Università degli Studi di Urbino Facoltà di Economia

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1 Unverstà degl Stud d Urbno Facoltà d Economa Lezon d Statstca Descrttva svolte durante la prma parte del corso d corso d Statstca / Statstca I A.A. 004/05 a cura d: F. Bartolucc

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3 Lez. 8/0/04 Statstca descrttva - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Statstca La Statstca è la dscplna che s occupa dell anals n termn quanttatv d fenomen collettv, coè d fenomen che rchedono l osservazone d un nseme d fenomen ndvdual (es: reddto de resdent n una certa regone, consumo d un determnato bene n un certo perodo d tempo). Usualmente s dstngue tra: Statstca descrttva (I parte del corso): s occupa dell anals d un fenomeno relatvo a un certo gruppo d soggett (popolazone) sulla base d una rlevazone completa delle nformazon (censmento). Tal nformazon vengono sntetzzate tramte opportun ndc statstc (es: reddto medo de resdent n una certa regone). Inferenza statstca (II parte del corso): s basa su nformazon relatve a un campone d soggett estratto dalla popolazone n esame. Tramte opportune tecnche nferenzal s traggono delle concluson sulla popolazone (es: s stma l reddto medo de resdent n una certa regone con l reddto medo d un campone d quest soggett). 3

4 Lez. 8/0/04 Statstca descrttva - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Alcune defnzon Collettvo statstco (o popolazone): nseme d rfermento del fenomeno oggetto d studo (esemp: resdent nella regone Marche, nseme delle famgle talane, student dell Unverstà d Urbno). Untà statstca: sngolo caso ndvduale che compone l collettvo statstco (esemp: resdente della regone Marche, famgla talana, studente dell Unverstà d Urbno). Carattere: ogn caratterstca elementare oggetto d rlevazone presso le untà statstche che formano l collettvo (esemp: età, sesso, ttolo d studo, peso). Modaltà d un carattere: dvers mod n cu l carattere s manfesta; esemp: modaltà del carattere sesso: M o F; modaltà del carattere peso: 65Kg., 8Kg. 4

5 Lez. 8/0/04 Statstca descrttva - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Esempo S supponga d voler studare l fenomeno collettvo: rendmento degl student dell Unverstà d Urbno all esame d Statstca Collettvo statstco: student dell Unverstà d Urbno che hanno sostenuto l esame d Statstca Untà statstca: sngolo studente dell Unverstà d Urbno che ha sostenuto l esame d Statstca Caratter consderat: sesso, regone d provenenza, ndrzzo della scuola superore, anno d corso, voto all esame d statstca I dat raccolt sono rappresentat tramte una matrce d dat che ha dmensone numerostà del collettvo x numero caratter consderat e dalla quale s possono dedurre le modaltà de var caratter ome Sesso Regone Scuola superore Anno Voto M. Ross M Marche Lceo classco II 7 A. Banch F Calabra Lc. Scentfco III G. Gn M Pemonte Tecnco comm. F.C. 30 M M M M M M M M M M M M 5

6 Lez. 8/0/04 Statstca descrttva - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Classfcazone de caratter A seconda d come sono espresse le modaltà che può assumere, un carattere vene classfcato n: Qualtatvo: quando le modaltà sono espresse tramte espresson verbal (esemp: sesso, regone d provenenza). Quanttatvo: quando le modaltà sono espresse con valor numerc (esemp: altezza, età, peso, reddto). Un carattere qualtatvo può essere ulterormente classfcato n: Rettlneo: esste un ordne naturale delle modaltà; esemp: o grado d soddsfazone: poco, abbastanza, molto; o ttolo d studo: lcenza elementare, lcenza meda, dploma, laurea. Sconnesso: non esste un ordne naturale delle modaltà; esemp: o sesso: M, F; o regone d provenenza: Marche, Umbra,... el caso d caratter sconness possamo solo verfcare, con rfermento a due untà statstche, se hanno o meno la stessa modaltà. el caso d caratter rettlne possamo anche stture una graduatora tra soggett (es: ttolo d studo). 6

7 Lez. 8/0/04 Statstca descrttva - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Un carattere quanttatvo può essere ulterormente classfcato n: Dscreto: le modaltà possono essere messe n corrspondenza bunvoca con un sottonseme de numer nter (tpcamente contegg); esempo: o numero d fgl (o numero esam sostenut): 0,,,... Contnuo: s ha una corrspondenza bunvoca con l nseme de numer real. S tratta tpcamente d grandezze fsche msurabl; esempo: o peso (o altezza): ogn numero reale postvo A volte un carattere contnuo può essere trattato come se fosse dscreto a causa del metodo d msurazone (esempo: l peso msurato n Kg. senza l uso d decmal). Un carattere quanttatvo s dce trasferble quando la sua ntenstà può essere trasferta da un untà all altra (esemp: reddto, fatturato). 7

8 Lez. 8/0/04 Statstca descrttva - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Rlevazone statstca Rlevazone statstca: nseme delle operazon rcheste per l raccoglmento d tutt dat necessar a un ndagne statstca (esempo: censmento ISTAT, ndagn d marketng, spermentazone d un farmaco). A seconda del metodo, una rlevazone può essere: spermentale: è possble controllare le condzon sotto le qual s svolge l osservazone (esempo: spermentazone d un farmaco). osservazonale: s osserva la realtà senza ntervenre su d essa (esempo: censmento ISTAT). A seconda della complesstà della rlevazone: totale: s rlevano caratter d nteresse n corrspondenza d tutte le untà della popolazone (esempo: censmento). parzale: s osserva un campone estratto dalla popolazone (esempo: ndagne d marketng sulla base d un campone d consumator). Tpc strument d rlevazone: ntervsta dretta; ntervsta telefonca; questonaro postale. 8

9 Lez. 8/0/04 Statstca descrttva - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Dstrbuzon statstche Come rsultato d una rlevazone statstca s ha una matrce de dat; esempo: ome Sesso Regone Voto n Statstca M. Ross M Marche 7 A. Banch F Calabra A. Franch F Umbra 8 G. Gn M Pemonte 30 A. Grand F Marche P. Ln F Umbra 7 Ogn colonna della matrce de dat costtusce una dstrbuzone dsaggregata secondo un sngolo carattere. In sostanza s tratta dell elencazone delle modaltà osservate per ogn una untà statstca: x x,...,, x Una dstrbuzone d questo tpo vene anche chamata semplce (s tratta d un solo carattere) untara (s tratta d un elenco untà per untà). Se s consderassero pù caratter conguntamente avremmo una dstrbuzone multpla o doppa se s consderassero due caratter. 9

