Divagazioni in margine all Introduzione alla Probabilità di P. Baldi A. Visintin Facoltà di Ingegneria di Trento a.a

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1 Dvagazon n margne all Introduzone alla Probabltà d P. Bald A. Vsntn Facoltà d Ingegnera d Trento a.a Indce 1. Statstca descrttva. 2. Spaz d probabltà e calcolo combnatoro. 3. Varabl aleatore dscrete. 4. Varabl aleatore contnue. 5. Teorem lmte. 6. Sntes. 7. Alcun esercz. Le secret d ennuyer est celu de tout dre. (Voltare) Premessa. Questo scrtto raccogle alcune osservazon, perlopù rferte al testo d Bald del 2003 (nel seguto ctato semplcemente come [B]), e dverse dvagazon, volte a facltare la comprensone dell argomento. Sono poca cosa, poché l [B] è ben fatto e suffcente a fn del corso. Queste pagne sono scarcabl n pdf dal sto vsntn/ ove s trovano anche altre nformazon crca l corso. Gl Obettv del Mncorso d Probabltà. Introdurre alcune nozon fondamental d statstca descrttva, utl persno per la vta d tutt gorn: stogramm, meda, medana, quantl, boxplots, varanza, regressone lneare, ecc.. Introdurre gl spaz d probabltà, e stablrne alcune propretà fondamental medante operazon nsemstche elementar. Presentare l calcolo combnatoro. Defnre la probabltà condzonata, da questa dervare la classca formula d Bayes, ed ntrodurre l ndpendenza d event. Introdurre la teora delle varabl aleatore dscrete e contnue, e le prncpal dstrbuzon d probabltà. Dervare l teorema de grand numer, ed enuncare l teorema lmte centrale. Svolgere dvers esercz, usando strument d anals e d calcolo delle probabltà. 1 Statstca descrttva Cosa Sono la Statstca ed l Calcolo delle Probabltà? La statstca è la dscplna che studa la raccolta, l organzzazone, l elaborazone e l nterpretazone de dat. 1 Comunemente s dstngue tra statstca descrttva, che tratta la raccolta, l organzzazone e (appunto) la descrzone sntetca de dat, e statstca nferenzale (o deduttva o nduttva o matematca: sono tutt snonm), che trae concluson probablstche da dat usando massccamente concett e metod del calcolo delle probabltà. Con quest ultmo s ntende l apparato matematco che tratta la nozone d probabltà per la modellzzazone (ovvero la rappresentazone matematca) d fenomen aleator. 2 Gran parte del calcolo delle probabltà è volto a determnare la probabltà d event compless a partre dalla probabltà d event elementar. Compto fondamentale della statstca nferenzale è 1 Samo sempre pù sommers da dat, da qual dventa sempre pù mportante saper estrarre nformazon un operazone meno banale d quanto possa sembrare. 2 La denomnazone d calcolo è tradzonale, e c permette d runre cors matematc d base sotto un comune denomnatore: accanto al calcolo ntegro-dfferenzale (ovvero la pù blasonata anals matematca), abbamo l calcolo algebrco (ovvero l algebra lneare), l calcolo numerco (ovvero la pù paludata anals numerca), ed appunto l calcolo delle probabltà. Nella consuetudne solo quest ultmo resta prvo d una denomnazone... noblare. Oltre c sarebbero l anals delle equazon dfferenzal, l anals d Fourer (una pallda dea è fornta dagl ultm due captol del [Bramant, Pagan, Salsa]), l anals complessa (ovvero n C puttosto che n R), ecc. E naturalmente la fscamatematca, dscplna d cernera tra ngegnera, fsca e matematca. E questo conclude questa pccola Weltanschaung matematca per l ngegnera, senz altro ncompleta. 1

2 l problema nverso, ovvero rsalre alle probabltà d event elementar partendo dalla probabltà d event compless. La statstca descrttva può usare strument matematc, ad esempo d algebra lneare. Comunque soltamente la componente matematca della statstca nferenzale è ben pù ampa. In ogn caso la dstnzone tra statstca nferenzale e calcolo delle probabltà è a volte sfumata. Ad esempo, se precedentemente ad un elezone s effettua un sondaggo su un campone necessaramente rdotto d votant, la raccolta e l organzzazone de dat del campone rentra nella statstca descrttva. Ma l estrapolazone d tal rsultat allo scopo d desumere nformazon crca l orentamento dell ntero corpo elettorale, untamente ad una stma de margn d errore, è compto della statstca nferenzale. In seguto all elezone, l organzzazone de dat e la sntes de rsultat è ancora affdata alla statstca descrttva. Pensamo anche al classco esempo delle estrazon, con o senza remmsson, da un urna contenente bgle d dvers color. Medante l calcolo delle probabltà, note le probabltà delle estrazon elementar (ovvero le percentual delle bgle de dvers color) s potrà determnare la probabltà d event pù compless (ad esempo, la probabltà d estrarre bgle tutte dello stesso colore). Se però non s ha accesso all urna, s dovranno effettuare alcune estrazon per cercare d stmare l numero delle bgle de dvers color, ovvero la probabltà delle estrazon elementar. Qund: () prma faccamo delle estrazon volte ad dentfcare la composzone dell urna, ed rappresentamo dat raccolt medante la statstca descrttva; () sulla base d que rsultat e medante la statstca nferenzale, stmamo le probabltà degl event elementar; () nfne, medante l calcolo delle probabltà, possamo determnare le probabltà d event pù compless. In questa presentazone (nvero alquanto schematca) mancano de protagonst mportant: a monte la modellstca, uno de punt d contatto tra l elaborazone matematca e la realtà, ed l calcolo numerco, che ovvamente s avvale de modern calcolator elettronc. Due Mod d Sommare. Sa {x } =1,...,N un campone d dat numerc, ovvero con x R per ogn. Sano {z j } j=1,...,m le corrspondent modaltà, ovvero valor assunt dal complesso delle x. S not che M N, poché dvers element del campone possono assumere la stessa modaltà: e.g. 3 x 2 = x 5. Sa f una funzone R R. S possono sommare gl f(x ) rspetto agl element del campone (ovvero gl ), oppure rspetto alle modaltà, dopo aver sosttuto gl f(x ) con gl {f(z j ), pesat con rspettv effettv. 4 Pù esplctamente, posto α j = { : x = z j }, N j = #α j per j = 1,..., M (1.1) (N j è l numero d element che costtuscono α j, ovvero l effettvo della modaltà z j ), abbamo N M M M f(x ) = f(x ) = f(z j ) = N j f(z j ). (1.2) =1 j=1 α j j=1 α j j=1 In partcolare, defnta la proporzone (o frequenza relatva) q j := N j /N per j = 1,..., M, ed anche, s veda l calcolo d [B, p. 7], x := 1 N N=1 x = M j=1 q j z j, (1.3) 2 x := 1 N N=1 (x x) 2 = M j=1 q j (z j x) 2 ; (1.4) ( 1 x 2 = N 3 e.g.: exempl grata = ad esempo. 4 Qu ed altrove s usa la termnologa del [B]. N x 2 =1 ) ( x 2 M ) = q j zj 2 x 2. (1.5) j=1 2

3 S not che, poché le proporzon q j sono 0 ed hanno somma 1, esse sono la denstà d una dstrbuzone d probabltà. Consderamo ora l caso d due campon numerc X = {x } =1,...,N e Y = {y l } j=l,...,p, con rspettve modaltà {z j } j=1,...,m e {w m } m=1,...,q. Abbamo anche le modaltà congunte {(z j, w m ) : j = 1,..., M, m = 1,..., Q}, che hanno effettv L jm e frequenze relatve congunte q jm : L jm = #{(, l) : (x, y l ) = (z j, w m )}, q jm = L jm NP In modo analogo a sopra s può rappresentare la covaranza del campone xy := 1 NP o anche, svluppando l prodotto, xy = per j = 1,..., M, m = 1,..., Q. N P M Q (x x) (y l ȳ) = q jm (z j x) (w m ȳ); (1.6) =1 l=1 j=1 m=1 ( 1 NP N P ) ( M Q ) x y l xȳ = q jm z j w m xȳ. (1.7) =1 l=1 j=1 m=1 Anche n questo caso le proporzon q jm sono la denstà d una dstrbuzone d probabltà. Se due campon concdono (ovvero Y = X), rtrovamo la varanza del campone: xx = 2 x. Component Prncpal n Anals Multvarata. Per anals statstca multvarata s ntende l anals statstca d dat multdmensonal (ovvero vettoral). L ndvduazone delle cosddette component prncpal è un mportante tecnca d rappresentazone sntetca d dat vettoral. Supponamo d avere un campone 5 d ampezza M d dat N-dmensonal (ovvero, abbamo M vettor d R N ). Cerchamo d determnare una rotazone del sstema d rfermento ortogonale d R N, n modo tale che, denotando con Y 1,..., Y N gl ass del nuovo sstema d rfermento, per ogn m {1,..., N} la varanza d Y 1,..., Y m sa massma. Pù specfcamente, gl ass sono ndvduat uno dopo l altro, n modo tale che l asse m-esmo massmzz la varanza tra tutte le drezon che sono ndpendent da Y 1,..., Y m 1 (le qual sono stat ndvduate a pass precedent). Ad esempo, sa {X = (X 1, X 2, X 3 )} 1 M un campone d ampezza M d dat trdmensonal, cascuno decomposto nelle sue component su tre ass ortogonal prefssat. Per va dell orgonaltà degl ass, la varanza totale del campone vale M M M M M X 2 = X X X 3 2 X 1 2. =1 =1 =1 =1 =1 Ovvero, la varanza del campone è non mnore della varanza della prma componente del campone. Questo traduce l fatto che component del campone lungo l prmo asse, ovvero le proezon de dat lungo quella drezone, contengono meno nformazon del campone stesso poché ogn componente d un vettore contene meno nformazone dell ntero vettore. (Ovvamente, nvece del prmo asse avremmo potuto sceglerne un altro.) Tra tutte le possbl drezon dello spazo ve n è una, chamamola ξ, che massmzza la varanza del campone lungo quella drezone. Questa vene selezonata come prmo asse prncpale d quel campone. Il secondo asse prncpale prncpale verrà ndvduato nel pano ortogonale a ξ come segue. Innanz tutto ruotamo gl ass n modo che ξ sa la drezone del prmo asse nel nuovo rfermento. Po spoglamo l campone della sua componente nella drezone ξ, rducendolo ad un campone ancora d ampezza M ma d dat bdmensonal. Qund, tra tutte le drezon ortogonal a ξ, ndvduamo 5 Per campone qu possamo ntendere semplcemente un nseme strutturato d dat. 3

