PARTE TERZA. STATISTICA DESCRITTIVA MULTIDIMENSIONALE (Analisi delle Relazioni)

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1 PARTE TERZA STATISTICA DESCRITTIVA MULTIDIMESIOALE (Analisi delle Relazioni)

2 La notazione matriciale 3 III.. LA OTAZIOE MATRICIALE III... L analisi statistica dei fenomeni multivariati L intrinseca complessità propria dei fenomeni reali raramente può essere colta attraverso la conduzione di singole analisi monodimensionali che ignorerebbero la struttura di correlazione e di interdipendenza tra le variabili. Queste considerazioni hanno condotto, nella seconda parte di questo libretto, alla definizione delle misure di connessione e di dipendenza tra variabili e alla costruzione di modelli funzionali volti alla comprensione delle cause di variabilità di una predeterminata variabile d interesse, detta variabile dipendente. L analisi statistica multivariata è un insieme di metodologie volte all analisi simultanea delle interrelazioni tra numerose variabili tra esse correlate. In Tabella II.. sono indicati i risultati grezzi delle rilevazione su 30 soggetti di due variabili, la statura e il peso corporeo, tra loro correlate. Accanto a queste, il ricercatore avrebbe potuto avere interesse a rilevare altre variabili quali, ad esempio, il genere o la regione di provenienza. L insieme delle misure o caratteristiche osservate dà luogo ad un insieme di dati (dataset), rappresentato nella sua forma generica in Tabella III.., nel quale ogni riga rappresenta una delle unità statistiche (dette anche casi) e ogni colonna le rilevazioni di una specifica delle V variabili per ciascun caso. Tabella III... Forma generale dei dataset V V... V V Caso v v v V Caso v v v V Caso 3 v 3 v 3 v 3V Caso v v... v V * A cura di Enrico di Bella.

3 4 Statistica descrittiva multidimensionale La struttura dei dati di Tabella III.. è quella tipicamente utilizzata dai fogli elettronici (Excel, Lotus --3, StarOffice Calc) e dai maggiori pacchetti statistici a interfaccia grafica (S-Plus, SPSS, Statistica, Minitab). Quando la dimensionalità del fenomeno oggetto di studio diviene elevata, all usuale notazione scalare, che richiede l attenta indicazione di apici e pedici per distinguere casi e variabili, viene spesso preferita una più agevole notazione matriciale per la quale ogni singolo caso è un punto nello spazio V-dimensionale. ella Tabella III.. sono riportate le lunghezze L dei salti che sei ragazzi, di statura S e peso P, hanno effettuato in una gara di atletica. Tabella III... Risultati grezzi della misurazione della lunghezza (in cm) L del salto effettuato da sei atleti di peso corporeo (in Kg) P e statura (in cm) S Ragazzi L P S La matrice dei dati, in genere indicata con X, si compone dei vettori colonna L, P e S, o, equivalentemente, dei vettori riga r i (i =,..., 6) rappresentanti i sei ragazzi: L =, P =, S =, r = r = r3 = r4 = r5 = r = 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Risulta, quindi:

4 La notazione matriciale X = III... Richiami di calcolo matriciale Si ritiene opportuno richiamare brevemente alcune definizioni e proprietà delle matrici sebbene già note allo studente da precedenti corsi di matematica generale. Definizione III... (Matrice) Si definisce matrice p q un insieme A di pq elementi disposti in p righe e q colonne e si indica con a ij il valore dell i-ma riga e j-ma colonna. a a... a q a a... M A = M M O M ap ap... a pq Se A è una matrice p p, è detta quadrata di ordine p e i suoi elementi a ii (i =,,..., p) compongono la diagonale principale. Definizione III... (Vettore) Si definisce vettore una matrice A p (vettore colonna) o q (vettore riga). Definizione III..3. (Matrice diagonale) Una matrice quadrata A viene definita diagonale se i valori al di fuori della diagonale principale sono tutti nulli (a ij = 0, per i j).

5 6 Statistica descrittiva multidimensionale a a... M A = M M O M a pp Definizione III..4. (Matrice identità) Si definisce matrice identità I una matrice diagonale i cui valori non nulli sono tutti pari a uno (a ii =, per i =,,..., p) M A = M M O M Definizione III..5. (Matrice trasposta) La trasposta A di A è la matrice q p ottenuta commutando le righe con le colonne di A: Risulta, quindi: a ' ij = a i p, j q ji a a... a q a a... ap a a... aq a a... ap A= A' = M M O M M M O M a a... a a a... a p p pq q q pq Definizione III..6. (Matrice unità e matrice nulla) Si definisce matrice unità U p q la matrice p q i cui valori sono tutti pari a uno (a ij = i, j =,,..., p). Si definisce matrice nulla 0 p q la matrice p q i cui valori sono tutti pari a zero (a ij = 0 i, j =,,..., p). In particolare, se q =, si definiscono il vettore unità p e il vettore nullo 0 p. Definizione III..7. (Vettore delle frequenze) Si definisce vettore f delle frequenze il vettore colonna il valore del cui generico elemento f i corrisponde alle frequenze associate al vettore corrispondente alla i-ma riga della matrice A, matrice dei dati privata delle righe identiche. Se ciascuna modalità in cui il fenomeno si è espresso è unica, il vettore f coincide con p.