10 Lez. 8/0/04 Statstca descrttva - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Per sntetzzare l nformazone contenuta n una dstrbuzone dsaggregata s fa uso d una dstrbuzone d frequenza che può essere semplce o multpla a seconda del numero d caratter consderat. Una dstrbuzone d frequenza semplce vene costruta assocando a ognuna delle modaltà dstnte che sono state osservate, x,...,, x x k, la corrspondente frequenza assoluta che è par a l numero d untà statstche che presentano quella modaltà. Per l -esma modaltà, la frequenza assoluta vene ndcata con n. Una dstrbuzone d frequenza semplce vene rappresentata tramte una tabella del tpo seguente, dove ndca la numerostà del collettvo Modaltà ( x ) Frequenze ( n ) x n x n M M x M x k Totale n M n k 0

11 Lez. 8/0/04 Statstca descrttva - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Esemp Dalla matrce d dat consderata n precedenza, s possono rcavare 4 dstrbuzon dsaggregate (semplc) secondo caratter: sesso, regone, voto n Statstca. Per l carattere sesso, le modaltà dstnte sono M e F con frequenze par, rspettvamente, a 4 e. La corrspondente dstrbuzone d frequenza è qund: Sesso ( x ) Frequenze ( n ) M F 4 Totale 6 Per gl altr due caratter consderat s ha: Regone ( x ) Frequenze ( n ) Voto n Statstca ( x ) Frequenze ( n ) Calabra Marche 7 Umbra 8 Pemonte 30 Totale 6 Totale 6

12 Lez. 8/0/04 Statstca descrttva - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Carattere n class el caso d un carattere quanttatvo che assume molte modaltà (tpcamente contnuo) è convenente consderare delle class al posto delle sngole modaltà dstnte. Ogn classe vene dentfcata da due estrem (d snstra e d destra) che per l -esma class sono ndcat con vanno scelte n modo che: c c (esempo: 50-80cm). Le class l lvello d sntes delle nformazon sa adeguato; sano tra loro dsgunte; comprendano tutte le possbl modaltà del carattere. Una dstrbuzone d un carattere n class vene rappresentata tramte una tabella del tpo: Class ( c c ) Frequenze ( n ) c0 c n c c n M M c c n c M k c k k Totale M n

13 Lez. 8/0/04 Statstca descrttva - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Esemp Per l carattere voto n Statstca abbamo la seguente dstrbuzone n class Class d voto c c Frequenze ( n ) 8-7,5,5-5,5 5, ,5 8, ,5 30,5 Totale In questo caso, al fne d avere estrem d classe concdent, s effettua la correzone per contnutà: s sottrae / all estremo d snstra d ogn classe e lo s aggunge a quello d destra. Se s fosse trattato d un carattere msurato n ann (es: età) bastava aggungere all estremo destro d ogn classe. Per l carattere altezza, s ha la seguente dstrbuzone rferta a un collettvo d 4 soggett: Class d Altezza c c Frequenze ( n ) Totale In questo caso la prma classe è aperta a snstra (comprende tutt valor fno a 65) e l ultma è aperta a destra (comprende tutt valor oltre 85); agl estrem mancant s danno de valor scelt opportunamente. 3

14 Lez. 9/0/04 Statstca descrttva - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Frequenze relatve e percentual Frequenza relatva: n f, K,, k Frequenza percentuale: n p 00 f 00, K,, k Un ovva propretà delle frequenze relatve e percentual è: k + f + + f k f f L k + p + + p k p p L 00 Modaltà Frequenze Frequenze Frequenze (oppure class) assolute ( n ) relatve ( f ) percentual ( p ) x ( c0 c ) x ( c x ( c x ( c k c ) n f p n f p M M M M c n ) M M M M c n k k ) k Totale 00 f f k p p k 4

15 Lez. 9/0/04 Statstca descrttva - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Esemp Per caratter sesso e voto n Statstca s hanno le seguent dstrbuzon con frequenze relatve e percentual Sesso ( x ) Frequenze assolute ( n ) Frequenze relatve ( f ) Frequenze percentual ( p ) M 0,33 33 F 4 0,67 67 Totale 6,00 00 Voto n Frequenze Frequenze Frequenze Statstca assolute ( n ) relatve ( f ) percentual ( p ) 8-0, , , ,7 7 Totale 6,

16 Lez. 9/0/04 Statstca descrttva - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Frequenze cumulate Frequenza cumulata assoluta: + n n + n + L + n Frequenza cumulata relatva: F f + f + L + f F + f Frequenza cumulata percentuale: P 00 p + p + L + p P + p Modaltà (oppure class) Freq. assolute cumulate ( ) Freq. relatve cumulate ( F ) Freq. percentual cumulate ( P ) x ( c0 c ) F P x ( c c ) F P M M M M x ( c x ( c k c ) M M M M c k k ) k F F k P P k 6

17 Lez. 9/0/04 Statstca descrttva - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Esempo Per una dstrbuzone d un gruppo d 0 famgle secondo l numero d fgl s hanno le seguent frequenze cumulate umero Freq. assolute Freq. assolute Freq. relatve Freq. percentual d fgl ( x ) ( n ) cumulate ( ) cumulate ( F ) cumulate ( P ) , , , , ,00 00 Totale

18 Lez. 9/0/04 Statstca descrttva - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Prncpal rappresentazon grafche d dstrbuzon statstche Per una dstrbuzone d frequenza d un carattere qualtatvo o quanttatvo non n class, s utlzza un grafco a barre che consste nel rappresentare, su un pano cartesano, k barre d altezza ascsse x, K, x. k n, K, n n corrspondenza delle k Esemp Dstrbuzone degl student secondo l sesso Frequenza 5 4,5 4 3,5 3,5,5 0,5 0 M Sesso F Dstrbuzone delle famgle secondo l numero d fgl Frequenza umero d fgl 8

19 Lez. 9/0/04 Statstca descrttva - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Istogramma d frequenza el caso d un carattere quanttatvo n class, la dstrbuzone vene rappresentata tramte un stogramma d frequenza costruto tramte una sere d rettangol corrspondent alle vare class. Il rettangolo corrspondente alla -esma classe ha: base par all ampezza della classe: d c c altezza par alla denstà d frequenza: h f d L altezza della classe (denstà) corrsponde alla frequenza che compete a un sottontervallo d ampezza untara nel caso d unforme dstrbuzone delle untà nelle class. L stogramma permette qund d confrontare tra loro class d dversa ampezza. La caratterstca fondamentale dell stogramma è che l area d ogn rettangolo corrsponde alla frequenza della classe a cu s rfersce: f d h d d f 9

20 Lez. 9/0/04 Statstca descrttva - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Esempo S consder la seguente dstrbuzone dell altezza Altezza Freq. assolute ( n ) Freq. relatve ( f ) Ampezza ( d ) Denstà ( h ) , , , , ,63 5 0, ,93 5 0, , , , ,0079 Totale 4, Istogramma per la dstrbuzone dell'altezza 0,05 Denstà d frequenza relatva 0,04 0,03 0,0 0, Altezza 0

21 Lez. 9/0/04 Statstca descrttva - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Funzone d rpartzone La funzone d rpartzone, F (x), fornsce la frequenza relatva delle osservazon che presentano una modaltà del carattere non superore a x. Qund s ha sempre: F( ) lmx F( x) 0 e F ( ) lm x Per un carattere quanttatvo non n class, la funzone d rpartzone è par a: F 0 F per ogn x < x ( x) per x x < x+ per ogn x > x qund, se x è compreso tra la modaltà pù pccola ( x ) e quella pù grande ( x k ), F (x) è uguale alla frequenza cumulata ( F ) corrspondente alla pù grande modaltà ( x ) mnore o uguale a x. Altrment, F ( x) 0 o F ( x). k umero d fgl ( x ) Esempo Freq. assolute ( n ) Freq. relatve cumulate ( F ) 0 0 0,00 7 0,35 4 0, ,80 4 4,00 Totale 0 - F ( ) 0, 55, F ( 3) 0, 80, mentre F (,5) F() 0, 55 (l carattere può assumere solo valor nter).