4 l secondo asse prncpale massmzzando la varanza d questo campone bdmensonale. E così po procedamo per ndvduare restant ass prncpal anz nel nostro esempo c fermamo, poché la scelta del terzo asse ortogonale è obblgata (nsomma, abbamo fnto gl ass). Sottolneamo che gl ass prncpal dpendono dal campone. In dvers cas, bastano prmssm ass prncpal per esprmere le caratterstche pù salent anche d campon con tante component (coè con N grande). Inoltre campon dvers estratt da una popolazone abbastanza omogenea possono avere ass prncpal che dfferscono d poco tra dvers campon, coscché basta ndvduare gl ass prncpal una volta per tutte. S può dmostrare che l prmo asse prncpale ha la drezone dell autovettore assocato al pù grande autovalore della matrce d covaranza {Cov(X, X j )},j=1,...,n ; analogamente, l secondo asse prncpale ha la drezone dell autovettore assocato al secondo autovalore della stessa matrce, e così va. L effettva mplementazone d questo metodo qund rchede l calcolo d autovalor ed autovettor della matrce d covaranza. Questo metodo è stato ampamente mpegato nell ultmo secolo ad esempo n bologa. La statstca descrttva offre anche altr metod per estrarre nformazon da dat. Ad esempo la cluster analyss (ovvero, anals de raggruppament) cerca d ndvduare mod pù sgnfcatv d rpartre n grupp un campone d grande ampezza. Non presenteremo queste procedure, che possono essere reperte ad esempo sul [Bald 1996]. 2 Spaz d probabltà e calcolo combnatoro Interpretazon del Concetto d Probabltà. In estrema sntes, possamo dstnguere le seguent mpostazon emerse storcamente. () La teora classca avvata alla metà del 600 da poner del calcolo delle probabltà (Perre Fermat, Blase Pascal, Chrstaan Huygens, ecc.), orgnata da alcun quest crca goch d azzardo, e centrata sulla nozone d equprobabltà ovvero dstrbuzone unforme d probabltà per nsem fnt. Qu la probabltà d un evento è tpcamente vsta come rapporto tra l numero de cas favorevol e quello de cas possbl, e qund s basa sul calcolo combnatoro. 6 Rentrano comunque n questa stagone ponerstca anche la dervazone della Formula d Bayes e de prm teorem lmte. () L nterpretazone frequentsta del concetto d probabltà, svluppata nel 700 soprattutto n Inghlterra, che defnsce la probabltà d un evento come l lmte a cu tende l rapporto tra l numero de cas n cu s è verfcato l evento ed l numero d esperment, al tendere d quest ultmo all nfnto. In tal modo s attrbusce alla probabltà una base del tutto emprca, coerentemente con la tradzone flosofca anglosassone. Questa defnzone d probabltà trova fondamento nel Teorema de Grand Numer (dmostrata da Jakob Bernoull gà nel suo trattato del 1713). L applcazone d questo punto d vsta è necessaramente rstretto agl event ndefntamente rpetbl. () L approcco assomatco, codfcato nel 1933 dal grande matematco russo A.N. Kolmogorov, n cu la probabltà è ntepretata come una msura non negatva e d massa totale 1, ed èè qund trattata nell ambto della teora matematca della msura, svluppata all nzo del 900. Al gorno d ogg questo è l approcco pù comunemente adottato. (v) L nterpretazone soggettvsta, ntrodotto dal matematco talano De Fnett nella prma metà del 900, secondo cu la probabltà d un evento esprme l grado d fduca nel suo verfcars, e qund è frutto d una valutazone soggettva (puttosto che oggettva come nell approcco frequentsta). Questo può permettere d attrbure una probabltà ad event rrpetbl. Questa schematzzazone è alquanto rudmentale, ed ncompleta; ad esempo trascura la statstca, che ha dvers punt d contatto con l calcolo delle probabltà. Ad esempo, la classca formula d Bayes (del 1763) ha dato luogo a notevolssm svlupp d statstca nferenzale, che ben s nquadra- 6 Con quest ultmo d ntende lo studo della cardnaltà (ovvero la numerostà) degl nsem costtut da un numero fnto d element. 4

5 no nell mpostazone soggettvsta. Un altra scuola d pensero è nvece pù nclne ad un approcco frequentsta alla statstca. Una conclazone d queste opnon non sembra n vsta. Un autorevole commentatore ha osservato che raramente è stato regstrato un smle dsaccordo, perlomeno successvamente alla costruzone della Torre d Babele. La Nozone d -Algebra. Il Bald, dovendo mettere tutto nero su banco, non se l è sentta d omettere questo concetto; questo l ha costretto a vare precsazon e verfche n dvers punt del testo. A no, che n questo corso samo meno nteressat agl aspett teorc, questo pù che dffcle può forse apparre un po sterle. In effett ne cas pù tpc la -algebra è costtuta da P(Ω) l nseme delle part d Ω, ovvero la famgla d tutt sottonsem d Ω. Ora ogn buon matematco sa che, svluppando la teora delle varabl aleatore contnue, non è corretto assumere P(Ω) come -algebra, perché n tal modo s ncludono degl nsem estremamente patologc. Verssmo, ma nella vta ed anche nella matematca d ogn gorno affrontamo rsch ben maggor senza curarcene mnmamente: l rscho che ha un ngegnere d mbatters n un nseme patologco del tpo qu paventato è ben mnore d quello che gl cada n testa un meteorte. Qund possamo ben semplfcarc la vta prendendo P(Ω) come -algebra. E possamo farlo senza susctare la dsapprovazone d Bald, che pure (mmagno) lo avrebbe fatto, se solo non avesse dovuto affdarlo per scrtto all eterntà... Il compare anche nella locuzone d -addtvtà, ovvero l estensone ad una successone d event della propretà d addtvtà della msura d probabltà. Questa nozone è nvece neludble. L Evento Certo e l Evento Impossble. L evento certo è Ω, ovvero l ntero spazo de possbl rsultat. Uno degl assom della teora della msura prescrve P(Ω) = 1, comunque possono esserv event non cert d probabltà 1; quest event sono dett quas cert. Analogamente, rappresenta l evento mpossble; applcando un altro assoma della teora della msura, abbamo P( ) = P(Ω\Ω) = 1 P(Ω) = 0. Possono esserv event non mpossbl d probabltà nulla, che saranno dett quas mpossbl. 7 Ad esempo, Ω = ]0, 1[ sa dotato della msura eucldea, che ovvamente è una msura d probabltà (ovvero, non negatva, d massa totale 1, oltre che -addtva). L nseme {0.5} ha msura nulla, e lo stesso vale per ogn unone fnta ed ogn successone d punt. Indpendenza d Event. Per ogn coppa d nter m, n 2 l ndpendenza per n-ple non mplca quella per m-ple. Ecco un controesempo per m = 3, n = 2. S dot l nseme Ω = {1, 2, 3, 4} della denstà d probabltà unforme. S verfca mmedatamente che la famgla {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} è ndpendente per coppe ma non per terne. Per le v.a. nvece, se n m, l ndpendenza per m-ple mplca quella per n-ple (ma non vceversa). Questo segue dalla defnzone 3.16 [B, p. 53]: basta sceglere m n degl A ugual a Ω... Event Indpendent e loro Complementar. Una famgla A 1,..., A N P(Ω) d event ndpendent resta tale, se uno o pù d ess sono sosttut dal rspettvo complementare n Ω. Lo verfchamo per N = 2. Ovvero, supponamo che A 1, A 2 P(Ω) sano ndpendent, e mostramo che ad esempo lo stesso vale per A 1, A 2 (quest ultmo ndca l complementare d A 2 n Ω). Infatt, poché A 1 A 2 = A 1 \ (A 1 A 2 ), A 1 A 2 A 1 (per nsemstca elementare), abbamo P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) P(A 2 ) (per potes), P(A 1 A 2 ) = P(A 1 \ (A 1 A 2 )) = P(A 1 ) P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) P(A 1 ) P(A 2 ) = P(A 1 )[1 P(A 2 )] = P(A 1 ) P(A 2 ). (2.1) 7 Nel calcolo delle probabltà, n generale l termne quas è rferto ad event o propretà che valgono a meno d nsem d msura nulla. 5