6 La notazione matriciale 7 Ad esempio, essendo X la matrice dei dati, risulta: X =, A = 3, 6 3 f = In presenza di fenomeni ad alta dimensionalità, è possibile ma raro che due o più righe della matrice X dei dati siano identiche. Per questa ragione frequentemente non si procede alla riorganizzazione dei dati in frequenze delle modalità osservate col risultato che A X e f p. Definizione III..8. (Traccia di una matrice) Si definisce traccia tr(a) di una matrice A quadrata di ordine p la somma degli elementi della diagonale principale: p tr( A ) = aii Definizione III..9. (Somma e differenza di matrici) Due matrici A e B possono essere sommate o sottratte solamente se hanno lo stesso numero p di righe e q di colonne. La matrice somma C = A + B di due matrici p q si ottiene sommando i valori di medesima posizione: i= c ij = a ij + b ij i p, j q Ad esempio: = = In modo analogo si ottiene la matrice differenza D = A B. Si noti che: A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C Definizione III..0. (Prodotto di uno scalare per una matrice) Il prodotto di una matrice A p q e uno scalare (o numero reale) k risulta B = ka = Ak con b ij = ka ij per i p, j q.

7 8 Statistica descrittiva multidimensionale Definizione III... (Prodotto di matrici) La matrice C p r, prodotto di una matrice A p q e una matrice B q r, ha come elemento c ij ( i p, j r) la somma dei prodotti degli elementi della i-ma riga di A per gli elementi della j-ma colonna di B: Ad esempio: c ij = a i b j + a i b j a iq b qj = = = Si noti che: A(BC) = (AB)C A(B ± C) = AB ± AC AI = A (AB) = B A Definizione III... (Prodotto e divisione elemento per elemento) Date due matrici A e B p r si definisce matrice prodotto elemento per elemento la matrice C = A B p r, avente come generico elemento c ij = a ij b ij ( i p, j r). Analogamente si determina la matrice divisione elemento per elemento C = A B p r, avente come generico elemento c ij = a ij / b ij ( i p, j r). Ad esempio: q k = = /5 /6 = /7 4/8 Definizione III..3. (Determinante) Si definisce determinante di una matrice A quadrata di ordine p la somma algebrica di n! prodotti ognuno costituito da elementi appartenenti a righe e colonne diverse e con il segno più o meno a seconda che il numero r di permutazioni dei secondi indici, dopo aver ordinato gli elementi del prodotto in base al primo indice, sia pari o dispari: n! i= n i= ab r det( A) = A = ( ) a (III..) ir i ik kj

8 La notazione matriciale 9 ei casi più semplici, risulta: p =, A = (a ), a a p =, A =, a a det(a) = a p = 3, det(a) = a a a a a a a3 A = a a a3, si ottiene la regola di Sarrus, a3 a3 a 33 det(a) = a a a 33 + a a 3 a 3 + a 3 a a 3 a 3 a a 3 a a a 33 a a 3 a 3 Definizione III..4. (Matrice inversa ) Sia A una matrice quadrata con determinante non nullo, qualsiasi matrice A tale per cui A A = A A = I è detta inversa di A. La determinazione dell inversa di una matrice può essere un processo laborioso. Tuttavia qualsiasi software matematico-statistico ha una funzione predefinita per il calcolo rapido ed esatto delle matrici inverse. Definizione III..5. (Combinazioni lineari di vettori) Considerati v vettori di ordine p x, x,..., x v e v numeri reali k, k,..., k v, si definisce combinazione lineare dei v vettori la quantità k x + k x k v x v. Ad esempio, ricordando le definizioni III.., III..9 e III..0: = + = Definizione III..6. (Dipendenza e indipendenza lineare) Se un vettore è e- sprimibile come combinazione lineare di v vettori è detto linearmente dipendente da essi. Al contrario, se non esistono numeri reali tali per cui un vettore possa essere espresso come combinazione lineare dei v vettori è detto linearmente indipendente da essi. Per verificare la presenza o assenza di dipendenza Poiché le matrici delle quali sarà necessario, nel prosieguo, determinare l inversa saranno tutte matrici quadrate, per l inversione di matrici non quadrate si rimanda il lettore a testi specifici sull algebra delle matrici. Tra gli altri: Barabesi L., Fattorino L. (00) Introduzione all algebra delle matrici, Giuffrè.