22 Lez. 9/0/04 Statstca descrttva - F. Bartolucc Unverstà d Urbno el caso d un carattere n class (tpcamente contnuo) c s basa sull potes che n ogn classe c sa unforme dstrbuzone: s ha sempre la stessa frequenza n ogn sottontervallo della classe d ampezza untara. In questo caso la funzone d rpartzone è par a: F 0 per ogn x < c0 x) F + h ( x c ) per c x < c per ogn x > ck ( e qund, se x è compreso tra l estremo snstro della prma classe ( c 0 ) e l estremo destro dell ultma classe ( c k ), per l calcolo occorre nnanztutto ndvduare la classe che contene x ( c c ) e po F x) F + h ( x x ); altrment, F ( x) 0 o F ( x). S not che se x ( è uguale a un estremo d classe ( c ), s ha F ( x) F. Altezza Freq. assolute ( n ) Esempo Freq. relatve cumulate ( F ) Denstà ( h ) ,0877 0, ,63 0, ,563 0, ,7456 0, ,9 0, ,0000 0,0079 Totale F ( 70) 0, 63, F ( 85) 0, 9 mentre, dato che 7 cade nella terza classe, s ha F ( 7) 0,63 + 0,056(7 70) 0, 3684.

23 Lez. 9/0/04 Statstca descrttva - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Rappresentazone grafca della funzone d rpartzone Rappresentando la funzone d rpartzone s mostra l andamento delle frequenze cumulate al varare della modaltà del carattere. el caso d un carattere non n class, la funzone d rpartzone ha una forma a gradn ottenuta congungendo punt d coordnate x, ), K,,k. ( F Esempo umero d fgl ( x ) Freq. assolute ( n ) Freq. relatve cumulate ( F ) 0 0 0,00 7 0,35 4 0, ,80 4 4,00 Totale 0 - Frequenza cumulata 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, umero d fgl 3

24 Lez. 9/0/04 Statstca descrttva - F. Bartolucc Unverstà d Urbno el caso d un carattere n class s congungono punt coordnate c, ), K,,k, e l punto ( c,0) dando orgne a una spezzata. ( F Esempo Altezza Freq. assolute ( n ) Freq. relatve cumulate ( F ) , , , , , ,0000 Totale 4 - Frequenza cumulata 0,8 0,6 0,4 0, Altezza 4

25 Lez. 3 0//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Mede Mede: permettono d sntetzzare una dstrbuzone sulla base d un solo valore. Possono essere classfcate n: Mede analtche: calcolate tramte operazon algebrche che convolgono tutt termn della dstrbuzone solo per caratter quanttatv Mede d poszone: non rchedono operazon algebrche del tpo d quelle delle mede analtche anche per caratter qualtatv Mede analtche Meda artmetca Meda geometrca Meda armonca Mede d poszone Medana Quantl Moda 5

26 Lez. 3 0//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Meda artmetca Per una dstrbuzone untara d un carattere quanttatvo d termn, la meda artmetca è defnta come µ ( x + x + L + x ) x Esempo Per la dstrbuzone del voto n Statstca per un gruppo d 6 student: Untà ( ) Voto ( x ) Totale 54 da cu µ a ,667 6

27 Lez. 3 0//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno La meda artmetca può essere calcolata drettamente per una dstrbuzone d frequenza non n class tramte la formula µ ( x n + x n + L+ x k n k ) k x n che tene conto del fatto che una modaltà può rpeters pù volte. Per l calcolo s mposta una tabella del tpo Modaltà ( x ) Frequenze ( n ) x n x n x n x n x M M M x k n k n x knk Totale x n Per la dstrbuzone d frequenza del voto n Statstca: Vot ( x ) Frequenze ( n ) x n Totale 6 54 da cu µ ,667 7

28 Lez. 3 0//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Alternatvamente s può utlzzare la formula basata sulle frequenze relatve. k µ x f La tabella seguente fornsce drettamente l valore della meda artmetca. Modaltà ( x ) Frequenze ( n ) Freq. relatve ( f ) x n x n x f f x f f x f M M M M x k n k f k x k fk Totale x f Il calcolo può rsentre d approssmazon nel calcolo delle frequenze relatve. Per la dstrbuzone d frequenza del voto n Statstca: Vot ( x ) Frequenze ( n ) Freq. relatve ( f ) x f 0,333 6, ,333 8,99 8 0,67 4, ,67 5,00 Totale 6,000 5,670 µ 5,67 5,667 8

29 Lez. 3 0//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Quando l carattere è n class, s ha una perdta d nformazone n quanto non s conosce pù con esattezza la modaltà d ogn untà statstca. La meda sarebbe calcolable esattamente conoscendo le mede d classe ( µ ) come µ k n µ on conoscendo le mede d classe, s usano nvece valor central x c + c che corrspondono alle mede d classe sotto l potes d unforme dstrbuzone. La meda artmetca vene qund calcolata come k µ x n oppure k µ x f. Per l calcolo s mposta una tabella del tpo (quando s applca la formula basata sulle frequenze assolute) c Class c ( ) c Frequenze ( n ) Valor central ( x ) c0 c n c c n x n x x n x x M M M M n k c k k x k n x knk Totale - x n 9

30 Lez. 3 0//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Oppure una tabella del tpo (quando s applca la formula basata sulle frequenze relatve) c Class c ( ) c Frequenze ( n ) Valor central ( x ) c0 c n x c c n x f x f f x f f x f M M M M M n k c k k x k f k x k fk Totale - x f Esempo Per la dstrbuzone dell altezza per un collettvo d 50 persone: Altezza c c ( ) Frequenze ( n ) Valor central ( x ) x n f x f ,0 3, ,0 33, ,70, ,08 5, Totale ,00 73, µ 73,

