LE EQUAZIONI IRRAZIONALI

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1 LE EQUAZIONI IRRAZIONALI Per ricordare H Data ua qualsiasi equazioe A B, saiamo che ad essa si ossoo alicare i ricii di equivaleza che cosetoo di aggiugere o togliere esressioi ai due membri oure moltilicare o dividere er u'esressioe o ulla. Questi ricii eroá o ci dicoo ulla sull'oerazioe di elevameto a oteza, vale a dire che o ossiamo, i geerale, dire che A B eá equivalete a A B. Per esemio, ell'isieme dei umeri reali: o eá equivalete a 9 ma eá equivalete a 7 Possiamo eroá dire che: eá equivalete a 9 se si oe la codizioe che sia > 0 eá equivalete a 9 se si oe la codizioe che sia < 0 ercheá i questo caso etrambe le equazioi hao le stesse soluzioi. Nell'elevameto a oteza occorre duque recisare alcue codizioi che garatiscao l'equivaleza di due equazioi. I articolare ossiamo dire che: elevado i due membri di u'equazioe a oteza disari siamo sicuri di otteere u'equazioe equivalete a quella data elevado i due membri di u'equazioe a oteza ari siamo sicuri di otteere u'equazioe equivalete a quella data solo se i due membri hao lo stesso sego. L'isieme dei valori di er i quali due equazioi soo equivaleti si dice isieme di equivaleza. Per esemio, l'isieme di equivaleza delle due equazioi e 9 eá l'isieme degli < 0. H U'equazioe si dice irrazioale se l'icogita comare ell'argometo di u radicale; essa assume q quidi la forma A B. Le cosiderazioi fatte al uto recedete ci ermettoo di trovare dei metodi er risolvere questo tio di equazioi; distiguiamo il caso i cui l'idice della radice eá ari da quello i cui eá disari. Se eá disari l'equazioe eá equivalete a quella che si ottiee elevado a oteza : q A B eá equivalete a A B Per risolvere u'equazioe di questo tio si segue quidi questa rocedura:

2 5 - LE EQUAZIONI IRRAZIONALI Q Re Fraschii - Grazzi, Atlas SA si isola il radicale si elevao a oteza i due membri dell'equazioe si risolve l'equazioe otteuta. Per esemio: 7! 7! 7!! 6 0! 9 Se eá ari il radicale al rimo membro esiste solo se eá A 0; il rimo membro dell'equazioe eá duque ositivo o ullo e, afficheâ vi sia cocordaza di sego fra i due membri dell'equazioe, occorre che sia ache B 0; i queste iotesi, l'equazioe A B eá equivalete a quella B co ari, si deve ri- data. q Riassumedo queste cosiderazioi, er risolvere l'equazioe A solvere il sistema: >< A 0 B 0 >: A B Teedo oi resete che la codizioe A 0eÁ suerflua ercheá l'equazioe A B imlica giaá che A sia ositivo o ullo, er risolvere u'equazioe irrazioale co u solo radicale di idice ari si segue allora questa rocedura: si isola il radicale si oe la codizioe di cocordaza di sego si elevao a oteza i due membri dell'equazioe si risolve l'equazioe otteuta. ( B 0 I sostaza si risolve il sistema A B Per esemio: eá equivalete al sistema la sola soluzioe accettabile eá 0! < 0 : _ I alterativa a questo metodo, semre el caso i cui sia ari, si uoá seguire questa rocedura che o revede di verificare a riori l'equivaleza delle equazioi: si isola il radicale si elevao a oteza i due membri dell'equazioe si risolve l'equazioe otteuta si rocede alla verifica delle soluzioi. Per esemio, er risolvere la recedete equazioe si oera i questo modo:!!