6 Formula della Probabltà Totale. Il [B] rporta questa formula ((2.7) a p. 31), senza sottolnearne l mportanza. Sa {A } =1,2,... una partzone d Ω (l evento certo), ovvero una famgla d sottonsem dsgunt d Ω (al pù una successone n questo caso) la cu unone è tutto Ω. Allora, per ogn B Ω, B = B Ω = B A = (B A ); essendo questa un unone d nsem dsgunt, ottenamo qund ( ) P(B) = P (B A ) = P(B A ) B Ω. (2.2) Possamo fare un ulterore passo: usando la defnzone d probabltà condzonata, pervenamo alla formula della probabltà totale (detta anche formula della partzone dell evento certo o formula delle alternatve): P(B) = P(B A ) = P(B A )P(A ) B Ω. (2.3) S not che possamo scrvere la seconda somma solo se P(A ) 0 per ogn (perché?). Formularo d Calcolo Combnatoro. Numero d sottonsem d un nseme d n element: 2 n. Numero d dsposzon d un nseme d n element: #Dk n = n! (n k)!. Numero d combnazon d un nseme d n element = numero d sottonsem d k element d un nseme d n element: ( #Ck n n ) = = k n! k!(n k)! (detto coeffcente bnomale). Numero d permutazon d un nseme d n element: #P n = n!. Numero d partzon d un nseme d n element n m sottonsem: m n. Numero d partzon d un nseme d n element n m sottonsem, rspettvamente d cardnalà k 1,..., k m, con k k m = n: ( #Ck n n ) 1,...,k m = = k 1... k m S not che #C n k = #Cn k,n k (= #Cn n k ). n! k 1!... k m! (detto coeffcente multnomale). La Dstrbuzone Ipergeometrca. Il [B] (al par d altr test) ntroduce questa dstrbuzone d probabltà nell ambto del calcolo combnatoro. Comunque anche questa dstrbuzone dscende da un rsultato combnatoro. Fssamo tre numer nter r, b, n, con n r + b. Consderamo un nseme I d due tp d element, dcamo b bgle banche e r bgle rossee sa k un ntero tale che 0 k r. C chedamo quant dvers sottonsem d n element contenent esattamente k bgle rosse s possono estrarre da I. La ( r )( rsposta è k b n k ). Se voglamo ndvduare la probabltà d un tale tpo d estrazone, dobbamo ( r + b ) dvdere l rsultato per l numero t delle possbl estrazon d n bgle da I, ovvero. Pertanto, n ndcando con X l numero d bgle rosse estratte (senza remmssone), la dstrbuzone d questa v.a. è ( r )( ) b k n k P(X = k) = ( r + b ) per k = 0,..., r, (2.4) n P(X = k) = 0 per ogn altro k R. Dremo che X ha dstrbuzone pergeometrca d parametr r, b, n, ovvero X Iper(r, b, n). 6

7 3 Varabl aleatore dscrete La Speranza. 8 La speranza d una v.a. dscreta X : Ω R è defnta dal [B] medante la legge d X. Tuttava esste una defnzone equvalente che fa rfermento drettamente alla v.a. (senza convolgere la sua legge), e che può meglo charre certe propretà della speranza. Comncamo con assumere che l nseme Ω sa fnto o al pù è una successone d punt. Sa allora Ω = {ω 1,..., ω n,...}, e per ogn X : Ω R ponamo E(X) = X(ω )P({ω }) =1 ( = ) X(ω)P({ω}) ω Ω se questa sere converge assolutamente. S confront questa defnzone con quella che mpega la legge P X d X, [B, p. 60], che qu rscrvamo n modo del tutto equvalente: E(X) = j y j P X (y j ) ( = y X(Ω) (3.1) ) yp X ({y}), (3.2) sempre assumendo la convergenza assoluta. Possamo dmostrare l equvalenza tra queste due defnzon raggruppando gl ndc che corrspondono ad uno stesso valore d X (ovvero alla stessa modaltà), medante un procedmento analogo a quello d (1.2). Con notazone standard ponamo X(Ω) = {X(ω) : ω Ω}, ovvero n questo caso X(Ω) = {X(ω ) : = 1, 2,...}. (3.3) Allora X(Ω) è un nseme fnto o al pù una successone d numer: X(Ω) = {y 1, y 2,...}, che ovvamente non è pù numeroso d Ω. Defnamo A j = X 1 (y j ), α j = { : X(ω ) = y j } j; (3.4) qund X(ω ) = y j, ovvero ω X 1 (y j ), per ogn α j. Osservamo che P X (y j ) := P(X 1 (y j )) = Pertanto, sempre assumendo la convergenza assoluta, E(X) (3.1),(3.4) = α j P({ω }) X(ω )P({ω }) = y j P({ω }) = y j P X (y j ). (3.5) j α j j α j j Abbamo qund rtrovato la (3.2). Assumamo ora che Ω sa qualsas, ma f sa costante a tratt: con questo ntendamo che f è della forma f = a 1 A, con a R per = 1, 2,..., ed {A } =1,2,... è una partzone d Ω, ovvero una famgla d sottonsem dsgunt d Ω (al pù una successone n questo caso) la cu unone è tutto Ω. Allora abbamo ( ) E(f) = E a 1 A = a E(1 A ) = a P(A ), (3.6) se questa sere converge assolutamente. Dstrbuzone d Probabltà e Legge. In Calcolo delle Probabltà quest sono due snonm (qualcuno usa anche l termne d probabltà mmagne). Una varable aleatora ( v.a., per brevtà) X : Ω R fa corrspondere un numero ad ogn evento elementare ω Ω; questo dpersè non 8 Per la speranza tradzonalmente s usa l smbolo E, che può andare bene per Ingles, Frances e Tedesch, che rspettvamente usano termn Expected value, Espérance, Erwartungswert. Gl Italan nvece parlano d Speranza, Meda, Valore atteso,... nente E. j. 7

8 sembrerebbe determnare una probabltà. Ma, poché Ω è munto d una msura d probabltà, n effett X determna un altra msura d probabltà, questa volta su R: P X (A) := P(X 1 (A)) = P(X A) A R. (3.7) Questo c dce come la probabltà d essere assunto da X s dstrbusce tra dvers sottonsem d R. Questo gustfca penamente la denomnazone d dstrbuzone d probabltà; l orgne del termne legge nvece sembra meno chara. S parla d legg fsche, come se c fosse una prescrzone nel comportamento fsco. Questo punto d vsta è applcable alla probabltà? La (cosddetta) Legge de Grand Numer sembra prescrvere la convergenza delle mede emprche (ovvero quelle rlevate rpetendo un espermento) al valor medo (ovvero la speranza matematca) [B, p. 42]. Sembra quas una legge fsca, e forse è per questo che tradzonalmente s parla d Legge de Grand Numer. Comunque, sa charo che la Legge de Grand Numer è n effett un teorema, e soprattutto che qu l termne legge non sta per dstrbuzone d probabltà. Varabl Aleatore e Statstche. Chameremo statstca una collezone d dat. 9 Dvers concett della teora della v.a. sono analogh ad altr concett che abbamo ncontrato n statstca descrttva, e ne condvdono sa la denomnazone che dverse propretà; tra quest fgurano la meda, la varanza, la devazone standard, la covaranza, l coeffcente d correlazone, la funzone d rpartzone, ecc.. S not anche l ovva analoga tra la frequenza relatva delle dverse modaltà d una statstca e la denstà d probabltà d una v.a.. Queste analoge non sono... casual: ogn v.a. X = X(ω) dventa ovvamente un valore numerco una volta che l caso 10 ha scelto l evento elementare rappresentato dal punto ω Ω. Vceversa, per va del Teorema de Grand Numer, quanto pù l campone è ampo, tanto pù le frequenze relatve approssmano la dstrbuzone d probabltà della v.a. n esame. Nondmeno certe sfumature lesscal rflettono dfferent punt d vsta della statstca descrttva e del calcolo delle probabltà. Ad esempo, una volta che dat sono acqust, non ha molto senso usare termn d speranza o valore atteso, ed è meglo parlare d meda o d valor medo. Varabl Aleatore e loro Legg. S consder la defnzone (3.7): la legge (o dstrbuzone d probabltà) P X è defnta n termn della probabltà P e della v.a. X, ma né P né X possono essere rcostrute a partre da P X. In altr termn, passando da una v.a. alla sua legge c può essere una perdta d nformazone. 11 Ad esempo, se X è la v.a. che rappresenta le estrazon successve delle bgle da un urna senza remmssone, le dsposzon degl element estratt dall urna rappresentano una v.a. X, mentre le combnazon degl stess element rappresentano la sua legge P X. Ogn dsposzone ndvdua un unca combnazone, ma non vceversa. Rassumamo alcun punt che l Bald espone pù o meno esplctamente. Ogn v.a. determna la sua legge, ma non vceversa. Comunque ogn legge determna ed è determnata dalla sua denstà, o equvalentemente dalla sua funzone d rpartzone. Legge, denstà e funzone d rpartzone qund contengono la stessa nformazone. Questo vale sa per v.a. real (ovvero scalar) che per v.a. multdmensonal (ovvero vettoral), e sa per v.a. dscrete che per v.a. contnue. La conoscenza della legge P X può surrogare quella della X stessa solo n alcun cas; è crucale comprendere quando questo vale. Ad esempo: 9 A dre l vero, questa non concde con la defnzone standard, ma a no può bastare. 10 o la dea bendata, o la ella, o l destno cnco e baro: non mancano mmagn pù o meno pttoresche del caso, che d altra parte è una delle presenze pù pervasve della realtà... Un famoso lbro del 1970 del celebre bologo Jacques Monod s nttolava l Caso e la Necesstà, ed nterpretava fenomen bologc come (co-)strett tra quello che succede per forza (la necesstà delle legg fsche) e quello che non ruscamo a rdurre a necesstà, e qund attrbuamo al caso. Comunque, sa ben charo, questa è flosofa e non calcolo. 11 In effett una stessa legge s può ncarnare (termne non tecnco!) n dverse v.a., che possono essere consderate come dverse realzzazon (termne tecnco questo!) della stessa legge. In dvers cas è pù naturale pensare alla legge puttosto che ad una v.a. ad essa assocata. Ad esempo se goco a testa o croce con una certa posta n goco ad ogn lanco, m nteresserà sapere quante volte ho vnto, puttosto che avere l dettaglo dell esto de sngol lanc. L esto dettaglato de lanc è una v.a. aleatora, l numero d vttore e la sua legge. 8