31 Lez. 3 0//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno In alcune stuazon s ha una dstrbuzone ponderata n cu a ogn modaltà vene assocato un peso che ne quantfca l mportanza Untà ( ) Modaltà ( x ) Pes ( w ) x w x w M M M x w Per calcolare la meda artmetca, l peso vene trattato come una frequenza µ x w w Esempo Per la dstrbuzone della percentuale d spesa per l personale d 4 mprese. Impresa ( ) Spesa per l personale % ( x ) Fatturato ( w ) x w Totale µ 440 6,88 3

32 Lez. 3 0//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Propretà della meda artmetca Propretà : La somma algebrca degl scart dalla meda è nulla: ( x µ ) 0 Propretà : La meda mnmzza la dstanza al quadrato d ogn modaltà da una costante (sntetzza al meglo le osservazon), ( x c) è mnmo per c µ Propretà 3 (d nternaltà): La meda è sempre compresa tra l mnmo e l massmo della dstrbuzone y µ y Per la dstrbuzone d frequenza del voto n Statstca ( µ 5, 667): Untà ( ) Voto ( x ) µ x ( x µ) 7,333,777-4,667,78 3 8,333 5, ,333 8, ,667,78 6 7,333,777 Totale 54-0,00 7,333 3

33 Lez. 3 0//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Propretà 4 (nvaranza rspetto a trasformazon lnear): se a ogn termne della dstrbuzone vene applcata la trasformazone sarà par a a µ + b ax + b, allora la meda Propretà 5 (assocatva): se un collettvo d untà è composto da k sottocolletv con numerostà complessva s può ottenere come,,, µ, µ, K, µ, la meda K k e mede k µ k µ Esempo Supponamo d dvdere l collettvo d 6 student n Sottocollettvo ( ) Mede ( µ ) umerostà ( ) : 7, 4,0 : 8, 30,, 7 6,5 4 Conoscendo solo le mede de due sottocollettv possamo calcolare la meda complessva come µ ( ) 5,

34 Lez. 3 0//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno 34 Meda geometrca Per una dstrbuzone untara d un carattere quanttatvo d termn, la meda geometrca è defnta come g x x x x L µ E tpcamente applcata per calcolare la varazone meda d una certa quanttà rferta a un certo perodo d tempo rspetto al perodo d tempo precedente. Per una dstrbuzone d frequenza non n class, la meda geometrca può essere calcolata come k n n k n n g k x x x x L µ oppure, utlzzando le frequenze relatve, come k f f k f f g k x x x x L µ Se l carattere è n class s utlzzano valor central c c x + al posto delle modaltà.

35 Lez. 3 0//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Esempo S consder l andamento dell nflazone negl ultm 4 ann Anno ( ) Tasso d nflazone % Varazone de prezz ( x ) 999,3,03 000,9,09 00,4,04 00,5,05 Prodotto -,094 La varazone meda de prezz da un anno all altro è µ g 4,094,07 che corrsponde a un tasso medo d nflazone del,7%. 35

36 Lez. 3 0//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Propretà della meda geometrca Propretà (d nternaltà): La meda è sempre compresa tra l mnmo e l massmo della dstrbuzone y µ g y Propretà : La meda geometrca non è ma superore alla meda artmetca, µ µ g per qualsas dstrbuzone Propretà 3: (nvaranza rspetto a cambament d scala) se a ogn termne della dstrbuzone vene applcata la trasformazone ax, allora la meda geometrca sarà par a aµ g Propretà 4: La meda gemetrca può essere calcolata come µ g exp log( x ) (dstrbuzone untara) k µ g exp n log( x ) (dstrbuzone d frequenza) 36

37 Lez. 3 0//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Esempo Per la varazone de prezz negl ultm 4 ann s ha Anno ( ) Varazone de prezz ( x ) log( x ) 999,03 0, ,09 0,088 00,04 0,037 00,05 0,0469 Totale 4,09 0,08997 da cu µ g exp( 0,08997 / 4),07 mentre la meda artmentca è µ 4,09/ 4,08 >, 07 µ g. 37

38 Lez. 4 03//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno 38 Meda armonca Per una dstrbuzone untara d un carattere quanttatvo d termn, la meda armonca è defnta come a x x x x / / / L µ E tpcamente applcata per calcolare l tempo medo per compere una certa operazone n quanto le quanttà x / msurano la produttvtà (numero d operazon compute nell untà d tempo). Per una dstrbuzone d frequenza non n class, la meda armonca può essere calcolata come k k k a x n x n x n x n / / / L µ oppure, utlzzando le frequenze relatve, come k k k a x f x f x f x f / / / L µ Se l carattere è n class s utlzzano valor central c c x + al posto delle modaltà.

39 Lez. 4 03//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Esempo S consder l tempo mpegato (n mnut) per termnare un certo prodotto da 4 opera d una certa azenda. Untà ( ) Tempo mpegato ( x ) Produttvtà ( / x ) 3 0, , , ,033 Totale - 0,79 La produttvtà (numero d prodott termnat n un mnuto) meda è 0,79 / 4 0,0398 e qund l tempo medo per termnare l prodotto è µ 4 / 0,79 3,74. a 39

40 Lez. 4 03//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Propretà della meda armonca Propretà (d nternaltà): La meda è sempre compresa tra l mnmo e l massmo della dstrbuzone y µ a y Propretà : La meda armonca soddsfa la relazone µ a µ g µ per qualsas dstrbuzone Propretà 3: (nvaranza rspetto a cambament d scala) se a ogn termne della dstrbuzone vene applcata la trasformazone ax, allora la meda geometrca sarà par a aµ a 40

41 Lez. 4 03//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Medana Data una dstrbuzone secondo un carattere quanttatvo, la medana (m) è modaltà del carattere che dvde l collettvo n due grupp d uguale numerostà n modo tale che:. le untà del prmo gruppo hanno una modaltà nferore (o uguale) a m;. le untà del secondo gruppo hanno una modaltà superore (o uguale) a m. Per calcolare la medana d una dstrbuzone untara d un carattere quanttatvo d termn:. s ordnano le modaltà n modo non decrescente ottenendo y y L y. se è dspar: m y( +) / ( / / + mentre se è par: m y + y )/ Esempo S consder la dstrbuzone del numero d fgl per 5 famgle talane (, 0,, 3,) ; la dstrbuzone ordnata è ( 0,,,, 3) da cu m y 3. Se la dstrbuzone fosse (, 0,, ) s avrebbe m ( y + y3) /, 5 4

42 Lez. 4 03//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Per una dstrbuzone d frequenza non n class, la medana può essere calcolata sulla base delle frequenze cumulate ( ) come:. s ndvdua la modaltà x h tale che: h / < h. se h < / : m xh mentre se h / : m ( x h + xh ) / Esempo La prma dstrbuzone del numero d fgl n forma aggregata è. fgl ( x ) Frequenze ( n ) Freq. cumulate ( ) Totale 5 - Dato che /, 5, con h 3 s ha h < / < h da cu m. Per la seconda dstrbuzone dell esempo precedente s ha. fgl ( x ) Frequenze ( n ) Freq. cumulate ( ) 0 4 Totale 4 - Dato che /, con h 3 s ha h / < h da cu m, 5. 4

