione del rischio di morte alle diverse età e di valutare i progressi o i regressi della sopravvivenza, confrontando tra loro più tavole. Tali confronti possono essere codotti fra tavole per generazioni o per contemporanei (ad esempio l Esercizio 3 fa riferimento a tavole per contemporanei). Per quanto riguarda più strettamente l applicazione delle tavole di mortalità, si possono citare le previsioni demografiche, le stime della popolazione e il campo assicurativofinanziario. Nell ambito previsivo si fa riferimento al modello di sopravvivenza descritto da un opportuna tavola e lo si proietta nel futuro per stimare il numero di coloro che sopravviveranno alla fine dell intervallo di tempo coperto dalla previsione, in base al modello di mortalità adottato. Nel campo assicurativo-attuariale la tavola consente di calcolare i premi delle assicurazioni sulla vita. La relazione tra tassi di mortalità e probabilità di morte Chiariti i meccanismi di costruzione di una tavola di mortalità è utile mettere in evidenza la relazione tra i tassi specifici di mortalità m x e le probabilità di morte q x. Un tasso specifico di mortalità è stato definito come il rapporto tra i morti di una certa età x (o ad una classe di età) e la popolazione media relativa alla medesima età (o classe), coincidente con i suoi anni vissuti: m x = M x P x Gli elementi necessari per calcolare questo indicatore sono presenti anche nella tavola di mortalità e dunque è possibile calcolare un tasso specifico anche a partire da essa, come: m x = d x L x 1000 Infatti nella prima esercitazione si è detto che gli anni vissuti coincidono con la popolazione media. Si consideri ora la probabilità di morte q x = d x l x e a denominatore si sostituisce la relazioni tra i sopravviventi e gli anni vissuti 1 q x = d x L x d x 1 Tramite semplici passaggi: L x = 1 2 (l x + l x+1 ) 2L x = l x + l x+1 2L x l x+1 = l x 2L x (l x d x ) = l x 2L x l x + d x = l x 2L x + d x = 2l x L x d x = l x 7

9 Dividendo dunque numeratore e denominatore per L x si ottiene la relazione tra il tasso di mortalità specifico per età e la probabilità di morte: q x = d x L x d x = m x 2 L x 1 + 1m 2 x = 2m x 2 + m x Ne discende quindi che m x = 2q x 2 q x Se si rappresenta graficamente la relazione tra il tasso e la probabilità si osserva che il tasso specifico di mortalità è sempre più elevato rispetto alla probabilità e la differenza tra i due indicatori aumenti all aumentare del valore del tasso (Figura 3). Figura 3: Grafico relativo ai tassi specifici di mortalità e alle probabilità di morte Esercizio 6 Con riferimento alla tavola di mortalità ricavata nell Esercizio 1 calcolare il tasso di mortalità specifico per l età 0 e 1. Altri esercizi Esercizio 7 Completare la seguente tavola di mortalità: 8

10 x l x q x (permille) d x e x L x Soluzioni Esercizio 1 Per capire quali dati sono stati forniti, si può ricorrere alla loro rappresentazione mediante il diagramma di Lexis. Per prima cosa si deve fissare la radice della tavola. Per convenzione essa è un multiplo di 10 e solitamente si pone l 0 = Fissata questa quantità si deve ricavare la probabilità di morte q 0 e per fare ciò è necessario stabilire quali debbano essere i dati da utilizzare. Il diagramma di Lexis permette di osservare che la probabilità di morte in età 0 può essere calcolata solo per la generazione del Quindi si ipotizza che la tavola di mortalità da costruire presenti la medesima probabilità di morte della generazione del 1971: q 0 = d 0 l 0 = = La probabiltà di sopravvivenza e i decessi in età 0 sono dunque pari a: d 0 = l 0 q 0 = = 2786 p 0 = 1 q 0 = = A questo punto è possibile determinare i sopravviventi al 1 compleanno: l 1 = l 0 d 0 = = Noti i sopravviventi e la probabilità di morte in età 1, si possono ricavare i decessi relativi a questa età e la relativa probabilità di sopravvivenza: d 1 = l 1 q 1 = = 146 p 1 = 1 q 1 = = = Iterando questi procedimenti si ottiene: l 2 = l 1 d 1 = = q 2 = =