3 Q Re Fraschii - Grazzi, Atlas SA - LE EQUAZIONI IRRAZIONALI 5 Verifica delle soluzioi: er : Falso er : Vero La sola soluzioe eá quidi. H Se l'equazioe irrazioale cotiee iuá radicali, i geere eá ecessario fare iuá oerazioi di elevameto a oteza er oter risolvere l'equazioe. Se l'idice delle radici eá ari, si deve allora semre oerare i modo da essere certi di assare ad u'equazioe equivalete oedo le oortue codizioi di cocordaza di sego dei membri dell'equazioe; i alterativa, basta effettuare ua verifica fiale delle soluzioi trovate. ESERCIZI DI CONSOLIDAMENTO Stabilisci se le segueti equazioi soo equivaleti: a. e siš b. e oš c. e siš d. e 5 5 siš Determia l'isieme di equivaleza delle segueti equazioi. ESERCIZIO SVOLTO ESERCIZIO SVOLTO 5 e 5 Le due equazioi soo equivaleti se vi eá cocordaza di sego fra i due membri della rima equazioe; allora, oicheá il secodo membro eá ositivo, l'isieme di equivaleza eá la soluzioe dell'equazioe > 0! > e Aalogamete all'esercizio recedete, i due membri della rima equazioe devoo avere lo stesso sego; l'isieme di equivaleza eá allora la soluzioe dei sistemi: > 0 < 0 _ > 0 < 0 < _ >

4 5 - LE EQUAZIONI IRRAZIONALI Q Re Fraschii - Grazzi, Atlas SA 5 e 5 < _ > e 6 RŠ 6 7 e RŠ 7 e 7 0Š Risolvi le segueti equazioi irrazioali coteeti u solo radicale. Il radicale eá di idice ari; la disequazioe eá quidi risolta dal sistema 0 S f5gš r 9 5 S fg 6 Š S 5 S S f ; 5gŠ S fg 5 Š S ; 6 S fg Š S 7 ; 5 S 9 5 Il radicale eá di idice disari e er risolvere l'equazioe basta elevare etrambi i membri al cubo: S f ; 0; gš

5 Q Re Fraschii - Grazzi, Atlas SA - LE EQUAZIONI IRRAZIONALI S f gš 6 0 S f ; gš S fg Š 7 S fg 0 Š (Suggerimeto: isola darima il radicale) S 0 S Š S 0; 6 q S 7 6 ; 7 7 S Š S S 0 S ; 5 S 7 0 Risolvi le segueti equazioi irrazioali che cotegoo due o iuá radicali. ESERCIZIO SVOLTO I metodo. 0 Poiamo le codizioi di esisteza dei radicali:! 0 PoicheÁ etrambi i membri soo ositivi ( eá ositivo ercheâ somma di umeri ositivi), ossiamo elevare al quadrato otteedo l'equazioe! Per u uovo elevameto al quadrato dobbiamo orre la codizioe di cocordaza dei segi fra i due membri e rivalutare l'isieme di equivaleza:

6 56 - LE EQUAZIONI IRRAZIONALI Q Re Fraschii - Grazzi, Atlas SA < 0 :! uovo isieme di equivaleza Elevado al quadrato otteiamo l'equazioe! 0! 0 PoicheÁ solo la secoda soluzioe aartiee all'isieme di equivaleza, S f g. II metodo. Eleviamo al quadrato seza orci roblemi di esisteza dei radicali o di cocordaza di segi fra i due membri dell'equazioe: ed elevado di uovo al quadrato 0 0! Procediamo alla verifica delle soluzioi: er 0 : 0 0! 0 o eá soluzioe dell'equazioe er :! 5 5 eá soluzioe dell'equazioe. 5 6 Prima di elevare al quadrato, coviee ortare il termie al secodo membro i modo da avere etrambi i membri ositivi: Poi adesso le codizioi di esisteza dei radicali ed eleva al quadrato. S f gš 6 S f 7; gš S f ; gš S S S Š

7 Q Re Fraschii - Grazzi, Atlas SA - LE EQUAZIONI IRRAZIONALI r S fg Š S fg Š 0 S Š (Suggerimeto: la somma di due umeri ositivi eá ulla solo se soo ulli cotemoraeamete i due addedi) 9 0 S fg Š S 5 S 9 6 S S ESERCIZI DI APPROFONDIMENTO Risolvi le segueti equazioi irrazioali di vario geere. q S f ; 0gŠ 5 0 S f0; ; 5gŠ S Š 9 S Š 5 5 S S f0gš S ; S fg 0 Š S 0 S Š

8 5 - LE EQUAZIONI IRRAZIONALI Q Re Fraschii - Grazzi, Atlas SA 5 6 S ; 0 S ; 5 7 S S f0; gš S f gš S fg Š 7 9 S 6 S ; 9 9 S ; S S 9 ; q S f; gš q 6 7 S ; ; 5 ; 5 q s r 6 6 s r 7 S 5 S 0 S ; 5 q q q S f; 5gŠ

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