43 Lez. 4 03//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Se l carattere è n class, per calcolare la medana:. s ndvdua la classe medana, coè la class ch ch tale che: h / h <. sulla base dell potes d unforme dstrbuzone, / h m ch + nh d. h Esempo Per la dstrbuzone dell altezza d 50 ndvdu s ha Altezza ( c c ) Frequenze ( n ) Freq. cumulate ( ) Ampezza d classe ( d ) Totale Dato che / 5, la classe medana è da cu 5 m

44 Lez. 4 03//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Propretà della medana Propretà : La medana mnmzza la dstanza d ogn modaltà da una costante (sntetzza al meglo le osservazon), n x c è mnmo per c m Propretà (d nternaltà): La meda è sempre compresa tra l mnmo e l massmo della dstrbuzone y m y Propretà 3 (nvaranza rspetto a trasformazon lnear): se a ogn termne della dstrbuzone vene applcata la trasformazone ax + b, allora la medana sarà par a am + b 44

45 Lez. 4 03//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Quantl S defnsce quantle corrspondente alla frazone carattere che dvde l collettvo n due grupp tal che: l / t, la modaltà (q ) del. l prmo gruppo ha numerostà l / t e le sue untà hanno una modaltà nferore (o uguale) a q ;. l secondo gruppo ha numerostà ( l / t) e le sue untà hanno una modaltà superore (o uguale) a q. La medana è un caso partcolare d quantle quando l / t /. Quando t 4 s hanno quartl:. l prmo quartle ( q ) corrsponde alla frazone l / t / 4;. l secondo quartle ( q ) corrsponde alla medana; 3. l terzo quartle ( q 3 ) corrsponde alla frazone l / t 3/ 4. Per una dstrbuzone d frequenza non n class, un quantle può essere calcolato sulla base delle frequenze cumulate ( ) come:. s ndvdua la modaltà x h tale che: h l / t < h. se h l / t : q xh < mentre se h l / t : q ( x h + xh ) / 45

46 Lez. 4 03//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Se l carattere è n class, per calcolare un quantle:. s ndvdua la classe ch ch tale che: < h l / t h. sulla base dell potes d unforme dstrbuzone, l / t h q ch + nh d. h Esempo Per la dstrbuzone dell altezza d 50 ndvdu s ha Altezza ( c c ) Frequenze ( n ) Freq. cumulate ( ) Ampezza d classe ( d ) Totale Dato che / 4, 5 e 3 / 4 37, 5, l prmo e l terzo quartle cadono nella classe e sono par rspettvamente a,5 37,5 q ,43 e q ,

47 Lez. 4 03//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Un quantle può essere rcavato drettamente dalla funzone d rpartzone come la modaltà x tale che F ( x) l / t e qund può essere dedotto anche grafcamente. Esemp Frequenza cumulata 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, umero d fgl Frequenza cumulata 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Altezza 47

48 Lez. 4 03//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Moda e classe modale el caso d una dstrbuzone d un carattere non n class, la moda è defnta come modaltà del carattere che s presenta con la maggore frequenza. Se l carattere è n class, la classe modale è la classe che presenta la maggore denstà d frequenza. In alcun cas la moda (o classe modale) può non essere unca; s ha qund una dstrbuzone plurmodale. Esempo Per la dstrbuzone de vot n statstca, le modaltà con maggore frequenza sono e 7 che s presentano volte. La dstrbuzone è qund plurmodale. Per la dstrbuzone dell altezza d 50 ndvdu s ha Altezza ( c c ) Frequenze ( n ) Freq. relatve ( f ) Ampezza d classe ( d ) Denstà ( h ) ,0 0 0, ,0 0 0, ,70 0 0, ,08 0 0,004 Totale 50, da cu la classe modale è la classe

49 Lez. 4 03//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno La moda e la classe modale possono essere drettamente dedotte dal grafco della dstrbuzone. Esemp Dstrbuzone de vot a Statstca 3 Frequenza Voto Istogramma per la dstrbuzone dell'altezza Denstà d frequenza relatva 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 0, Altezza 49

50 Lez. 5 5//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Varabltà L utlzzo d una meda permette d sntetzzare effcacemente l nformazone contenuta n una dstrbuzone statstca dal punto d vsta dell ntenstà del carattere. Tuttava la sntes può essere eccessva, nel senso s possono perdere nformazon su altre caratterstche fondamental come la varabltà. La varabltà è defnble come la tendenza delle untà d un collettvo ad assumere modaltà dverse tra loro. Esempo Consderamo due dstrbuzon del numero d fgl per un collettvo d 5 famgle.. fgl ( x ) Popolazone Popolazone Frequenze ( n ). fgl ( x ) Frequenze ( n ) Totale 5 Totale 5 50

51 Lez. 5 5//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Entrambe le dstrbuzon hanno meda µ, 04 ma, come è possble dedurre da grafc, sono molto dverse: la prma assume delle modaltà molto pù concentrate attorno alla meda e qund ha mnore varabltà. 0 Popolazone Frequenza fgl Popolazone 0 Frequenza fgl 5

52 Lez. 5 5//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Indc d varabltà Per avere una descrzone pù completa della dstrbuzone è qund opportuno utlzzare, oltre a una meda, un ndce che msur la varabltà della dstrbuzone. Un ndce d varabltà deve: assumere l valore mnmo (tpcamente 0) se e solo se tutte le untà della dstrbuzone presentano la stessa modaltà; aumentare all aumentare della dverstà tra le modaltà del carattere assunte dalle vare untà. Gl ndc d varabltà possono essere basat: sullo scostament da una meda; sulla dfferenze tra statstche d ordne. Scostament da una meda Devanza Varanza Dfferenze tra statstche d ordne Campo d varazone Dfferenza nterquartlca Devazone standard Coeffcente d varazone Scostamento semplce medo dalla medana 5

53 Lez. 5 5//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Devanza e varanza Per una dstrbuzone untara d un carattere quanttatvo, la devanza è defnta come D ( µ x ) Per una dstrbuzone d frequenza non n class D k ( x µ ) n Se l carattere è n class s utlzzano valor central x c + c al posto delle modaltà. La varanza è normalmente preferta alla devanza e s ottene come: σ D k ( x µ ) n k ( x µ ) f 53

54 Lez. 5 5//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Esemp Per la dstrbuzone untara de vot, che ha meda µ 5, 667, s ha: Untà ( ) Voto ( x ) ( x µ) 7,7769, , ,7749 5, ,7769 Totale 54 7,3333 da cu D 7, 333 e σ 7,333/ 6, 889. Per la prma dstrbuzone del numero d fgl per un collettvo d 5 famgle, che ha meda µ, 04, s ha:. fgl ( x ) Frequenze ( n ) ( µ) x ( x µ) n 0 4,66 4,66 4,086 4, ,006 0, ,96, ,846 7,683 Totale 5-8,960 da cu D 8, 96 e σ 8,96 / 5 0,