11 p 2 = 1 q 2 = = q 3 = = Restano ora da calcolare le serie degli anni vissuti e della speranza di vita. Per la serie degli anni vissuti si ha: L 1 = l d 1 = = L 2 = l d 2 = = A partire da quest ultima e da e 3 si può ricavare la serie retrocumulata degli anni vissuti: T 3 = e 3 l 4 = = T 2 = T 3 + L 2 = = T 1 = T 2 + L 1 = = T 0 = T 1 + L 0 = = Da ciò segue che la serie della speranza di vita alla nascita è: e 0 = T 0 = l e 1 = T 1 = l e 2 = T 2 = l La tabella completa è dunque: = = = x l x d x 1000 q x 1000 p x L x e x Esercizio 2 Il confronto dei valori della speranza di vita in tempi successivi, consente di valutare per età e per genere, in che misura le variazioni dei livelli del rischio di morte per età si tradurrebbero in un accrescimento della sopravvivenza, per un ipotetica popolazione sottoposta a tali livelli. Ad esempio un neonato maschio, se dovesse sperimentare condizioni di mortalità simili a quelle osservate tra il 1899 e il 1902, avrebbe una durata media di vita pari a 42.6 anni. Nel corso di un cinquantennio la speranza di vita raggiunge i 63.7 anni, fino ad arrivare a 73.8 anni nel Per quanto riguarda, invece, le neonate, la speranza di vita alla nascita, secondo le condizioni di mortalità tra il 1899 e il 1902, era pari a 43 anni ed è salita fino a 80.4 nel L aumento della speranza di vita si riflette anche sulla curva dei sopravviventi l x. Di fatto sempre facendo riferimento alla popolazione femminile, si nota che la curva assume una forma sempre più rettangolare con un incremento degli anni vissuti e lo spostamento verso destra del limite estremo di sopravvivenza. 10

12 Esercizio 3 In virtù delle seguente relazioni: si ottiene: Inoltre: d x = l x q x l x+1 = l x d x L x = l x+1 + k x d x e x = T x l x d 40 = l 40 q 40 = = 180 l 41 = l 40 d 40 = = L 40 = l 41 + k 40 d 40 = = d 41 = l 41 q 41 = = 270 l 42 = l 41 d 41 = = L 41 = l 42 + k 41 d 41 = = d 42 = l 42 q 42 = = 269 l 43 = l 42 d 42 = = L 42 = l 43 + k 42 d 42 = = e 40 = T 40 l 40 T 40 = e 40 l 40 = = e ricordando la relazione T x+1 = T x L x si avrà: T 41 = T 40 L 40 = = e 41 = T 41 l 41 = = T 42 = T 41 L 41 = = e 42 = T 42 l 42 = = Ora è possibile costruire la tavola di mortalità: Esercizio 4 x l x q x d x e x L x La probabilità di morte quinquennale a 40 anni è fornita da: 5q 40 = 5 d 40 l 40 = = Per calcolare la speranza di vita a 45 anni occorre calcolare i sopravviventi a 45 anni: l 45 = l 40 5 d 40 = = Fatto ciò: e 45 = T 45 l 45 = =

13 Esercizio 5 Per completare la tavola occorre tener presenti le relazioni: ad x = a q x l x l x+a = l x a d x A questo punto si ha: al x = a l x+a + a k x a a d x e x = Tx l x 1d 0 = l 0 q 0 = = 6292 l 1 = l 0 1 d 0 = = L 0 = 4 l k 0 1 d 0 = = e 0 = T 0 l 0 = = q 1 = = l 5 = l 1 4 d 1 = = L 1 = 4l k 1 4 d 1 = = T 1 = T 0 1 L 0 = = e 1 = = d 5 = l 5 4 q 1 = = 416 a a k x = = 2.5 T 5 = T 1 4 L 1 = = Esercizio 6 x a l x q x (permille) ad x a k x a L x T x e x Ricordando la relazione tra le probabilità di morte e i tassi specifici per età m x = 2q x 2 q x si ottiene: m 0 = 2q = = q m 1 = 2q = = q

14 Esercizio 7 Tramite le note relazioni si ottiene: d 0 = l 0 q 0 = = 1300 l 1 = l 0 d 0 = = q 1 = d 1 l = = l 2 = l 1 d 1 = = d 2 = l 2 l 3 = = 39 q 2 = d 2 l2 = = d 3 = l 3 q 3 = = 32 T 0 = l 0 e 0 = = T 1 = T 0 L 0 = = e 1 = T 1 l 1 = = L 1 = l d 1 = = T 2 = T 1 L 1 = = e 2 = T 2 l 2 = = L 2 = l d 2 = = = T 3 = T 2 L 2 = = e 3 = T 3 l 3 = = L 3 = l 3 1d 2 3 = = La tavola completa è: x l x q x (permille) d x e x L x