9 () La meda, la varanza e gl altr moment dpendono solo dalla legge delle v.a. nteressate. Lo stesso vale per l ntegrale d ogn funzone d una v.a.. La covaranza dpende solo dalla legge congunta delle v.a. nteressate. L ntegrale d una funzone d pù v.a. è determnato dalla legge congunta (ovvero, la legge della v.a. congunte); la conoscenza delle legg margnal (ovvero, le legg delle v.a. margnal) non è nvece suffcente a determnarlo, a meno che le v.a. non sano (stocastcamente) ndpendent. () Una famgla {X 1,.., X N } d v.a. ovvamente determna la v.a. congunta X = (X 1,.., X N ), e qund la legge congunta P X. Quest ultma determna le legg margnal P X1,..., P XN. Il vceversa n generale non vale, a meno che la famgla {X 1,.., X N } non sa ndpendente [B, p. 53]. () L ndpendenza d una famgla d v.a. è determnata dalla legge congunta, ma non dalle legg delle v.a. della famgla. Infatt per stablre l eventuale ndpendenza occorrono sa la legge congunta che quelle margnal, e la legge congunta determna le legg margnal ma non vceversa. 12 (v) Sa f : R R una funzone contnua. La legge d Y = f(x) può essere espressa n termn della legge P X d X (o equvalentemente della sua denstà p X ): P f(x) (A) = x f 1 (A) P X ({x}) = Qund per la denstà p f(x) abbamo (banalmente) p f(x) (y) = P f(x) ({y}) = x f 1 (y) x f 1 (A) p X (x) A R. (3.8) p X (x) y f(x(ω)) = X(f(Ω)). (3.9) La legge P f(x) è qund determnata da P X. In altr termn, date due v.a. X 1 e X 2, se P X1 = P X2 (ovvero se X 1 e X 2 sono equdstrbute), allora P f(x1 ) = P f(x2 ). Questo è faclmente esteso a funzon f : R N R M, ovvero funzon d v.a. congunte X = (X 1,..., X N ) che fornscono v.a. multdmensonal. Esemp. () Sano X 1, X 2, Y 1, Y 2 quattro v.a., tal che le v.a. congunte (X 1, X 2 ) e (Y 1, Y 2 ) sano equdstrbute. Se X 1 e X 2 sono ndpendent, allora pure Y 1 e Y 2 sono ndpendent. Questo consegue drettamente dalla defnzone d ndpendenza. () Sano X 1, X 2, Y 1, Y 2 quattro v.a., tal che X 1 e Y 1 sano equdstrbute, e lo stesso valga per X 2 e Y 2. Questo non mplca che le v.a. congunte X = (X 1, X 2 ) e Y = (Y 1, Y 2 ) sano equdstrbute. Ecco un controesempo. S lanc due volte una moneta (equlbrata o meno), e s ponga: X 1 = 1 se l prmo lanco ha dato Testa, X 1 = 0 altrment, X 2 = 1 se l secondo lanco ha dato Croce, X 2 = 0 altrment, Y 1 = X 1, Y 2 = 1 se l prmo lanco ha dato Croce, Y 2 = 0 altrment. Allora X 1 e Y 1 sono equdstrbute, e che lo stesso vale per X 2 e Y 2. (Se la moneta è equlbrata, addrttura tutte e quattro le v.a. sono equdstrbute.) Tuttava le v.a. congunte X = (X 1, X 2 ) e Y = (Y 1, Y 2 ) non sono equdstrbute. Ad esempo, se la moneta è equlbrata, la probabltà d avere (X 1, X 2 ) = (1, 1) è 0.25, mentre l evento (Y 1, Y 2 ) = (1, 1) è mpossble. S osserv che le v.a. congunte X e Y sono dpendent. Ad esempo se (X 1, X 2 ) = (1, 1) allora (Y 1, Y 2 ) = (1, 0). È questo l motvo per cu X e Y non sono equdstrbute? No. Adesso lo vedamo. 12 A proposto d ndpendenza, l [B] manca d sottolneare quanto segue. Sa {X 1,.., X N } una famgla d v.a. real (dscrete o contnue), sa X la v.a. congunta, e s defnsca la funzone d rpartzone multvarata F X: F X(x 1,..., x N ) := P(X 1 x 1,..., X N x N ) (x 1,..., x N ) R N. La famgla d v.a. {X 1,.., X N } è ndpendente se e solo se, denotando con F X le rspettve funzon d rpartzone, F X(x 1,..., x N ) = F X1 (x 1) F XN (x N ) (x 1,..., x N ) R N. Inoltre questo vale se e solo se, denotando con p X e p X le rspettve denstà, p X = p X1 p XN. 9

10 () L mplcazone () non vale nemmeno se X e Y sono ndpendent. Ecco un controesempo. S lanc tre volte una moneta (equlbrata o meno), e s ponga: X 1 = 1 se l prmo lanco ha dato Testa, X 1 = 0 altrment, X 2 = 1 se l secondo lanco ha dato Croce, X 2 = 0 altrment, Y 1 = 1 se l terzo lanco ha dato Testa, Y 1 = 0 altrment, Y 2 = 1 se l terzo lanco ha dato Croce, Y 2 = 0 altrment. Allora X 1 e Y 1 sono equdstrbute, e che lo stesso vale per X 2 e Y 2. (Se la moneta è equlbrata, addrttura tutte e quattro sono equdstrbute.) Tuttava le v.a. congunte X = (X 1, X 2 ) e Y = (Y 1, Y 2 ) non sono equdstrbute. Ad esempo, se la moneta è equlbrata, la probabltà d avere (X 1, X 2 ) = (1, 1) è 0.25, mentre l evento (Y 1, Y 2 ) = (1, 1) è mpossble. Qu le v.a. congunte X e Y sono ndpendent, poché X è determnata da prm due lanc, Y dal terzo. (Invece Y 1 e Y 2 sono dpendent, ma questo è rrlevante.) Estrazon Con o Senza Remmssone. S effettuno successve estrazon da un urna contenente N bgle dstnte. Se le estrazon sono con remmssone, allora queste sono ndpendent, e cascuna bgla ha probabltà 1/N d essere estratta. Se nvece le estrazon sono senza remmssone, allora esse sono dpendent; nondmeno cascuna bgla ha ancora probabltà 1/N d essere estratta, cf. [B, p. 54]. Rcordamo che, se le bgle sono d due color, l numero d bgle d un colore estratte è rappresentato dalla dstrbuzone bnomale nel caso con remmssone, da quella pergeometrca nel caso senza remmssone. La Matrce d Covaranza. Sa N un qualsas ntero 1, e {X } =1,...,N una famgla d v.a.. Sottntendendo che le somme sono da 1 a N, ed osservando che Cov(X, X j ) = Cov(X j, X ) per ogn, j, abbamo Var ( X ) = Cov ( X, j X j) = j Cov (X, X j ) = =j Cov (X, X j ) + j Cov (X, X j ) = Var (X ) + 2 <j Cov (X, X j ). (3.10) S defnsce la matrce d covaranza (o matrce d varanza-covaranza, o matrce d dspersone) della famgla d v.a. {X } =1,...,N Cov(X X τ ) := {Cov(X, X j )},j=1,...,n, (3.11) ove X τ denota l vettore rga ottenuto per trasposzone del vettore colonna X = (X 1,..., X N ). S può dmostrare che questa matrce è semdefnta postva, ed è defnta postva se la famgla d v.a. {X } =1,...,N è lnearmente ndpendente. Essa è dagonale se e solo se queste v.a. sono non correlate. 13 In questo caso allora la varanza della somma è uguale alla somma delle varanze: ( ) Var X = Var (X ) per v.a. non correlate. (3.12) Come noto, n partcolare questo è verfcato se le v.a. sono ndpendent. Questo rsultato è sorprendente, poché una formula del genere vale per funzonal lnear (e.g. la speranza), mentre la varanza è quadratca! Come è evdente dalla dmostrazone, questo pogga sull potes d non correlazone. 14 Quest rsultat s estendono al caso d una successone d v.a., 13 S osserv che la non correlazone è quella che s potrebbe defnre ndpendenza per coppe. L ndpendenza vera è propra nvece deve valere per coppe, per terne, ecc. [B, p. 53]. S not anche che la covaranza d due v.a. msura l eventuale esstenza d una relazone lneare tra le due v.a.. Tuttava essa potrebbe essere nulla anche n presenza d un legame non lneare tra le v.a.. 14 e ovvamente anche dalla defnzone d varanza. Esamnamo un momento questa defnzone. Come noto, la varanza è una msura della dspersone ntorno alla meda; lo stesso s può dre della quanttà E( X E(X) ), ma la 10