55 Lez. 5 5//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Per la seconda dstrbuzone, che ha sempre meda µ, 04, s ha:. fgl ( x ) Frequenze ( n ) ( µ) x ( x µ) n 0 4,66 8,33 6,086 6, ,006 0, ,96 4, ,846,548 Totale 5 0,008 30,9600 da cu D 30,96 e σ 30,96 / 5, 38 che ndca che la seconda dstrbuzone ha maggore varabltà della prma. Per la dstrbuzone dell altezza per un collettvo d 50 soggett, che ha meda µ 73, 8, s ha: Altezza ( c c ) Frequenze ( n ) Valor central ( x ) ( x µ) n , , , ,76 Totale 50-8,00 da cu D 8 e σ 8/ 50 44,

56 Lez. 5 5//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Devazone standard e coeffcente d varazone La devazone standard (o scostamento quadratco medo) è l ndce d varabltà pù utlzzato n quanto è espresso nella stessa untà d msura del carattere. S ottene come σ σ k ( µ ) x n el caso n cu la dstrbuzone abba meda artmetca (µ ) postva, l coeffcente d varazone s calcola come (normalmente n percentuale) CV σ µ Esemp Per la dstrbuzone de vot: σ,889 3, 448, CV 3,448 5,667 3,43% Per le dstrbuzone del numero d fgl: popolazone : σ 0,7584 0, 87, 0,87 CV 4,69%,04 popolazone : σ,384, 3,,3 CV 54,55%,04 Per la dstrbuzone dell altezza: σ 44,56 6, 675, CV 6,675 73,8 3,84% 56

57 Lez. 5 5//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Propretà Propretà : gl ndc D, σ e σ sono sempre non negatv e assumono l valore mnmo (0) se e solo se tutte le modaltà della dstrbuzone sono ugual tra loro. Propretà : la devanza può essere calcolata come (formula semplfcata) D x µ (dstrbuzon untare) D k x n µ (dstrbuzon d frequenza) che ha vantagg nel calcolo anche della varanza e della devazone strandard. Propretà 3: se a ogn termne della dstrbuzone vene applcata la trasformazone seguente ax + b, allora gl ndc d varabltà camberanno nel modo Devanza > a D Varanza > a σ Devazone standard > a σ 57

58 Lez. 5 5//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Esemp Per la dstrbuzone untara de vot, che ha meda µ 5, 667, s ha: Untà ( ) Voto ( x ) x Totale da cu D ,667 7,3 7, 333 Per la prma dstrbuzone del numero d fgl, che ha meda µ, 04, s ha: da cu. fgl ( x ) Frequenze ( n ) x n Totale 5 3 D 3 5,04 8,96 58

59 Lez. 5 5//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno 59 Scostament semplc med Per una dstrbuzone untara d un carattere quanttatvo, lo scostamento semplce medo dalla meda artmetca è defnto come x S µ µ Per una dstrbuzone d frequenza non n class k k f x n x S µ µ µ. Se l carattere è n class s utlzzano valor central c c x + al posto delle modaltà. Lo scostamento semplce medo dalla medana s ottene sosttuendo la medana alla meda artmetca: m m x S (dstrbuzone untara) k k m f m x mn x S (dstrbuzone d frequenza)

60 Lez. 5 5//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Esemp Per la dstrbuzone untara de vot ( µ 5, 667, m 7) s ha: Untà ( ) Voto ( x ) x µ x m 7, , , , , ,333 0 Totale 54 8,666 6 da cu S 8,666 / 6 3, e S 6 / 6, 667. µ m Per le prma dstrbuzone del numero d fgl ( µ, 04, m ) s ha:. fgl ( x ) Frequenze ( n ) n x m n x µ 0,04 4 4, , , ,9 4 Totale 5 3,60 3 da cu S 3,6 / 5 0, 544 e S 3 / 5 0, 5. µ m Per le seconda dstrbuzone del numero d fgl ( µ, 04, m ) s ha: S µ 0,854 e S m 0, 84 che confermano che la dstrbuzone presenta maggore varabltà della prma. 60

61 Lez. 5 5//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Altr ndc d varabltà Per una dstrbuzone con modaltà ordnate, varazone è defnto come y,, y K, l campo d c y y E l ndce d varabltà pù semplce da calcolare, ma non è molto effcace nel msurare la varabltà della dstrbuzone. La dfferenza nterquartlca s basa sul prmo quartle ( q ) e l terzo quartle ( q 3 ) ed è defnta come q q 3 q Esemp Per la dstrbuzone de vot, s ha c 30 9 Per entrambe le dstrbuzon del numero de fgl, s ha c Per la dstrbuzon dell altezza, s ha q 77,57 70,43 7,4 6

62 Lez. 6 6//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Concentrazone ello studo della dstrbuzone della rcchezza, è d fondamentale mportanza l aspetto della concentrazone. Intutvamente, la concentrazone è elevata quando poche untà della popolazone possedono gran parte della rcchezza. La concentrazone è mnma (equdstrbuzone) quando tutte le untà hanno la stessa rcchezza. Un carattere quanttatvo trasferble, le cu modaltà ordnate sono y, K,, s dce equdstrbuto se ognuna delle untà possede una y quota dell ammontare del carattere par a y A, dove A, che concde con la meda artmentca µ. Se non c è equdstrbuzone allora s ha concentrazone. S ha massma concentrazone quando una sola untà del collettvo possede tutto l ammontare del carattere e tutte le altre nulla, coè y L 0 e y A. y Esempo: s hanno 00 soggett e l ammontare complessvo del reddto mensle è A Se c è equdstrbuzone ogn soggetto ha reddto par a 500 mentre nel caso d massma concentrazone un solo soggetto ha reddto par a e gl altr soggett non hanno reddto. 6

63 Lez. 6 6//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Msurazone della concentrazone (dstrbuzon untare) Ammontare del carattere posseduto dalla untà pù povere : dopo aver ordnato termn della dstrbuzone ( y y L y ) A y + L + y j y j Ammontare relatvo del carattere posseduto dalla untà pù povere : Q A A j j y y j j Ammontare relatvo del carattere posseduto dalla untà pù povere nel caso (potetco) d equdstrbuzone: P Per qualsas dstrbuzone s ha: P Q,, e P Q All aumentare della concentrazone aumentano le dfferenze: P Q el caso d massma concentrazone s ha: Q L 0 Q 63