9 0 Statistica descrittiva multidimensionale lineare si valuta l esistenza di valori reali k, k,..., k v non nulli tali per cui: k x + k x k v x v = 0 p. Definizione III..7. (Rango di una matrice) Il rango Rank(A), o caratteristica, di una matrice A p q è il numero massimo di righe o colonne linearmente indipendenti. Ad esempio, dalle due matrici X e Y: X=, Y = è possibile estrarre i seguenti vettori colonna: x =, = =, = 3 x 4 y y 4 Si può verificare che, non esistendo costanti non nulle k e k tali per cui: k x + k x = 0 x e x sono linearmente indipendenti e la matrice X ha rango pari a, mentre k y + k y = 0 per ogni coppia di valori proporzionale a k = e k =. Conseguentemente y e y sono linearmente dipendenti e la matrice Y ha rango pari a. elle applicazioni statistiche si hanno matrici di dati n p essendo n il numero di unità statistiche osservate e p il numero di variabili rilevate. In genere il numero di osservazioni è maggiore del numero di variabili studiate e quindi il rango della matrice dei dati è inferiore o pari a p. Se il rango fosse inferiore a p, ad esempio pari a p, si potrebbe esprimere una delle variabili oggetto di studio come funzione lineare delle altre p. Questa situazione, se riferita, ad e- sempio, a variabili esplicative di un modello di regressione multivariata può generare taluni problemi nell individuazione dei parametri del modello in quanto equivale a una inconsapevole duplicazione di alcune di queste variabili. III..3. Una notazione compatta Come precedentemente accennato, la notazione matriciale permette di esprimere in forma compatta tutte le formule sino ad ora utilizzate. ella trattazione

10 La notazione matriciale che segue, per semplicità, si opererà in ipotesi di assenza di riorganizzazione dei dati in serie statistica (cfr. Definizioni I.. e III..7). Sia X una matrice di dati composta da righe (cioè osservazioni) e V colonne (e quindi variabili). La media aritmetica delle V variabili di X è espressa dalla quantità: μ X = X ' (III..) el caso in cui V = risulta, infatti: X ' = ( x x... x ) = ( x + x x ) = x = i M i Quando V è maggiore di uno, la (III..) è un vettore riga di ordine V il cui i- mo generico elemento è la media della variabile corrispondente alla i-ma colonna di X. Ad esempio: X= X' = Richiamando la I.3., si definisce varianza il risultato dell operazione di e- levazione a quadrato della media quadratica delle distanze intercorrenti tra le singole misurazioni e la loro media aritmetica. La notazione matriciale permette di estendere tale definizione nel modo seguente: Definizione III..8. (Matrice delle covarianze) Data una matrice X di dati composta da righe (casi) e v colonne (variabili), si definisce matrice delle varianze e covarianze (o, più semplicemente, matrice delle covarianze) la matrice: VX = ( X X' ) '( X X' ). Gli elementi di posizione v ij rappresentano la covarianza esistente tra l i-ma

11 Statistica descrittiva multidimensionale e la j-ma variabile. In particolare, per j = i, si ottiene la varianza della i-ma variabile. Ricorrendo alla (I.3.5) la matrice delle covarianze può essere determinata ricorrendo alla seguente scomposizione: VX = X' IX X' U X Le matrici I e U associano a ciascuna modalità una sola frequenza. Una loro opportuna modifica consente di operare su dati riorganizzati in serie statistica. Risulta, quindi, che la varianza è espressa dalla quantità: essendo: I U VX = X' = ' X X SX L I U K S = = M M O M K Qualora le variabili fossero espresse come singoli vettori colonna di dati di medesima lunghezza, ad esempio X e Y, ricordando la II.4.5 la misura della covarianza risulta: = μ μx μy = XI ' Y XU ' ' Y = XSY L individuazione dell espressione matriciale di medie, varianze e covarianze di due o più variabili permette, tramite semplice sostituzione, la riscrittura in tale forma di altre rilevanti quantità, quali, ad esempio: il coefficiente di correlazione lineare tra X e Y: ρ = = X Y XSY ' ( XSX ' ) ( YSY ' ) Si noti che l operatore radice quadrata a denominatore si applica a uno scalare e quindi non è un operazione in senso matriciale.

12 La notazione matriciale 3 il rapporto di correlazione lineare: ρ XSY = = ( XSX ' ) ( YSY ' ) ' Anche in questo caso, l elevamento a quadrato viene effettuato su uno scalare e quindi non comporta alcuna difficoltà di calcolo. i coefficienti della retta di regressione X * Y = a+ bx : T XSY ' a = μy μ ' X = Y X X XSX '. XSY ' b = = XSX ' la varianza spiegata e residua dalla retta di regressione Y = ρy = = X ( XSY ' ) XSX ' * Y = Y Y = YSY ' ( XSY ' ) XSX '. * Y = a+ bx : * i coefficienti del modello multivariato lineare Y = a+ bx +cz essendo: a = μ μ μ Z XZ YZ X YZ XZ Y X Z XZ XZ XZ XZ b= = Z XZ YZ X YZ XZ, c XZ XZ XZ XZ μy = Y ', μx = X ', μz = Z ' = XSY ', XZ = XSZ ', YZ = YSZ ' X = XSX ', Z = ZSZ ' el prossimi paragrafi i medesimi risultati, in forma più generale ed elegante, saranno ottenuti direttamente dalla forma matriciale. XZ