11 sotto la condzone che tutte le quanttà che compaono n questa formula (le speranze, le covaranze, le sere) convergano. Il Prncpo d Mutua Compensazone. Il Teorema de Grand Numer pogga sul teorema d Chebyshev e su un rsultato tanto semplce quanto potente, che potremmo defnre come l prncpo d mutua compensazone, che ora llustramo. S consder una successone {X } N d v.a. equdstrbute (coé avent la stessa dstrbuzone d probabltà) e non correlate. Poché Var(cY ) = c 2 Var(Y ) per ogn Y ed ogn c R, e Var(X ) = Var(X 1 ) (per va della equdstrbuzone), abbamo ( 1 ) Var X N = 1 N 2 Var ( ) (3.12) X = 1 N 2 Var (X ) = 1 N Var (X 1). (3.13) Pù n generale, s defnsce campone statstco (o aleatoro) d ampezza N una famgla d N v.a. ndpendent equdstrbute. Qund la meda camponara (o meda emprca) d un campone 1 statstco, ovvero la v.a. N X, ha varanza attenuata d un fattore 1/N rspetto alle X. Questo s può nterpretare osservando che medando su pù ndvdu le oscllazon (ovvero, le devazon dal valore atteso) delle dverse X n parte s compensano. 15 Il fatto che una popolazone 16 possa presentare una dspersone statstca mnore d quella de sngol è anche esperenza della vta d tutt gorn. La teora qu svluppata ne fornsce una rappresentazone matematca, evdenzando le potes essenzal: l equdstrbuzone e l assenza d correlazone. Nella pratca l uso d un campone statstco pù ampo rchede la raccolta d un maggor numero d dat, l che ha un costo n generale. Occorre qund trovare un punto d equlbro tra l benefco della mnore dspersone ed l prezzo dell ulterore acquszone d dat. 17 La (3.12) fornsce una valutazone quanttatva della rduzone della dspersone che può essere utle per calcolare tale punto d equlbro. Il Teorema de Grand Numer. Questo è uno de prncpal rsultat del corso; la sua prma formulazone è dovuta a Jakob Bernoull, e rsale al 1689, ovvero a prmord del calcolo delle probabltà. Dmostrando che la meda camponara converge alla comune speranza delle v.a., questo teorema stablsce un legame fondamentale tra l mpostazone assomatca del calcolo delle probabltà e l approcco frequentsta. S not pure che esso fornsce una stma dell errore, tramte la dsuguaglanza d Chebyshev (s veda l ultma rga d [B, p. 71]). 18 Questa stma è alquanto grossolana, dovendo valere presenza del valore assoluto rende quest ultma non dervable, e qund poco maneggevole. dstorce un po la dspersone, poché E vero che l quadrato X E(X) 2 < X E(X) per X E(X) < 1, X E(X) 2 > X E(X) per X E(X) > 1; però la funzone quadrato è dervable. La defnzone della varanza presenta anche altr vantagg, tra qual l utle formula Var(X) = E(X 2 ) E(X) 2. E comunque dvers rsultat che vedremo dpendono n modo essenzale da questa defnzone. 15 Occorre prestare attenzone all uso del termne meda, (o valor medo), che è leggermente ambguo. Se {X } =1,...,n è un campone statstco, allora s possono effettuare due tp d mede. S può medare rspetto a, ottenendo la meda camponara; questa è la v.a. Xn := 1 X (per ogn n), come l abbamo defnta n statstca descrttva. Oppure s n può medare rspetto a ω Ω, ottenendo l valor medo E(X ) (lo stesso per ogn, essendo le X equdstrbute). Per quest ultmo parleremo puttosto d speranza, e cercheremo d evtare snonm valor medo o meda. 16 In statstca l termne popolazone è usato n senso molto esteso, e può anche essere rferto ad un nseme d oggett sml tra d loro. I component d una popolazone sono allora dett ndvdu. 17 L ampezza del campone è un rlevante elemento per valutare la qualtà d un ndagne statstca, ad esempo un sondaggo d opnone. 18 In anals può essere utle sapere che una successone {x n} converge ad un certo valore x. Nelle applcazon, n partcolare per l anals numerca, spesso è molto utle maggorare l errore commesso sosttuendo x con x n, medante una quanttà che ovvamente dpenderà da n. Una smle maggorazone è detta una stma dell errore. L errore effettvamente commesso ovvamente dpende da dat del problema. È mpossble darne una valutazone esatta (ove fosse possble, medante un ovva correzone del rsultato s potrebbe elmnare l errore!). Occorre qund accontentars d una maggorazone, che corrsponde all potes pù pessmstca. Ovvamente s cerca d fornre una stma l pù possble strngente. 11

12 per ogn campone statstco. Per specfche class d legg essa può essere raffnata: un esempo sarà fornto dal Teorema Lmte Centrale. Entramb sono teorem lmte, n quanto esprmono propretà che valgono per campon statstc nfnt l che ovvamente rchede un passaggo al lmte. 19 Illustramo brevemente la dmostrazone del teorema. Per ogn v.a. Y 0 ed ogn c > 0, c1 {Y c} Y ; 20 qund cp(y c) = E(c1 {Y c} ) E(Y ) (dsuguaglanza d Markov). (3.14) Per ogn v.a. X con varanza fnta e speranza µ, applcando questa dsuguaglanza a Y = X µ 2 ottenamo la dsuguaglanza d Chebyshev: P( X µ c) = P( X µ 2 c 2 ) 1 c 2 E( X µ 2 ) = 1 Var(X). (3.15) c2 Se {X } N è un campone statstco (d ampezza nfnta) d varanza fnta e speranza µ, applcando quest ultma dsuguaglanza alla successone { X n } e rcordando l prncpo d mutua compensazone, pervenamo alla convergenza n probabltà d Xn a µ: P( X n µ c) 1 c 2 Var( X n ) (3.13) = 1 nc 2 Var(X 1) 0 per n, c > 0; (3.16) oppure equvalentemente P( X n µ c) = 1 P( X n µ c) 1 1 c 2 Var( X n ) 1 per n, c > 0. (3.17) Questo teorema permette d approssmare anche le funzon del campone statstco {X }. Sa f : R R una funzone contnua tale che Y := f(x ) ha speranza fnta µ (essendo l campone equdstrbuto, questa speranza non dpende da ). Denotando con Ȳn la meda camponara delle Y, allora la (3.16) fornsce P( Ȳn µ c) 1 (3.13) Var(Ȳn) = 1 c2 nc 2 Var(Y 1) 0 per n, c > 0. (3.18) In questo modo s possono approssmare ad esempo moment del campone statstco {X }. Bernoullzzazone. Il teorema de grand numer permette d approssmare non solo la speranza d una v.a., ma anche la legge d una qualsas v.a. dscreta Y. A questo scopo basta bernoullzzare (l termne non è standard!) la v.a. ovvero trasformarla n una v.a. d Bernoull, pù precsamente n una funzone ndcatrce; [B, p. 72]. 21 S fss un y Y (Ω), e s ponga A = {Y = y}. Sa {X } N un campone statstco avente la dstrbuzone della funzone ndcatrce 1 A. Allora l teorema de grand numer fornsce p(y) = P({Y = y}) = E(1 {Y =y} ) = lm n X n (nel senso della convergenza n probabltà). 19 La legge (o teorema) de grand numer deve l suo nome al fatto che s basa su un passaggo al lmte per n : quest sono grand numer. Lo stesso s può dre per gl altr teorem lmte, ma questo è stato l prmo ad essere scoperto e n certo senso s è accaparrato l nome. 20 Per ogn evento A Ω, 1 A è la funzone ndcatrce d A, ovvero la denstà p della legge d 1 A qund vale 1 A(ω) = 1 ω A, 1 A(ω) = 0 ω Ω \ A; p(1) = P(A), p(0) = 1 P(A), p(y) = 0 y R \ {0, 1}. S not che E(1 A) = P(A). In altr termn, s può rappresentare la probabltà d ogn evento come la speranza d una v.a., la funzone ndcatrce d quell evento appunto. 21 Questo rsponde alla domanda: come s può trasformare un dado n una moneta? (senza venderla naturalmente...) 12