64 Lez. 6 6//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Per avere un ndce sntetco s usa l rapporto d concentrazone d Gn che s ottene come rapporto tra ( Q ) P e l suo valore massmo: G ( P Q ) P Q P L ndce d Gn cresce al crescere del lvello d concentrazone ed è sempre compreso tra 0 (nel caso d equdstrbuzone) e (nel caso d massma concentrazone). Un altro strumento che permette d valutare l grado d concentrazone è la curva d Lorenz. S tratta d un grafco ottenuto unendo con de segment punt d coordnate P, Q ), per K,,. Maggore è l area tra la curva ( d Lorenz e la bsettrce, maggore è la concentrazone. Esempo Per un gruppo d 5 soggett s ha la seguente dstrbuzone del reddto mensle Untà ( ) Reddto ( x ) Totale

65 Lez. 6 6//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno on c è equdstrbuzone e qund c è concentrazone. Per quantfcarne l lvello s ordnano prma le modaltà ottenendo Reddto ( y ) A Q P P Q ,05 0, 0, , 0,4 0, ,5 0,6 0, ,40 0,8 0, ,00,0 0, ,8 da cu l ndce d Gn è par a G,8/ 0, 59 Curva d Lorenz 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 65

66 Lez. 6 6//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Asmmetra Una dstrbuzone d frequenza con medana m è smmetrca se: x m x m, x m xk m, x3 m xk m,... n n k k, n k k n, n 3 n,... Dstrbuzone smmetrca Una dstrbuzone s dce asmmetrca se le condzon precedent non sono rspettate. In partcolare, s può avere Asmmetra postva: sono pù frequent le modaltà pù pccole; Asmmetra negatva: sono pù frequent le modaltà pù grand. 66

67 Lez. 6 6//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Dstrbuzone asmmetrca postvamente Dstrbuzone asmmetrca negatvamente

68 Lez. 6 6//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Msurazone dell asmmetra L ndce d asmmetra pù utlzzato è quello d Fsher: k 3 α ( x µ ) n 3 σ S not che se la dstrbuzone d frequenza è smmetrca s ha: m q q3 m e qund s può costrure un ndce d asmmetra basato su statstche d ordne: α ( q 3 m) ( m q q q 3 ) Usualmente, quando gl ndc sono maggor d 0 s ha asmmetra postva e quando sono negatv s ha asmmetra negatva. 68

69 Lez. 6 6//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Esemp Per la prma dstrbuzone del numero d fgl, che ha meda µ, 04 e devazone standard σ 0, 87, s ha:. fgl ( x ) Frequenze ( n ) 3 ( x µ) n 0-8, , , , ,059 Totale 5 4,73 da cu α 0,87 4, che ndca una leggera asmmetra postva. 0,86 Per la dstrbuzone dell altezza per un collettvo d 50 soggett, s ha: α (77,57 74) (74 70,43) 77,57 70,43 che ndca l assenza d una marcata asmmetra. 0 69

70 Lez. 6 6//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Sere storche S defnsce sere storca una sequenza d osservazon, relatve a un certo fenomeno, effettuate n T temp (mes, ann, etc.): t y t y y M T M y T Esempo Sere storca delle rcheste d cttadnanza n Itala da parte d cttadn straner Anno (t ) Rcheste ( y t )

71 Lez. 6 6//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Anals d sere storche Un anals prelmnare può essere basata su un grafco che consste nel rappresentare su un pano cartesano punt d coordnate t, y ) che po ( t vengono congunt con de segment. In questo modo è possble nture l andamento del fenomeno. Esempo Per la sere storca delle rcheste d cttadnanza n Itala Rcheste d cttadnanza talana

72 Lez. 6 6//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno umer ndce Per studare con maggore precsone la varazone che subsce l ntenstà d un fenomeno da un perodo d tempo a un altro s possono utlzzare numer ndce. I numer ndce a base fssa s calcolano come rapporto tra l ntenstà d un fenomeno al tempo t e quella al tempo b (tempo base) yt I t / b (eventualmente n percentuale) y b I numer ndc a base moble s calcolano come rapporto tra l ntenstà d un fenomeno al tempo t e quella al tempo t (tempo precedente) yt t (eventualmente n percentuale) y t La varazone percentuale s calcola come rapporto percentuale tra la varazone assoluta al tempo t e l ntenstà al tempo t v t 00 y t y y t t y 00 t 00( t ) yt 7

73 Lez. 6 6//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Esempo Sere storca delle rcheste d cttadnanza s hanno seguent numer ndce a base fssa (99600), a base moble e varazon percentual. Anno (t ) Rcheste ( y t ) t 96 I t v t , ,5 30,5 30, ,70 9,67-7, ,8 6,60 6, ,50 84,57-5,5 73

74 Lez. 6 6//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno 74 Propretà de numer ndce Propretà (denttà): se l tempo base concde con l tempo t, allora l numero ndce a base fssa è par a t t t t y y I Propretà (reversbltà delle bas): scambando l tempo b con l tempo t s nverte l numero ndce a base fssa: b t b t t b b t I y y y y I Propretà 3 (cambamento d base): per passare da un numero ndce con base b a uno con base k senza conoscere la sere storca orgnara k t k t b k b t b k b t I y y y y y y I I Propretà 4 (passaggo da base fssa a moble): per calcolare numer ndc a base moble conoscendo quell a base fssa t t t b t b t b t b t y y y y y y I I / /

75 Lez. 6 6//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Esempo Con rfermento alla sere storca delle rcheste d cttadnanza: Per la propretà (denttà): I Per la propretà (reversbltà delle bas): I, I ,654 Per la propretà 3 (cambamento d base): I,58, I I,73 Per la propretà 4 (passaggo da base fssa a moble),58, I I,660 e qund s può rottenere la sere de numer ndce t sulla base de I t 96 Anno (t ) I t 96 t , ,5 30, ,70 9, ,8 6, ,50 84,57 75

76 Lez. 7 9//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Dstrbuzon doppe Quando vengono consderate conguntamente due colonne d una matrce d dat s ha una dstrbuzone doppa dsaggregata (o untara). S tratta dell elencazone delle modaltà d due caratter ( X e Y ) osservate per ogn untà statstca del collettvo consderato: ( x, y),( x, y), K,( x, y ) L nformazone contenuta n una dstrbuzone doppa dsaggregata è soltamente sntetzzata tramte una dstrbuzone doppa d frequenza che vene rappresentata tramte una tabella a doppa entrata n cu per ogn coppa d modaltà de due caratter ( x, y j ), K, r, j K, c vene ndcata la corrspondente frequenza congunta ( n j ). Quando l carattere è quanttatvo con molte modaltà (tpcamente contnuo) possono essere utlzzate delle class al posto delle modaltà. X / Y y y... y j... y c x n n... n j... n c x n n... n j... n c M x n n... n j... n c M x r n r r n... n rj... n rc 76