13 Applcando questo procedmento ad ogn y Y (Ω), s può approssmare l ntera denstà d probabltà d Y, ovvero la sua legge. Random Walk. Ovvero passeggata aleatora, chamata anche passeggata dell ubraco. Per semplctà, supponamo che l moto avvenga lungo una retta. Smulamo questo comportamento medante l rpetuto lanco d una moneta equlbrata: un passo n avant se vene testa, un passo ndetro se vene croce. Il lanco -esmo può essere pertanto rappresentato con una v.a. X d Bernoull: per X = 1 s va avant, per X = 1 s va ndetro, cascun esto con probabltà 1/2. I lanc sono suppost ndpendent, coscché le X costtuscono un campone statstco. Calcolamo alcun moment della meda camponara X n := 1 n=1 n X a ttolo d eserczo. Ovvamente E( X n ) = 1 n E(X ) = 0. (3.19) Inoltre, essendo E(X 2 ) = E(1) = 1 per ogn, e per va dell ndpendenza (qu basterebbe la non correlazone) E(X X j ) = E(X ) E(X j ) = 0 se j, abbamo E[( X n ) 2 ] = 1 n 2 E( X j X j) = 1 n 2,j E(X X j ) = 1 n 2 =j E(X X j ) + 1 n 2 j E(X X j ) = n n = 1 n. (3.20) S verfca faclmente che, per va dell ndpendenza (qu la non correlazone non basta), E(X X j X k ) = 0 per ogn, j, k. Pertanto E[( X n ) 3 ] = 1 n 3 E( X j X j k X k) = 1 n 3,j,k E(X X j X k ) = 0, (3.21) e lo stesso vale per ogn momento dspar. Avendo orma compreso qual termn sono null, po abbamo E[( X n ) 4 ] = 1 E( n 4 X j X j k X k l X l) = 1 n 4,j,k,l E(X X j X k X l ) = 3 n 4,k E(X2 X2 k ) = 3 n 4 =k E(X2 X2 k ) + 3 n 4 k E(X2 X2 k ) = 3n n 4 + 3n(n 1) n 4 = 3 n 2. C arrestamo qu con l calcolo de moment s Xn. I pù rlevant rsultat ottenut rguardano la speranza e la varanza: (3.22) E( X n ) (3.19) = 0, Var( X n ) (3.19) = E[( X n ) 2 ] (3.12) = 1/n. (3.23) Confrontando quest ultma uguaglanza con la (3.13), vedamo che questa è una manfestazone del prncpo d mutua compensazone d altra parte la (3.13) è stata dmostrata rproducendo la procedura usata per dervare quel prncpo. Moto Brownano. Il random walk è alla base d un mportante modello fsco, noto come moto Brownano, che rappresenta fenomen d dffusone, ad esempo la dspersone d una sostanza n un fludo, o la propagazone del calore. Se denotamo con h la lunghezza d un passo e con τ l untà d tempo, allora h n =1 X = nh X n rappresenta l ascssa raggunta dopo l n-esmo lanco, ovvero all stante t = nτ. Ponamo δ(t) 2 = E[(h n =1 X ) 2 ]: meda del quadrato della dstanza dall orgne all stante t, coscché δ(t) rappresenta la dstanza quadratca meda dall orgne all stante t, ovvero la devazone standard della dstanza (che è una v.a. centrata). Abbamo δ(t) 2 = E[(nh X n ) 2 ] (3.19) = (nh) 2 Var( X n ) (3.23) = nh 2 = Dt (ponendo D := h 2 /τ); (3.24) 13

14 D è l coeffcente d dffusone. Ne fenomen d dffusone qund la dstanza quadratca meda è proporzonale alla radce quadrata del tempo: δ(t) = Dt, mentre per fenomen d trasporto la dstanza meda è proporzonale al tempo. Questo n vrtù del prncpo d mutua compensazone, come gà osservato. 4 Varabl aleatore contnue Legge e Denstà d Probabltà. Supponamo che P sa una msura d probabltà su uno spazo camponaro Ω. Per ogn v.a. X : Ω R defnamo la funzone d rpartzone F X : R [0, 1], F X (y) = P(X y) y R. (4.1) S verfca faclmente che F X ( ) = 0 e, essendo P una msura d probabltà, F X (+ ) = 1 e F è non decrescente. Dstnguamo a seconda che sa X contnua o dscontnua. (a) Se F X è contnua, possamo supporre che sa dervable ovunque, salvo n un nseme H X formato al pù da una successone d punt. 22 In tal caso f X := F X (detta denstà d probabltà) è defnta solo n R \ H X ; ma questo non causa partcolar dffcoltà, e comunque non c mpedsce d scrvere y F X (y) = f X (s) ds s R. (4.2) Qund, ad esempo, da cu (un po dsnvoltamente) P(a < X b) = F X (b) F X (a) = b P(x < X x + dx) f X (x) dx x R. a f X (s) ds ]a, b[ R, (4.3) S not che P(X = x) = 0 per ogn x R. Qund f X (x) non è la probabltà dell evento {X = x}, a dfferenza d quanto vsto per la funzone d denstà d una v.a. dscreta. (b) Ben dversa è la stuazone n cu F X sa dscontnua, ovvero abba de salt. Il caso lmte n cu la F X cresce solo a salt corrsponde esattamente ad una v.a. X dscreta, che è stato gà trattato. Il caso ntermedo n cu F X cresca sa a salt che aldfuor de salt non rentra nella trattazone del [B], n quanto rchede degl strument analtc pù raffnat. Un altra Rappresentazone della Speranza. La speranza d una v.a. X è defnta dal [B] n termn della legge della v.a. stessa. Se Ω R N possamo dare una defnzone equvalente che sfrutta la teora dell ntegrazone su R N. Per semplctà qu c lmtamo a N = 2, ma l estensone ad un generco N non presenta dffcoltà. In questo caso l generco ω Ω è della forma ω = (ω 1, ω 2 ), e possamo usare l ntegrale bdmensonale, che ndchamo con...dω 1 dω 2. S assuma che essta una funzone h : Ω R tale che h 0, h(ω) dω 1 dω 2 = 1, P(A) = h(ω) dω 1 dω 2 A Ω. (4.4) Ω Qund h è la denstà della msura d probabltà P su Ω. 23 Allora la speranza d una v.a. (dscreta o contnua) X : Ω R è E(X) = X(ω)h(ω) dω 1 dω 2, se X(ω) h(ω) dω 1 dω 2 < +. (4.5) Ω 22 Questo non è del tutto vero: c sono de controesemp. Tuttava possamo gnorare quest cas, che sono estremamente patologc. Il [B] nvece s pone qualche scrupolo n pù. 23 Occorre prestare attenzone a dstnguere la denstà della msura d probabltà su Ω, dalla denstà della msura d probabltà su R ndotta da una v.a. X. Il termne è lo stesso, ma la prma è rferta alla probabltà P su Ω; la seconda alla probabltà P X su R, ovvero alla legge d X. 14 Ω A

15 Questo rende conto del fatto che dverse propretà della speranza rproducono quelle dell ntegrale. Ad esempo, sotto opportune restrzon, E(X 1 + X 2 ) = E(X 1 ) + E(X 2 ), E(cX) = ce(x) c R. Se X è dscreta e p X è la sua denstà, possamo confrontare la (4.5) con la nota defnzone E(X) = x X(Ω) x p X (x ), se x X(Ω) x p X (x ) < +. (4.6) D altra parte, denotando con F X la funzone d rpartzone d X e supponendo che questa sa contnua (e dervable salvo al pù n una successone d punt), E(X) = x F X(x) dx, se x F X(x) dx < +. (4.7) R Confrontando la (4.5) con la (4.7) rtrovamo due dvers mod d sommare che abbamo gà ncontrato n statstca descrttva e nell ntegrazone delle v.a. dscrete; s vedano gl svlupp d (3.1),...,(3.5). La defnzone (4.7) è posta solo per v.a. contnue; è noto che per v.a. dscrete la speranza va scrtta dversamente, con una sere nvece d un ntegrale. Per tal v.a. la (4.7) è pù generale della (4.5), che s applca solo se Ω R N (qu abbamo posto N = 2). Supponamo ora d avere due v.a. X, Y : Ω R, cascuna dscreta o contnua. La loro covaranza vale Cov(X, Y ) = [X(ω) E(X)] [Y (ω) E(X)] h(ω) dω 1 dω 2, Ω (4.8) se E(X), E(Y ), [X(ω) E(X)] [Y (ω) E(X)] h(ω) dω 1 dω 2 < +. Ω Se X e Y sono v.a. dscrete e p X,Y è la loro denstà congunta, allora Cov(X, Y ) = se E(X), E(Y ), x X(Ω) y j Y (Ω) x X(Ω) R [x E(X)] [y j E(Y )] p X,Y (x, y j ) y j Y (Ω) [x E(X)] [y j E(Y )] p X,Y (x, y j ) < +. Se X e Y sono ndpendent e le loro denstà sono rspettvamente p X e p Y, allora p X,Y (x, y j ) = p X (x )p Y (y j ), e rtrovamo la nota propretà che Cov(X, Y ) = 0. Tro al Bersaglo. Il bersaglo sa un tabellone crcolare Ω d raggo R. Se s tra a casacco, la denstà d probabltà h(ω) sarà unforme: h(ω) = h(ρ) = (πr 2 ) 1 ρ = ω ω2 2. Se nvece s mra al centro e s ha una buona mra, allora la denstà d probabltà sarà una funzone decrescente della ρ: h(ω) = h(ρ) con h : [0, R] R + decrescente, e h dovrà soddsfare la condzone d normalzzazone 24 Ω h(ω) dω 1 dω 2 = 2π R 0 (4.9) h(ρ)ρ dρ = 1. (4.10) 24 Per un bersaglo d raggo nfnto (ovvero Ω = R 2 ), per ogn > 0 s può usare la denstà d probabltà h(ρ) = 1 2π exp ( ρ 2 ) 2 ρ > 0, che è parente stretta della nota denstà gaussana. S verfch che la condzone (4.10) è soddsfatta anche n questo caso. 15

16 S not che h potrebbe dvergere per ρ 0. La funzone h può essere defnta la funzone d mra, e dpenderà dal tratore. La probabltà d colpre un punto d un nseme A Ω è allora par a P(A) = E(1 A ) = 1 A (ω)h(ω) dω 1 dω 2 = h(ω) dω 1 dω 2. (4.11) Se A è radale, ovvero è un cercho d centro (0, 0) e raggo 0 r 1/R, allora r P(A) = E(1 A ) = h(ω) dω 1 dω 2 = 2π h(ρ)ρ dρ. Ω A Supponamo che l tro venga rcompensato con un premo g(ω) ( 0), che dpende dal punto colpto (oppure dal centro della regone crcolare colpta, se non s vuole pensare la freccetta puntforme); g è qund una v.a.. Allora l guadagno atteso dal tratore con funzone d mra h è E(g) = g(ω)h(ω) dω 1 dω 2, (4.12) Ω se questo ntegrale è fnto. Se la funzone premo g dpende dalla dstanza dal centro, ovvero se allora l guadagno atteso è E(g) = La varanza della v.a. g è Var(g) = La funzone d rpartzone d g è F g (t) = P(g t) = Ω g(ω) = g(ρ) con g : [0, R] R +, Ω 1/R g(ω)h(ω) dω 1 dω 2 = 2π g(ρ) h(ρ)ρ dρ. 0 1/R g(ω) 2 h(ω) dω 1 dω 2 E(g) 2 = 2π g(ρ) 2 h(ρ)ρ dρ E(g) 2. (4.13) 0 {g t} A h(ω) dω 1 dω 2 t 0, ed l suo calcolo rchede la determnazone dell nseme {ω Ω : g(ω) t} per ogn t 0. S not che le funzon h e g hanno ruol del tutto dvers; noltre h ha meda 1, a dfferenza d g. Il Metodo d Montecarlo. Il modello del tro al bersaglo può anche essere usato... all nverso. La determnazone della probabltà d un evento A (ovvero d colpre un punto d un nseme A) rchede l calcolo dell ntegrale della funzone denstà. D altra parte P(A) = E(1 A ), e questa speranza può essere approssmata medante la legge de grand numer. Se s ndvdua un campone statstco con legge d 1 A, allora effettuando un gran numero d volte quell espermento s può calcolare n modo approssmato P(A) = E(1 A ); questo permette qund d approssmare l ntegrale della denstà. In dvers cas quest esperment possono essere effettuat al calcolatore. Questa procedura per l calcolo approssmato degl ntegral è detto metodo d Montecarlo (per va del noto casnò). Il Paradosso del Tro al Segno. Dalla (4.11) consegue che P({(x, y)}) = 0 (x, y) Ω, tratore. Qund tutt trator hanno la stessa probabltà d colpre l centro (!), poché per tutt la probabltà è nulla. Per lo stesso motvo, cascun tratore ha la stessa probabltà d colpre l centro o qualsas altro punto prefssato. Se nvece d consderare punt s consderano pccol cerch, allora le cose stanno dversamente sempre che, come fnora supposto, la denstà d probabltà (la denstà d probabltà, non la probabltà!) dpenda dal punto e dal tratore. Questo rsolve quello che poteva sembrare un paradosso. 16 0

17 5 Teorem lmte Dverse Nozon d Convergenza. Per le successone d numer esste un solo concetto d convergenza; non è così per le successon d funzon, n partcolare per quelle d v.a.. Sa P una msura d probabltà su un nseme Ω, e sa {X n } una successone d v.a. Ω R, dscrete o contnue. Tra le altre, s defnscono le seguent nozon d convergenza: X n X n probabltà P( X n X c) 0 per n, c > 0, (5.1) X n X n legge { FXn (t) F X (t) per n, t R n cu F X è contnua. (5.2) Ad esempo la convergenza n probabltà compare nel teorema de grand numer, e quella n legge nel teorema lmte centrale. S not che la convergenza n probabltà convolge le v.a., mentre quella n legge dpende solo dalle legg delle X n e d X. Sussste un mportante legame tra quest due concett: la convergenza n probabltà mplca quella n legge, ma non vceversa. (5.3) Teorem Lmte. Nel corso abbamo consderat quattro teorem lmte, ovvero teorem che esprmono la convergenza d una successone d v.a. o legg, secondo una delle nozon d convergenza appena defnte: () Legge bnomale legge d Posson. Sa λ una costante > 0. Per n, la dstrbuzone bnomale B(n, λ/n) converge alla dstrbuzone d Posson P o(λ) [B, p. 48]. 25 Questo sgnfca che uno schema d Bernoull n cu un evento d probabltà p molto pccola vene rpetuto un gran numero n d volte può essere approssmato da un processo d Posson con parametro λ = np. 26 () Legge geometrca legge esponenzale. Sa λ una costante > 0. Per n, la dstrbuzone geometrca G(λ/n) converge alla dstrbuzone esponenzale Exp(λ), rscalando opportunamente l tempo s veda pù avant. () Teorema de Grand Numer (o TGN). (Jakob Bernoull, 1689) Se {X } N è un campone statstco d v.a. con speranza µ e varanza fnta, allora la meda camponara X n converge n probabltà a µ [B, p. 71]. Lo stesso rsultato vale anche per le v.a. contnue, con la stessa dmostrazone. Come abbamo vsto, questo gustfca l punto d vsta frequentsta. (v) Teorema Lmte Centrale (o TLC). (De Movre, 1733; Lndeberg 1922) 27 Se {X } N è un campone statstco d v.a. con speranza µ e varanza fnta 2 > 0, 28 allora la dstrbuzone della meda camponara standardzzata converge alla dstrbuzone normale standard [B, p. 124], ovvero S n := X n µ / n Y n legge, con Y N(0, 1). (5.4) Pertanto la dstrbuzone standardzzata d un campone statstco d suffcente ampezza può essere approssmata n legge da una dstrbuzone gaussana; e questo avvene ndpendentemente dalla dstrbuzone del campone statstco (!). 25 Poché s parla della convergenza d dstrbuzon (puttosto che d v.a.), s tratta necessaramente d una convergenza n legge. 26 Per questo motvo la legge d Posson è detta la legge degl event rar, o anche la legge de pccol numer qu ntendendo l termne legge n un senso del tutto dverso da quello della legge de grand numer. 27 De Movre dmostrò questo rsultato per v.a. bnomal X B(1, p). Lndeberg lo estese po alla forma rportata da [B, p. 124]. (Pur se apparentemente pù modesto, l passo pù mportante fu quello d De Movre, gà nel 1733!) Perché l teorema s chama così? Su questo non sono tutt d accordo: pù attrbuscono l aggettvo centrale a teorema, per l suo ruolo centrale nel calcolo delle probabltà ed n statstca; per altr è l lmte ad essere centrale, e parlano d teorema centrale del lmte. Tra l altro, la denomnazone nglese central lmt theorem s presta ad entrambe le nterpretazon. 28 Se nvece 2 = 0 allora... ancora meglo: n tal caso X = µ n tutto Ω, qund Xn = µ e per ogn n. 17