77 Lez. 7 9//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Esempo S consder la seguente dstrbuzone doppa dsaggregata per due caratter qualtatv (Sesso, Regone) ome Sesso Regone M. Ross M Marche A. Banch F Calabra A. Franch F Umbra G. Gn M Pemonte A. Grand F Marche P. Ln F Umbra La corrspondente dstrbuzone doppa d frequenza è Regone Sesso Calabra Marche Umbra Pemonte M 0 0 F 0 Esempo d dstrbuzone n cu l carattere quanttatvo è n class Reddto annuo (x.000 ) Ttolo d studo Lc. meda Dploma Laurea

78 Lez. 7 9//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Dstrbuzon margnal Sommando le frequenze congunte per colonna s ottengono le frequenze margnal d X che corrspondono al numero d soggett che presentano una certa modaltà d questo carattere a prescndere dalla modaltà d Y : c n o n j j Analogamente, le frequenze margnal d Y s ottengono sommando le frequenze congunte per rga: n r o j n j La somma d tutte frequenze congunte (o d tutte le frequenze margnal) corrsponde alla numerostà del collettvo r c j n j r n o c j n o j X / Y y y... y j... y c Totale x n n... n j... n c x n n... n j... n c M M x n n... n j... n c M M x r n r r n... n rj... rc n o n o n o n n ro Totale o n o n... n o j... n o c 78

79 Lez. 7 9//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Assocando a ogn modaltà del carattere X la corrspondente frequenza margnale, s ottene la dstrbuzone margnale d X. E la stessa dstrbuzone che avremmo ottenuto osservando l carattere sngolarmente. Modaltà ( x ) Frequenze ( n o) x x n o n o M x M x r Totale M n o M n ro In modo analogo s ottene la dstrbuzone margnale d Y Modaltà ( y j ) Frequenze ( n o j ) y n o y n o M y M j y c Totale M n o j M n o c Entrambe le dstrbuzon possono essere lette drettamente dalla tabella a doppa entrata, quando sono present total (margn) d rga e d colonna. 79

80 Lez. 7 9//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Esempo Alla prma dstrbuzone doppa consderata nell esempo precedente Regone Sesso Calabra Marche Umbra Pemonte Totale M 0 0 F 0 4 Totale 6 corrspondono le seguent dstrbuzon margnal d X e Y Sesso ( x ) Frequenze ( n o) Regone ( y j ) Frequenze ( n o j ) M Calabra F 4 Marche Totale 6 Umbra Pemonte Totale 6 Per la seconda dstrbuzone doppa consderata nell esempo precedente, s hanno le seguent dstrbuzon margnal Ttolo d studo ( x ) Frequenze ( n o) Reddto ( y j ) Frequenze ( n o j ) Lc. meda Dploma Laurea Totale 500 Totale

81 Lez. 7 9//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Dstrbuzon condzonate La dstrbuzone condzonata d Y dato lmtatamente a soggett che presentato la modaltà assocando a ogn modaltà j X x è la dstrbuzone d Y x d X. S ottene y d Y la frequenza congunta d ( x, y ). j Modaltà ( y j ) Frequenze ( n j ) n y n y M y M j y c Totale M n j M n c n o Ogn rga della tabella a doppa entrata corrsponde a una dstrbuzone condzonata d Y per una certa modaltà X. In modo analogo possono essere ottenute le dstrbuzon condzonate d X dato Y y j. Ognuna d queste dstrbuzon corrsponde a una dversa colonna della tabella a doppa entrata. 8

82 Lez. 7 9//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Dstrbuzon condzonate relatve e percentual Per la dstrbuzone condzonata d Y dato percentual possono essere calcolate come X x, le frequenze relatve e n j j j e p j f j no no f n Assocando alla dstrbuzone condzonata d Y dato X x le corrspondent frequenze relatve (o percentual) s ottene la dstrbuzone condzonata relatva (o percentuale) d Y dato dstrbuzone permette d capre come X nfluenza Y. X x. Questa Modaltà ( y j ) Frequenze ( n j ) Freq. relatve ( f j ) Freq. percentual ( p j ) n y f p y n f p y M M M M j n j f j M M M M y c Totale n c f c p p c n o 00 Analogamente s può ottenere la dstrbuzone condzonata relatva (e percentuale) d X dato Y y. j 8

83 Lez. 7 9//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Esempo Per la seconda dstrbuzone doppa consderata nell esempo precedente s hanno le seguent dstrbuzon condzonate del reddto dato l ttolo d studo dalle qual s può dedurre che l secondo carattere è nfluenzato dal prmo. Reddto ( y j ) Ttolo d studo lcenza meda Frequenze ( n j ) Relatve ( f j ) Percentual ( p j ) ,507 5, , , ,349 34,9 Totale 35,000 00,00 Reddto ( y j ) Ttolo d studo dploma Frequenze ( n j ) Relatve ( f j ) percentual ( p j ) ,058 0, ,447 44, ,447 44,7 Totale 85,000 00,00 Reddto ( y j ) Ttolo d studo laurea Frequenze ( n j ) Relatve ( f j ) Percentual ( p j ) ,0469 4, ,969 9, ,656 65,6 Totale 64,000 00,00 83

84 Lez. 7 9//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Anals dell assocazone tra due caratter Lo scopo prncpale dell anals d una dstrbuzone doppa è usualmente quello d stablre se tra due caratter consderat esste una relazone e se, n partcolare, uno de due (tpcamente X) ha nfluenza sull altro (Y). Esemp: relazone tra la provnca d resdenza e spesa per ben almentar; relazone tra voto d maturtà e voto a un certo esame unverstaro; relazone tra sesso e reddto. Se X non ha alcuna nfluenza su Y, allora s dce che Y è ndpendente da X. In termn statstc questa stuazone s ha quando le dstrbuzon condzonate d Y sono equvalent per ogn modaltà d X, coè hanno le stesse frequenze relatve (o percentual): f f L f, j, c. j j j r K, S può dmostrare che s ha ndpendenza statstca se e solo se le frequenze congunte osservate corrspondono alle frequenze teorche sotto ndpendenza nono j nˆ j, K,, r, j K,, c. La tabella d ndpendenza s ottene sosttuendo a ogn frequenza osservata ( n j ) la corrspondente frequenza d ndpendenza ( nˆ j ). 84

85 Lez. 7 9//04 Statstca/Statstca - F. Bartolucc Unverstà d Urbno Sotto ndpendenza s hanno le stesse dstrbuzon margnal d quelle osservate e la stessa frequenza totale c n j j ˆ n, K,, r o r nˆ n, j K,, c. j o j r c j nˆ j Quando Y non è ndpendente da X, Y dpende da X e qund due caratter s dcono conness. In pratca, cò accade ogn volta che la tabella osservata non concde con quella d ndpendenza. In partcolare, Y dpende perfettamente da X quando la modaltà d X determna automatcamene la modaltà d Y. Cò accade quando c r e s ha una sola frequenza postva n ogn rga della tabella a doppa entrata mentre le altre frequenze sono tutte nulle. 85

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