18 Osservazon sul TLC. () Per l prncpo d mutua compensazone, Var( X n ) = Var(X )/n per ogn. Qund Xn = / n, ovvero l denomnatore della S n è la devazone standard del numeratore: S n = X n µ Xn. Questa è la v.a. standardzzata della meda camponara, ed è dversa dalla meda camponara delle v.a. X standardzzate (perché?): standardzzata della meda = 1 n=1 n X µ / 1 n n n =1 X µ = meda delle standardzzate. () La (5.4) può essere rscrtta n( Xn µ) Y N(0, 2 ) oppure Xn µ + n Y N(µ, 2 /n), (5.5) per n. Qu corrsponde all approssmazone nel senso della convergenza n legge per n, mentre Z N(µ, 2 ) sgnfca che la v.a. ha dstrbuzone normale d speranza µ e varanza 2. Qund quanto pù grande è n, tanto pù la legge della v.a. Xn è vcna alla legge normale d meda µ e varanza 2 /n, e tanto pù la varanza d quest ultma legge è pccola. Questo è coerente con due note propretà: (a) la speranza d una somma d v.a. è la somma delle speranze; (b) la varanza d una somma d v.a. non correlate è la somma delle varanze; qund, essendo la varanza quadratca, la varanza della loro meda è la meda delle varanze dvsa per l numero delle v.a.. () La seconda formula della (5.5) può anche essere nterpretata come segue: per n abbastanza grande, la legge della v.a. Xn fnsce con dpendere dalle varabl X essenzalmente solo attraverso la loro meda µ e la loro varanza 2 /n. 29 Pù precsamente, quanto pù n è grande, tanto pù questo è vero. (v) Se cascuna v.a. X del campone statstco ha legge normale N(µ, 2 ), allora s può dmostrare che la (5.5) è verfcata esattamente (senza bsogno d approssmare), ovvero che X n N(µ, 2 /n). Relazone tra TLC e TGN. Il TLC spega l ruolo fondamentale della dstrbuzone normale n statstca. () TLC TGN. 30 Sa {X } N un campone statstco d v.a. con speranza µ e varanza fnta 2 > 0, e sa Y una v.a. normale standard. Fssamo una qualsas costante c > 0, ed osservamo che, defnendo S n come n (5.4), P( X ( n µ c) = P Sn ( n c) ( = F S n F S n n c ) n c ). ( n c = P S n n c ) (5.6) Per va della (5.4), F S n (t) F Y (t) per n, per ogn t R. Poché n c ) F Y (+ ). Analogamente F S n ( è allora facle renders conto che F S n ( Pertanto P( X ( n c) ( n µ c) = F S n F S n n c + per n, ) F Y ( ). n c n c ) F Y (+ ) F Y ( ) = 1. (5.7) 29 Queste vrgolette ndcano delle espresson che andrebbero precsate. 30 A prma vsta questo può apparre un po sorprendente, poché l TLC fornsce una convergenza n legge, l TGN una convergenza n probabltà; e n (5.3) abbamo vsto che la convergenza n legge non mplca quella n probabltà. 18

19 Qund P( X n µ c) = 1 P( X n µ c) 0 c > 0, per n, (5.8) ovvero X n µ n probabltà, come affermato dal TGN, cf. (3.16). () Il TLC fornsce anche un nformazone pù precsa del TGN crca la veloctà con cu Xn µ. S consder la defnzone d Sn (ovvero l uguaglanza della (5.4)): per n, questa è una forma ndetermnata del tpo 0 0. Il TLC sostanzalmente afferma che X n µ n Y con Y N(0, 1), per n, (5.9) nel senso della convergenza n legge. Graze alla (5.4), per n abbastanza grande qund abbamo P( X n µ c) = F S n ( n c ) F Y ( n c ) ( n c) = 2F Y 1 c > 0; (5.10) ovvero P( X ( n c) ( n c) n µ c) = 1 F S n 2 2F Y c > 0, (5.11) F Y è la funzone d rpartzone della dstrbuzone normale standard, che s trova tabulata. Quest ultma formula può essere confrontata con la (3.16): P( X n µ c) n2 c 2 c > 0. () Resta da valutare la veloctà con cu F S n F Y. S può dmostrare (teorema d Berry-Esseen) che, se E( X 3 ) < +, allora esste una costante C > 0 tale che ( Xn µ ) sup P / n y P(Y y) C E( X 3 ) 3 n. (5.12) y R S not che, dato un campone statstco, l TGN fornsce una successone (la X n ) che converge n probabltà alla speranza µ; questo può essere consderato come uno svluppo arrestato al momento del prmo ordne: la speranza, appunto. La (3.16) maggora l errore d quest ultmo svluppo medante l momento del secondo ordne: la varanza 2. Analogamente, l TLC esbsce uno svluppo fno al momento del secondo ordne, che compare attraverso la ; s veda la (5.5) che converge n legge. Il teorema d Berry-Esseen maggora po l errore d quest ultmo svluppo medante l momento del terzo ordne, E( X 3 ). S può notare l analoga con lo svluppo d Taylor. Sull Uso del TLC. Fssata la legge del campone statstco, se E( X 3 ) < + allora per ogn ɛ > 0 esste un N tale che ( Xn µ ) sup P / n y P(Y y) ɛ n N. (5.13) y R Infatt basta sceglere N = C 2 E( X 3 ) 2 / 6 ɛ 2 e po applcare la (5.12). Poché E( X 3 ) 2 e sono determnat dalla legge del campone statstco, per ogn legge e per ogn tolleranza ɛ > 0, resta così ndvduato un N che soddsfa la (5.13). Sottolneamo che non è possble ndcare un N che valga per ogn campone e per ogn ɛ > Legge Geometrca Legge Esponenzale. Dmostramo questo teorema lmte. Una v.a. X abba dstrbuzone geometrca G(p) con 0 < p << 1; 32 qund P(X > k) = (1 p) k per ogn k N. Fssamo 31 Questo lo osserva anche l [B, p. 125], che po però aggunge che tradzonalmente s assume N = 30 o 50. In effett la statstca ha anche una rlevante componente emprca < p << 1 sgnfca: p postvo ma molto pccolo. Dfatt po passeremo al lmte per p 0 (o meglo, per δ = p/λ 0, l che po è la stessa cosa). 19

20 un ntervallo temporale untaro 0 < δ << 1, coscché al passo k corrsponde l stante t = kδ; alla v.a. X è qund assocata la v.a. rscalata T δ := Xδ. Faccamo ora tendere sa p che δ a zero, tenendo fsso l loro rapporto: λ := p/δ = costante. Rcordando l lmte notevole lm δ 0 (1 λδ) 1/(λδ) = e, ottenamo P(T δ > t) = P(Xδ > kδ) = P(X > k) = (1 p) k = (1 λδ) t/δ = [(1 λδ) 1/(λδ) ] λt e λt per δ 0, t > 0; (5.14) d altra parte per una v.a. T 0 avente dstrbuzone esponenzale Exp(λ), P(T 0 > t) = e λt. Abbamo così vsto che T δ T n legge, con T Exp(λ). Ponendo δ = 1/n e X n = T δ /δ per ogn n N e qund passando al lmte per n, possamo concludere che X n G(λ/n) X n n T n legge, con T Exp(λ). (5.15) Questo sgnfca che, per uno schema d Bernoull n cu un evento d probabltà p molto pccola vene rpetuto ad ntervall temporal δ molto brev, l tempo d attesa del prmo successo (che ha dstrbuzone geometrca) può essere approssmato da una dstrbuzone esponenzale con parametro λ = p/δ. Questo rsultato non è sorprendente, essendo entrambe le dstrbuzon sono prve d memora. 6 Sntes Prncpal Tem Trattat. Statstca descrttva. Istogramm. Medana, funzone d rpartzone e quantl, boxplots. Meda, varanza, covaranza, moment. Regressone lneare. Probabltà. Spaz d probabltà Ω e msura d probabltà P. Probabltà condzonata. Formula della probabltà totale (2.3). Formula d Bayes. Indpendenza d event. Calcolo combnatoro. Dsposzon, permutazon, combnazon e partzon. Varabl aleatore dscrete. Varabl aleatore X e loro legg P X. V.a. dscrete e contnue. Denstà d probabltà dscreta p X. Legg d Bernoull, bnomale, pergeometrca, geometrca e d Posson. Funzone d rpartzone per v.a. dscrete. V.a. congunte, loro margnal e rspettve legg. Indpendenza d v.a. dscrete. Calcol con denstà. Speranza, varanza, covaranza d v.a. dscrete. Teorema d Chebyshev e teorema de grand numer. Varabl aleatore contnue. Funzone d rpartzone F X e denstà f X = F X d v.a. contnue. Quantl. Legge unforme e legge esponenzale. Indpendenza d v.a. contnue. Legge normale. Speranza, varanza, covaranza d v.a. contnue. Convergenza n legge e teorema lmte centrale. Prncpal Legg Esamnate. Legg dscrete: legge d Bernoull, bnomale, pergeometrca, geometrca, d Posson: Ber(p) (= Bn(1, p)), Bn(n, p), Iper(r, b, n), Geo(p), Po(λ). Legg contnue: legge unforme, esponenzale, normale (o gaussana): Unf, Exp(λ), N(µ, 2 ). Le rspettve denstà, funzon d rpartzone, speranze e varanze sono rassunte n una tabella [B, p. 136]. Dverse altre legg notevol sono studate n letteratura. Nondmeno un ventaglo alquanto lmtato d esse è suffcente per rappresentare un gran numero d fenomen fsc ed ngegnerstc. S not che s possono costrure nfnte msure d probabltà, usando una denstà dscreta oppure, se Ω R N, una denstà contnua come n (4.4). Per ogn v.a. X, cascuna d queste probabltà ndvdua po una legge. 20

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